工程力學(xué)教學(xué)課件第4章扭轉(zhuǎn)

1、 第4章 4.1 概念 第 4 章 汽車傳動軸4.1 概念 第 4 章 4.1 概念 第 4 章 絲錐攻絲4.1 概念 第 4 章 扭轉(zhuǎn)變形是指桿件受到大小相等,方向相反且作用平面垂直于桿件軸線的力偶作用,使桿件的橫截面繞軸線產(chǎn)生轉(zhuǎn)動。 受扭轉(zhuǎn)變形桿件通常為軸類零件，其橫截面大都是圓形的。所以本章主要介紹圓軸扭轉(zhuǎn)。4.1 概念 第 4 章 kmkmab 如圖，圓軸在外力偶作用下發(fā)生扭轉(zhuǎn)變形。稱為扭轉(zhuǎn)角。稱為剪切角。4.1 概念 第 4 章 直接計算外力偶矩4.1 概念 第 4 章 外力偶矩按輸入功率和轉(zhuǎn)速計算已知軸轉(zhuǎn)速n 轉(zhuǎn)/分鐘輸出功率pk 千瓦求：力偶矩me電機(jī)每秒輸入功：外力偶作功完成：

2、)n.m(1000kpw602nmwekpkp4.2 第 4 章 扭矩和扭矩圖4.2 第 4 章 扭矩和扭矩圖4.2 第 4 章 扭矩和扭矩圖t = me4.2 第 4 章 扭矩和扭矩圖t = me4.2 第 4 章 扭矩正負(fù)規(guī)定右手螺旋法則右手拇指指向外法線方向為 正(+),反之為 負(fù)(-)kmkmmm4.2 第 4 章 如圖求圓軸指定截面的內(nèi)力。 由截面法：（1）截開，留下左半段，去掉右半段； （3）考慮留下部分的平衡0:0kxmtmkmt 同樣，亦可留下右半段作為研究對象，可的同樣的結(jié)果，如圖。 扭矩的符號規(guī)定：自截面的外法線向截面看，逆時針為正，順時針為負(fù)。kmmmt （2）用內(nèi)力代替

3、去掉部分對留下部分的作用； t稱為扭矩。kmmmt4.2 第 4 章 扭矩圖 4. 2 第4 章 解:(1)計算外力偶矩由公式pk/n4. 2 第4 章 (2)計算扭矩(3) 扭矩圖4. 2 第4 章 4.3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 薄壁圓筒：壁厚0101rt （r0：為平均半徑）一、實(shí)驗：1.實(shí)驗前：繪縱向線，圓周線；兩端施加一對外力偶 m。4.3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 2.實(shí)驗后：圓周線不變；各縱向線長度不變，但均傾斜了同一微小角度 。 縱向線變成螺旋線。3.結(jié)果： 圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改 變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。圓周線實(shí)際代表一個橫截面，此結(jié)果表明橫截面

4、仍保持平面，且大小、形狀不變，滿足。所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。4.3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 rkmkm薄壁圓管扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力 如圖所示，借助實(shí)驗觀察結(jié)合理論分析，可得如下結(jié)論： （1）橫截面上只有剪應(yīng)力，沒有正應(yīng)力；（2）剪應(yīng)力的方向沿圓周的切線方向。kmx 薄壁筒扭轉(zhuǎn)時，因長度不變，故橫截面上沒有正應(yīng)力，只有切應(yīng)力。因筒壁很薄，切應(yīng)力沿壁厚分布可視作均勻的，切應(yīng)力沿圓周切線，方向與扭矩轉(zhuǎn)向一致。4.3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 用截面法，考慮一部分圓管的平衡：020220:0amrmmtmkkkx得kmxtattrtttrrartraaa 2 2 2d d 0

5、 200000a0為平均半徑所作圓的面積。4. 3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 二、剪應(yīng)力互等定理acddxbdytzdxdytdxdytmz ; 0 這就是：在單元體相互垂直的兩個截面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向或共同指向交線，或共同背離交線。4. 3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 該定理具有普遍性，不僅對純剪切應(yīng)力狀態(tài)下成立，對正應(yīng)力和剪應(yīng)力同時作用的單元體亦成立。 單元體的四個側(cè)面上只有切應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為。acddxbdytz4. 3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 p 三、剪切虎克定律acddxbdytz 單元體ab 的傾角 稱為，

6、切應(yīng)變是單元體直角的改變量。實(shí)驗表明，在彈性范圍內(nèi)，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比，即g 這就是，比例常數(shù)g 稱為。4. 3 薄壁圓管的扭轉(zhuǎn) 第 4 章 三、剪切虎克定律 剪切彈性模量g 、與彈性模量e 和泊松比 一樣，都是表征材料力學(xué)性質(zhì)的材料常數(shù)。對于各向同性材料，這三個材料常數(shù)并不是獨(dú)立的，它們存在如下關(guān)系。 根據(jù)該式，在三個材料常數(shù)中，只要知道任意兩個，就可求出第三個來。)1 (2eg4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 如圖所示，借助實(shí)驗觀察做出平截面假設(shè)(假設(shè)橫截面像剛性平面一樣繞桿的軸線轉(zhuǎn)動)，得如下推斷： （1）橫截面上只有剪應(yīng)力，沒有正應(yīng)力； （2）剪應(yīng)力的方向沿圓周的切線

7、方向。 下面從幾何方面、物理方面、靜力方面三個方面推導(dǎo)圓軸扭轉(zhuǎn)時橫截面上的剪應(yīng)力：一、橫截面剪應(yīng)力的一般公式4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 ddrdx 1、幾何方面dxd 2、物理方面dxdggdxdrrdx2o1oabdcabdcbccbddx1o2oabcdcb(橫截面上b 點(diǎn)的切應(yīng)變)(橫截面上b 點(diǎn)的切應(yīng)力)4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 3、靜力方面 如圖所示，在整個橫截面上，所有微力矩之和等于該截面的扭矩，即tdaadxdgg將 代入上式，得dadxdgdadxdgdataaa2令 ，稱為橫截面對圓心的極慣性矩。于是daiap2dxdgitpo2dadabt

8、dxdgg而:4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 pit令抗扭截面系數(shù)4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 二、最大扭轉(zhuǎn)剪應(yīng)力 強(qiáng)度條件 對整個圓軸m a xm a xptw 于是可得強(qiáng)度條件為m axm axptw其中容許切應(yīng)力是由扭轉(zhuǎn)時材料的極限切應(yīng)力除以安全系數(shù)得到。32242032dddaidapdaiap2由 ，對于圓，如圖，則4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 三、極慣性矩 抗扭截面模量odddda2163maxdiwpnodd對于空心圓)1 (32)(324444dddip3444()(1)1616pdwddd其中 。dd剪應(yīng)力分布圖如圖。

9、4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 例2 圖示階梯狀圓軸，ab段直徑d1=120mm，bc段直徑d2=100mm。外力偶矩為mka=22kn.m, mkb=36 kn.m , mkc=14 kn.m 。已知材料的許用剪應(yīng)力 ，試校核該軸的強(qiáng)度。 mpa80abckamkbmkcm 解：用截面法求得ab、bc的扭矩分別為mkntmknt142221扭矩圖如圖所示。mkn 22mkn 14圖t 3611max312210:64.81064.8(0.12)16ptabpampaw段 3622 max321410:71.31071.3(0.1)16ptbcpampaw段故，該軸滿足強(qiáng)度要

10、求。4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 例3 某傳動軸，橫截面上的最大扭矩mn=1.5kn.m，許用剪應(yīng)力 ，試按下列兩種方案確定軸的截面尺寸，并比較其重量。 （1）橫截面為實(shí)心圓截面； （2）橫截面為 的空心圓截面。 mpa509 . 0 解：（1）確定實(shí)心軸的直徑 由強(qiáng)度條件 ，其中 ，得 ptw316pdw 33061616 1.5 1053.5 1053.550 10pmdmmm 33取 。mmd5404. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 （2）確定空心軸的內(nèi)、外徑 由強(qiáng)度條件 ，其中 ，得 ptw34(1)16pdw 334461616 1.5 1076 1

11、076(1)(1 0.9 ) 50 10pmdmmm33mmdd4 .68769 . 09 . 0故取mmdmmd68,76 （3）重量比較395. 05468764)(42222022dddaa實(shí)空重量比4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 一、扭轉(zhuǎn)角的計算 由上節(jié)知 ，所以 ，于是dxdgitpdxgitdpdxgitdp對于扭矩為常數(shù)的等截面圓軸，扭轉(zhuǎn)角為pgitlpgi稱為截面的抗扭剛度。4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 二、剛度條件(rad/m) dd pgitx (rad/m) maxpgit /m)( 180 maxpgit 稱為。若單位扭轉(zhuǎn)角給的是

12、，則上式改寫為m/例4圖示圓軸，已知ma =1kn.m， mb =3kn.m， mc =2kn.m；l1 =0.7m，l2 =0.3m；=60mpa， =0.3/m，g=80gpa；試選擇該軸的直徑。abcmamb mc l1l22kn.m1kn.m解：按強(qiáng)度條件 maxmax316cptmwd mmmdc4 .551010602000161633634. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 abcmamb mc l1l22kn.m1kn.m按剛度條件 /m)( 180 maxpgit 18032max4gtdip mmgtd5 .83103 . 0108018020003218032

13、342942max該圓軸直徑應(yīng)選擇：d =83.5mm.4. 4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力和強(qiáng)度條件 第 4 章 mpapawtt3 .94103 .941606. 0104633111max4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 例5 圖示圓軸，ab段為實(shí)心圓截面，直徑d1=60mm，bc段為實(shí)心圓截面，直徑d=80mm，cd段為空心圓截面，內(nèi)徑d2=60mm，外徑d=80mm，所受外力偶矩如圖。各段桿的容許剪應(yīng)力為 。（1）試校核該軸的強(qiáng)度；（2）如材料的剪切彈性模量 ，求此軸總扭轉(zhuǎn)角。 mpa100mpag4108mkn4mkn6mkn10m4 . 0m3 . 0m6 . 0 解：（1

14、）作扭矩圖如圖所示。mkn 4mkn 6圖nmabcd （2）強(qiáng)度校核 最大剪應(yīng)力可能出現(xiàn)在ab段或cd段，其最大剪應(yīng)力為4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 362max23426 101687.3 1087.30.081 (3 4)ptpampaw mpa3 .941maxmax故滿足強(qiáng)度條件。mkn4mkn6mkn10m4 . 0m3 . 0m6 . 0abcd （3）求總扭轉(zhuǎn)角cdbcabrad00626.032)43(108.01086 .01063208.01083 .01063206.01084 .01044410341034103例6 圖示圓軸，已知ma =1.4k

15、n.m， mb =0.6kn.m， mc =0.8kn.m；d1 =40mm，d2 =70mm； l1 =0.2m，l2 =0.4m；=60mpa， =1/m，g=80gpa；試校核該軸的強(qiáng)度和剛度，并計算兩端面的相對扭轉(zhuǎn)角。abcmamb mc l1l20.6kn.m0.8kn.m解：按強(qiáng)度核該 1131131616 60047.74bptmwdmpad1d24. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 abcmamb mc l1l20.6kn.m0.8kn.m 2232231616 80011.97cpmtwdmpad1d2滿足強(qiáng)度條件。按剛度核該mgitp/71. 118010401

16、080600321801249111mgitp/24. 0180107010808003218012492224. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 abcmamb mc l1l20.6kn.m0.8kn.md1d2 m/71. 11max此軸不滿足剛度條件。)(324111422211122212dltdltggiltgiltppcb245. 0180101)402 . 0600704 . 0800(10803212449cb4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 例7 長為 l =2m 的圓桿受均布力偶 m=20nm/m 的作用，如圖，若桿的內(nèi)外徑之比為 =0.8 ，g

17、=80gpa ，許用切應(yīng)力 =30mpa，試設(shè)計桿的外徑；=2/m ，試校核此桿的剛度，并求右端面轉(zhuǎn)角。解：設(shè)計桿的外徑34d 1 16pw（） 34max)1 (16td maxptwmknmm/20m24. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 xxmxxt20)(nmmlt40max mmtd57.22101030)8 . 01 (4016)1 (16336434maxmknmm/20m24. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 剛度校核180maxmaxpgit 89. 1)1 (108018040324429d右端面轉(zhuǎn)角radgigixgixdxgidxxtppplp0

18、33. 0)8 . 01 (106 .2210804032401020)(41249202204. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 例8 圖示圓桿bc 段為空心，已知 d =50mm，d=25mm； a =250mm，b =150mm；g=80gpa；試求該桿的最大切應(yīng)力和自由端的扭轉(zhuǎn)角。abcaabb d d0.5kn.m 0.3kn.m0.8kn.m11223344解：本題應(yīng)分4段考慮。32421diipp)(324443ddiipp16321dwwtt)1 (1644343dddwwtt4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 abcaabb d d0.5kn.m 0

19、.3kn.m0.8kn.m0.8kn.m0.5kn.m1kn.m11223344mpadtwtp74.40510001616331111mpadtwtp76.34)5 . 01 (580016)1 (1643434444mpa74.401max4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 abcaabb d d0.5kn.m 0.3kn.m0.8kn.m0.8kn.m0.5kn.m1kn.m1122334472. 00126. 0)(151632)1 (32)1 (32323242214444442424144332211radatbtbtatdgdgatdgbtdgbtdgatgiatg

20、ibtgibtgiatpppp4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 第 4 章 例9 階梯圓軸ab兩端固定，受外力偶矩 m=4.5kn.m作用，若d1=70mm, d2=55mm, l1=1m, l2=1.5m。材料的g=80gpa,=60mpa, ,=1.5o/m,試對該軸進(jìn)行強(qiáng)度和剛度校核。abc1l2lmmacbambm 解：（1）靜力平衡0mmm:0mbax （2）變形幾何關(guān)系0cbacab （3）物理關(guān)系1 112 221122,abaccbppppm lm lm lm lgigigigi 代入幾何關(guān)系，得補(bǔ)充方程02211pbpag

21、ilmgilm第 4 章 4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件 補(bǔ)充方程與平衡方程聯(lián)立求解得：mknllmlmmknllmlmba8 . 15 . 1115 . 47 . 25 . 115 . 15 . 4211212故由截面法可得mknmmmknmmbnan8 . 1;7 . 221軸力圖如圖所示。abc1l2lmmkn 7 . 2mkn 8 . 1圖nm （4）強(qiáng)度校核mpapadmcbmpapadmacnn55105516/1055108 . 116/:1 .40101 .4016/1070107 . 216/:6933322269333111段段第 4 章 4. 5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形和剛度條件軸的最大剪應(yīng)力： mpa55max故軸滿足強(qiáng)度條件。 （5）剛度校核mgimmmdiacpnp/82.01036.21080180107 .21801036.2327032:693111264411段mgimmmdicbpnp/44.11098.81080180108 .11