高中立體幾何證明方法及例題教育試題

1、（一）平行與垂直關(guān)系的論證 由判定定理和性質(zhì)定理構(gòu)成一套完整的定理體系，在應(yīng)用中：低一級(jí)位置關(guān)系判定高一級(jí)位置關(guān)系；高一級(jí)位置關(guān)系推出低一級(jí)位置關(guān)系，前者是判定定理，后者是性質(zhì)定理。 1. 線線、線面、面面平行關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 2. 線線、線面、面面垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 3. 平行與垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化： 4. 應(yīng)用以上“轉(zhuǎn)化”的基本思路“由求證想判定，由已知想性質(zhì)?！?5. 唯一性結(jié)論：   1. 三類角的定義： （1）異面直線所成的角：0°90° （2）直線與平面所成的角：0°90° （3）二面角：二面角的平面角，0°180° 2.

2、三類角的求法：轉(zhuǎn)化為平面角“一找、二作、三算”即：（1）找出或作出有關(guān)的角；（2）證明其符合定義；（3）指出所求作的角； （4）計(jì)算大小?！镜湫屠}】（一）與角有關(guān)的問(wèn)題 例1. （1）如圖，e、f分別為三棱錐pabc的棱ap、bc的中點(diǎn)，pc10，ab6，ef7，則異面直線ab與pc所成的角為（ ）a. 60°b. 45°c. 30°d. 120°解：取ac中點(diǎn)g，連結(jié)eg、fg，則egf為ab與pc所成的角在egf中，由余弦定理，ab與pc所成的角為180°120°60°選a （2）已知正四棱錐以棱長(zhǎng)為1的正方

3、體的某個(gè)面為底面，且與該正方體有相同的全面積，則這一正四棱錐的側(cè)棱與底面所成的角的余弦值為（ ）解：選a 點(diǎn)p到平面qef的距離為定值；直線pq與平面pef所成的角為定值；二面角pefq的大小為定值；三棱錐pqef的體積為定值其中正確命題的序號(hào)是_。解：對(duì)，錯(cuò)值，對(duì)綜上，正確。  例2. 圖是一個(gè)正方體的表面展開(kāi)圖，mn和pq是兩條面對(duì)角線，請(qǐng)?jiān)趫D（2）的正方體中將mn，pq畫(huà)出來(lái)，并就這個(gè)正方體解答下列各題：（1）求mn和pq所成角的大??；（2）求四面體mnpq的體積與正方體的體積之比；（3）求二面角mnqp的大小。解：（1）如圖，作出mn、pqpqnc，又mnc為正三角

4、形mnc60°pq與mn成角為60° 即四面體mnpq的體積與正方體的體積之比為1：6（3）連結(jié)ma交pq于o點(diǎn)，則mopq又np面paqm，npmo，則mo面pnq過(guò)o作oenq，連結(jié)me，則menqmeo為二面角mnqp的平面角在rtnmq中，me·nqmn·mq設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為ameo60°即二面角mnqp的大小為60°。  例3. 如圖，已知四棱錐pabcd，pbad，側(cè)面pad為邊長(zhǎng)等于2的正三角形，底面abcd為菱形，側(cè)面pad與底面abcd所成的二面角為120°。（1）求點(diǎn)p到平面abcd的距離；（2

5、）求面apb與面cpb所成二面角的大小。解：（1）作po平面abcd，垂足為o，連結(jié)ob、oa、od，ob與ad交于點(diǎn)e，連結(jié)peadpb，adob（根據(jù)_）papd，oaod于是ob平分ad，點(diǎn)e為ad中點(diǎn)peadpeb為面pad與面abcd所成二面角的平面角peb120°，peo60°即為p點(diǎn)到面abcd的距離。（2）由已知abcd為菱形，及pad為邊長(zhǎng)為2的正三角形paab2，又易證pbbc故取pb中點(diǎn)g，pc中點(diǎn)f則agpb，gfbc又bcpb，gfpbagf為面apb與面cpb所成的平面角gfbcad，agfgae連結(jié)ge，易證ae平面pob（2）解法2：如圖建立

6、直角坐標(biāo)系，其中o為坐標(biāo)原點(diǎn)，x軸平行于da （二）與距離有關(guān)的問(wèn)題 例4. （1）已知在abc中，ab9，ac15，bac120°，它所在平面外一點(diǎn)p到abc三個(gè)頂點(diǎn)的距離都是14，那么點(diǎn)p到平面abc的距離是（ ）a. 13b. 11c. 9d. 7 解：設(shè)點(diǎn)p在abc所在平面上的射影為opapbpc，o為abc的外心abc中，ab9，ac15，bac120° 長(zhǎng)度為_(kāi)。解：（采用展開(kāi)圖的方法）點(diǎn)評(píng)：此類試題，求沿表面運(yùn)動(dòng)最短路徑，應(yīng)展開(kāi)表面為同一平面內(nèi)，則線段最短。但必須注意的是，應(yīng)比較其各種不同展開(kāi)形式中的不同的路徑，取其最小的一個(gè)。 

7、（3）在北緯45°圈上有甲、乙兩地，它們的經(jīng)度分別是東經(jīng)140°與西經(jīng)130°，設(shè)地球半徑為r，則甲、乙兩地的球面距離是（ ）解：（o1為小圓圓心）aob為正三角形（o為球心）選d  例5. 如圖，四棱錐pabcd，底面abcd是矩形，pa平面abcd，e、f分別是ab、pd中點(diǎn)。（1）求證：af平面pec；距離。解：g為pc中點(diǎn)，連結(jié)fg、eg又f為pd中點(diǎn)四邊形aegf為平行四邊形af平面pec（2）cdad，又pa面abcdad為pd在面abcd上射影cdpdpda為二面角pcdb的平面角，且pda45°則pad為等腰直角三角形afpd，

8、又cd平面padcdafaf面pcd作fhpc于h，則affh又egaf，egfhfh面pec，fh為f到面pec的距離在rtpeg中，fh·pgpf·fg方法2：（體積法）af面pec，故只要求點(diǎn)a到面pec的距離d易證af面pcd，eg面pcdegpc  （三）對(duì)命題條件的探索 例6. （1）如圖已知矩形abcd中，ab3，bca，若pa平面abcd，在bc邊上取點(diǎn)e，使pede，則滿足條件e點(diǎn)有兩個(gè)時(shí)，a的取值范圍是（ ）解：pa面abcd，pede由三垂線定理的逆定理知pe的射影aebe所以滿足條件的點(diǎn)e是以ad為直徑的圓與bc的交點(diǎn)，要有兩個(gè)交點(diǎn)，則ad

9、2ab6選a （2）如圖，在三棱柱abca'b'c'中，點(diǎn)e、f、h、k分別為ac'、cb'、a'b、b'c'的中點(diǎn)，g為abc的重心，從k、h、g、b'中取一點(diǎn)作為p，使得該棱柱恰有2條棱與平面pef平行，則p為（ ）a. kb. hc. gd. b分析：從題目中的“中點(diǎn)”條件，聯(lián)想到“中位線”。而平面pef中，ef為定直線，連bc'則f為bc'中點(diǎn)考慮到若p為k點(diǎn)，則還有aa'、bb'、cc'都平行于fk即它們也都平行于平面pef，不合題意。同理p也不能為h點(diǎn)，若p為b

10、'點(diǎn)時(shí)，ef與b'a'共面也不符合題意（這時(shí)只有一條棱平行于平面pef），可見(jiàn)只能取g點(diǎn)。故選c  例7. 置；若不存在，說(shuō)明理由。置；解：（1）（用反證法）不存在點(diǎn)p滿足題目條件（2）過(guò)b作bhap于h，連ch即bhc是二面角capb的平面角bah30°下面求q點(diǎn)的位置。 （四）對(duì)命題結(jié)論的探索 例8. 并且總保持apbd1，則動(dòng)點(diǎn)p的軌跡是（ ）分析：從條件apbd1出發(fā)，可知ap必在過(guò)a點(diǎn)且與bd1垂直的平面b1ac上點(diǎn)p必在b1c上選a （2）如圖，斜三棱柱abca1b1c1中，bac90°，bc1ac，則c1在

11、底面abc上的射影h必在（ ）a. 直線ab上b. 直線bc上c. 直線ca上d. abc內(nèi)部解：連結(jié)ac1acab，又acbc1ac面abc1則c在面abc上的射影必在交線ab上選a  例9. 在四面體abcd中，abbc，abbd，bccd，且abbc1。（1）求證：平面cbd平面abd；（2）是否存在這樣的四面體，使二面角cadb的平面角為30°？如果存在，求出cd的長(zhǎng)；如果不存在，請(qǐng)找出一個(gè)角，使得存在這樣的四面體，使二面角cadb的平面角為。解：（1）abbc，abbd面abd面cbd（2）設(shè)cdx，在面cbd內(nèi)作cebd于e由（1）知平面abd面bcd，且bd為

12、交線ce平面abd作efad于f，連結(jié)cf，則cfadcfe為“二面角”cadb的平面角，且cfe30°又在rtbcd中，ce·bdcb·cd又cdbc，又bc為ac在面bcd上射影cdac則在rtacd中，cf·adac·cd故不存在這樣的四面體，使二面角cadb的平面角為30°故可以取45°90°之間的任意角。點(diǎn)評(píng)：本題是一道存在性的探索問(wèn)題。常常假定結(jié)論成立，再判斷它與已知條件是否符合。 【模擬試題】一. 選擇題。 1. pa、pb、pc是從p引出的三條射線，兩兩成60°，則pc與平面pa

13、b所成角的余弦值是（ ）a. b. c. d. 2. 在邊長(zhǎng)為1的菱形abcd中，abc60°，將菱形沿對(duì)角線ac折起，使折起后bd1，則二面角bacd的余弦值為（ ）a. b. c. d. 3. 三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，底面上一點(diǎn)到三個(gè)側(cè)面的距離分別是2，3，6，則這個(gè)點(diǎn)到三棱錐頂點(diǎn)的距離是（ ）a. b. c. 7d. 4. 已知a、b、c是球面上的三點(diǎn)，且ab6，bc8，ac10，球 心o到平面abc的距離為，則球的表面積為（ ）a. b. c. d. 5. abc邊上的高線為ad，且，將abc沿ad折成大小為的二面角badc，若，則三棱錐abcd的側(cè)面abc是（ ）a. 銳

14、角三角形b. 鈍角三角形c. 直角三角形d. 形狀與a，b的值有關(guān)的三角形 6. 有一塔形幾何體由若干個(gè)正方體構(gòu)成，構(gòu)成方式如圖所示，上層正方體的下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下層正方體上底面各邊的中點(diǎn)，已知最底層正方體的棱長(zhǎng)為2，且該塔形的表面積（含最底層正方體的底面積）超過(guò)39，則該塔中正方體的個(gè)數(shù)至少是（ ）a. 4b. 5c. 6d. 7 二. 填空題。 7. 如圖，在三棱錐pabc中，且，則pa與底面abc所成角的大小為_(kāi)。 8. 如圖，矩形abcd中，沿ac把dac折起，當(dāng)四面體的體積最大時(shí)，直線ad與平面abg所成角的正弦值是_。 9. 如圖，正方體棱長(zhǎng)為1，m、n分別為中點(diǎn)，則點(diǎn)

15、c到截面mndb的距離是_。 三. 解答題。 10. 如圖，正三角形abc的邊長(zhǎng)為3，過(guò)其中心g作bc邊的平行線，分別交ab、ac于，將沿折起到的位置，使點(diǎn)在平面上的射影恰是線段bc的中點(diǎn)m，求：（1）二面角的大?。唬?）異面直線與所成角的大小。（用反三角函數(shù)表示） 11. 如圖，已知正方形abcd和矩形acef所在的平面互相垂直，af1，m是線段ef的中點(diǎn)。（1）求證：am平面bde；（2）求二面角adfb的大??；（3）試在線段ac上確定一點(diǎn)p，使得pf與bc所成的角是60°。 11. 解：（1）記ac與bd交于點(diǎn)o，連結(jié)oeo、m分別是ac、ef的中點(diǎn)，ace

16、f是矩形四邊形aoem是平行四邊形amoe，平面bde，平面bedam平面bde（2）abaf，abad，ab平面adf，作asdf于s，連bs由三垂線定理，得bsdfbsa是二面角adfb的平面角在rtasb中，二面角adfb的大小為60°（3）設(shè)，作pqab于q，則pqadpqab，pqaf，pq面abfpqqf在rtpqf中，fpq60°，pf2pqpaq為等腰直角三角形又paf為直角三角形或（舍）即點(diǎn)p是ac的中點(diǎn)【試題答案】一. 選擇題。 1. c2. a3. c4. c5. c 6. c提示：假設(shè)有n個(gè)正方體構(gòu)成，其表面積由二部分組成：（1）俯視圖、表面只有一個(gè)

17、正方形，其邊長(zhǎng)為2。（2）側(cè)面則由4n個(gè)正方形構(gòu)成，且各層（從下往上看）正方形面積構(gòu)成一個(gè)首項(xiàng)為4，公比為的等比數(shù)列。表面積n的最小值為6二. 填空題。 7. 提示：由題意，p點(diǎn)在面abc上的射影h是abc外心，h為bc中點(diǎn)） 8. 9. 提示：，即三. 解答題。 10. （1）連結(jié)am，abc為正三角形，m為bc邊中點(diǎn)a、g、m三點(diǎn)共線，ambc即是二面角的平面角點(diǎn)在平面上的射影為m在中，由得即二面角的大小是60°（2）過(guò)作交bc于p，則為異面直線與所成的角由是平行四邊形得：于m在中，在中，在中，由余弦定理異面直線與所成的角為 11. 解：（1）記ac與bd交于點(diǎn)o，連結(jié)oeo、m

18、分別是ac、ef的中點(diǎn)，acef是矩形四邊形aoem是平行四邊形amoe，平面bde，平面bedam平面bde（2）abaf，abad，ab平面adf，作asdf于s，連bs由三垂線定理，得bsdfbsa是二面角adfb的平面角在rtasb中，二面角adfb的大小為60°（3）設(shè)，作pqab于q，則pqadpqab，pqaf，pq面abfpqqf在rtpqf中，fpq60°，pf2pqpaq為等腰直角三角形又paf為直角三角形或（舍）即點(diǎn)p是ac的中點(diǎn) 【勵(lì)志故事】機(jī)會(huì)的意義一個(gè)人在海上遇難，漂流到了一個(gè)小島上，他建了個(gè)小木房，還儲(chǔ)存了一些食物在里面。每天他想盡辦法尋找生機(jī)，一大早就要登上高處張望?？梢粋€(gè)星期過(guò)去了，一只木船的影子也沒(méi)看見(jiàn)。 這天，他正在岸邊張望，突然狂風(fēng)大作，雷電轟鳴。一回頭，他看見(jiàn)自己的木棚方向升起濃煙，他急忙跑回去，原來(lái)雷電點(diǎn)燃了他