數(shù)值計算方法實驗報告

1、重 慶 交 通 大 學學 生 實 驗 報 告實驗課程名稱 數(shù)值計算方法i 開課實驗室 數(shù)學實驗室 學 院 理學院 年級11專業(yè)班 信息與計算科學 學 生 姓 名 李偉凱 學 號 631122020203 開 課 時 間 2013 至 2014 學年第 1 學期評分細則評分報告表述的清晰程度和完整性（20分）程序設計的正確性（40分）實驗結果的分析（30分）實驗方法的創(chuàng)新性（10分）總成績教師簽名鄒昌文實驗五 解線性方程組的直接方法實驗5.1 （主元的選取與算法的穩(wěn)定性）問題提出：gauss消去法是我們在線性代數(shù)中已經(jīng)熟悉的。但由于計算機的數(shù)值運算是在一個有限的浮點數(shù)集合上進行的，如何才能確保g

2、auss消去法作為數(shù)值算法的穩(wěn)定性呢？gauss消去法從理論算法到數(shù)值算法，其關鍵是主元的選擇。主元的選擇從數(shù)學理論上看起來平凡，它卻是數(shù)值分析中十分典型的問題。實驗內(nèi)容：考慮線性方程組 編制一個能自動選取主元，又能手動選取主元的求解線性方程組的gauss消去過程。實驗要求：（1）取矩陣，則方程有解。取n=10計算矩陣的條件數(shù)。讓程序自動選取主元，結果如何？（2）現(xiàn)選擇程序中手動選取主元的功能。每步消去過程總選取按模最小或按模盡可能小的元素作為主元，觀察并記錄計算結果。若每步消去過程總選取按模最大的元素作為主元，結果又如何？分析實驗的結果。（3）取矩陣階數(shù)n=20或者更大，重復上述實驗過程，觀

3、察記錄并分析不同的問題及消去過程中選擇不同的主元時計算結果的差異，說明主元素的選取在消去過程中的作用。（4）選取其他你感興趣的問題或者隨機生成矩陣，計算其條件數(shù)。重復上述實驗，觀察記錄并分析實驗結果。實驗5.2（線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)的估計）問題提出：理論上，線性代數(shù)方程組的攝動滿足 矩陣的條件數(shù)確實是對矩陣病態(tài)性的刻畫，但在實際應用中直接計算它顯然不現(xiàn)實，因為計算通常要比求解方程還困難。實驗內(nèi)容：matlab中提供有函數(shù)“condest”可以用來估計矩陣的條件數(shù)，它給出的是按1-范數(shù)的條件數(shù)。首先構造非奇異矩陣a和右端，使得方程是可以精確求解的。再人為地引進系數(shù)矩陣和右端的攝動，使得充

4、分小。實驗要求：（1）假設方程ax=b的解為x，求解方程，以1-范數(shù)，給出的計算結果。（2）選擇一系列維數(shù)遞增的矩陣（可以是隨機生成的），比較函數(shù)“condest”所需機器時間的差別.考慮若干逆是已知的矩陣，借助函數(shù)“eig”很容易給出cond2(a)的數(shù)值。將它與函數(shù)“cond(a,2)”所得到的結果進行比較。（3）利用“condest”給出矩陣a條件數(shù)的估計，針對（1）中的結果給出的理論估計，并將它與（1）給出的計算結果進行比較，分析所得結果。注意，如果給出了cond(a)和的估計，馬上就可以給出的估計。（4）估計著名的hilbert矩陣的條件數(shù)。思考題一：（vadermonde矩陣）設

5、，其中，（1）對n=2,5,8，計算a的條件數(shù)；隨n增大，矩陣性態(tài)如何變化？（2）對n=5，解方程組ax=b；設a的最后一個元素有擾動10-4，再求解ax=b（3）計算（2）擾動相對誤差與解的相對偏差，分析它們與條件數(shù)的關系。（4）你能由此解釋為什么不用插值函數(shù)存在定理直接求插值函數(shù)而要用拉格朗日或牛頓插值法的原因嗎？相關matlab函數(shù)提示：zeros(m,n) 生成m行，n列的零矩陣ones(m,n) 生成m行，n列的元素全為1的矩陣eye(n) 生成n階單位矩陣rand(m,n) 生成m行,n列(0,1)上均勻分布的隨機矩陣diag(x) 返回由向量x的元素構成的對角矩陣tril(a)

6、提取矩陣a的下三角部分生成下三角矩陣triu(a) 提取矩陣a的上三角部分生成上三角矩陣rank(a) 返回矩陣a的秩det(a) 返回方陣a的行列式inv(a) 返回可逆方陣a的逆矩陣v，d=eig(a) 返回方陣a的特征值和特征向量norm(a,p) 矩陣或向量的p范數(shù)cond(a,p) 矩陣的條件數(shù)l，u，p=lu(a) 選列主元lu分解r=chol(x) 平方根分解hi=hilb(n) 生成n階hilbert矩陣實驗程序：m文件程序為：function x=gauss(n,r)n=input('請輸入矩陣a的階數(shù):n=')a=diag(6*ones(1,n)+diag(

7、ones(1,n-1),1)+diag(8*ones(1,n-1),-1)b=a*ones(n,1)p=input('條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=')pp=cond(a,p)pausem,n=size(a);nb=n+1;ab=a br=input('請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=')for i=1:n-1 if r=0 pivot,p=max(abs(ab(i:n,i); ip=p+i-1; if ip=i ab(i ip,:)=ab(ip i,:);disp(ab); pause end end if r=1 i=i ip=input(&

8、#39;輸入i列所選元素所處的行數(shù)：ip='); ab(i ip,:)=ab(ip i,:);disp(ab); pause end pivot=ab(i,i); for k=i+1:n ab(k,i:nb)=ab(k,i:nb)-(ab(k,i)/pivot)*ab(i,i:nb); end disp(ab); pauseendx=zeros(n,1);x(n)=ab(n,nb)/ab(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(ab(i,nb)-ab(i,i+1:n)*x(i+1:n)/ab(i,i);end（1）取矩陣a的階數(shù):n=10，自動選取主元：>> f

9、ormat long>> gauss請輸入矩陣a的階數(shù):n=10n = 10條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=1p = 1pp = 2.557500000000000e+003請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=0r = 0取矩陣a的階數(shù):n=10，手動選取主元：選取絕對值最大的元素為主元：>> gauss請輸入矩陣a的階數(shù):n=10n = 10條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p = 2pp= 1.727556024913903e+003請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=1r = 1ans= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1選取絕對值最小的元

10、素為主元：>> gauss請輸入矩陣a的階數(shù):n=10n = 10條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p = 2pp = 1.727556024913903e+003請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=1r = 1ans = 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 0.99999999999999 1.00000000000001 0.99999999999998 1.00000000000003（2）取矩陣a的

11、階數(shù):n=10，手動選取主元：選取絕對值最大的元素為主元：>> gauss請輸入矩陣a的階數(shù):n=10n = 10條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p = 2pp= 1.727556024913903e+003請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=1r = 1ans= 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1選取絕對值最小的元素為主元：>> gauss請輸入矩陣a的階數(shù):n=10n = 10條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p = 2pp = 1.727556024913903e+003請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=1r = 1ans = 1.00

12、000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 0.99999999999999 1.00000000000001 0.99999999999998 1.00000000000003（3）取矩陣a的階數(shù):n=20，手動選取主元： 選取絕對值最大的元素為主元：>> gauss請輸入矩陣a的階數(shù):n=20條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=1p = 1pp = 2.621437500000000e+006ans = 1 1 1 1 1 1 1

13、1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 選取絕對值最小的元素為主元：>> gauss請輸入矩陣a的階數(shù):n=20.n = 20條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=2p = 2pp = 1.789670565881683e+006請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=1r = 1ans = 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000000 1.00000000000001 0.99999999999997 1.000

14、00000000006 0.99999999999989 1.00000000000023 0.99999999999955 1.00000000000090 0.99999999999821 1.00000000000352 0.99999999999318 1.00000000001273 0.99999999997817 1.00000000002910（4）該題目的m程序如下所示function x=gauss(n,r)n=input('請輸入矩陣a的階數(shù):n=')a= hilb(n)b=a*ones(n,1)p=input('條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=&

15、#39;)pp=cond(a,p)pausem,n=size(a);nb=n+1;ab=a br=input('請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=')for i=1:n-1 if r=0 pivot,p=max(abs(ab(i:n,i); ip=p+i-1; if ip=i ab(i ip,:)=ab(ip i,:);disp(ab); pause end end if r=1 i=i ip=input('輸入i列所選元素所處的行數(shù)：ip='); ab(i ip,:)=ab(ip i,:);disp(ab); pause end pivot=ab(

16、i,i); for k=i+1:n ab(k,i:nb)=ab(k,i:nb)-(ab(k,i)/pivot)*ab(i,i:nb); end disp(ab); pauseendx=zeros(n,1);x(n)=ab(n,nb)/ab(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(ab(i,nb)-ab(i,i+1:n)*x(i+1:n)/ab(i,i);end >>gauss請輸入矩陣a的階數(shù)：n=7n = 7a = 6 1 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0 8 6 1 0 0 0 0 0

17、 8 6 1 0 0 0 0 0 8 6b = 7 15 15 15 15 15 14pp = 3.174999999999999e+002ab = 6 1 0 0 0 0 0 7 8 6 1 0 0 0 0 15 0 8 6 1 0 0 0 15 0 0 8 6 1 0 0 15 0 0 0 8 6 1 0 15 0 0 0 0 8 6 1 15 0 0 0 0 0 8 6 14請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=1r = 1條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=1p = 1i = 1ans = 0.99999999999869 1.00000000004337 0.9999999996

18、4299 1.00000000121143 0.99999999803038 1.00000000152825 0.99999999954491顯然的是，該問題在主元選取與算出結果有著很大的關系，取絕對值大的元素作為主元比取絕對值小的元素作為主元時產(chǎn)生的結果比較準確，即選取絕對值小的主元時結果產(chǎn)生了較大的誤差，條件數(shù)越大產(chǎn)生的誤差就越大實驗體會：運用高斯消去法求解線性方程組問題的時候，主元的選取和相應的消去法的選取決定了該算法的穩(wěn)定性，選取絕對值大的元素比選取絕對值比較小的元素作為主元時對結果產(chǎn)生的誤差影響比較小。并且增加條件數(shù)反而對結果的誤差產(chǎn)生更大的影響。并且在運算中要盡量避免出現(xiàn)運用小數(shù)

19、作為除數(shù)，使數(shù)量級加大，令大數(shù)吃掉小數(shù)的情況發(fā)生。實驗5.2（線性代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)的估計）問題提出：理論上，線性代數(shù)方程組的攝動滿足 矩陣的條件數(shù)確實是對矩陣病態(tài)性的刻畫，但在實際應用中直接計算它顯然不現(xiàn)實，因為計算通常要比求解方程還困難。實驗內(nèi)容：matlab中提供有函數(shù)“condest”可以用來估計矩陣的條件數(shù)，它給出的是按1-范數(shù)的條件數(shù)。首先構造非奇異矩陣a和右端，使得方程是可以精確求解的。再人為地引進系數(shù)矩陣和右端的攝動，使得充分小。實驗要求：（1）假設方程ax=b的解為x，求解方程，以1-范數(shù)，給出的計算結果。（2）選擇一系列維數(shù)遞增的矩陣（可以是隨機生成的），比較函數(shù)“c

20、ondest”所需機器時間的差別.考慮若干逆是已知的矩陣，借助函數(shù)“eig”很容易給出cond2(a)的數(shù)值。將它與函數(shù)“cond(a,2)”所得到的結果進行比較。（3）利用“condest”給出矩陣a條件數(shù)的估計，針對（1）中的結果給出的理論估計，并將它與（1）給出的計算結果進行比較，分析所得結果。注意，如果給出了cond(a)和的估計，馬上就可以給出的估計。（4）估計著名的hilbert矩陣的條件數(shù)。程序代碼：1保存m文件名為：fanshu.mn=input('please input n:n=') a=fix(100*rand(n)+1 x=ones(n,1) b=a*x

21、 data=rand(n)*0.00001 datb=rand(n,1)*0.00001 a=a+datab=b+datbxx=geshow(a,b) x0=norm(xx-x,1)/norm(x,1) 保存m文件名為：geshow.m function x=geshow(a,b) m,n=size(a);nb=n+1;ab=a b;for i=1:n-1 pivot=ab(i,i); for k=i+1:n ab(k,i:nb)=ab(k,i:nb)-(ab(k,i)/pivot)*ab(i,i:nb); endendx=zeros(n,1);x(n)=ab(n,nb)/ab(n,n);fo

22、r i=n-1:-1:1 x(i)=(ab(i,nb)-ab(i,i+1:n)*x(i+1:n)/ab(i,i);end2保存m文件名為：cond2.mfunction cond2(a) b=a'*a;v1,d1=eig(b);v2,d2=eig(b(-1);cond2a=sqrt(max(max(d1)*sqrt(max(max(d2)end保存m文件為：shiyan52.mformat longfor n=10:10:100n=n a=fix(100*randn(n); condesta=condest(a) cond2(a) conda2=cond(a,2) pause end3

23、保存m文件為：sy5_2.mn=input('please input n:n=') %輸入矩陣的階數(shù)a=fix(100*rand(n)+1; %隨機生成一個矩陣ax=ones(n,1); %假設知道方程組的解全為1b=a*x; data=rand(n)*0.00001; datb=rand(n,1)*0.00001; a=a+data;b=b+datb;xx=geshow(a,b); x0=norm(xx-x,1)/norm(x,1) x00=cond(a)/(1-norm(inv(a)*norm(xx-x)*(norm(xx-x)/(norm(a)+norm(datb)/n

24、orm(b) datx=abs(x0-x00) （4）format longfor n=4:11 n=n hi=hilb(n); cond1hi=cond(hi,1) cond2hi=cond(hi,2) condinfhi=cond(hi,inf) pauseend實驗結果及其分析：(1)>>fanshuplease input n:n=6n=6 a = 82 28 96 80 68 71 91 55 49 96 76 4 13 96 81 66 75 28 92 97 15 4 40 5 64 16 43 85 66 10 10 98 92 94 18 83x = 1 1 1

25、1 1 1b = 425 371 359 253 284 395data = 1.0e-005 * columns 1 through 4 0.694828622975817 0.765516788149002 0.709364830858073 0.118997681558377 0.317099480060861 0.795199901137063 0.754686681982361 0.498364051982143 0.950222048838355 0.186872604554379 0.276025076998578 0.959743958516081 0.034446080502

26、909 0.489764395788231 0.679702676853675 0.340385726666133 0.438744359656398 0.445586200710900 0.655098003973841 0.585267750979777 0.381558457093009 0.646313010111265 0.162611735194631 0.223811939491137 columns 5 through 6 0.751267059305653 0.547215529963803 0.255095115459269 0.138624442828679 0.5059

27、57051665142 0.149294005559058 0.699076722656686 0.257508254123737 0.890903252535799 0.840717255983663 0.959291425205445 0.254282178971531datb = 1.0e-005 * 0.814284826068817 0.243524968724989 0.929263623187228 0.349983765984809 0.196595250431208 0.251083857976031a = columns 1 through 4 82.00000694828

28、6227 28.000007655167881 96.000007093648307 80.000001189976814 91.000003170994802 55.000007951999009 49.000007546866819 96.000004983640522 13.000009502220488 96.000001868726045 81.000002760250766 66.000009597439586 92.000000344460801 97.000004897643961 15.000006797026769 4.000003403857266 64.00000438

29、7443596 16.000004455862008 43.000006550980039 85.000005852677504 10.000003815584570 98.000006463130106 92.000001626117353 94.000002238119393 columns 5 through 6 68.000007512670592 71.000005472155294 76.000002550951152 4.000001386244429 75.000005059570512 28.000001492940054 40.000006990767226 5.00000

30、2575082541 66.000008909032530 10.000008407172560 18.000009592914253 83.000002542821790b = 1.0e+002 * 4.250000081428483 3.710000024352497 3.590000092926362 2.530000034998376 2.840000019659525 3.950000025108386xx = 1.000000428381561 0.999999831084732 1.000002591353244 0.999999600566705 0.9999982265399

31、37 0.999997826103164x0 =1.255906711054392e-006的計算結果為：1.255906711054392e-006(2)ncondestacond2aconda2101.152530883943102e+00232.8905456307542132.89054563075420203.470959631940668e+00265.5412238417896665.54122384178720306.050503865112835e+0021.126539755706398e+0021.126539755706322e+002403.5494878925824

32、70e+00261.3753756968344861.37537569683365506.855018184779408e+00281.1213899375359481.12138993753482601.082004656409367e+0041.704830815154781e+0031.704830815108527e+003703.234679145192132e+0033.878481155980936e+0023.878481155978439e+002808.318226153918658e+00286.2381429985251386.23814299853018902.063

33、634143407935e+0032.120696380331705e+0022.120696380331079e+0021001.536592818758897e+0031.559132035738491e+0021.559132035738373e+002(3)sy5_2please input n:n=8n = 8x0 = 3.064664488849900e-007x00 = 5.064016823313296e-007datx = 1.999352334463396e-007給出對的估計是5.064016823313296e-007的理論結果是：3.064664488849900e-

34、007結果相差：1.999352334463396e-007(4)ncond1hicond2hicondinfhi42.837499999999738e+0041.551373873892786e+0042.837499999999739e+00459.436559999999364e+0054.766072502414135e+0059.436559999999336e+00562.907027900294878e+0071.495105864009243e+0072.907027900294064e+00779.851948897194700e+0084.753673565864586e+

35、0089.851948897198483e+00883.387279082022742e+0101.525757545841988e+0103.387279081949470e+01091.099650993366047e+0124.931544439891016e+0111.099650991701052e+012103.535372424347474e+0131.602528637652488e+0133.535372455375642e+013111.230369955362001e+0155.223946340715823e+0141.230369938308720e+015討論：線性

36、代數(shù)方程組的性態(tài)與條件數(shù)有著很重要的關系，既矩陣的條件數(shù)是刻畫矩陣性質的一個重要的依據(jù)，條件數(shù)越大，矩陣“病態(tài)”性越嚴重，在解線性代數(shù)方程組的過程中較容易產(chǎn)生比較大的誤差，則在實際問題的操作過程中，我們必須要減少對條件數(shù)來求解，把條件數(shù)較大的矩陣化成條件數(shù)較小的矩陣來進行求解。實驗體會：在本次實驗中，使我們知道了矩陣條件數(shù)對線性代數(shù)方程組求解的影響，條件數(shù)越大，對最后解的影響的越大，hilbert矩陣是一個很”病態(tài)”的矩陣，他的條件數(shù)隨著階數(shù)的增加而增大，每增加一階，條件數(shù)就增大一個數(shù)量級，在求解的過程中要盡量避免hilbert矩陣實驗六 解線性方程組的迭代法實驗6.1（病態(tài)的線性方程組的求解

37、）問題提出：理論的分析表明，求解病態(tài)的線性方程組是困難的。實際情況是否如此，會出現(xiàn)怎樣的現(xiàn)象呢？實驗內(nèi)容：考慮方程組hx=b的求解，其中系數(shù)矩陣h為hilbert矩陣， 這是一個著名的病態(tài)問題。通過首先給定解（例如取為各個分量均為1）再計算出右端b的辦法給出確定的問題。實驗要求：（1）選擇問題的維數(shù)為6，分別用gauss消去法、j迭代法、gs迭代法和sor迭代法求解方程組，其各自的結果如何？將計算結果與問題的解比較，結論如何？（2）逐步增大問題的維數(shù)，仍然用上述的方法來解它們，計算的結果如何？計算的結果說明了什么？（3）討論病態(tài)問題求解的算法程序代碼：gauss消去法程序：function x

38、=gauss(n,r)n=input('請輸入矩陣的階數(shù):n=')a=hilb(n);%構造hilbert矩陣p=input('條件數(shù)對應的范數(shù)是p-范數(shù)：p=')pp=cond(a,p)pausem,n=size(a);nb=n+1;ab=a br=input('請輸入是否為手動，手動輸入1，自動輸入0：r=')for i=1:n-1 if r=0 pivot,p=max(abs(ab(i:n,i); ip=p+i-1; if ip=i ab(i ip,:)=ab(ip i,:);disp(ab); pause end end if r=1 i

39、=i ip=input('輸入i列所選元素所處的行數(shù)：ip='); ab(i ip,:)=ab(ip i,:);disp(ab); pause end pivot=ab(i,i); for k=i+1:n ab(k,i:nb)=ab(k,i:nb)-(ab(k,i)/pivot)*ab(i,i:nb); end disp(ab); pauseendx=zeros(n,1);x(n)=ab(n,nb)/ab(n,n);for i=n-1:-1:1 x(i)=(ab(i,nb)-ab(i,i+1:n)*x(i+1:n)/ab(i,i);endj迭代法程序：n=input('

40、系數(shù)矩陣的階數(shù):');a=hilb(n);%構造hilbert矩陣for i=1:n; a0(i)=1; %給定解 x(i)=0;end;b=a*a0' %由給定的解算出相應的b%進行迭代for i=1:100; y=x; for j=1:n; x(j)=b(j)/a(j,j); for k=1:j-1; x(j)=x(j)-a(j,k)*y(k)/a(j,j);end;for k=j+1:n; x(j)=x(j)-a(j,k)*y(k)/a(j,j);end;end;end;xgs迭代程序：n=input('系數(shù)矩陣的階數(shù):');%對題中給定的矩陣進行消元a2

41、=hilb(n);for i=1:n; a02(i)=1; x2(i)=0;end;b2=a2*a02'for i=1:100000; for j=1:n; x2(j)=b2(j)/a2(j,j); for k=1:j-1; x2(j)=x2(j)-a2(j,k)*x2(k)/a2(j,j);end;for k=j+1:n; x2(j)=x2(j)-a2(j,k)*x2(k)/a2(j,j);end;end;end;x2sor迭代程序：n=input('系數(shù)矩陣的階數(shù):');ss=input('松弛因子：');%對題中給定的矩陣進行消元a3=hilb(n

42、);for i=1:n; a03(i)=1; x3(i)=0;end;b3=a3*a03'for i=1:100000; for j=1:n; rc=x3(j); x3(j)=b3(j)/a3(j,j); for k=1:j-1; x3(j)=x3(j)-a3(j,k)*x3(k)/a3(j,j);end;for k=j+1:n; x3(j)=x3(j)-a3(j,k)*x3(k)/a3(j,j);end;x3(j)=(1-ss)*rc+ss*x3(j);end;end;x3實驗結果及其分析：給定各分量為1的解，計算出右端作為問題。1 選擇問題的維數(shù)為6時：用gauss消去法求得的解與

43、精確解一致；取初始向量為0，用j迭代方法迭代出現(xiàn)發(fā)散的不穩(wěn)定現(xiàn)象，無法求解；取初始向量為0，用gs迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，但收斂非常緩慢，當?shù)螖?shù)取得相當大（100000次）時解仍在精確解附近波動；取初始向量為0，用sor迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，當松弛因子去1.25左右時收斂較gs迭代快一些，但仍非常緩慢。2 選擇問題的維數(shù)為20時：用gauss消去法求得的解與精確解相差很大，相差10的量級。取初始向量為0，用j迭代方法迭代發(fā)散，無法求解；取初始向量為0，用gs迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，但收斂非常緩慢，迭代100000次后，算得的值與精確值1相差0.001的量級。取初始向量為

44、0，用sor迭代方法迭代不發(fā)散，能求得解，但收斂非常緩慢。從上面的結果可以看出當病態(tài)問題的階數(shù)升高時作為直接法的gauss消去法又能求解變成不能求解。而gs和sor迭代法在階數(shù)升高時仍能求解。但在階數(shù)較低時直接法能求得精確解而迭代發(fā)卻總存在一定的誤差?？梢娭苯臃ㄅc迭代法各有各的優(yōu)勢與不足。關于病態(tài)問題的求解，主要的方法是對原方程作某些預處理，以降低系數(shù)矩陣的條件數(shù)?？梢圆扇⑾禂?shù)矩陣a的每一行本別乘上適當常數(shù)的方法。即找到可逆的對角陣和使方程組化為 理論上最好選擇對角陣滿足：實驗七 非線性方程求根實驗7.1（迭代法、初始值與收斂性）實驗目的：初步認識非線性問題的迭代法與線性問題迭代法的差別，探討迭代法及初始值與迭代收斂性的關系。問題提出：迭代法是求解非線性方程的基本思想方法，與線性方程的情況一樣，其構造方法可以有多種多樣，但關鍵是怎樣才能使迭代收斂且有較快的