全國(guó)大學(xué)生電工數(shù)學(xué)建模競(jìng)賽電力變壓器鐵心柱截面的優(yōu)化設(shè)計(jì)

1、電力變壓器鐵心柱截面的優(yōu)化設(shè)計(jì)摘 要本文討論了電力變壓器鐵心柱截面的優(yōu)化設(shè)計(jì)問(wèn)題。針對(duì)變壓器鐵心柱截面優(yōu)化設(shè)計(jì)的特點(diǎn)及原則，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，得到了較為合理的鐵心柱截面設(shè)計(jì)方案。針對(duì)問(wèn)題一，以鐵心柱截面積最大為目標(biāo)函數(shù)，建立非線(xiàn)性整數(shù)規(guī)劃模型，得到鐵心柱外接圓直徑為650時(shí)，鐵心柱截面的級(jí)數(shù)為14級(jí)，有效截面積為320753，截面積利用率為96.71% ，各級(jí)寬度如下表：1234567891011121314寬度640620595570540510475435395350300245180105注：各級(jí)厚度見(jiàn)論文第7頁(yè)。針對(duì)問(wèn)題二，考慮工程實(shí)際需求，以鐵心柱第一級(jí)寬度增加5為上限，求解公差帶

2、。使鐵心外接圓直徑以1為步長(zhǎng)增大，得到一系列鐵心柱的最大直徑，當(dāng)外接圓直徑增大到657時(shí)，鐵心柱第一級(jí)寬度變?yōu)樵黾?，故鐵心柱外接圓直徑的公差帶為。針對(duì)問(wèn)題三，利用比較算法，對(duì)油道位置進(jìn)行求解，并將模型程序化，利用計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)求解，得到油道的位置為：第1級(jí)疊片與第2級(jí)疊片之間加設(shè)油道，第4級(jí)疊片與第5級(jí)疊片之間加設(shè)油道。關(guān)鍵詞：非線(xiàn)性整數(shù)規(guī)劃；截面積利用率；公差帶；比較算法一、問(wèn)題重述電力變壓器的設(shè)計(jì)中很重要的一個(gè)環(huán)節(jié)就是鐵心柱的截面如何設(shè)計(jì)。我國(guó)變壓器制造業(yè)通常采用全國(guó)統(tǒng)一的標(biāo)準(zhǔn)鐵心設(shè)計(jì)圖紙。根據(jù)多年的生產(chǎn)經(jīng)驗(yàn)，各生產(chǎn)廠存在著對(duì)已有設(shè)計(jì)方案的疑問(wèn)：能否改進(jìn)及如何改進(jìn)這些設(shè)計(jì)，才能在提高使用效果

3、的同時(shí)降低變壓器的成本。現(xiàn)在以心式鐵心柱為例試圖進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)。變壓器鐵心截面在圓形的線(xiàn)圈里。為充分利用內(nèi)空間，心式鐵心柱截面常采用多級(jí)階梯型結(jié)構(gòu)，各小階梯（又稱(chēng)為“級(jí)”）均為矩形。截面在圓內(nèi)是上下軸對(duì)稱(chēng)的，階梯的每級(jí)都是由許多種寬度的硅鋼片迭起來(lái)的，如何構(gòu)造各個(gè)小矩形，使幾何截面積最大？這就是電力變壓器鐵心柱截面積的優(yōu)化問(wèn)題。為了改善鐵心柱內(nèi)部的散熱，在某些相鄰階梯形之間留下一些水平空隙，放入冷卻油。油道的位置應(yīng)使其分割的各部分鐵心柱截面積近似相等。因此在確定各級(jí)的設(shè)計(jì)后，還要考慮油道的設(shè)計(jì)。二、問(wèn)題分析2.1問(wèn)題一的分析在理想條件下，多級(jí)階梯形的每一個(gè)矩形片都應(yīng)該與線(xiàn)圈內(nèi)壁緊密接觸，考慮到加

4、工精度與工藝的復(fù)雜性，工程上不能實(shí)現(xiàn)，但可以用理想情況來(lái)進(jìn)行建立模型。利用幾何關(guān)系可以得到面積累加和關(guān)于各階梯形厚度與長(zhǎng)度的數(shù)學(xué)模型，根據(jù)各種設(shè)計(jì)原則，列出約束條件，建立非線(xiàn)性整數(shù)規(guī)劃模型，得到不同級(jí)數(shù)下的各級(jí)寬度和厚度。2.2問(wèn)題二的分析實(shí)際生產(chǎn)中線(xiàn)圈的內(nèi)筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，而留有一定的間隙，兩個(gè)直徑的取值范圍稱(chēng)為各自的公差帶。因此可以在設(shè)計(jì)鐵心截面時(shí)稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的截面形狀。在確定最大有效截面積后，增加鐵心柱外接圓直徑進(jìn)行二次優(yōu)化，得到新的截面積利用率，得到的最大外接圓直徑與相應(yīng)最大疊片寬度，即各自的公差帶。2.3問(wèn)題三的分析由題可知，

5、油道的位置應(yīng)使其分割的相鄰兩部分鐵心柱截面積近似相等。在得到有效截面積后，按油道數(shù)來(lái)確定分割部分的面積，把油道考慮成疊片的一部分，利用比較算法確定有道的位置。但這樣得到的油道位置分割出的面積差別較大不能達(dá)到要求，需重新計(jì)算。油道位置確定后，把油道單獨(dú)考慮，重新以有效截面積最大為目標(biāo)進(jìn)行優(yōu)化，得到新的疊片寬度與厚度。三、模型假設(shè)（1） 假設(shè)不同方案硅鋼片厚度、表面的絕緣漆膜厚度、硅鋼片的平整度以及壓緊程度相同，即疊片系數(shù)保持不變； （2） 假設(shè)鐵心柱完全內(nèi)接于外接圓，每片疊片的定頂點(diǎn)都在外接圓上；（3） 假設(shè)相鄰兩疊片是緊密連接，中間無(wú)縫隙；（4） 假設(shè)油道寬度不會(huì)隨變壓器溫度的升高而改變四、符

6、號(hào)說(shuō)明鐵心柱外接圓直徑（毫米）第級(jí)的疊片寬度鐵心厚度 硅鋼片的最小寬度第一級(jí)厚度的最小值鐵心柱有效截面積從第一級(jí)疊片到第級(jí)疊片的累加面積外接圓直徑的增長(zhǎng)步長(zhǎng)五、模型建立5.1模型一的建立 如圖1是一個(gè)理想情況下級(jí)鐵心的疊積圖，它是由個(gè)內(nèi)接于鐵心圓徹的矩形組成的。圖1中、()分別表示鐵心第級(jí)的疊片寬度、鐵心厚度和級(jí)厚，是鐵心圓的直徑。 圖 1 鐵心柱截面圖由幾何關(guān)系可得計(jì)算鐵心最大截面積的非線(xiàn)性整數(shù)模型為：5.2模型二的建立實(shí)際生產(chǎn)中線(xiàn)圈的內(nèi)筒直徑和鐵心柱的外接圓直徑不是精確地相等，設(shè)計(jì)的兩個(gè)直徑的取值范圍稱(chēng)為各自的公差帶。因此可以在設(shè)計(jì)鐵心截面時(shí)稍微增加鐵心柱的外接圓的直徑以使得鐵心柱有更好的

7、截面形狀。由此可知，可以增大外接圓的直徑重新計(jì)算鐵心柱有效截面積。當(dāng)外接圓直徑增加時(shí)鐵心柱的最大半徑也隨之增大，但鐵心疊片的寬度為5的整數(shù)倍，若外接圓直徑增加的較小時(shí)鐵心柱的最大半徑不一定隨之增大，故可認(rèn)為，當(dāng)外接圓半徑的增大使鐵心柱最大半徑增加5時(shí)，外接圓半徑則不在增大。如果外接圓直徑增加的過(guò)大，會(huì)增加生產(chǎn)成本甚至超出設(shè)計(jì)要求，故以鐵心柱第一級(jí)寬度隨外接圓半徑增加5為上限，重新優(yōu)化設(shè)計(jì)。得到的外接圓直徑的最大增長(zhǎng)長(zhǎng)度即為公差帶的上限。設(shè)鐵心柱外接圓直徑以為步長(zhǎng)增加，可將模型一改寫(xiě)為：5.3模型三的建立未考慮冷卻油道時(shí)求得的有效截面積為,油道的個(gè)數(shù)根據(jù)鐵心柱的直徑可確定（設(shè)計(jì)原則），從而可以得

8、到每部分的分割面積。以為例（級(jí)數(shù)取14級(jí)），半園中冷卻油道數(shù)為2，一共4個(gè)油道將整個(gè)鐵心柱分割為5部分，每部分面積大致應(yīng)為。下面用比較算法確定油道位置。從第一級(jí)疊片開(kāi)始計(jì)算疊片的累加面積，將面積值與（的初值為1）比較：如果，則增設(shè)油道，且，同時(shí)判斷是否大與14，若大于則停止;如果繼續(xù)累加面積再與比較，轉(zhuǎn)到。根據(jù)上述討論，很容易編制出計(jì)算油道位置的計(jì)算程序?qū)⒂?jì)算的結(jié)果輸入到參數(shù)化程序中，就可以計(jì)算出油道位置。程序框圖如圖2所示：開(kāi)始計(jì)算有效截面積，計(jì)算累加面積終止？輸出輸入數(shù)據(jù)，（）（）？圖 2 比較法程序框圖六、模型的求解6.1模型一的求解由于制造工藝的要求，硅鋼片的寬度一般取為5的倍數(shù)，即。

9、此條件計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)困難，故作如下處理：設(shè),其中為正整數(shù)，由此模型的約束條件變?yōu)椋豪胠ingo軟件求解上述整數(shù)規(guī)劃問(wèn)題（源程序見(jiàn)附錄1）得到的結(jié)果如表1：表 1 不同級(jí)數(shù)的鐵心柱疊片截面積與利用率 級(jí)數(shù)面積與利用率有效截面積（）318927319923.8320753利用率96.16%96.46%96.71%注：鐵心線(xiàn)圈的截面積為331662.5.由此可知當(dāng)級(jí)數(shù)為14時(shí)有效截面積最大，此時(shí)的截面利用率也最大。由lingo軟件求解的結(jié)果如表2：表 2 級(jí)數(shù)為14時(shí)的疊片寬度與厚度級(jí)數(shù)疊片寬度每片疊片厚度1640113.57816262040.80702359533.24253457025.3663

10、5554024.69553651020.59389續(xù)表 2： 747520.35858843519.63976939516.613331035015.755201130014.452791224512.715421318011.26045141058.441656由上表可以看到，各級(jí)疊片的寬度均為5的倍數(shù)，最后一級(jí)的寬度大于20毫米，完全滿(mǎn)足設(shè)計(jì)要求。6.2模型二的求解 以為例，外接圓直徑的增加步長(zhǎng)，當(dāng)增加7次后鐵心柱第一級(jí)的寬度從645增長(zhǎng)到650,得到的不同直徑對(duì)應(yīng)的鐵心最大半徑、有效面積及面積利用率如表3：表 3 不同直徑對(duì)應(yīng)的鐵心最大半徑、有效面積及利用率直徑長(zhǎng)度65165265365

11、4655656657658第一級(jí)寬度645645645645645645650650鐵心最大直徑651652653654655656657658有效面積321726.6322728323727324719.4325709.6326683.4327694.6328701.4利用率97.00%97.31%97.61%97.91%98.21%98.50%98.80%99.11% 表3中的數(shù)據(jù)表明隨著鐵心外接圓直徑的增加，鐵心最大半徑也隨之增加，相應(yīng)的有效截面積、界面利用率也在增加，當(dāng)時(shí)，鐵心柱第一級(jí)疊片的寬度從645增長(zhǎng)為650，鐵心柱外接圓公差帶為。6.3模型三的求解由模型三的到的算法求出的只是油

12、道的位置，并未考慮油道自身的面積影響。根據(jù)分析可知，雖然油道只有6厚，但由于油道寬度很寬，所以油道的截面較大，故不能進(jìn)行忽略。取冷卻油道相鄰兩篇疊片進(jìn)行研究如圖3：冷卻油道第片疊片第片疊片圖 3 被油道隔開(kāi)的相鄰兩篇疊片由上圖可知，冷卻油道的被安裝在兩相鄰疊片之間，寬度只可能和第片疊片相同。如果在求解出各疊片厚度與寬度后，直接將油道安放在兩疊片之間，會(huì)使豎直軸線(xiàn)方向的厚度增加，超出鐵心柱外接圓的直徑。因此可以將冷卻油道考慮為第片疊片的一部分，在求出油道位置后，將第片疊片在豎直方向切除6，即可得到新的疊片厚度。以為例，所需油道個(gè)數(shù)為4。利用matlaba軟件編寫(xiě)模型三的程序（源程序見(jiàn)附錄3），求

13、解出的油道位置為：第1級(jí)疊片與第2級(jí)疊片之間加設(shè)油道，第4級(jí)疊片與第5級(jí)疊片之間加設(shè)油道。得到的結(jié)果如表4。表 4 增加油道的位置及分割面積半圓中油道位置1級(jí)面積2，3，4級(jí)面積之和514級(jí)面積之和分割面積72690.0259538.4864495.5去除油道面積后的分割面積72690.0255818.4863355.5表4數(shù)據(jù)表明分割后的兩面積較為接近，但去除油道的面積后使得鐵心有效截面變?yōu)?11037.98，利用率下降到93.78%。七、模型的改進(jìn)由表2可知個(gè)疊片的厚度均為小數(shù)點(diǎn)后五位，這就要求有很高的加工精度，但這會(huì)使加工工藝很復(fù)雜，而且工程上的實(shí)際需要也不用達(dá)到如此高的精度，故可取疊片

14、厚度為整數(shù)，由此得到的疊片厚度如下表：1234567891011121314厚度1144133252421201917151413118 此時(shí)得到的有效截面積為：318780，利用率為96.01%，雖然利用率有所下降，但是從加工工藝與降低加工成本的角度考慮，還是合理的。此時(shí)鐵心外接圓半徑變?yōu)?25.04,最大直徑為650.8，在公差帶允許范圍內(nèi)。故實(shí)際的生產(chǎn)中可以只生產(chǎn)整數(shù)厚度的疊片。八、模型評(píng)價(jià)與推廣8.1模型的優(yōu)點(diǎn)（1）以最大有效截面積為目標(biāo)函數(shù)，建立非線(xiàn)性整數(shù)規(guī)劃模型，得到了較為理想的結(jié)果；（2）在求解疊片寬度時(shí)將寬度設(shè)為整數(shù)變量的5倍進(jìn)行程序求解，將數(shù)學(xué)模型程序化便于進(jìn)算計(jì)編程求解；（

15、3）給出的算法以生產(chǎn)工藝要求為前提，具有使用性。8.2模型的缺點(diǎn)（1）在求解有效面積時(shí)，目標(biāo)函數(shù)只設(shè)為截面積最大，并未考慮鐵心柱的幾何形狀，因而求解出的鐵心柱的圓滑度可能受到了影響；（2）對(duì)公差帶的求解時(shí)，從工程加工的需要考慮，以鐵心柱第一級(jí)長(zhǎng)度增加5為上限求解鐵心外接圓直徑，減小了外接圓直徑的變化范圍；（3）求解油道位置時(shí)，以犧牲鐵心有效截面積為代價(jià)，致使面積利用率下降較多。參考文獻(xiàn)1 管金云，變壓器鐵心最優(yōu)截面設(shè)計(jì)計(jì)算方法，中國(guó)學(xué)術(shù)期刊電子出版社，11-13頁(yè)，2003年12月；2 姜宏偉，巫付專(zhuān)，中小型變壓器鐵心截面設(shè)計(jì)，中國(guó)學(xué)術(shù)期刊電子出版社，13-16頁(yè)，2001年9月；3 何小天，

16、歐小平，周進(jìn)，變壓器鐵心油道設(shè)置及鐵心截面的機(jī)輔設(shè)計(jì)，中國(guó)學(xué)術(shù)期刊電子出版社，12-14頁(yè)，1993年12月；4 王學(xué)群，郭雪瑛，計(jì)算鐵心最大截面積的動(dòng)態(tài)規(guī)劃法，中國(guó)學(xué)術(shù)期刊電子出版社，1-5頁(yè)，2005年5月。附 錄附錄1：鐵心柱疊片寬度與厚度求解程序model:data: n=14; d=650;enddatasets: kuandu /1,2.n/:l,lx; ! 寬度; houdu /1,2.n/:h; ! 各級(jí)的厚度; houduhe/1,2.n/:w; ! 厚度和;endsetsmax=sum(houdu(i):sum(kuandu(i):h(i)*l(i);! 目標(biāo)函數(shù);for(

17、houduhe(i): sum(houdu(j)|j#le#i:h(j)=w(i); !累加求厚度和;for(kuandu(i):(l(i)/2)2+w(i)2=(d/2)2); !半徑約束;for(kuandu(i)|i#le#11:l(i)>l(i+1); ! 第i+1級(jí)的寬度小于第i級(jí)的寬度;for(kuandu(i):l(i)=5*lx(i); for(kuandu(i):gin(lx(i); !約束使各級(jí)寬度大小以0和5結(jié)尾;for(kuandu(i):l(i)>20); !各級(jí)寬大于20;h(1)>13;end附錄2：當(dāng)級(jí)數(shù)為12時(shí)的結(jié)果：feasible sol

18、ution found. objective value: 159461.0 extended solver steps: 71 total solver iterations: 3234 variable value reduced cost n 12.00000 0.000000 d 650.0000 0.000000 l( 1) 640.0000 0.000000 l( 2) 620.0000 0.000000 l( 3) 590.0000 0.000000 l( 4) 555.0000 0.000000 l( 5) 520.0000 0.000000 l( 6) 480.0000 0.

19、000000 l( 7) 435.0000 0.000000 l( 8) 385.0000 0.000000 l( 9) 330.0000 0.000000 l( 10) 270.0000 0.000000 l( 11) 200.0000 0.000000 l( 12) 115.0000 0.000000 lx( 1) 128.0000 -2.201270 lx( 2) 124.0000 34.19161 lx( 3) 118.0000 -4.662116 lx( 4) 111.0000 -20.41377 lx( 5) 104.0000 4.187192 lx( 6) 96.00000 2.

20、475145 lx( 7) 87.00000 0.8476004 lx( 8) 77.00000 -0.7368182 lx( 9) 66.00000 -2.325374 lx( 10) 54.00000 1.738205 lx( 11) 40.00000 0.7283672 lx( 12) 23.00000 -1.519838 h( 1) 56.78908 0.000000 h( 2) 40.80702 0.000000 h( 3) 38.78571 0.000000 h( 4) 32.78895 0.000000 h( 5) 25.82924 0.000000 h( 6) 24.14606

21、 0.000000 h( 7) 22.34668 0.000000 h( 8) 20.36360 0.000000 h( 9) 18.14365 0.000000 h( 10) 15.63491 0.000000 h( 11) 13.59801 0.000000 h( 12) 10.64010 0.000000當(dāng)級(jí)數(shù)為13時(shí)的結(jié)果:feasible solution found. objective value: 159961.4 extended solver steps: 85 total solver iterations: 3305 variable value reduced cos

22、t n 13.00000 0.000000 d 650.0000 0.000000 l( 1) 640.0000 0.000000 l( 2) 620.0000 0.000000 l( 3) 595.0000 0.000000 l( 4) 565.0000 0.000000 l( 5) 535.0000 0.000000 l( 6) 500.0000 0.000000 l( 7) 460.0000 0.000000 l( 8) 415.0000 0.000000 l( 9) 365.0000 0.000000 l( 10) 315.0000 0.000000 l( 11) 255.0000 0

23、.000000 l( 12) 190.0000 0.000000 l( 13) 110.0000 0.000000 lx( 1) 128.0000 -2.201270 lx( 2) 124.0000 -5.512838 lx( 3) 119.0000 4.321812 lx( 4) 113.0000 -17.35778 lx( 5) 107.0000 7.334670 lx( 6) 100.0000 4.943968 lx( 7) 92.00000 2.918278 lx( 8) 83.00000 1.101924 lx( 9) 73.00000 -9.090372 lx( 10) 63.00

24、000 6.278166 lx( 11) 51.00000 -3.992410 lx( 12) 38.00000 1.834798 lx( 13) 22.00000 -0.3151790 h( 1) 56.78908 0.000000 h( 2) 40.80702 0.000000 h( 3) 33.24254 0.000000 h( 4) 29.84350 0.000000 h( 5) 23.89510 0.000000 h( 6) 23.08836 0.000000 h( 7) 21.95365 0.000000 h( 8) 20.51821 0.000000 h( 9) 18.78399

25、 0.000000 h( 10) 15.36493 0.000000 h( 11) 14.65968 0.000000 h( 12) 11.85934 0.000000 h( 13) 9.506942 0.000000當(dāng)級(jí)數(shù)為14時(shí)的結(jié)果:feasible solution found. objective value: 160369.9 extended solver steps: 83 total solver iterations: 3323 variable value reduced cost n 14.00000 0.000000 d 650.0000 0.000000 l( 1)

26、 640.0000 0.000000 l( 2) 625.0000 0.000000 l( 3) 600.0000 0.000000 l( 4) 575.0000 0.000000 l( 5) 545.0000 0.000000 l( 6) 515.0000 0.000000 l( 7) 480.0000 0.000000 l( 8) 440.0000 0.000000 l( 9) 395.0000 0.000000 l( 10) 350.0000 0.000000 l( 11) 300.0000 0.000000 l( 12) 245.0000 0.000000 l( 13) 180.0000 0.000000 l( 14) 105.0000 0.000000 lx( 1) 128.0000 -72.63732 lx( 2) 125.0000 56.39991 lx( 3) 120.0000 -28.66072 lx( 4) 115