五年級奧數(shù)-數(shù)字謎

1、數(shù)字謎涉及質(zhì)數(shù)與合數(shù)等概念, 以及需要利用數(shù)的整除特征、分解質(zhì)因數(shù)等數(shù)論手段解的數(shù)字謎問題1 . 試將 1,2,3,4,5,6,7分別填入下面的方框中, 每個數(shù)字只用一次:口口口 ( 這是一個三位數(shù)). 口口口( 這是一個三位數(shù)), 口 ( 這是一個一位數(shù)), 使得這三個數(shù)中任意兩個都互質(zhì). 已知其中一個三位數(shù)已填好,它是 714, 求其他兩個數(shù)【分析與解】714=2×3×7×17由此可以看出 , 要使最下面方框中的數(shù)與 714 互質(zhì) , 在剩下未填的數(shù)字 2,3,5 ， 6 中只能選 5，也就是說，第三個數(shù)只能是 5現(xiàn)在來討論第二個數(shù)的三個方框中應(yīng)該怎樣填2,3

2、,6這 3 個數(shù)字因為任意兩個偶數(shù)都有公約數(shù)2, 而 714 是偶數(shù) , 所以第二個的三位數(shù)不能是偶數(shù), 因此個位數(shù)字只能是 3. 這樣一來 , 第二個三位數(shù)只能是263 或 623. 但是 623 能被 7 整除 , 所以 623 與 714 不互質(zhì)最后來看263 這個數(shù) . 通過檢驗可知 :714 的質(zhì)因數(shù)2,3,7和 17 都不是 263 的因數(shù) , 所以 714 與 263這兩個數(shù)互質(zhì)顯然 ,263 與 5 也互質(zhì)因此 , 其他兩個數(shù)為263 和 52. 如圖 19-1,4 個小三角形的頂點處有6 個圓圈 . 如果在這些圓圈中分別填上6 個質(zhì)數(shù)， 它們的和是20，而且每個小三角形 3

3、個頂點上的數(shù)之和相等 . 問這 6 個質(zhì)數(shù)的積是多少 ?【分析與解】設(shè)每個小三角形三個頂點上的數(shù)的和都是S.4 個小三角形的和S 相加時 , 中間三角形每個頂點上的數(shù)被算了3 次, 所以 4S=2S+20, 即 S=10這樣 , 每個小三角形頂點上出現(xiàn)的三個質(zhì)數(shù)只能是2,3,5,從而六個質(zhì)數(shù)是2,2,3,3,5,5,它們的積是：2×2×3×3×5× 5=9003. 在圖 19-2. 所示算式的每個方框內(nèi)填人一個數(shù)字, 要求所填的數(shù)字都是質(zhì)數(shù), 并使豎式成立【分析與解 】記兩個乘數(shù)為a7b 和cd其中a、 b、 c、 d 的值只能取自2、 3、5

4、 或7由已知條件 ,b 與 c 相乘的個位數(shù)字仍為質(zhì)數(shù), 這只可能是b 與 c 中有一個是如果 b 不是 5, 那么 c 必然是 5, 但 73×5=365、77×5=385 的十位數(shù)字都不是質(zhì)數(shù)7 中的一個 , 同樣道理 ,d 也是 3、 5、 7 中的一個5 另一個是 . 因此 b 是3、5 或 7,5,c 是 3、5、再由已知條件, a75的乘積的各位數(shù)字全是質(zhì)數(shù), 所以乘積肯定大于2000,滿足積大于2000且a、 c取質(zhì)數(shù) , 只有以下六種情況：775× 3=2325, 575×5=2875, 775×5=3875 , 375

5、5;7=2625 ,575 × 7=4025, 775×7=5425其中只有第一組的結(jié)果各位數(shù)字是質(zhì)數(shù), 因此a=7,c=3 ，同理,d也是3最終算式即為775×33 =255754. 把一個兩位數(shù)的個位數(shù)字與其十位數(shù)字交換后得到一個新數(shù), 它與原來的數(shù)加起來恰好是某個自然數(shù)的平方 . 那么這個和數(shù)是多少?【分析與解】設(shè)原來的兩位數(shù)為xy , 則交換十位數(shù)字與個位數(shù)字后的兩位數(shù)為, 兩個數(shù)的和為yx,兩個數(shù)和為xy yx =10xyx10 y11 xy是 ll 的倍數(shù) , 因為它是完全平方數(shù) , 所以也是 11 × 11=121 的倍數(shù) . 但是這個和小

6、于 100+100=200 <121×2, 所以這個和數(shù)只能是 1215. 迎杯×春杯 =好好好在上面的乘法算式中, 不同的漢字表示不同的數(shù)字, 相同的漢字表示相同的數(shù)字. 那么“迎 +春 +杯 +好”之和等于多少?【分析與解】好好好 =好× 111=好× 3× 37那么 37 必定是“迎杯”或“春杯”的約數(shù), 不妨設(shè)為“迎杯”的約數(shù), 那么“迎杯”為37 或 74當(dāng)“迎杯”為37 時 , “春杯”為“好”×3, 且“杯”為7, 此時“春杯”為27, “好”為9, “迎 +春+杯 +好”之和為3+2+7+9=21；當(dāng)“迎杯”為7

7、4 時 , “春杯”為“好”× 3÷2 , 且“杯”為4, 此時“春杯”為24, “好”為16, 顯然不滿足所以“迎 +春 +杯 +好”之和為3+2+7+9=216數(shù)數(shù)×科學(xué) =學(xué)數(shù)學(xué)在上面的算式中, 每一漢字代表一個數(shù)字, 不同的漢字代表不同的數(shù)字. 那么“數(shù)學(xué)”所代表的兩位數(shù)是多少 ?【分析與解】“學(xué)數(shù)學(xué)”是“數(shù)數(shù)”的倍數(shù)，因而是“數(shù)”與1l 的倍數(shù) . 學(xué)數(shù)學(xué) =學(xué)× 101+數(shù)×10 是“數(shù)”的倍數(shù), 而 101 是質(zhì)數(shù) , 所以“學(xué)”一定是“數(shù)”的倍數(shù)又“學(xué)數(shù)學(xué)”是11 的倍數(shù) , 因而 : “學(xué) +學(xué) - 數(shù)”為 11 的倍數(shù)因為“

8、學(xué)”是“數(shù)”的倍數(shù), 從上式推出“數(shù)”是11 的約數(shù) , 所以“數(shù)” =1 , “學(xué)” =(11+1) ÷2=6“數(shù)學(xué)”所代表的兩位數(shù)是167. 將1,2,3,4,5,6,7,8,9這 9 個數(shù)字分別填人下式的各個方框中, 可使此等式成立: 口口×口口 =口口×口口口 =3634填好后得到三個兩位數(shù)和一個三位數(shù), 這三個兩位數(shù)中最大的一個是多少?【分析與解】3634=2×23×79 , 表達為兩個兩位數(shù)的乘積只能是(2 ×23) × 79, 即 46×79；表達為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積, 只能是 23

9、5;(2 ×79) =23×158滿足題意 , 所以這三個兩位數(shù)中最大的一個是798. 六年級的學(xué)生總?cè)藬?shù)是三位數(shù), 其中男生占3 , 男生人數(shù)也是三位數(shù) , 而組成以上兩個三位數(shù)的 6 個數(shù)5字, 恰好是 l,2,3,4,5,6.那么六年級共有學(xué)生多少人 ?【分析與解】 設(shè)六年級總?cè)藬?shù)為 xyz , 其中男生有 abc 人有 xyz× 3 = abc , 即 5 abc =3 xyz, 其中 xyz為 5 的倍數(shù) , 所以 z 為 5. 而 abc為 3 的倍數(shù)， 所以其數(shù) 5字和 a+b+c 應(yīng)為 3 的倍數(shù) , 則在剩下的 5 個數(shù)中 ,a 、 b、 c(

10、不計順序 ) 只能為 1,2,6 或 l,2,3 或 4,2,6 或 4,2,3 而 c 不能是偶數(shù) ( 不然 z 應(yīng)為 0), 所以只能是l,2,6或 1,2,3或 4,2,3可能滿足；又因為xyz最大為 645, 對應(yīng) abc 為 387, 即 c 不超過 3于是 abc有可能為261,123,321,213,231,243這 6 種可能 , 驗證只有當(dāng)abc =261 時 , 對應(yīng) xyz 為261÷3×5=435所以六年級共有學(xué)畢435 人.9. 圖 19-3 是三位數(shù)與一位數(shù)相乘的算式 , 在每個方格填入一個數(shù)字 , 使算式成立 . 那么共有多少種不同的填法 ?【

11、分析與解】設(shè) 1992= abc ×d( a,b,c,d可以相同),有 1992=2×2×2×3×83 , 其中d 可以取2,3，4， 6,8這 5 種 , 對應(yīng)的算式填法有5 種10. 在圖 19-4 殘缺的算式中, 只寫出 3 個數(shù)字 l, 其余的數(shù)字都不是1. 那么這個算式的乘積是多少?【分析與解】如下圖所示 , 為了方便說明 , 將某些數(shù)用字母標(biāo)出有第 4 行口口 1 對應(yīng)為 AB× C, 其個位為 1, 那么 B× C 的個位數(shù)字也是 1, 而 B、C 又均不能為 1, 所以只 3× 7, 9×

12、9對應(yīng)為 1, 那么 B 為 9、 7 或 3第 3 行 10 口對應(yīng)為 AB×D, 可能為 100、102、103、104、105、106、107、108、109.103 、107、109均為質(zhì)數(shù) , 沒有兩位數(shù)的約數(shù), 不滿足；100 、 105 沒有個位數(shù)字為 3、 7、9 的約數(shù) , 不滿足；102=17×6、 104=13× 8、106=53×2、108=27×4, 但 102、 104 對應(yīng)的 AB中 4 均為 1, 不滿足為所以 AB為 53 或 27當(dāng) AB為 27 時 , 第 4 行為 27×C, 且個位數(shù)字為1,

13、所以只能為27×3=8l , 但不是三位數(shù), 不滿足當(dāng) AB為 53 時 , 第 4 行為 53× C, 且個位數(shù)字為1, 所以只能為53×7=371 , 因此被乘數(shù)必須為53, 乘數(shù)72, 積為 381611. 圖 19-5 是一個殘缺的乘法豎式 , 在每個方框中填入一個不是 2 的數(shù)字 , 可使其成為正確的算式 . 那么所得的乘積是多少 ?【分析與解】 方法一 : 由已知條件 , 最后結(jié)果的首位數(shù)字不能是 2, 因此只能是 3. 這說明千位上作加法時有進位百位數(shù)上相加時最多向千位進2, 所以要使千位數(shù)有進位, 其中的未知數(shù)字至少是10-2-2=6, 即三個三位

14、數(shù)加數(shù)中的第二個至少是600. 因為它是第一個乘數(shù)與一個一位數(shù)字的乘積, 因此該乘數(shù)肯定大于60第二個乘數(shù)的百位數(shù)字與第一個乘數(shù)的乘積在220 229 之間 , 所以它只能是3( 否則 4×60>229) .而 220 229 之間個位數(shù)字不是2 且是 3 的倍數(shù)的只有225=3×75 和 228=3×76如果第一乘數(shù)是75, 又第二個乘數(shù)的百位數(shù)字是3, 那么它們的乘積小于75×400=30000 , 它的首位數(shù)字也就不可能是3, 不滿足乘數(shù)是 76, 另一個乘數(shù)就要大于30000÷76>394 , 那么只有395、 396、39

15、7、 398、 399 這五種可能 ,它們與76 的乘積依次為30020、 30096、 30172、 30248、 30324. 由于各個數(shù)字都不能是2, 所以只有76×396=30096 滿足題目的要求算式中所得的乘積為30096方法二 ：為了方便說明，將某些位置標(biāo)上字母，如下圖所示，因為干位最多進1，而最終的乘積萬位又不能是2，所以只能是3：而第 5 行對應(yīng)為22 口=AB×C, 其中 C不可能為1, 又不能為2, 那么最小為3當(dāng) C 為 3 時 ,22 口=AB×3, 那么 A 只能為 7,B 只能為 4,5 或 6，(1) 當(dāng) B 為 4 時 , 74&

16、#215;3=222, 第 5 行個位為 2, 不滿足題意；(2) 當(dāng) B 為 5 時 , AB×CDE對應(yīng)為 75×3DE, 小于 30000, 不滿足；(3) 當(dāng) B 為 6 時 , AB×CDE對應(yīng)為 76×3DE,D 只能為 9, 此時第 4 行對應(yīng)為AB×D即 76×9=684 . 因為 30000÷76>394 , 所以 39E 只有 395、396、397、398、399 這五種可能 , 它們與 76 的乘積依次為30020、 30096、 30172、 30248、 30324.由于各個數(shù)字都不能是2,

17、 所以只有76×396=30096 滿足題目的要求驗證 C取其他值時沒有滿足題意的解所以算式中所得的乘積為3009612. 請補全圖19-6 這個殘缺的除法豎式. 問這個除法算式的商數(shù)是多少?【分析與解】易知除號下第二行的首位為9. 除號下第一行開頭兩位為1、 0, 商的十位為0第二行 9 口對應(yīng)為CD×A，(1)9口不可能為90, 不然第一行前三位10 口與第二行90 的差不可能為一位數(shù) , 不滿足第三行特征；(2)9口對應(yīng)為91 時 , 第三行的首位對應(yīng)為10 口 -91, 最小為 9，所以只能為9, 那么有 91=CD×A, 928=CD×B, 不

18、可能；(3)9口對應(yīng)為92 時 , 第三行的首位對應(yīng)為10 口 -92, 最小為8,所以可能為8、 9，如果為9, 那么對應(yīng)有92=CD×A, 928=CD×B, 不可能；如果為8, 那么對應(yīng)有92=CD×A, 828=CD×B, 不難得知A=l,B=9,CD=92時滿足, 那么被除數(shù)為92×109=10028驗證沒有其他的情況滿足, 所以這個除法算式的商數(shù)為10913. 若用相同漢字表示相同數(shù)字 , 不同漢字表示不同數(shù)字 , 則在等式學(xué)習(xí)好勤動腦× 5=勤動腦學(xué)習(xí)好×8中, “學(xué)習(xí)好勤動腦”所表示的六位數(shù)最小是多少?【分析

19、與解】設(shè)“學(xué)習(xí)好”為x, “勤動腦”為Y, 則“學(xué)習(xí)好勤動腦”為1000X+Y, “勤動腦學(xué)習(xí)好”為 1000y+x ，有 (1000x+Y) ×5=(1000y +x) ×8, 化 簡 有4992x=7995y, 4992=128×3×13,7995=3×41×5×13, 即x205x410x615x820128x=205y, 有128,y,y512yy256384所以 , “學(xué)習(xí)好勤動腦”所表示的六位數(shù)可能為205128,410256,615384,820512, 但是不能有重復(fù)數(shù)字 , 所以只有 410256,6153

20、84滿足 , 其中最小的是 41025614. 互為反序的兩個自然數(shù)的積是92565, 求這兩個互為反序的自然數(shù).( 例如 102 和 201,35 和 53,11 和11, , 稱為互為反序的數(shù), 但 120 和 2l 不是互為反序的數(shù))【分析與解】首先可以確定這兩個自然數(shù)均為三位數(shù), 不然得到的乘積不可能為五位數(shù)設(shè) ABC × CBA=92565, 那么 C、 A 中必定有一個為5, 一個為奇數(shù) . 不妨設(shè) C為 5AB5× 5BA =92565, 那么 A 只能為 1, 1B55B1 =92565. 又注意到 92565=3×3×5×11×1l ×17