立體幾何體積問題

1、立體幾何體積問題未命名一、解答題1如圖，在三棱錐中，為的中點(diǎn) （1）證明：平面； （2）若點(diǎn)在棱上，且，求點(diǎn)到平面的距離2如圖，多面體中，為正方形，,且.（1）證明：平面平面；（2）求三棱錐的體積.3在如圖所示的幾何體中，平面，四邊形為等腰梯形，.（1）證明：；（2）若多面體的體積為，求線段的長.4如圖，在四棱錐中，點(diǎn)在線段上，且，平面.（1）證明：平面平面；（2）當(dāng)時(shí)，求四棱錐的表面積.5如圖,在四棱錐中,是等邊三角形,.()求證: ()若平面 平面,求三棱錐的體積6如圖，三棱柱中，平面 平面,平面 平面，,點(diǎn)、分別為棱、的中點(diǎn)，過點(diǎn)、的平面交棱于點(diǎn),使得平面.（1）求證： 平面;（2）若四

2、棱錐的體積為，求的正弦值.7如圖，在幾何體中，平面底面，四邊形是正方形，是的中點(diǎn)，且，.（1）證明：；（2）若，求幾何體的體積.8在多面體中，底面是梯形，四邊形是正方形，面面，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為線段上一點(diǎn)，試問在線段上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，試指出點(diǎn)的位置；若不存在，說明理由?（3）在（2）的條件下，求點(diǎn)到平面的距離.9已知直三棱柱，底面是邊長為2的等邊三角形，為棱的中點(diǎn)，在棱上，且（1）證明：平面；（2）求三棱錐的體積10如圖，在三棱錐中，為線段的中點(diǎn)，將折疊至，使得且交平面于f.（1）求證：平面平面pac.（2）求三棱錐的體積.11在矩形所在平面的同一側(cè)取兩點(diǎn)、，使

3、且，若，.（1）求證：（2）取的中點(diǎn)，求證（3）求多面體的體積.12如圖，在菱形中，平面，是線段的中點(diǎn)，.（1）證明：平面；（2）求多面體的表面積.13如圖，在三棱柱中，為的中點(diǎn)，（1）求證：平面平面；（2）求到平面的距離14如圖，四棱錐中，底面是直角梯形，側(cè)面是等腰直角三角形，平面平面，點(diǎn)分別是棱上的點(diǎn)，平面平面（）確定點(diǎn)的位置，并說明理由；（）求三棱錐的體積.15如圖,三棱柱中,側(cè)面 側(cè)面,為棱的中點(diǎn),為的中點(diǎn).(1) 求證:平面； (2) 若,求三棱柱的體積.參考答案1解：（1）因?yàn)閍p=cp=ac=4，o為ac的中點(diǎn)，所以opac，且op=連結(jié)ob因?yàn)閍b=bc=，所以abc為等腰直角

4、三角形，且obac，ob=2由知，opob由opob，opac知po平面abc（2）作chom，垂足為h又由（1）可得opch，所以ch平面pom故ch的長為點(diǎn)c到平面pom的距離由題設(shè)可知oc=2，cm=，acb=45°所以om=，ch=所以點(diǎn)c到平面pom的距離為【解析】分析：（1）連接，欲證平面，只需證明即可；（2）過點(diǎn)作，垂足為，只需論證的長即為所求，再利用平面幾何知識(shí)求解即可.詳解：（1）因?yàn)閍p=cp=ac=4，o為ac的中點(diǎn)，所以opac，且op=連結(jié)ob因?yàn)閍b=bc=，所以abc為等腰直角三角形，且obac，ob=2由知，opob由opob，opac知po平面abc

5、（2）作chom，垂足為h又由（1）可得opch，所以ch平面pom故ch的長為點(diǎn)c到平面pom的距離由題設(shè)可知oc=2，cm=，acb=45°所以om=，ch=所以點(diǎn)c到平面pom的距離為點(diǎn)睛：立體幾何解答題在高考中難度低于解析幾何，屬于易得分題，第一問多以線面的證明為主，解題的核心是能將問題轉(zhuǎn)化為線線關(guān)系的證明；本題第二問可以通過作出點(diǎn)到平面的距離線段求解，也可利用等體積法解決.2（1）見解析；（2）【解析】分析：（1）證明面面垂直可通過證明線面垂直得到，證a平面即可，（2）由已知，連接交于，作于，由等體積法：，進(jìn)而可得出結(jié)論.（1）證明：，由勾股定理得：又正方形中，且平面，又面

6、，平面平面（2）由已知，連接交于作于，則又由（1）知平面平面，平面平面，面，得面由，知四邊形為平行四邊形，即，而，進(jìn)而又由，所以，三棱錐的體積.點(diǎn)睛：考查面面垂直、幾何體體積，能正確分析線條關(guān)系，利用等體積法轉(zhuǎn)化求體積是解題關(guān)鍵.3(1)證明見解析；(2).【解析】分析：（1）通過證明ab平面acfe得到；（2）作于點(diǎn)g，設(shè)，分別計(jì)算出四棱錐的體積，再根據(jù)已知條件，求出的值，在直角三角形cfg中求出cf的值。詳解：(1)平面，作于點(diǎn)，在中，得，在中，且，平面又平面.（2）設(shè)，作于點(diǎn)，則平面，且，又，得連接，則，.點(diǎn)睛：本題主要考查了線面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、余弦定理、勾股定理、體積計(jì)算公式

7、等，屬于中檔題。4（1）見解析；（2）.【解析】分析：（1）根據(jù)，及，推出四邊形是平行四邊形，再根據(jù)推出，由平面，可推出，根據(jù)線面垂直判定定理即可推出平面，從而可證平面平面；（2）根據(jù)平面，可推出，由，可得，根據(jù)勾股定理可得，然后分別求得四棱錐的各面面積相加即可求得表面積.詳解：（1）證明：由，可得，則，又，則四邊形是平行四邊形，則.又平面，平面，平面平面又平面平面平面.（2）解：平面.四棱錐的表面積為 .點(diǎn)睛：本題主要考查面面垂直的證明方法，考查椎體的表面積求法，屬基礎(chǔ)題. 熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的

8、線線、線面、面面之間的垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直. 5(1)見解析；（2）.【解析】分析：（）取的中點(diǎn)，連接，在等邊，得，又由四邊形為矩形，得，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而得證 ()由（）知，得到平面,即為三棱柱的高，再利用棱錐的體積公式，即可求得三棱錐的體積詳解：證明：（）取的中點(diǎn)，連接為等邊三角形 ，四邊形為矩形 , 平面又 平面， ()由（）知又平面平面，平面平面，平面 平面, 為三棱柱的高為等邊三角形，得, , 點(diǎn)睛：本題考查線面位置關(guān)系的判定與證明，以及三棱錐的體積的計(jì)算，其中熟練掌握空間中線面位置關(guān)系的定義、判

9、定、幾何特征是解答的關(guān)鍵，其中垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見類型：(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行；(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直；(3)證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直6（1）見解析；（2）.【解析】（1）在平面中，過點(diǎn)作棱的垂線，垂足為，平面 平面， 平面.在平面中，過點(diǎn)作棱的垂線，垂足為，平面 平面， 平面.過點(diǎn)與平面垂直的直線有且只有一條，與重合，又平面 平面 ,與重合于ab，所以 平面.（2）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，且= ， ，、四點(diǎn)共面，平面，四邊形是平行四邊形，=，為的中點(diǎn)且，=，設(shè)梯形的高為， ，,的正弦值為.7（1）見解析；（2

10、）【解析】分析：（1）連接交于點(diǎn)，連接，欲證，只需證明即可；（2）原幾何體是由四棱錐和三棱錐兩部分構(gòu)成，只需分別計(jì)算出體積相加可得.詳解：()如上圖所示，連接交于點(diǎn)，連接. 四邊形是正方形，是的中點(diǎn)又已知是的中點(diǎn),又且,，即四邊形是平行四邊形，,；() 如上圖，引于點(diǎn)，平面 ，同理 .點(diǎn)睛：(1)證明線線垂直時(shí)可利用勾股定理逆定理，等腰三角形中三線合一，線面垂直等方法進(jìn)行，本題中通過構(gòu)造，將問題進(jìn)行了轉(zhuǎn)化；（2）在計(jì)算組合體體積時(shí)，要注意分析組合體由哪些簡單幾何體構(gòu)成，分別計(jì)算體積即可求解，而在計(jì)算簡單幾何體體積時(shí)要注意“換底”的策略.8（1）見解析.（2）見解析.（3）.【解析】分析：（1）

11、在梯形中，過點(diǎn)作作于，可得，所以，由面面，可得出，利用線面垂直的判定定理得平面,進(jìn)而可得平面平面；（2）在線段上取點(diǎn)，使得，連接，先證明與相似，于是得，由線面平行的判定定理可得結(jié)果；（3）點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，利用體積相等可得，解得.詳解：（1）因?yàn)槊婷?，面面，所以面?故四邊形是正方形，所以.在中，.，.因?yàn)?，平面，平?平面,平面，平面平面.（2）在線段上存在點(diǎn)，使得平面在線段上取點(diǎn)，使得，連接.在中，因?yàn)?，所以與相似，所以又平面，平面，所以平面.（3）點(diǎn)到平面的距離就是點(diǎn)到平面的距離，設(shè)到平面的距離為，利用同角相等可得，可得. 點(diǎn)睛：證明線面平行的常用方法：

12、利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例式證明兩直線平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.9(1)見解析;(2).【解析】分析：（1）利用直棱柱的性質(zhì)可證明平面平面，所以.又，所以，利用勾股定理可得，由線面垂直的判定定理可得結(jié)論；（2）利用“等積變換”可得，先證明的高為，可得，從而可得三棱錐的體積.詳解：（1）連接bd，因?yàn)闉橹比庵?，所?，正三角形，所以，所以平面平面，所以.又，所以因?yàn)椋?所以，所以，,所以. （2）易知，

13、，所以 ，所以.所以三棱錐的體積為.點(diǎn)睛：本題主要考查正三棱柱的性質(zhì)、空間垂直關(guān)系以及利用“等積變換”求棱錐的體積；，屬于中檔題.解答空間幾何體中垂直關(guān)系時(shí)，一般要根據(jù)已知條件把空間中的線線、線面、面面之間垂直關(guān)系進(jìn)行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)要正確運(yùn)用有關(guān)的定理，找出足夠的條件進(jìn)行推理.10(1)證明見解析；(2).【解析】分析：（1）由paac可計(jì)算出pc，從而由勾股定理逆定理得pbbc，再結(jié)合bcab，得bc平面pab，從而有pabc，于是有pa平面abc，因此pabd，再計(jì)算出ab=bc，從而bdac，因此得bd平面pac，從而得證面面垂直；（2）這個(gè)體積直接用底面積乘以高再除以3，不太容易，但可間

14、接計(jì)算：，這一個(gè)三棱錐和一個(gè)四棱錐的體積易計(jì)算詳解：（1）證明：在三棱錐中，, , 又 又 （2）由已知，點(diǎn)睛：常用求體積的幾種方法：（1）分割法一般的考試題目不會(huì)給你一個(gè)簡單的長方體，正方體，圓等等一些能套公式就能求出體積，而是弄一些多面體，讓你求它的體積。分割法，就是把多面體分割成幾個(gè)我們常見的立體，然后求各個(gè)分割體的體積，最后相加就能得出所要求的體積了。（2）補(bǔ)形法多面體加以拼補(bǔ)，把它拼成我們常見的立體，求出該立體的體積后，把補(bǔ)上去的各個(gè)立體的體積算出來，相減就能得出所要求的體積了。（3）等體積法這個(gè)方法舉例比較好說明，比如，求四面體p-abc的體積，但是頂點(diǎn)p到面abc的距離不好求（即

15、高h(yuǎn)），然而我們把頂點(diǎn)和底面換一下，換成四面體a-pbc，此時(shí)，頂點(diǎn)a到面pbc的距離可以很容易就得到(ap面pbc,即ap就是高)，這樣四面體a-pbc的體積就很容易就求出來了。顯然，四面體p-abc和四面體a-pbc是同一個(gè)立體，因此，求出四面體a-pbc的體積也就是求出四面體p-abc的體積。11（1）見解析（2）見解析（3）14【解析】分析：(1)要證 ，即證 ，只需證明 ，； (2) 連結(jié)交于點(diǎn)，則是的中位線， ，從而得證；(3)即可求得多面體的體積.詳解：()四邊形是矩形， ，又，在平面內(nèi)，. ()連結(jié)交于點(diǎn)，則是的中位線，在平面內(nèi)，所以. （）.點(diǎn)睛：求錐體的體積要充分利用多面體

16、的截面和旋轉(zhuǎn)體的軸截面，將空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題求解，注意求體積的一些特殊方法分割法、補(bǔ)形法、等體積法. 割補(bǔ)法：求一些不規(guī)則幾何體的體積時(shí)，常用割補(bǔ)法轉(zhuǎn)化成已知體積公式的幾何體進(jìn)行解決等積法：等積法包括等面積法和等體積法等積法的前提是幾何圖形(或幾何體)的面積(或體積)通過已知條件可以得到，利用等積法可以用來求解幾何圖形的高或幾何體的高，特別是在求三角形的高和三棱錐的高時(shí)，這一方法回避了通過具體作圖得到三角形(或三棱錐)的高，而通過直接計(jì)算得到高的數(shù)值12(1)證明見解析；(2).【解析】分析：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接.可證明平面,由三角形中位線定理可得，從而得平面，進(jìn)而由面面平行的判定定理

17、可得平面平面；又平面，平面；（2）利用勾股定理計(jì)算各棱長，判斷各面的形狀，利用面積公式計(jì)算各表面的面積，從而可得結(jié)果.詳解：（1）設(shè)與的交點(diǎn)為，連接.平面，平面.是線段的中點(diǎn)，是的中位線，.又平面，平面.又，平面平面，又平面，平面. （2）連接,則由菱形可得. 平面,平面,:,又,平面,又平面,. ,且,四邊形為正方形，,在和中 ,.在和中 和是直角三角形，.四邊形為菱形，,又,.多面體的表面積. 點(diǎn)睛：證明線面平行的常用方法：利用線面平行的判定定理，使用這個(gè)定理的關(guān)鍵是設(shè)法在平面內(nèi)找到一條與已知直線平行的直線，可利用幾何體的特征，合理利用中位線定理、線面平行的性質(zhì)或者構(gòu)造平行四邊形、尋找比例

18、式證明兩直線平行.利用面面平行的性質(zhì)，即兩平面平行，在其中一平面內(nèi)的直線平行于另一平面.13（1）見解析；（2）【解析】分析：第一問取ab中點(diǎn)為o，連接，證明，可得，又，結(jié)合線面垂直的判定定理和面面垂直的判定證得結(jié)果；第二問求點(diǎn)到面的距離應(yīng)用等級(jí)法求得結(jié)果.詳解：（1）取中點(diǎn)為，連接，因?yàn)?，所以又，所以平面，因?yàn)槠矫妫?，由已知，又，所以，因?yàn)?，所以平面又平面，所以平面平面?（2）由（1）知， ，因?yàn)槠矫?，所以，設(shè)到平面的距離是，則，由，得到平面的距離點(diǎn)睛：該題考查的是有關(guān)立體幾何的有關(guān)問題，一是空間的垂直關(guān)系的證明，二是求點(diǎn)到平面的距離，在解題的過程中，需要明確面面垂直的判定定理的內(nèi)容，

19、注意理清線線垂直、線面垂直和面面垂直的關(guān)系，在求點(diǎn)到平面的距離時(shí)應(yīng)以三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以轉(zhuǎn)換，利用等級(jí)法求得結(jié)果.14（）見解析（）【解析】試題分析：（1）根據(jù)面面平行的性質(zhì)得到，根據(jù)平行關(guān)系和長度關(guān)系得到點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)；（2），因?yàn)?，所以，進(jìn)而求得體積.詳解：（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫?，平面平面，所以，又因?yàn)椋运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，即點(diǎn)是的中點(diǎn)因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面平面，所以，又因?yàn)辄c(diǎn)是的中點(diǎn)，所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，綜上：分別是的中點(diǎn)；（）因?yàn)?，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，所以平面；又因?yàn)?，所以點(diǎn)睛:這個(gè)題目考查了面面平行的性質(zhì)應(yīng)用，空間幾何體的體積的求法，求椎體的體積，一般直接應(yīng)用公式底乘以高乘以三分之一，會(huì)涉及到點(diǎn)面距離的求法，點(diǎn)面距可以通過建立