a小學(xué)數(shù)學(xué)奧賽7-7-1容斥原理之重疊問題(一).教師版

1、7-7-1.容斥原理之重疊問題（一）教學(xué)目標(biāo)1 . 了解容斥原理二量重疊和三量重疊的內(nèi)容；2 .掌握容斥原理的在組合計(jì)數(shù)等各個(gè)方面的應(yīng)用.即住知識(shí)要點(diǎn)一、兩量重疊問題在一些計(jì)數(shù)問題中，經(jīng)常遇到有關(guān)集合元素個(gè)數(shù)的計(jì)算.求兩個(gè)集合并集的元素的個(gè)數(shù)，不能簡(jiǎn)單地把兩個(gè)集合的元素個(gè)數(shù)相加，而要從兩個(gè)集合個(gè)數(shù)之和中減去重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)，即減去交集的元素個(gè)數(shù)，用式子可表示成： AUB A B AI B （其中符號(hào) U”讀作 并”，相當(dāng)于中文 和”或者 或”的意思；符號(hào)I ”讀作交”，相當(dāng)于中文 部分，B表示大圓部分, 部分，B表示大圓部分,且”的意思.）則稱這一公式為包含與排除原理，簡(jiǎn)稱容斥原理.圖示如下

2、：A表示小圓C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AI B,即陰影面積.圖示如下：A表示小圓C表示大圓與小圓的公共部分，記為：AI B,即陰影面積.先包含一一A B重疊部分AI B計(jì)算了 2次，多加了 1次;2.再排除一一A B AI B把多加了 1次的重疊部分 AI B減去.包含與排除原理告訴我們，要計(jì)算兩個(gè)集合A B的并集AUB的元素的個(gè)數(shù)，可分以下兩步進(jìn)行：第一步：分別計(jì)算集合 A B的元素個(gè)數(shù)，然后加起來(lái)，即先求 A B （意思是把A B的一切元素都 包含”進(jìn) 來(lái)，加在一起）;第二步：從上面的和中減去交集的元素個(gè)數(shù)，即減去 C AI B（意思是 排除”了重復(fù)計(jì)算的元素個(gè)數(shù)）.、三量重疊問題

3、A類、B類與C類元素個(gè)數(shù)的總和 A類元素的個(gè)數(shù) B類元素個(gè)數(shù) C類元素個(gè)數(shù) 既是A類又是B類 的元素個(gè)數(shù) 既是B類又是C類的元素個(gè)數(shù) 既是A類又是C類的元素個(gè)數(shù) 同時(shí)是A類、B類、C類的元 素個(gè)數(shù).用符號(hào)表示為： AU B UC A B C AI B BIC AI C AIBIC.圖示如下：圖中小圓表示 A的元素的個(gè)數(shù)，中圓表示 B的元素的個(gè)數(shù)， 大圓表示C的元素的個(gè)數(shù).、B C、B、BI C、CI A重疊了 2次，多加了 1次.B C AI B BI C AI CB I C重疊了 3次，但是在進(jìn)行 ABCAI B BI C AI C計(jì)算時(shí)都被減掉了.X3W 含：A B C AI B BI C

4、 AI C AI B I C在解答有關(guān)包含排除問題時(shí)，我們常常利用圓圈圖（韋恩圖）來(lái)幫助分析思考.目twig例題精講兩量重疊問題【例1】小明喜歡：踢足球、上網(wǎng)、游泳、音樂、語(yǔ)文、數(shù)學(xué)；小英喜歡：數(shù)學(xué)、英語(yǔ)、音樂、陶藝、跳 繩。用圓A、圓B分別表示小明、小英的愛好，如圖所示，則圖中陰影部分表示 【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 3題【解析】陰影部分是兩人都愛好的：數(shù)學(xué)、音樂【答案】數(shù)學(xué)、音樂【例2】 四（1）班全體同學(xué)站成一排，當(dāng)從左向右報(bào)數(shù)時(shí),小華報(bào):18;當(dāng)從右向左報(bào)數(shù)時(shí)，小華報(bào)：13.那么該班有學(xué)生【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，

5、二試,名°【題型】填空2題【例3】該班學(xué)生人數(shù)為：1830名實(shí)驗(yàn)小學(xué)四年級(jí)二班,13 1 30 （名）。參加語(yǔ)文興趣小組的有28人，參加數(shù)學(xué)興趣小組的有 29人，有12人兩個(gè)小組都參加.這個(gè)班有多少人參加了語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組?兩量重疊問題【難度】1星【解析】如圖所示，A圓表示參加語(yǔ)文興趣小組的人，B圓表示參加數(shù)學(xué)興趣小組的人，A與B重合的部分C （陰影部分）表示同時(shí)參加兩個(gè)小組的人.圖中 加數(shù)學(xué)興趣小組的人，有 28 12 16（人）；圖中 加語(yǔ)文興趣小組的人，有 29 12 17（人）. 方法一：由此得到參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的有： 方法二：根據(jù)包含排除法，直接可得：A圓不含陰影的

6、部分表示只參加語(yǔ)文興趣小組未參 B圓不含陰影的部分表示只參加數(shù)學(xué)興趣小組未參16 12 17 45（人）.參加語(yǔ)文或數(shù)學(xué)興趣小組的人參加語(yǔ)文興趣小組的人參加數(shù)學(xué)興趣小組的人兩個(gè)小組都參加的人，即：2845人29 12 45（人）.芳草地小學(xué)四年級(jí)有 58人學(xué)鋼琴, 的分別有多少人？43人學(xué)畫畫，37人既學(xué)鋼琴又學(xué)畫畫，問只學(xué)鋼琴和只學(xué)畫畫兩量重疊問題【難度】1星【題型】解答解包含與排除題，畫圖是一種很直觀、簡(jiǎn)捷的方法，可以幫助解決問題，畫圖時(shí)注意把不同的對(duì)象與不同的區(qū)域?qū)?yīng)清楚.建議教師幫助學(xué)生畫圖分析，清楚的分析每一部分的含義.如圖，A圓表示學(xué)畫畫的人， B圓表示學(xué)鋼琴的人，C表示既學(xué)鋼琴又

7、學(xué)畫畫的人，圖中A圓不含陰影的部分表示只學(xué)畫畫的人，有：43 37 6（人），圖中B圓不含陰影的部分表示只學(xué)鋼琴的人，有：58 37 21（人）.【答案】21人【鞏固】四（二）班有48名學(xué)生，在一節(jié)自習(xí)課上，寫完語(yǔ)文作業(yè)的有30人，寫完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 20人，語(yǔ)文數(shù)學(xué)都沒寫完的有 6人. 問語(yǔ)文數(shù)學(xué)都寫完的有多少人？ 只寫完語(yǔ)文作業(yè)的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【題型】解答【解析】 由題意，有48 6 42（人）至少完成了一科作業(yè)，根據(jù)包含排除原理，兩科作業(yè)都完成的學(xué)生有：30 20 42 8（人）.只寫完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)寫完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)-語(yǔ)文數(shù)學(xué)都寫完的人數(shù)，即 30 8 22（

8、人）.【答案】22人【鞏固】四（1）班有46人，其中會(huì)彈鋼琴的有 30人，會(huì)拉小提琴的有 28人，則這個(gè)班既會(huì)彈鋼琴又會(huì)拉 小提琴的至少有 人?！究键c(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第6題【解析】 至少一項(xiàng)不會(huì)的最多有（46-30）+（46-28）=34,那么兩項(xiàng)都會(huì)的至少有 46-34=12人【答案】12AB【例4】 如圖，圓A表示1到50這50個(gè)自然數(shù)中能被 3整除的數(shù)，圓B表示這50個(gè)數(shù)中能被5整除的數(shù), 則陰影部分表示的數(shù)是 ?！究键c(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】希望杯，四年級(jí)，二試，第 4題【解析】陰影部分是A和B共有的，即1至

9、IJ 50這50個(gè)自然數(shù)中能被 3X5=15整除的數(shù)，即15, 30, 45【答案】15, 30, 45【例5】 學(xué)校為了豐富學(xué)生的課余生活，組建了乒乓球俱樂部和籃球俱樂部，同學(xué)們踴躍報(bào)名參加，其中有321人報(bào)名參加乒乓球俱樂部，429人報(bào)名參加了籃球俱樂部，但學(xué)校最后發(fā)現(xiàn)有50人既報(bào)名參加了乒乓球俱樂部，又報(bào)名參加了籃球俱樂部，還有23人什么俱樂部都沒報(bào)名，問該學(xué)校共有名學(xué)生.【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】學(xué)而思杯，4年級(jí)，第5題【解析】321 429 50 23 723人【答案】723人【例6】 某班共有46人，參加美術(shù)小組的有 12人，參加音樂小組的有 23人，有

10、5人兩個(gè)小組都參加了.這 個(gè)班既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【題型】解答【解析】已知全班總?cè)藬?shù)，從反面思考，找出參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)，只需用全班總?cè)藬?shù)減去這個(gè)人數(shù)， 就得到既沒參加美術(shù)小組也沒參加音樂小組的人數(shù).根據(jù)包含排除法知，該班至少參加了一個(gè)小組 的總?cè)藬?shù)為12 23 5 30（人）.所以，該班未參加美術(shù)或音樂小組的人數(shù)是46 30 16（人）.【答案】16人【鞏固】四年級(jí)一班有45人，其中26人參加了數(shù)學(xué)競(jìng)賽，22人參加了作文比賽，12人兩項(xiàng)比賽都參加了.一 班有多少人兩項(xiàng)比賽都沒有參加？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【題型】解答【解

11、析】由包含排除法可知，至少參加一項(xiàng)比賽的人數(shù)是：26 22 12 36（人），所以，兩項(xiàng)比賽都沒有參加的人數(shù)為：45 36 9（人）.【答案】9人【鞏固】 實(shí)驗(yàn)二校一個(gè)歌舞表演隊(duì)里，能表演獨(dú)唱的有10人，能表演跳舞的有 18人，兩種都能表演的有 7人.這個(gè)表演隊(duì)共有多少人能登臺(tái)表演歌舞？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】1星【題型】解答【解析】根據(jù)包含排除法，這個(gè)表演隊(duì)能登臺(tái)表演歌舞的人數(shù)為：10 18 7 21（人）.【答案】21人【例7】 全班50個(gè)學(xué)生，每人恰有三角板或直尺中的一種，28人有直尺，有三角板的人中，男生是 14人，若已知全班共有女生 31人，那么有直尺的女生有 人?！究键c(diǎn)】?jī)闪恐?/p>

12、疊問題【難度】1星【題型】填空【關(guān)鍵詞】華杯賽，初賽，第 8題【解析】有三角板的學(xué)生共 50-28=22 （人），其中女生22-14=8 （人），那么有直尺的女生有 31-8=23 （人）?！敬鸢浮?3人12人得滿分，第一部分有25人做對(duì)，第二部分有19人有【例8】 某次英語(yǔ)考試由兩部分組成，結(jié)果全班有 錯(cuò)，問兩部分都有錯(cuò)的有多少人？?jī)刹糠侄加绣e(cuò)的【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示參加考試的人數(shù)，A圓表示第一部分對(duì)的人數(shù).B圓表示第二部分對(duì)的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩部分都有錯(cuò)的人數(shù).已知第一部分對(duì)的有 25人，全對(duì)的有12人，可知只對(duì)第一部分的有： 25

13、 12 13（人）.又因?yàn)榈诙?部分有19人有錯(cuò)，其中第一部分對(duì)第二部分有錯(cuò)的有 13人，那么余下的19 13 6（人）必是第一部分 和第二部分均有錯(cuò)的，兩部分都有錯(cuò)的有 6人.【答案】6人20人，會(huì)打籃球的有25人.兩項(xiàng)都會(huì)的有10人，兩項(xiàng)都不會(huì)的【例9】對(duì)全班同學(xué)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，會(huì)游泳的有 有9人.這個(gè)班一共有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全班人數(shù)，A圓表示會(huì)游泳的人數(shù)，B圓表示會(huì)打籃球的人數(shù)，長(zhǎng)方形中陰影部分表示兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù).由圖中可以看出，全班人數(shù)至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù) 兩項(xiàng)都不會(huì)的人數(shù)，至少會(huì)一項(xiàng)的人數(shù)為：20 25 10 35（人），全班人數(shù)

14、為：35 9 44 （人）.【答案】44人【鞏固】 某班組織象棋和軍棋比賽，參加象棋比賽的有32人，參加軍棋比賽的有 28人，有18人兩項(xiàng)比賽都參加了，這個(gè)班參加棋類比賽的共有多少人?參棋的只圍賽B項(xiàng)賽參的 兩比都加加比 參棋的 只象賽【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星 【題型】解答【解析】如圖，A圓表示參加象棋比賽的人，B圓表示參加軍棋比賽的人，A與B重合的部分表示同時(shí)參加兩項(xiàng)比賽的人.圖中A圓不含陰影的部分表示只參加象棋比賽不參加軍棋比賽的人，有 32 18 14 （人）；圖中B圓不含陰影的部分表示只 參加軍 棋比 賽不參 加象 棋比賽 的人，有 28 18 10（人）.由此得到參加棋類比賽

15、的人有14 18 10 42（人）.或者根據(jù)包含排除法直接得：32 28 18 42（人）.【答案】42人【例10】在46人參加的采摘活動(dòng)中，只采了櫻桃的有18人，既采了櫻桃又采了杏的有 7人，既沒采櫻桃又沒采杏的有6人，問：只采了杏的有多少人？既沒采櫻桃又沒采杏的【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示全體采摘人員 46人，A圓表示采了櫻桃的人數(shù), 形中陰影部分表示既沒采櫻桃又沒采杏的人數(shù).B圓表示采了杏的人數(shù).長(zhǎng)方由圖中可以看出，全體人員是至少采了一種的人數(shù)與兩種都沒采的人數(shù)之和，則至少采了一種的人數(shù)為：46 6 40（人），而至少采了一種的人數(shù)的人數(shù)，所以，

16、只采了杏的人數(shù)為：40 18 7【答案】15人只采了櫻桃的人數(shù)兩種都采了的人數(shù)只采了杏15（人）.【例11】甲、乙、丙三個(gè)小組學(xué)雷鋒，為學(xué)校擦玻璃，其中68塊玻璃不是甲組擦的，52塊玻璃不是乙組擦的，且甲組與乙組一共擦了60塊玻璃.那么，甲、乙、丙三個(gè)小組各擦了多少塊玻璃？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【解析】68塊玻璃不是甲組才§的，說(shuō)明這 68塊玻璃是乙、丙兩組擦的；52塊玻璃不是乙組才§的，說(shuō)明這 52塊玻璃是甲、丙兩組擦的.如圖，用圓A表示乙、丙兩組擦的68塊玻壬B圓表示甲、丙兩組擦的 52塊玻璃.因甲乙兩組共擦 了 60塊玻璃，那么68 52 60

17、60（塊），這是兩個(gè)丙組擦的玻璃數(shù).60 2 30（塊）.丙組擦了 30塊玻璃.乙組擦了： 68 30 38（塊）玻璃，甲組擦了： 52 30 22（塊）玻璃.【答案】甲組擦了：52 30 22（塊）玻璃，乙組擦了： 68 30 38（塊）玻璃，丙組擦了 30塊玻璃?！纠?2】育才小學(xué)畫展上展出了許多幅畫，其中有 16幅畫不是六年級(jí)的，有 15幅畫不是五年級(jí)的，五、 六年級(jí)共展出25幅畫，其他年級(jí)的畫共有多少幅？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【解析】 通過16幅畫不是六年級(jí)的可以知道，五年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量之和是16,通過15幅畫不是五年級(jí)的可以知道六年級(jí)和其他年級(jí)的畫作數(shù)量

18、之和是15,那也就是說(shuō)五年級(jí)的畫比六年級(jí)多1幅，我們還知道五、六年級(jí)共展出 25幅畫，進(jìn)而可以求出五年級(jí)畫作有13幅，六年級(jí)畫作有12幅，那么久可以求出其他年級(jí)的畫作共有3幅.【答案】3幅【例13】47名學(xué)生參加數(shù)學(xué)和語(yǔ)文考試，其中語(yǔ)文得分 95分以上的14人，數(shù)學(xué)得分95分以上的21人，兩 門都不在95分以上的有22人.問：兩門都在 95分以上的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【解析】如圖，用長(zhǎng)方形表示這 47名學(xué)生，A圓表示語(yǔ)文得分95分以上的人數(shù)，B圓表示數(shù)學(xué)得95分以上的人數(shù)，A與B重合的部分表示兩門都在 95分以上的人數(shù)，長(zhǎng)方形內(nèi)兩圓外的部分表示兩門都不在 95

19、分以上的人數(shù).由圖中可以看出，全體人數(shù)是至少一門在 95分以上的人數(shù)與兩門都不在 95分以上的人數(shù)之和， 則至 少一門在95分以上的人數(shù)為：47 22 25（人）.根據(jù)包含排除法，兩門都在95分以上的人數(shù)為：14 21 25 10（人）.【答案】10人【鞏固】 有100位旅客，其中有10人既不懂英語(yǔ)又不懂俄語(yǔ)，有75人懂英語(yǔ)，83人懂俄語(yǔ).問既懂英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【關(guān)鍵詞】迎春杯【解析】方法一：在100人中懂英語(yǔ)或俄語(yǔ)的有：100 10 90（人）.又因?yàn)橛?5人懂英語(yǔ)，所以只懂俄語(yǔ)的 有：90 75 15（人）.從83位懂俄語(yǔ)的旅客中除去只懂

20、俄語(yǔ)的人，剩下的 83 15 68（人）就是既懂 英語(yǔ)又懂俄語(yǔ)的旅客.方法二：學(xué)會(huì)把公式進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖儞Q，由包含與排除原理，得：AUB A B AI B 75 83 90 68（人）.【答案】68人 【例14】一個(gè)班48人，完成作業(yè)的情況有三種：一種是完成語(yǔ)文作業(yè)沒完成數(shù)學(xué)作業(yè)；一種是完成數(shù)學(xué)作業(yè)沒完成語(yǔ)文作業(yè)；一種是語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成了.已知做完語(yǔ)文作業(yè)的有37人；做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人.這些人中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【難度】2星【題型】解答【解析】不妨用下圖來(lái)表示：完整叁贊業(yè)的人數(shù)完燧效學(xué)柞業(yè)的人數(shù)線段AB表示全班人數(shù)，線段 AC表示做完語(yǔ)文作業(yè)的人數(shù)，線段D

21、B表示做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)，重疊部分DC則表示語(yǔ)文、數(shù)學(xué)都做完的人數(shù).根據(jù)題意，做完語(yǔ)文作業(yè)的有 37人，即AC 37 .做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，即DB 42.AC DB 37 42 79（人）L L L L AB 48（人）L L L L 式減式，就有 DC 79 48 31（人）,所以，數(shù)學(xué)、語(yǔ)文作業(yè)都做完的有31人.【答案】31人【鞏固】 四年級(jí)科技活動(dòng)組共有 63人.在一次剪貼汽車模型和裝配飛機(jī)模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：剪貼好一輛汽車模型的同學(xué)有42人，裝配好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有34人.每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng).問：同時(shí)完成這兩項(xiàng)活動(dòng)的同學(xué)有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐?/p>

22、疊問題【難度】2星【題型】解答【解析】因42 34 76,76 63 ,所以必有人同時(shí)完成了這兩項(xiàng)活動(dòng).由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)活動(dòng)，根據(jù)包含排除法知，42 34 （完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)）全組人數(shù)，即76 （完成了兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)）63.由減法運(yùn)算法則知，完成兩項(xiàng)活動(dòng)的人數(shù)為76 63 13（人）.也可畫圖分析.【答案】13人 【鞏固】 科技活動(dòng)小組有55人.在一次制作飛機(jī)模型和制作艦艇模型的定時(shí)科技活動(dòng)比賽中，老師到時(shí)清點(diǎn)發(fā)現(xiàn)：制作好一架飛機(jī)模型的同學(xué)有40人，制作好一艘艦艇的同學(xué)有32人.每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作.問兩項(xiàng)制作都完成的同學(xué)有多少人？【考點(diǎn)】?jī)闪恐丿B問題【解析】因?yàn)?0 32 72, 72 55 ,所以必有人兩項(xiàng)制作都完成了.由于每個(gè)同學(xué)都至少完成了一項(xiàng)制作,