(教案)1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用

1、精品1.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用授課教師： 王宏 郭懿 教學(xué)重點(diǎn)：(1)通過(guò)對(duì)實(shí)際問(wèn)題的分析，了解回歸分析的必要性與回歸分析的 一般步驟；了解線性回歸模型與函數(shù)模型的區(qū)別；(2)嘗試做散點(diǎn)圖，求回歸直線方程；(3)能用所學(xué)的知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行回歸分析，體會(huì)回歸分析的實(shí) 際價(jià)值與基本思想；了解判斷刻畫(huà)回歸模型擬合好壞的方法一一糕指 數(shù)和殘差分析。教學(xué)難點(diǎn)：(1)求回歸直線方程，會(huì)用所學(xué)的知識(shí)對(duì)實(shí)際問(wèn)題進(jìn)行回歸分析.(2)掌握回歸分析的實(shí)際價(jià)值與基本思想.(3)能運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)對(duì)具體案例進(jìn)行檢驗(yàn)與說(shuō)明.(4)殘差變量的解釋； (5)偏差平方和分解的思想；教學(xué)內(nèi)容：一、基礎(chǔ)知識(shí)梳理1 .

2、回歸直線：如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，我們就稱這 兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。求回歸直線方程的一般步驟：作出散點(diǎn)圖(由樣本點(diǎn)是否呈條狀分布 來(lái)判斷兩個(gè)量是否具有線性相關(guān)關(guān)系)，若存在線性相關(guān)關(guān)系一求 回歸系數(shù)一寫(xiě)出回歸直線方程，并利用回歸直線方程進(jìn)行預(yù)測(cè)說(shuō) 明.2 .回歸分析：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方 法。建立回歸模型的基本步驟是：確定研究對(duì)象，明確哪個(gè)變量是解釋變量，哪個(gè)變量是預(yù)報(bào)變量； 畫(huà)好確定好的解釋變量和預(yù)報(bào)變量的散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系 (線性關(guān)系).由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程的類型.按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(最小

3、二乘法)；得出結(jié)論后在分析殘差圖是否異常，若存在異常，則檢驗(yàn)數(shù)據(jù)是否 有誤，后模型是否合適等.3 .利用統(tǒng)計(jì)方法解決實(shí)際問(wèn)題的基本步驟：(1)提出問(wèn)題；(2)收集數(shù)據(jù)；(3)分析整理數(shù)據(jù)；(4)進(jìn)行 預(yù)測(cè)或決策。4 .殘差變量白的主要來(lái)源：(1)用線性回歸模型近似真實(shí)模型(真實(shí)模型是客觀存在的，通常 我們并不知道真實(shí)模型到底是什么)所引起的誤差?？赡艽嬖诜蔷€性 的函數(shù)能夠更好地描述)與x之間的關(guān)系，但是現(xiàn)在卻用線性函數(shù) 來(lái)表述這種關(guān)系，結(jié)果就會(huì)產(chǎn)生誤差。這種由于模型近似所引起的誤 差包含在學(xué)中。(2)忽略了某些因素的影響。影響變量尸的因素不只變量入一個(gè)， 可能還包含其他許多因素(例如在描述身高

4、和體重關(guān)系的模型中，體 重不僅受身高的影響，還會(huì)受遺傳基因、飲食習(xí)慣、生長(zhǎng)環(huán)境等其他因素的影響)，但 通常它們每一個(gè)因素的影響可能都是比較小的，它 們的影響都體現(xiàn)在營(yíng)中。(3)觀測(cè)誤差。由于測(cè)量工具等原因，得到的 的觀測(cè)值一般是有 誤差的(比如一個(gè)人的體重是確定的數(shù)，不同的秤可能會(huì)得到不同的 觀測(cè)值，它們與真實(shí)值之間存在誤差)，這樣的誤差也包含在白中。 上面三項(xiàng)誤差越小，說(shuō)明我們的回歸模型的擬合效果越好。二、例題選講 例1:研究某灌溉渠道水的流速 與水深式 之間的關(guān)系，測(cè)得一組數(shù)據(jù)如下：水深力物1.401.501.601.701.801.902.002.10流速1.701.791.881.95

5、2.032.102.162.21(1)求產(chǎn)對(duì)X的回歸直線方程；(2 )預(yù)測(cè)水深為1.95沿 時(shí)水的流速是多少？ 分析：本題考查如何求回歸直線的方程，可先把有關(guān)數(shù)據(jù)用散點(diǎn)圖表 示出來(lái)，若這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近，說(shuō)明 這兩個(gè)變量線性相關(guān)，從而可利用我們學(xué)過(guò)的最小二乘估計(jì)思想及計(jì) 算公式求得線性回歸直線方程(1)由于問(wèn)題中要求根據(jù)水深預(yù)報(bào)水的流速，因此選取水深為解釋變量，流速為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖：15 -144111HN。 x/m由圖容易看出，或 與T之間有近似的線性關(guān)系，或者說(shuō)，可以用一個(gè)回歸直線方程A 1 1-b = 0.7330.694產(chǎn)取來(lái)反映這種關(guān)系。由計(jì)算器求得15

6、。對(duì)或的回歸直線方程為W0.733工十0.694 。(2)由(1)中求出的回歸直線方程，把x = L95代入，易得9 = 0.7g乂 195-0694 劉 2.12(掰曲)- o計(jì)算結(jié)果表示，當(dāng)水深為茄 時(shí)可以預(yù)測(cè)渠水的流速為0評(píng)注：建立回歸模型的一般步驟：(1)確定研究對(duì)象，明確兩個(gè)變量即解釋變量和預(yù)報(bào)變量；(2)畫(huà)出散點(diǎn)圖，觀察它們之間的關(guān)系；(3)由經(jīng)驗(yàn)確定回歸方程類型(若呈線性關(guān)系，選用線性回歸方程)；(4)按一定規(guī)則估計(jì)回歸方程中的參數(shù)(如最小二乘法)；(5)得出結(jié)果后分析殘差圖是否有異常(個(gè)別數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)殘差過(guò)大， 或殘差出現(xiàn)不隨機(jī)的規(guī)律性，等等)，若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否 有誤，或

7、模型是否合適等。例2: 1993年到2002年中國(guó)的國(guó)內(nèi)生產(chǎn)總值(GDP)的數(shù)據(jù)如下：年份GDP199334634.4199446759.4199558478.1199667884.6199774462.6199878345.2199982067.5200089468.1200197314.8-可編輯-2002104790.6作GDP和年份的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng)是什么建立年份為解釋變量，GDP為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì)算殘差根據(jù)你得到的模型，預(yù)報(bào)2003年的GDP,并查閱資料，看看你 的預(yù)報(bào)與實(shí)際GDP的誤差是多少。你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫(huà)GDP和年份的關(guān)系嗎？請(qǐng)說(shuō)明理 由。

8、解：（1）由表中數(shù)據(jù)制作的散點(diǎn)圖如下:從散點(diǎn)圖中可以看出GDP值與年份近線呈線性關(guān)系；用yt表示GDP值，t表示年份，根據(jù)截距和斜率的最小二乘計(jì)算公式，得：阪-142g25”729年用7191969從而得線性回歸方程：y = 7191%9t-14292537 729殘差計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表：GDP值與年份線性擬合殘差表年19931994199519961997殘-6422.269-1489.2383037.4935252.0244638.055年19981999200020012002殘1328.685-2140.984-1932.353-1277.622-993.7912003 年的GDP預(yù)報(bào)值為

9、112976.360,根據(jù)國(guó)家統(tǒng)計(jì)局2004 年統(tǒng)計(jì)，2003年實(shí)際GDP值為117251.9 ,所以預(yù)報(bào)與實(shí)際相 -4275.540;上面建立的回歸方程的R2=0.974 ,說(shuō)明年份能夠解釋約97%的 GDP值變化，因此所建立的模型能夠很好地刻畫(huà)GDP和年份的關(guān)系。說(shuō)明：關(guān)于2003年的GDP的值來(lái)源，不同的渠道可能會(huì)有所不同。例3:如下表所示，某地區(qū)一段時(shí)間內(nèi)觀察到的大于或等于某震級(jí)x的地震個(gè)數(shù)為N,試建立回歸方程表述二者之間的關(guān)系震級(jí)33.23.43.63.844.24.44.64.85.0地震數(shù)2838120380147951069576415502384226981919135697

10、3震級(jí)5.25.45.65.866.26.46.66.87地震數(shù)74660443527420614898574125解：由表中數(shù)據(jù)得散點(diǎn)圖如下:從散點(diǎn)圖中可以看出，震級(jí)x與大于該震級(jí)的地震次數(shù)N之間不呈 線性相關(guān)關(guān)系，隨著x的減少，所考察的地震數(shù)N近似地以指數(shù)形 式增長(zhǎng).做變換y=lgN ,得到的數(shù)據(jù)如下表所示：x33.23.43.63.844.24.44.64.85y4.4534.3094.1704.0293.8833.7413.5853.4313.2833.1322.988x5.25.45.65.866.26.46.66.87y2.8732.7812.6382.4382.3142.1701

11、.9911.7561.6131.398x和y的散點(diǎn)圖如下：25 31K 3 4jO Q 5 0>6 0 .8.5 7j0 工5從這個(gè)散點(diǎn)圖中可以看出x和y之間有很強(qiáng)的線性相差性，因此可以用線性回歸模型擬合它們之間的關(guān)系。根據(jù)截距和斜率的最小二乘計(jì)算公式，得：6 704, £-0 741,故線性回歸方程為：-OKIk+ 6.704相關(guān)指數(shù)R2= 0.997，說(shuō)明x可以解釋y的99.7%的變化。因此，可 以用回歸方程由=1加4Msm4描述x和y之間的關(guān)系。例4：電容器充電后，電壓達(dá)至，然后開(kāi)始放電，由經(jīng)驗(yàn)知道， 此后電壓？隨時(shí)間£變化的規(guī)律公式口三以小之。）表示，觀測(cè)得時(shí)

12、 間網(wǎng)田時(shí)的電壓雙乃如下表所示：£012345678910U100755540302015101055試求電壓P 對(duì)時(shí)間2的回歸方程 分析：由于兩個(gè)變量不呈線性相關(guān)關(guān)系，所以不能直接利用線性回歸 方程來(lái)建立兩個(gè)變量之間的關(guān)系，我們可通過(guò)對(duì)數(shù)變換把指數(shù)關(guān)系變 為線性關(guān)系，通過(guò)線性回歸模型來(lái)建立？ 與看之間的非線性回歸方 程。解：對(duì)兩邊取自然對(duì)數(shù)得現(xiàn)，令尸3M，即沙”由所給數(shù)據(jù)可得012345678910In W4.64.34.03.93.42.92.72.32.31.61.64clflb由散點(diǎn)圖可知與七具有線性相關(guān)關(guān)系，可用來(lái)表示。經(jīng)計(jì)算得：£",嚴(yán)£遂&

13、quot;03：印6 （最小二乘法），.y= 一0.裁 +46即島口 = 一0至+4石。 所以，=產(chǎn).評(píng)注：一般地，有些非線性回歸模型通過(guò)變換可以轉(zhuǎn)化為線性回歸模 型，即借助于線性回歸模型研究呈非線性回歸關(guān)系的兩個(gè)變量之間的 關(guān)系：（1）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)分布在一個(gè)直線狀帶形區(qū)域，可以選用線性 回歸模型來(lái)建模；（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)的分布在一個(gè)曲線狀帶形區(qū)域，要先對(duì)變量 作適當(dāng)?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來(lái)建模。隨堂練習(xí)：1.對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量統(tǒng)計(jì)分析的一種常用的方法是（）A.回歸分析 B.相關(guān)系數(shù)分析 C.殘差分析 D.相關(guān)指 數(shù)分析2 .在畫(huà)兩個(gè)變量的散點(diǎn)圖時(shí)，下面敘述正確的是 A.預(yù)報(bào)

14、變量在內(nèi)軸上，解釋變量在丁軸上 上，預(yù)報(bào)變量在丁軸上C.可以選擇兩個(gè)變量中任意一個(gè)變量在黑軸上 變量中任意一個(gè)變量在7軸上3 .兩個(gè)變量相關(guān)性越強(qiáng)，相關(guān)系數(shù)？（）A .越接近于0B.越接近于1（ ）B.解釋變量在界軸D.可以選擇兩個(gè)C.越接近于1D.絕對(duì)值越接近14.若散點(diǎn)圖中所有樣本點(diǎn)都在一條直線上，解釋變量與預(yù)報(bào)變量的相 關(guān)系數(shù)為（）A. 0B.1C. 1D. 1 或 15.一位母親記錄了她兒子3到9歲的身高，數(shù)據(jù)如下表：年齡（歲13456789身高產(chǎn)）194.8104.2108.7117.8124.3130.8139.0由此她建立了身高與年齡的回歸模型尸= 73.93 + 719工，她用

15、這個(gè)模型預(yù)測(cè)兒子10歲時(shí)的身高，則下面的敘述正確的是（）A.她兒子10歲時(shí)的身高一定是145.83匕淞 B.她兒子10歲時(shí)的身高在145.83.以上C.她兒子10歲時(shí)的身高在145.83 加 左右 D.她兒子10歲時(shí)的身高在145.83源以下八6 .兩個(gè)變量有線性相關(guān)關(guān)系且正相關(guān)，則回歸直線方程中，*二歷十口 的系數(shù)b （）A，：B ：C> " -D. -7 .兩個(gè)變量有線性相關(guān)關(guān)系且殘差的平方和等于0,則（）A.樣本點(diǎn)都在回歸直線上 B.樣本點(diǎn)都集中在回歸直線附近C.樣本點(diǎn)比較分散D.不存在規(guī)律8 .在建立兩個(gè)變量尸 與X的回歸模型中，分別選擇了 4個(gè)不同的模 型，它們的相關(guān)

16、指數(shù)屈如下，其中擬合最好的模型是（）A.模型1的相關(guān)指數(shù)爐 為0.98B.模型2的相關(guān)指數(shù)爐 為0.80C.模型3的相關(guān)指數(shù)屈 為0.50D.模型4的相關(guān)指數(shù)爐 為0.259 .相關(guān)指數(shù).010 .某農(nóng)場(chǎng)對(duì)單位面積化肥用量川炮）和水稻相應(yīng)產(chǎn)量炮）的關(guān)系 作了統(tǒng)計(jì)，得到數(shù)據(jù)如下:15202530354045卜330345365405445450455如果K與/之間具有線性相關(guān)關(guān)系，求出回歸直線方程，并預(yù)測(cè)當(dāng) 單位面積化肥用量為無(wú)履 時(shí)水稻的產(chǎn)量大約是多少？（精確到 。跖）11 .假設(shè)美國(guó)10家最大的工業(yè)公司提供了以下數(shù)據(jù)：公司銷售總額經(jīng)X1/百萬(wàn)美元利潤(rùn)X2/百萬(wàn)美元通用汽車1269744224

17、福特969333835?？松?66563510BM634383758通用電氣552643939美孚509761809菲利普交1斯390692946克萊斯勒36156359杜邦352092480德士古324162413(1)作銷售總額和利潤(rùn)的散點(diǎn)圖，根據(jù)該圖猜想它們之間的關(guān)系應(yīng) 是什么形式； 建立銷售總額為解釋變量，利潤(rùn)為預(yù)報(bào)變量的回歸模型，并計(jì) 算殘差；(3) 你認(rèn)為這個(gè)模型能較好地刻畫(huà)銷售總額和利潤(rùn)之間的關(guān)系 嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由。參考答案：A B D BC A A A一-丁京二1-軍-9 .口10 .由于問(wèn)題中要求根據(jù)單位面積化肥用量預(yù)報(bào)水稻相應(yīng)的產(chǎn)量，因此選取單位面積的化肥用量為解釋變量，相應(yīng)

18、水稻的產(chǎn)量為預(yù)報(bào)變量，作散點(diǎn)圖：由圖容易看出，h與y之間有近似的線性關(guān)系，或者說(shuō)，可以用一個(gè)回歸直線方程y = 3 來(lái)反映這種關(guān)系。由計(jì)算器求得方"上,”256.79。¥對(duì)或的回歸直線方程為戶4萬(wàn)“256.T9（ *）。由（*）中求出的回歸直線方程，把032代入巨陽(yáng) 3二4乃乂32+256.79=408.79計(jì)算結(jié)果表示，當(dāng)單位面積化肥用量為義炮時(shí)水稻的產(chǎn)量大約是 408.79ig.11 .將銷售總額作為橫軸，利潤(rùn)作為縱軸，根據(jù)表中數(shù)據(jù)繪制散點(diǎn)圖如下：由于散點(diǎn)圖中的樣本點(diǎn)基本上在一個(gè)帶形區(qū)域分布，猜想銷售總額與 利潤(rùn)之間呈現(xiàn)線性相關(guān)關(guān)系； 由最小二乘法的計(jì)算公式，得：1334.5,0.026 則線性回歸方程為：9 =其殘差值計(jì)算結(jié)果見(jiàn)下表:銷售總額12697496933866