第26講 凹凸極值最值

1、第二章第二章 微分學(xué)微分學(xué)第一節(jié)第一節(jié) 導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)算第二節(jié)第二節(jié) 微分微分第三節(jié)第三節(jié) 中值定理中值定理 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 1. 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法2. 2. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)inging3. 3. 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法把凹與凸的分界點(diǎn)把凹與凸的分界點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn)稱為曲線的拐點(diǎn). .xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy 定義定義若曲線弧位于其每一點(diǎn)的切線上方若曲線弧位于其每一點(diǎn)的切線上方, ,則稱該曲線是上凹的則稱該曲線是上凹的若曲線弧位于其每一點(diǎn)的切線下方若曲線弧位于其每一點(diǎn)

2、的切線下方, ,則稱該曲線是上凸的則稱該曲線是上凸的. .ABCxyo二、曲線二、曲線凹凸凹凸與拐點(diǎn)的判定與拐點(diǎn)的判定內(nèi)內(nèi)若若在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的圖圖形形是是上上凹凹的的在在則則baxfxf . ,)(, 0)()2( 上上的的圖圖形形是是上上凸凸的的在在則則baxfxf 證明證明, 0之之間間與與介介于于xx 階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有在在因因?yàn)闉?1),()( baxf0( , )1:xa b 在在任任一一點(diǎn)點(diǎn)的的 階階泰泰勒勒展展開開式式為為，若若0)( xf)()()

3、(:000 xxxfxfxf 有有，則則若若0)(0)( fxf)()()(:000 xxxfxfxf 則有則有 . ,)(上上的的圖圖形形是是上上凹凹的的在在所所以以，baxf . ,)(上上的的圖圖形形是是上上凸凸的的在在所所以以，baxf20000)(! 2)()()()(xxfxxxfxfxf ，則則0)( fxyo)(xfy ab0 xx二、曲線二、曲線凹凸凹凸與拐點(diǎn)的判定與拐點(diǎn)的判定內(nèi)內(nèi)若若在在導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)內(nèi)內(nèi)具具有有二二階階在在上上連連續(xù)續(xù)在在如如果果),(,),(,)( bababaxf定理定理; ,)(, 0)()1( 上上的的圖圖形形是是上上凹凹的的在在則則baxfxf . ,

4、)(, 0)()2( 上上的的圖圖形形是是上上凸凸的的在在則則baxfxf xyo)(xfy 1x2xxyo1x2x)(xfy . 3的的凹凹凸凸性性判判斷斷曲曲線線xy 解解,32xy ,6xy ，時時當(dāng)當(dāng) 0 x, 0 y，時時當(dāng)當(dāng) 0 x, 0 y(0,) 曲曲線線在在為為上上凹凹的的； . )0 , 0(是是曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)故故P168 LT3(,0). 曲曲線線在在 是是上上凸凸的的.)0 , 0(點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線由由凸凸變變凹凹的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)的判定的判定二、曲線凹凸與二、曲線凹凸與拐點(diǎn)拐點(diǎn)的判定的判定定理定理, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二

5、二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù). )(,( , )( )2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號不變號兩近旁兩近旁xfxxfx ；即即為為拐拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變變號號兩兩近近旁旁 )(,( , )( )1(000 xfxxfx 解解),( :D,121223xxy ).32(36 xxy, 0 y令令.32, 021 xx得得x)0 ,( ),32()32, 0(032)(xf )(xf 00上凹上凹上凸上凸上凹上凹拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn)拐點(diǎn))1 , 0()2711,32(),32,0 ,( 凹凹區(qū)區(qū)間間為為32, 0凸凸區(qū)區(qū)間間為為列表討論：列表討論：43341.yxx 求求曲曲線線的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)及及凹凹凸凸區(qū)區(qū)間

6、間P169 LT5. 3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)求求曲曲線線xy 解解: :, 0 x,3132 xy,9235 xy. , 0均均不不存存在在是是不不可可導(dǎo)導(dǎo)點(diǎn)點(diǎn)yyx , 0,), 0( y內(nèi)內(nèi)在在0,) . 曲曲線線在在上上是是上上凸凸的的. 0 )(處連續(xù)處連續(xù)在在 xxf例例, 0,)0 ,( y內(nèi)內(nèi)在在(,0 . 曲曲線線在在上上是是上上凹凹的的. )0 , 0(3的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)是是曲曲線線點(diǎn)點(diǎn)xy 曲線拐點(diǎn)的充分條件曲線拐點(diǎn)的充分條件, 0)( , )( 00 xfxxf且且的的鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù). )(,( , )( )2(000不是拐點(diǎn)不是拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)不變號不變號兩近

7、旁兩近旁xfxxfx . )()(,(,)(000的的拐拐點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線也也可可能能是是連連續(xù)續(xù)點(diǎn)點(diǎn)不不存存在在若若xfyxfxxf 注意注意: :；即為拐點(diǎn)即為拐點(diǎn)點(diǎn)點(diǎn)變號變號兩近旁兩近旁 )(,( , )( )1(000 xfxxfx 2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用1. 1. 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法2. 2. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)3. 3. 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用3 一、函數(shù)極值的定義一、函數(shù)極值的定義x)1

8、,( ), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 0032 166 6 ( )29 123PLTf xxxx 似似2( )618 12fxxx 2 1 263 2xx )1()(fxf )2()(fxf 621xx .)()(,)()( ;)()(,)()( ),(,),()( 000000的的一一個個極極小小值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱成成立立如如果果的的一一個個極極大大值值是是函函數(shù)數(shù)就就稱稱成成立立如如果果內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)定定義義xfxfxfxfxfxfxfxfxUxxUxf 函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值, ,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)使函數(shù)取得

9、極值的點(diǎn) x0 稱為極值點(diǎn)稱為極值點(diǎn). .oxyab)(xfy 1x2x4x5x6xoxyoxy0 x0 x( (1) )極值點(diǎn)只能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)不會是極值點(diǎn)只能是區(qū)間內(nèi)部的點(diǎn)，區(qū)間端點(diǎn)不會是. .( (2) )極值是局部概念，可有多個。極值是局部概念，可有多個。 極小值可能大于極大值。極小值可能大于極大值。2x4x5x6xoxy)(xfy 1x二、函數(shù)極值的求法二、函數(shù)極值的求法( ), .f x可可導(dǎo)導(dǎo)函函數(shù)數(shù)的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)必必定定是是它它的的駐駐點(diǎn)點(diǎn) 但但函函數(shù)數(shù)的的駐駐點(diǎn)點(diǎn)卻卻不不一一定定是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)例如例如, ,3xy , 00 xy0 x. 0)( )( )(3 0

10、00 xfxxxf處取得極值，則一定有處取得極值，則一定有處具有導(dǎo)數(shù)，且在處具有導(dǎo)數(shù)，且在在點(diǎn)在點(diǎn)設(shè)設(shè)必要條件必要條件定理定理. 但但不不是是極極值值點(diǎn)點(diǎn)定理定理4(第一充分條件第一充分條件) P163. )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )1(00000處處取取得得極極大大值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )2(00000處處取取得得極極小小值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , )(),( ),( )3(00000處處無無極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則相相同同的的符符

11、號號及及如如果果xxfxfxxxxxx f( (x) )在在x0 0的去心的去心鄰域可導(dǎo)鄰域可導(dǎo), x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù), xyo0 x 3( )f xx P167 LT7x)1 ,(), 2( )2 , 1(12)(xf )(xf 00極大值極大值極小值極小值xyo0 x xyo0 x ( (極值點(diǎn)情形極值點(diǎn)情形) )2( )618 12fxxx 263 2xx 32 166 6 ( )29 123PLTf xxxx 似似xyoxyo0 x0 x ( (不是極值點(diǎn)情形不是極值點(diǎn)情形) )xyo0 x 0 xxyo ( (極值點(diǎn)情形極值點(diǎn)情形) )第一充分條件求極值的步驟第一充分條件求極值的步驟:

12、 :);()1(xf 求求導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)(2) ;求求極極值值的的嫌嫌疑疑點(diǎn)點(diǎn)- - -單單調(diào)調(diào)區(qū)區(qū)間間可可能能的的分分界界點(diǎn)點(diǎn)，即即駐駐點(diǎn)點(diǎn)和和不不可可導(dǎo)導(dǎo)的的點(diǎn)點(diǎn).)4(求求極極值值( (3) ) 根據(jù)嫌疑點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號，判定出極值點(diǎn)。根據(jù)嫌疑點(diǎn)兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)的符號，判定出極值點(diǎn)。23( )(4) (1).f xxx求求的的極極值值點(diǎn)點(diǎn)和和極極值值. )2(1)( 32的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxf課堂練習(xí)本：課堂練習(xí)本：132)1()4()( xxxf求函數(shù)求函數(shù)的極值點(diǎn)和極值的極值點(diǎn)和極值.解解:2332 (4)( )(1)3(1)xfxxx 1 x時，時，)(xf 不存在不存在,

13、 ,)1,( ), 1( , 0)( xf, 0)( xf)1( f35(1)3 (1)xx 0)( xf1 x所以嫌疑點(diǎn)：所以嫌疑點(diǎn)：121,1xx )1 , 1( , 0)( xf)1(f, 0 .433 所以所以-1,1都是極值點(diǎn)，相應(yīng)極值為：都是極值點(diǎn)，相應(yīng)極值為：解：解：. )2(1)( 32的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxf)2()2(32)(31 xxxf.)(,2不不存存在在時時當(dāng)當(dāng)xfx 時，時，當(dāng)當(dāng)2 x; 0)( xf時，時，當(dāng)當(dāng)2 x. )( 在在該該點(diǎn)點(diǎn)連連續(xù)續(xù)但但函函數(shù)數(shù)xfM2. 0)( xf. 1)2(為為極極大大值值 f定理定理4( (極值第一充分條件極值第

14、一充分條件) ). )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )1(00000處處取取得得極極大大值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , 0)( ),( ; 0)( ),( )2(00000處處取取得得極極小小值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則有有而而，有有如如果果xxfxfxxxxfxxx . )( , )(),( ),( )3(00000處處無無極極值值在在點(diǎn)點(diǎn)則則相相同同的的符符號號及及如如果果xxfxfxxxxxx f( (x) )在在x0 0的去心的去心鄰域可導(dǎo)鄰域可導(dǎo), x0點(diǎn)連續(xù)點(diǎn)連續(xù),0 x 0 x 0 x 0 x 定理定理5 極值第二充分條件極值第二

15、充分條件 ( (判斷駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)判斷駐點(diǎn)是否極值點(diǎn)) )000( ) ()0,()0,f xxfxfx 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，那那么么 )( , 0)( )1(00處處取取得得極極大大值值；在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxfxf . )( , 0)( )2(00處處取取得得極極小小值值在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxfxf 定理定理5 ( (極值第二充分條件極值第二充分條件) )證明證明)1(xxfxxfxfx )()(lim)(0000, 0 時時，當(dāng)當(dāng)0 x00()fxx 有有時，時，當(dāng)當(dāng)0 x0()fxx 有有0, )( , 0)( )1(00處處取取得得極極大大值值；在在點(diǎn)點(diǎn)

16、函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxfxf 00()limxfxxx 0 () fxxx 故故與與異異 號號 ，由第一充分條件由第一充分條件( (1)知，知，解解: :2463)(2 xxxf，令令0)( xf. 2, 421 xx得得駐駐點(diǎn)點(diǎn))2)(4(3 xx, 66)( xxf )4(f18 )4( f故極大值故極大值,60 )2(f18)2(f故故極極小小值值.48 . 20243)( 23的的極極值值求求出出函函數(shù)數(shù) xxxxfLT, 0 , 0 Mm20243)(23 xxxxf2463)(2 xxxf)2)(4(3 xx定理定理3( (第二充分條件第二充分條件) )000( ) ()0,()0,

17、f xxfxfx 設(shè)設(shè)在在點(diǎn)點(diǎn)具具有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，那那么么 )( , 0)( )1(00處處取取得得極極大大值值；在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxfxf . )( , 0)( )2(00處處取取得得極極小小值值在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)時時當(dāng)當(dāng)xxfxf 注意注意: :00() fx ？定理定理5 極值第二充分條件極值第二充分條件 ( (判斷直到判斷直到n-1-1階導(dǎo)數(shù)均階導(dǎo)數(shù)均為為0 0的點(diǎn)是否極值點(diǎn)的點(diǎn)是否極值點(diǎn)) )(3)(1)0000( )0( )00( )00()0,()=()=.=()0,()0,(1)()0 ()0(2)nnnnfxfxfxfxfxnxfxfxnx 設(shè)設(shè)且且而而那那么么是

18、是偶偶數(shù)數(shù)時時，在在點(diǎn)點(diǎn)取取極極值值，取取極極小小值值取取極極大大值值是是奇奇數(shù)數(shù)時時，在在點(diǎn)點(diǎn)不不取取極極值值. .P167 LT83)(xxf 例如：例如：小結(jié)：小結(jié)： 判定極值的方法判定極值的方法一階導(dǎo)數(shù)一階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)二階導(dǎo)數(shù)0)( xf求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)討論駐點(diǎn)兩側(cè)的符號，由條件討論駐點(diǎn)兩側(cè)的符號，由條件1確定確定求駐點(diǎn)求駐點(diǎn)代入駐點(diǎn)代入駐點(diǎn), ,考察其二階導(dǎo)數(shù)的符號，由條件考察其二階導(dǎo)數(shù)的符號，由條件2確定確定局限性局限性0)( xf)(xf 求求0)( xf( )fx和和不存在的點(diǎn)，不存在的點(diǎn)，對于對于可采用充分條件可采用充分條件1來判斷來判斷.2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)

19、用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4. 最大值、最小值問題最大值、最小值問題5. 漸近線漸近線1. 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法2. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)3. 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法 最值問題最值問題一、最大值、最小值的求法一、最大值、最小值的求法二、應(yīng)用二、應(yīng)用2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4一、最值的求法一、最值的求法oxyoxybaoxyabab ( ) , ( ) , .f xa bf xa b若若函函數(shù)數(shù)在在上上連連續(xù)續(xù)，除除個個別別點(diǎn)點(diǎn)外外處處處處可可導(dǎo)導(dǎo)，并并且且至至多多有有有有限限個個導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)為為零零的的點(diǎn)點(diǎn)，則則在在上上的的最最大大值值與與最最小小值值存存在在o

20、xyab)(xfy 1x2x3x4x5x極大值未必比極小值大極大值未必比極小值大注意注意: :如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值, , 則這個極值就是最大值或最小值則這個極值就是最大值或最小值. .極值極值最值最值局域性局域性某一鄰域內(nèi)某一鄰域內(nèi)某一區(qū)間內(nèi)某一區(qū)間內(nèi)整體性整體性步驟步驟: :1. 求駐點(diǎn)、一階不可導(dǎo)點(diǎn)求駐點(diǎn)、一階不可導(dǎo)點(diǎn); ;2. 求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)及區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值；0)( xf.,321xxxnx3. 比較大小比較大小, ,其中最大的就是函數(shù)在所求區(qū)間的其中最大的就是函數(shù)在所求區(qū)間的最大值最大值, ,最小的就是函數(shù)在所

21、求區(qū)間的最小值最小的就是函數(shù)在所求區(qū)間的最小值; ;)(1xf)(2xf).(3xf)(nxf)(af)(bf)(),(),(),.(),(),(max321bfafxfxfxfxfn)(),(),().(),(),(min321bfafxfxfxfxfn( ) , f xa b在在上上的的最最值值。解解: :)1)(2(6)( xxxf.4 , 3 141232 23上的最大值與最小值上的最大值與最小值的在的在求函數(shù)求函數(shù) xxxy得得解解方方程程, 0)( xf. 1, 221 xx計算計算 )3(f;23 )2(f;34 )1(f;7.142 )4(f，最大值最大值142)4( f比較得

22、比較得. 7)1( f最最小小值值P170 似似LT10注意注意: :如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值如果函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個極值, , 則這個極值就是最值則這個極值就是最值. .(1) 建立目標(biāo)函數(shù)建立目標(biāo)函數(shù);(2) 求最大值或最小值求最大值或最小值;若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)處若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)處函數(shù)取最值函數(shù)取最值. .二、應(yīng)用二、應(yīng)用P170 LT11-13的的三三角角形形面面積積最最大大所所圍圍成成及及直直線線曲曲線線在在該該點(diǎn)點(diǎn)處處的的切切線線與與上上求求一一點(diǎn)點(diǎn)，使使曲曲邊邊成成一一個個曲曲邊邊三三角角形形，在在圍圍及及拋拋物物線線，由由直直線線 80 80 22

23、xyxyxyxy解解: :作圖作圖如圖如圖, ,200 (,),P xx設(shè)設(shè)所所求求切切點(diǎn)點(diǎn)為為為為則切線則切線 PT20002(),yxxxxTxyoPABCLT(8, 0),),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB )16)(218(212000 xxxSABC )80(0 x, 0)1616643(41 020 xxS令令解得解得,16,31600 xxTxyoPABC),0,21(0 xA)16, 8(200 xxB ).(舍舍去去函數(shù)函數(shù)S=S(x0)在在0,8只有一個根，從實(shí)際情況分析只有一個根，從實(shí)際情況分析此時此時S應(yīng)有最大值，應(yīng)有最大值，20016 256 (,)3

24、9P xx所所求求切切點(diǎn)點(diǎn)為為，16()83S 2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用4. 最大值、最小值問題最大值、最小值問題5. 漸近線漸近線1. 函數(shù)單調(diào)性的判別法函數(shù)單調(diào)性的判別法2. 曲線的凹凸與拐點(diǎn)曲線的凹凸與拐點(diǎn)3. 函數(shù)的極值及其求法函數(shù)的極值及其求法漸近線漸近線. )(, ,)(的的一一條條漸漸近近線線就就稱稱為為曲曲線線那那么么直直線線距距離離趨趨向向于于零零的的到到某某定定直直線線如如果果點(diǎn)點(diǎn)曲曲線線移移向向無無窮窮遠(yuǎn)遠(yuǎn)時時沿沿著著上上的的一一動動點(diǎn)點(diǎn)當(dāng)當(dāng)曲曲線線定定義義xfyLLPPxfy xy11 例例如如-4-224-10-5510 1 y漸漸近近線線為為：01lim 1xx . 0 x和和漸近線漸近線2.3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用5 1. 垂直漸近線垂直漸近線2. 水平漸近線水平漸近線3. 斜漸近線斜漸近線1. 垂直漸近線垂直漸近線) (軸的漸近線軸的漸近線垂直于垂直于 xlim( ),( ).xaf xxayf x 如如果果那那么么就就是是的的一一條條垂垂直直漸漸近近線線例如例如xy