信號與線性系統(tǒng)教學(xué)資料第5講

1、第3章 連續(xù)信號的正交分解 3.4-3.5周期信號的頻譜，非周期信號的頻譜，傅里葉變換2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講2 矢量分解與正交矢量空間 正交函數(shù)集的定義,正交函數(shù)集的完備性 函數(shù)在正交函數(shù)集的分解 復(fù)變正交函數(shù)集的定義 三角、指數(shù)函數(shù)集構(gòu)成正交函數(shù)集 三角傅立葉級數(shù)， 信號表示為三角傅立葉級數(shù)的分量表示 信號可表示為傅立葉級數(shù)的條件 指數(shù)傅立葉級數(shù)，復(fù)振幅系數(shù)，以及與三角級數(shù)系數(shù)的關(guān)系 關(guān)于信號用傅立葉級數(shù)表示的幾點(diǎn)說明 物理意義、正交函數(shù)集的范疇、被表達(dá)函數(shù)的周期性2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講32021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講4( )1ft( )1ft

2、022ttktttktt00002()02() c o s ()04 1 , 3 , 5 , . . . .2() s i n ()0 ttntnaftd ttaftntd ttnbftntd tnt411( )sin()sin(3)sin(5).35ftttt110t/2ttf(t)2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講5 離散性頻譜是不連續(xù)的線條。 諧波性線條只出現(xiàn)在諧波位置。 收斂性譜線高度為該諧波的振幅，總趨勢是收斂的2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講6 脈沖幅度為a 脈沖寬度為 脈沖重復(fù) 周期t 一個(gè)周期內(nèi)表達(dá)式 展開為指數(shù)傅里葉級數(shù) 復(fù)振幅表示為f(t)a-t022t周期性

3、矩形脈沖信號周期性矩形脈沖信號t2t2t)(tfa02t2t22222sin()sin()1122( )2tjntjnttnnaaf t edtaedtntttntnc2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講7( )()jntjntnnanftesaett nc0atc)(22tnsatacannxsinxxsa)(抽樣抽樣函數(shù)函數(shù) sin()sin()2()2nnaaantsanntttttnc2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講8抽樣函數(shù)sa(x) 令t=5 ,在n=0,n=1,n=2,， 求a0、a1、a2各次諧波振幅。 用相應(yīng)長度線段代表,并按頻率高低排列，得振幅頻譜。 三種振幅頻

4、譜表示方式 復(fù)數(shù)振幅an 振幅頻譜an=|an| 指數(shù)級數(shù)系數(shù)cnsa(x)sa(x) 0 2 0 2 a an n0 0 2/ 4/ 2/ 4/ 0 0 2/ 4/ 2/ 4/ |a|an n| |c cn n0 0 2/ 4/ 2/ 4/ 2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講9復(fù)數(shù)振幅an一般為復(fù)函數(shù)，當(dāng)an為實(shí)函數(shù)時(shí)可用幅度正、負(fù)表示相位為0和，形成幅度譜和相位譜合一，否則就必須分解為振幅頻譜和相位頻譜表示；振幅頻譜an=|an|為實(shí)數(shù)，僅僅對幅度描述；指數(shù)級數(shù)系數(shù)cn是復(fù)函數(shù)，引入了負(fù)頻率變量，同時(shí)，振幅幅度減半。2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講10 /t對頻譜結(jié)構(gòu)的影響

5、不變而t增大時(shí)： 譜線變密。因=2/t，故t ； 譜線高度減小。an與t成反比 t 不變而 減小時(shí) 振幅過零點(diǎn)諧波頻率提高。包絡(luò)形狀的變化 整個(gè)頻譜振幅相應(yīng)減小，收斂速度降低。 0 , t 譜線密集成連續(xù) 振幅趨近零且平坦無過零點(diǎn) 這就是沖激函數(shù)的頻譜02a5an n=0 n= n= n=0n 2 (a) t=5 4 6 0a5ann2 (b) t=10 2 4 6 0a10ann4 (c) t=20 2 4 6 )2(2)(2nsatatnsataan2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講11 頻帶寬度定義： 對于一個(gè)信號，從零頻率開始到需要考慮的最高分量的這一頻率范圍，是信號所占有的頻帶

6、寬度，簡稱頻寬。 一般以振幅第一個(gè)過零點(diǎn)為頻帶寬度。 若振幅沒有過零點(diǎn)，則以振幅下降到最高幅度的10%所對應(yīng)的頻率點(diǎn)為頻寬。 信號的時(shí)間特性和頻率特性間的關(guān)系 時(shí)間函數(shù)中變化較快的信號必定具有較寬的頻帶。2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講12 四種對稱關(guān)系 偶函數(shù) ：對稱縱軸 奇函數(shù) ：對稱原點(diǎn) 奇諧函數(shù) ：半周期鏡像 偶諧函數(shù)：半周期重疊( )()f tft)2()(nttftf)2()(nttftf( )( )f tft2)()()(tftftfe2)()()(tftftfo)()()(tftftfoen任意函數(shù)任意函數(shù)f(t)的奇、偶分量表示法：的奇、偶分量表示法：2021-10-

7、31信號與線性系統(tǒng)第5講13 周期函數(shù)展開為三角傅里葉級數(shù) 偶函數(shù)項(xiàng) 奇函數(shù)項(xiàng) 余弦函數(shù)為偶函數(shù)，正弦函數(shù)為奇函數(shù) 偶函數(shù)只有直流分量和余弦項(xiàng) 奇函數(shù)只有正弦項(xiàng) 奇諧函數(shù)只有奇數(shù)諧波項(xiàng) 偶諧函數(shù)只有偶數(shù)諧波項(xiàng))sincos(2)(10tnbtnaatfnnn2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講14 an是實(shí)數(shù) bn0 cn是實(shí)數(shù)( )jntnnftce 0024( ) c o sttntaftntd tt2nnnacc01( )c o s2nnaftant.)5cos2513cos91(cos42)(2ttteetf-t/2ef(t)t/2t2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講15 a

8、n a0 0 bn是實(shí)數(shù) cn是虛數(shù)( )jntnnftce 0024( ) s inttntbftntd tt2nnnbccj 1( )s innnftbnte/2-e/2t/2 -t/2f(t)t 0.)3sin312sin21(sin)(tttetf2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講16l 沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；l 符號反轉(zhuǎn)；l 波形不變； 偶次諧波系數(shù)為0a2n=b2n=0t/2-t/20tdttntftatn.) 12cos()(42012dttntftbtn.) 12sin()(420122021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講17l 沿時(shí)間軸移半個(gè)周期；l 波形不變；l 奇次

9、諧波系數(shù)為0l 可看成t1=t/2的周期函數(shù)l 作為周期t分析，系數(shù)為l 作為周期t1分析，系數(shù)為 f(t)t/2-t/20t-ttdttntftatn202)2cos()(4dttntftbtn202)2sin()(41121122( ) co s()ttnaftnt d tt1121122( ) sin ()ttnbftnt d tt1120122( )ttaft d tt0n 2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講18函數(shù)為周期偶函數(shù)且奇諧函數(shù)函數(shù)為周期偶函數(shù)且奇諧函數(shù)只含基波和奇次諧波的余弦分量只含基波和奇次諧波的余弦分量函數(shù)為周期奇函數(shù)且奇諧函數(shù)函數(shù)為周期奇函數(shù)且奇諧函數(shù)只含基波和

10、奇次諧波的正弦分量只含基波和奇次諧波的正弦分量t/2-t/2t/2-t/22021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講19函數(shù)為偶諧函數(shù)函數(shù)為偶諧函數(shù)含有直流分量和偶次諧波分量含有直流分量和偶次諧波分量函數(shù)為奇函數(shù)函數(shù)為奇函數(shù)只含有正弦分量只含有正弦分量函數(shù)為偶函數(shù)且偶諧函數(shù)函數(shù)為偶函數(shù)且偶諧函數(shù)含有直流分量和偶次余弦分量含有直流分量和偶次余弦分量t/2-t/2t/2-t/2t/2-t/22021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講20對稱情況對稱情況偶函數(shù)偶函數(shù)f(t)=f(-t)奇函數(shù)奇函數(shù)f(t)=-f(-t)性質(zhì)性質(zhì)只有常數(shù)項(xiàng)只有常數(shù)項(xiàng)及余弦項(xiàng)及余弦項(xiàng)20)(2tdttfta0an (n 0)

11、20cos)(4ttdtntft20sin)(4ttdtntftn=1,2,3,bn0只有正弦項(xiàng)只有正弦項(xiàng)00 偶諧函數(shù)偶諧函數(shù)f(t)=f(t) 只有偶次諧波只有偶次諧波只有奇次諧波只有奇次諧波20)(2tdttft20cos)(4ttdtntftn=2，4，6，n=1, 2, 3, 20sin)(4ttdtntftn=2，4，6，奇諧函數(shù)奇諧函數(shù)f(t)=-f(t)020cos)(4ttdtntftn=1，3，5，20sin)(4ttdtntftn=1，3，5，2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講21討論周期脈沖信號的頻譜函數(shù)時(shí)候發(fā)現(xiàn)周期無窮大成為非周期信號，頻譜譜線密集變得連續(xù)，幅度

12、收縮為無窮??；如何表示整體無窮小但仍有相對振幅差別的非周期信號頻譜？通過對頻譜的定義公式乘t/2，可以保持振幅之間的相對大小關(guān)系，由此產(chǎn)生一個(gè)對非周期信號頻譜有意義的定義；考慮t趨向無窮大，對于原信號傅里葉級數(shù)求和表達(dá)式進(jìn)行積分轉(zhuǎn)化，得到一個(gè)很有用途的新的定義：2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講22 定義f(t)為ft(t)在t 的非周期函數(shù) 周期函數(shù)ft(t)的復(fù)振幅表示為 兩邊乘t，當(dāng)t時(shí)，極限量用符號f(j)表示； 當(dāng)t時(shí)，趨于無窮小用d 表示， n趨于； f(j)的量綱為：單位頻帶的振幅，稱其為原函數(shù)f(t)的頻譜密度函數(shù)。221( )tjntttcft ed ttn22()li

13、mlim( )tjnttntttf jt cft edtdtetfjftj)()(2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講23 f(j)表示為復(fù)函數(shù) 幅度頻譜|f(j)| 相位頻譜() 復(fù)函數(shù)的共軛性 ()()()jfjfjedtetfjftj)()(dtetfjftj)()(n若若f(t)為實(shí)函數(shù)，則為實(shí)函數(shù)，則f(j )和和f(-j )共軛，有下列結(jié)果共軛，有下列結(jié)果n f*(j ) = f(-j )n進(jìn)而推導(dǎo)，由于進(jìn)而推導(dǎo)，由于 f(j ) = | f(j )|e -j ( )n 則有則有 f* (j ) =|f(j )|e j ( ) f(-j ) =|f(-j )|e -j (- )

14、n上面兩個(gè)復(fù)函數(shù)相等，則函數(shù)的模和相角都相等，有下面等式上面兩個(gè)復(fù)函數(shù)相等，則函數(shù)的模和相角都相等，有下面等式n | f(j )| = | f(-j )| 和和 ( ) = - (- )n結(jié)論：結(jié)論：2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講24f(j)表達(dá)f(t)tjnntttjntntjnntedtetftectf22)(1)(dtnd22,dedtetftftftjtjtt)(21)(lim)(dejftj)(21dtetfjftj)()(dejftftj)(21)(正正反反2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講25非周期信號進(jìn)行傅里葉積分也要滿足狄利克雷條件。（有限間斷點(diǎn)、有限極值和積

15、分收斂）絕對可積條件的積分表達(dá)式，為以下積分收斂這是一個(gè)充分條件，不是必要條件；后面要介紹的周期函數(shù)的傅里葉變換表現(xiàn)出：函數(shù)雖然不是絕對可積，但存在傅里葉變換。() ftd t 2021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講26寬度，幅度a的單脈沖信號（門函數(shù)）傅里葉變換tf (t)a202f(t) =a | t | /2 dtetfjftj)()(22dteatj222()sin22jjaaeeja sa f(j)f(j) aa 0 0 4262021-10-31信號與線性系統(tǒng)第5講27包絡(luò)外形是抽樣函數(shù)，幅度是a 乘積頻譜具有收斂性，即信號的大部分能量都集中在低頻段；過0點(diǎn)在為周期對應(yīng)的角頻率的整數(shù)倍位置與周期脈沖頻譜的異同包絡(luò)外形一致，原來以周期t的角頻率作為基波，只在基波與諧波有值現(xiàn)在是連續(xù)函數(shù)當(dāng)減小時(shí)，頻譜的收斂速度變慢，即脈寬與頻寬成反比當(dāng)趨近0時(shí)，單脈沖