運(yùn)動(dòng)學(xué)部分例題

1、運(yùn)動(dòng)學(xué)解：取M點(diǎn)的直線軌跡為 x 軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O為坐標(biāo)圓點(diǎn)。M點(diǎn)的坐標(biāo)為：例1 下圖為偏心驅(qū)動(dòng)油泵中的曲柄導(dǎo)桿機(jī)構(gòu)。設(shè)曲柄 OA 長(zhǎng)為r ，自水平位置開(kāi)始以勻角速度w 轉(zhuǎn)動(dòng)，即j =wt，滑槽K-K與導(dǎo)桿B-B制成一體。曲柄端點(diǎn)A通過(guò)滑塊在滑槽K-K中滑動(dòng)，因而曲柄帶動(dòng)導(dǎo)桿B-B作上下直線運(yùn)動(dòng)。試求導(dǎo)桿的運(yùn)動(dòng)方程，速度和加速度。sinsinxOMOArjjBABOKMKwxjx 將j =wt帶入上式，得M點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程：sinxrtw將上式對(duì)時(shí)間求一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)得：dcosdxvrttww222ddsinddvxartttww 例2 曲柄連桿機(jī)構(gòu)是由曲柄、連桿及滑塊組成的機(jī)構(gòu)。當(dāng)曲柄O

2、A繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，由于連桿AB帶動(dòng)，滑塊沿直線作往復(fù)運(yùn)動(dòng)。設(shè)曲柄OA長(zhǎng)為r，以角速度w 繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，即jwt，連桿AB長(zhǎng)為l。試求滑塊B的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：取滑塊B的直線軌跡為x軸，曲柄的轉(zhuǎn)動(dòng)中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)。在經(jīng)過(guò) t 秒后，此時(shí)B點(diǎn)的坐標(biāo)為：coscosxOBOCCBrljABOClxwxj整理可得B的運(yùn)動(dòng)方程：22cos1sin)xrtltww由此可得滑塊B的速度和加速度：d(sinsin2)d2xvrtttwww 2d(coscos2 )dvarttwww 將右邊最后一項(xiàng)展開(kāi)：2(1)(coscos2)44xlrttww222244111sin1sinsin28tttwww 2

3、2cos1sin)xrtltww例3 一人高 h2 ，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1 ，求人影的頂端M沿地面移動(dòng)的速度。解: 取坐標(biāo)系x如圖所示，由幾何關(guān)系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得 M 點(diǎn)的速度為:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx例3 一人高 h2 ，在路燈下以勻速v1行走，燈距地面的高為h1 ，求人影的頂端M沿地面移動(dòng)的速度。解: 取坐標(biāo)系x如圖所示，由幾何關(guān)系得: 122MMhxhxx1212Mh xxhh上式對(duì)t求一階導(dǎo)數(shù)，得 M 點(diǎn)的速度為:.11211212Mhhvxxvhhhhh1h2xmx2Mx

4、例4 下圖為料斗提升機(jī)示意圖。料斗通過(guò)鋼絲繩由繞水平軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的卷筒提升。已知：卷筒的半徑為R16cm，料斗沿鉛垂提升的運(yùn)動(dòng)方程為y2t2，y以cm記，t 以s計(jì)。求卷筒邊緣一點(diǎn)M在t4s時(shí)的速度和加速度。OMRMA0AM0y解：此時(shí)M點(diǎn)的切向加速度為：2td4 cm/sdvatv4416 cm/s當(dāng)t=4 s時(shí)速度為：d4dSvttM點(diǎn)的法向加速度為：2216/nvacmsRM點(diǎn)的全加速度為：222tn16.5cm/saaatntan|0.25arctan 0.2514 2 aa例5 列車(chē)沿曲線軌道行駛，初速度v1=18km/h，速度均勻增加，行駛s=1km后，速度增加到v2=54km/h，若

5、鐵軌曲線形狀如圖1-17所示。在M1、M2點(diǎn)的曲率半徑分別為1=600m, 2=800m 。求列車(chē)從M1到M2所需的時(shí)間和經(jīng)過(guò)M1和M2處的加速度。M1M2V1V1an1a1a2an2ar1ar2解：解：222210.1/2am ssvv求列車(chē)經(jīng)過(guò)M1和M2時(shí)的法向加速度為：221110.042/namsv222220.281/nam sv12100tsavv列車(chē)經(jīng)過(guò)M1時(shí)的全加速度為：222110.108/naaacms111tan|2.38arctan 2.3867.4naa222220.293/naaacm s222ta n|0 .3 5 5a rc ta n 0 .3 5 51 9 .

6、5naa列車(chē)經(jīng)過(guò)M2時(shí)的加速度為： 例6 桿AB繞A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，帶動(dòng)套在半徑為R的固定大圓環(huán)上的小護(hù)環(huán)M 運(yùn)動(dòng)，已知wt (w為常數(shù))。求小環(huán)M 的運(yùn)動(dòng)方程、速度和加速度。解：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。則即為小環(huán)M 的運(yùn)動(dòng)方程。jj2cos2sinRyRxtRytRxww2cos2sintRxvxww2cos2 tRyvyww2sin2 ABMOjxyj2故M點(diǎn)的速度大小為wRvvvyx222其方向余弦為cos( , )cos2xvvjv icos( , )sin2yvvj v jxtRvaxx2242sin4www ytRvayy2242cos4www 故M點(diǎn)的加速度大小為2224wRaaay

7、x且有2222444()4xyxywwww aijijrABMOjxyj2vxvyvaMMjRoj例7 半徑為R 的輪子沿直線軌道純滾動(dòng)(無(wú)滑動(dòng)地滾動(dòng))。設(shè)輪子保持在同一豎直平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)， ，試分析輪子邊緣一點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)。twj取坐標(biāo)系A(chǔ)xy如圖所示，并設(shè)M 點(diǎn)所在的一個(gè)最低位置為原點(diǎn)A，則當(dāng)輪子轉(zhuǎn)過(guò)一個(gè)角度后，M點(diǎn)坐標(biāo)為)sin(sinjjjROMACx)cos1 (cosjjROMOCy這是旋輪線的參數(shù)方程。joRCAxyMM點(diǎn)的速度為：jRiRj yi xv)sin()cos1 (jjjj當(dāng)M點(diǎn)與地面接觸，即 時(shí)，M點(diǎn)速度等于零。jk2joRCAxyM22sincosaxiyjrtirtjw

8、www例7-1 齒輪傳動(dòng)是工程上常見(jiàn)的一種傳動(dòng)方式，可用來(lái)改變轉(zhuǎn)速和轉(zhuǎn)向。如圖，已知r1、 r2、 w1、 1，求w2、 2 。 解：因嚙合點(diǎn)無(wú)相對(duì)滑動(dòng)，所以tt1212,vvaa由于111222tt11 1222,vrvrararww于是可得于是可得11212122,rrrrww即即112221rrwww11r1O1O2r2w22v1v2at1at2 例7-2 一半徑為一半徑為R=0.2m的圓輪繞定軸的圓輪繞定軸O的轉(zhuǎn)動(dòng)方的轉(zhuǎn)動(dòng)方程程為為 ，單位為弧度。求，單位為弧度。求t=1s時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)時(shí)，輪緣上任一點(diǎn)M的的速度和加速度（如圖）。如在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長(zhǎng)速度和加速度（如圖）。如

9、在此輪緣上繞一柔軟而不可伸長(zhǎng)的繩子并在繩端懸一物體的繩子并在繩端懸一物體A，求當(dāng)求當(dāng)t=1s時(shí)，物體時(shí)，物體A的速度和加的速度和加速度。速度。tt42j 解：圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為解：圓輪在任一瞬時(shí)的角速度和角加速度為42 tdtdjw222dtdj求當(dāng)求當(dāng)t=1s時(shí)，則為時(shí)，則為srad /2w2/2srad 因此輪緣上任一點(diǎn)因此輪緣上任一點(diǎn)M的速度和加速度為的速度和加速度為smRv/4 . 0w2/4 . 0smRa22/8 . 0smRanw方向如圖所示。方向如圖所示。ARMOvana M點(diǎn)的全加速度及其偏角為點(diǎn)的全加速度及其偏角為ARMOanaa22222/894. 0)8

10、 . 0()4 . 0(smaaan43265 . 02arctgarctgw如圖。 現(xiàn)在求物體現(xiàn)在求物體A的速度和加速度。因?yàn)榈乃俣群图铀俣?。因?yàn)镸Ass 上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得上式兩邊求一階及二階導(dǎo)數(shù)，則得MAvv MAaa 因此因此smvA/4 . 02/4 . 0smaA例7-3 在刮風(fēng)期間，風(fēng)車(chē)的角加速度 ，其中轉(zhuǎn)角 以rad計(jì)。若初瞬時(shí) ，其葉片半徑為0.75m 。試求葉片轉(zhuǎn)過(guò)兩圈（ ）時(shí)其頂端 P 點(diǎn)的速度。 20.2/rad s000,6/rad sw4 radPdddddtddtdwwww0.2ddww0400.2ddwww w 22200.2(4 )8.221/6.

11、166/rad svrm swwww解：例例7-4 下圖是一減速箱，它由四個(gè)齒輪組成，其齒數(shù)分別為下圖是一減速箱，它由四個(gè)齒輪組成，其齒數(shù)分別為Z1=10，Z2=60，Z3=12，Z4=70。(a)求減速箱的總減速比求減速箱的總減速比i13；(b)如果如果n1=3000r/min，求，求n3.13n142n3n2解：求傳動(dòng)比：解：求傳動(dòng)比：11224133231334.8nnnZ ZinnnZ Z則有：則有：1313300086 / min34.8nnri例1 如圖所示，偏心距為e、半徑為R的凸輪，以勻角速度w 繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB能在滑槽中上下平動(dòng)，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。

12、求在圖示位置時(shí)，桿AB的速度。 ABeCOwvevavrcotaeevvOAeOAwwtaneavv解：因?yàn)闂UAB作平動(dòng)。選取桿AB的端點(diǎn)A作為研究的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是以凸輪中心C為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)則是凸輪繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。例2 刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA的角速度為w，通過(guò)滑塊A帶動(dòng)搖桿O1B擺動(dòng)。已知OA=r，OO1=l，求當(dāng)OA水平時(shí)O1B的角速度w1。解： 在本題中應(yīng)選取滑塊A作為研究的動(dòng)點(diǎn)，把動(dòng)參考系固定在搖桿O1B上。 點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以點(diǎn)O為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿O1B方向的直線運(yùn)動(dòng)，而牽連運(yùn)動(dòng)則是搖桿繞O1軸的

13、擺動(dòng)。21122sinsin()eaevvrrvO Alrjwjww2221122()rO AlrlrwwjAO1OwBjvevavr例3 水平直桿AB在半徑為r的固定圓環(huán)上以勻速u(mài)豎直下落，如圖。試求套在該直桿和圓環(huán)交點(diǎn)處的小環(huán)M的速度。 解：以小環(huán)M為動(dòng)點(diǎn)，定系取在地面上，動(dòng)系取在AB桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：jjsinsinuvveasineavvjuABOMrjvrvave例4 求圖示機(jī)構(gòu)中OC桿端點(diǎn)C的速度。其中v與已知，且設(shè)OA=a, ACb。 解：取套筒A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與OC固連，分析A點(diǎn)速度，有vABCOvavevrvCsinsineavvvwOCsineOCvv

14、OAawsinCOCabvOCvawaervvv例5 圖示平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下平動(dòng)，偏心凸輪以等角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，O軸位于頂桿的軸線上，工作時(shí)頂桿的平底始終接觸凸輪表面，設(shè)凸輪半徑為R，偏心距OC=e ，OC 與水平線的夾角為，試求當(dāng) =45時(shí)，頂桿AB的速度。 解：以凸輪圓心C為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在頂桿上，動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。coscos4522eavveewwvavevraervvv例6 AB桿以速度v1向上作平動(dòng)，CD桿斜向上以速度v2作平動(dòng)，兩條桿的夾角為，求套在兩桿上的小環(huán)M的速度。MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va解 取M為動(dòng)點(diǎn)，AB

15、為動(dòng)坐標(biāo)系，相對(duì)速度、牽連速度如圖。取M為動(dòng)點(diǎn)，CD為動(dòng)坐標(biāo)系，相對(duì)速度、牽連速度如圖。由上面兩式可得：11aervvv22aervvv1122erervvvv其中1122,eevvvv122212cossin(cos )/sinrrvvvvvv將等式兩邊同時(shí)向y軸投影：則動(dòng)點(diǎn)M的絕對(duì)速度為：22221222222121 2cos()sin12cossinaervvvvvvvvv v=MABCDv2v1ve1vr1vr2ve2va1122erervvvvy例7 在水面上有兩只艦艇A 和 B均以勻速度v =36 km/h 行駛，A 艦艇向東開(kāi)，B 艦艇沿以 O 為圓心、半徑R =100 m的圓弧

16、行駛。在圖示瞬時(shí)，兩艇的位置S=50m, =30 ，試求：（1） B艇相對(duì) A艇的速度。（2）A艇相對(duì)B艇的速度。 東北BAROS東北=30BAROSVe1Va1Vr1303036(/ )10(/ )ABvvvkm hm s解：(1) 求B艇相對(duì)于是A艇的速度。以 B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連于A艇。由圖（b）的速度矢量 111Baervvvv110(/ ),BAevvvm s12 cos3017.32(/ )rvvm s(2) 求A相對(duì)于B的速度，以A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系固連于B艇。smvOAve/5502wsmva/1022222211.2/rervvvm s5 . 0105tan22aevv3426東北=

17、30BAROSV Va2V Vr2V Ve2可見(jiàn)，A相對(duì)B的速度并不一定等于B相對(duì)A的速度。OABAvBvR例9 如圖車(chē)如圖車(chē)A沿半徑為沿半徑為150m的圓弧的圓弧道路以勻速道路以勻速 行駛，車(chē)行駛，車(chē)B沿直線道路以勻速沿直線道路以勻速 行行駛駛 ，兩車(chē)相距，兩車(chē)相距30m，求：（，求：（1 1）A車(chē)相對(duì)車(chē)相對(duì)B車(chē)的速度；（車(chē)的速度；（2 2）B車(chē)相對(duì)車(chē)相對(duì)A車(chē)的速度。車(chē)的速度。 hkmvA45hkmvB60 解：（1）以車(chē)A為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在車(chē)B上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。由圖可得：hkmvvvvvBAeAr/75222216 . 07545sin11rAvv9 .361OA

18、BAvBvRev1rv1xy（2）以車(chē)B為動(dòng)點(diǎn)，靜系取在地面上，動(dòng)系取在車(chē)A上。動(dòng)點(diǎn)的速度合成矢量圖如圖。OABAvBvRxywev2rv2sradRvA/083. 0150360010453wskmsmve/54/15083. 0180hkmvvveBr/72.80222669. 072.8054sin22revv422例10 圖示曲柄滑道機(jī)構(gòu)，圓弧軌道的半徑ROA10 cm，已知曲柄繞軸O以勻速n120 rpm轉(zhuǎn)動(dòng)，求當(dāng)j30時(shí)滑道BCD的速度和加速度。 njROO1ABCDjvavrve解：取滑塊A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)系與滑道BCD固連。求得曲柄OA轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為 4rad/s30nwaer vv

19、v125.6 cm/s125.6 cm/s125.6 cm/saeraBCDevOAvvvvvw12030hAOO1ABCDj分析加速度得 artaearnaan22n2rr1125.61579 cm/s10vaO An2aa22(4 )101579 cm/saaOAwntaerr aaaa將加速度向h軸上投影有： nare22cos601579 0.5 1579cos303/22740 cm/s27.4 m/saaanaer:cos60cos30aaa h例11 刨床的急回機(jī)構(gòu)如圖所示。曲柄OA的角速度為w，通過(guò)滑塊A帶動(dòng)搖桿O1B擺動(dòng)。已知OA=r，OO1=l，求當(dāng)OA水平時(shí)O1B的角速度

20、w1。解： 在本題中應(yīng)選取滑塊A作為研究的動(dòng)點(diǎn)，把動(dòng)參考系固定在搖桿O1B上。 點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是以點(diǎn)O為圓心的圓周運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿O1B方向的直線運(yùn)動(dòng)，而牽連運(yùn)動(dòng)則是搖桿繞O1軸的擺動(dòng)。21122sinsin()eaevvrrvO Alrjwjww2221122()rO Alrlrww vevavrjAO1OwBjAO1OBww11araetaenaaaC由于動(dòng)參考系作轉(zhuǎn)動(dòng)，因此加速度合成定理為：2aarw12sin90Cravw42n2e113222()raO Alrwwte11aO AntaerCeerCaaaaaaaa2re12222,rlrvlrlrwwww2332222()Cr l

21、alrwjAO1OBw11araetaenaaaCh為了求得aet，應(yīng)將加速度合成定理向軸h投影： ntaeerCaaaaahhhhh即：taeCcosaaaj得：22t2e3222()()rl lralr w搖桿O1B的角加速度 ：t222e12221()()arl lrO Alr wABOCw例12 偏心凸輪的偏心距OCe、半徑為 ，以勻角速度w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，桿AB能在滑槽中上下平動(dòng)，桿的端點(diǎn)A始終與凸輪接觸，且OAB成一直線。求在OC與CA垂直時(shí)從動(dòng)桿AB的速度和加速度。3Revrvave解：選取桿AB的端點(diǎn)A作為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系隨凸輪一起繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。evOAw32 3tan33aeevvO

22、Aww243cos332erveevwwaervvvABOCw加速度分析如圖arnartaCaaaenhaerCaaaa222neaOAeww22163 3nrrveaRw2482sin( ,)2133Crreeavwwww vw wcoscosnnaerCaaaa2222231682( 2)2933 33aeeaeewwww 例13 圖示曲桿OBC繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，使套在其上的小環(huán)M沿固定直桿OA滑動(dòng)。已知OB10 cm，OB與BC垂直，曲桿的角速度為0.5rad/s，求當(dāng)=60時(shí)小環(huán)M的速度和加速度。 BACOMwj解：選取小環(huán)M作為研究的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系隨曲桿OBC一起繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。點(diǎn)A的絕對(duì)運(yùn)動(dòng)

23、是小環(huán)M沿OA桿的直線運(yùn)動(dòng)，相對(duì)運(yùn)動(dòng)是沿著B(niǎo)C的直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)則是曲桿繞O軸的轉(zhuǎn)動(dòng)。于是 ：10 0.510cm/s1cos602eOBvOMwwtan10317.3 cm/saevvj由三角關(guān)系求得小環(huán)的絕對(duì)速度為：BACOMwjavevrv220 cm/srevv小環(huán)M的加速度分析如圖所示 ：222 0.5 2020 cm/sCravw2220.5205 cm/sneaOMw2/cos52 2035cm/snaeCaaaj 可得：aerCaaaa向y方向投影,有:coscosnaeCaaajj BACOMwjcaaanearayj例14 平底頂桿凸輪機(jī)構(gòu)如圖所示，頂桿AB可沿導(dǎo)軌上下移

24、動(dòng)，偏心圓盤(pán)繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，軸O位于頂桿軸線上。工作時(shí)頂桿的平底始終接觸凸輪表面。該凸輪半徑為R，偏心距OC = e，凸輪繞軸O轉(zhuǎn)動(dòng)的角速度為w，角加速度為e 。求OC與水平線成夾角j時(shí)頂桿的速度和加速度。BACOj jyx w wM解1 用運(yùn)動(dòng)方程求解。因推桿作平動(dòng)，其上各點(diǎn)的速度和加速度都相同，現(xiàn)取推桿上與凸輪的接觸點(diǎn)M分析：2sincoscoscossincossinyR edydveedtdtdvddaeedtdtdteejjjwjwjjwjjwjBACOj jyx w wMy解2 取圓盤(pán)的中心C為研究的動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系與平底推桿AB固連，分析動(dòng)點(diǎn)的速度和加速度如圖所示。avewcoscos

25、eavvejwjBACOj jj jyx w wMavevrv2naaewaae2sincoscossinneaaaaaeejjjwj 可求得：BACOj jj jxyraeaaanaanaaer aaaa向y軸正向投影：sincosnaaejj-aaa例15 牛頭刨床機(jī)構(gòu)如圖所示；已知 。求圖示位置滑枕CD的速度和加速度。1200 mmO A 12 rad/sw解：一、速度分析1）取套筒A為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系與搖桿O2B固連。相對(duì)運(yùn)動(dòng)是套筒A沿?fù)u桿O2B的直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是搖桿O2B繞O2的定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是套筒A繞O1的圓周運(yùn)動(dòng)，絕對(duì)速度的大小是：111200 2400 mm/savO A

26、w 650mmCDO2O1BAw w130211121211sin30200 mm/s400 mmsin302000.5 rad/s400cos302003mm/seaeo BravvO AO AvO Avvw由速度合成定理可得 ：650mmCDO2O1BAw w1301av1ev1rv222226500.5cos30650mm/s3cos30325 mm/sao BeavO Bvvw2） 取套筒B為動(dòng)點(diǎn)，動(dòng)參考系與滑枕CD固連。相對(duì)運(yùn)動(dòng)是套筒B沿滑桿的豎直直線運(yùn)動(dòng)，牽連運(yùn)動(dòng)是滑枕CD的水平平動(dòng)，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是套筒B繞O2的圓周運(yùn)動(dòng)。由速度合成定理 可得：650mmCDO2O1BAw w1302a

27、v2ev2rv30二、加速度分析，動(dòng)點(diǎn)和動(dòng)系的選擇分別同前。 2212200 3 mm/sCo Bravw222111200 2800 mm/snaaO Aw1）A點(diǎn)的加速度分析如圖所示，由于動(dòng)參考系O2B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，有科氏加速度，其方向可由相對(duì)速度順著搖桿O2B的轉(zhuǎn)動(dòng)方向轉(zhuǎn)過(guò)得到，是垂直于O2B斜向上方，大小為：O2O1Aw w1301Ca1ea1nea1aay各加速度之間的關(guān)系為：1111nnaeerCaaaaa向y軸投影得：112cos303800200 3 200 3mm/s2neaCaaa2212200 33rad/s4002eo BaO AO2O1Aw w1301Ca1ea1nea

28、1aay2）B點(diǎn)的加速度分析 22naaeraaaa22222222226503250.5mm/scos3036503650 mm/scos302naaaO BaO Bw將各加速度向水平方向投影得 ：2222222cos60cos30325 13cos60cos30650657mm/s223naaeneaaaaaaaa 即滑枕的加速度約為657mm/s2，方向向左。 650mmCDO2O1BAw w1302aa2ea302naa2ra例1 橢圓規(guī)機(jī)構(gòu)如圖。已知連桿AB的長(zhǎng)度l = 20 cm，滑塊A的速度vA=10 cm/s ，求連桿與水平方向夾角為30時(shí)，滑塊B和連桿中點(diǎn)M的速度。 解: A

29、B作平面運(yùn)動(dòng)，以A為基點(diǎn)，分析B點(diǎn)的速度。cot3010 3 cm/sBAvv由圖中幾何關(guān)系得：1rad sBAABvlw方向如圖所示。AvAvAvBvBABwAB30BABAvvvM20 cm/ssin30ABAvv30以A為基點(diǎn)，則M點(diǎn)的速度為將各矢量投影到坐標(biāo)軸上得：:cossin30MAMAxvvv :sincos30MMAyvv解之得10cm sMvtan360AvAvAvMABwAB30MvMMAMAvvvxy例2 行星輪系機(jī)構(gòu)如圖。大齒輪I固定，半徑為r1；行星齒輪II沿輪I只滾而不滑動(dòng)，半徑為r2。系桿OA角速度為wO。求輪II的角速度wII及其上B，C兩點(diǎn)的速度。解:行星齒輪

30、II作平面運(yùn)動(dòng)，求得A點(diǎn)的速度為vAwODADAvvvODACBvAvDAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析兩輪接觸點(diǎn)D的速度。12()AOOvOArrww由于齒輪I固定不動(dòng)，接觸點(diǎn)D不滑動(dòng)，顯然vD0，因而有vDAvAwO(r1+r2)，方向與vA相反，vDA為點(diǎn)D相對(duì)基點(diǎn)A的速度，應(yīng)有vDA wIIDA。所以12II2()ODArrvDArwwvAwOCACAvvvODACBvAvCAvCvBvBAvAwIIIII以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)B的速度。II12()BAOAvBArrvwwBABAvvvvBA與vA垂直且相等，點(diǎn)B的速度221222()BABAAOvvvvrrw以A為基點(diǎn)，分析點(diǎn)C的速度。v

31、CA與vA方向一致且相等，點(diǎn)C的速度II12()CAOAvCArrvww122()CCAOvvvrrw例3 用速度投影定理解例1。解：由速度投影定理得60cos30cosBAvv解得10 3cm sBv BAABABvvAvAvBB30確定瞬心的一般方法：確定瞬心的一般方法：ABAvBvAAvBBvCwCABAvBvwCABAvBvwABAvBvCw例4 用速度瞬心法解例1。解： AB作平面運(yùn)動(dòng)1rad ssin30AAvvAClwcos3010 3cm sBvBClww210cm sMlvMCwwAvAvBB30CvMwM瞬心在C點(diǎn)例5 已知輪子在地面上作純滾動(dòng)，輪心的速度為v，半徑為r。求

32、輪子上A1、A2、A3和A4點(diǎn)的速度。A3wA2A4A1vA2vA3vA4vO解：很顯然速度瞬心在輪子與地面的接觸點(diǎn)即A1各點(diǎn)的速度方向分別為各點(diǎn)與A點(diǎn)連線的垂線方向，轉(zhuǎn)向與w相同，由此可見(jiàn)車(chē)輪頂點(diǎn)的速度最快，最下面點(diǎn)的速度為零。2422AAvvrvwovrvw10AvO322Avrvw459090O1OBAD例6 已知四連桿機(jī)構(gòu)中O1Bl，AB3l/2，ADDB，OA以w繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求：(1) AB桿的角速度；(2) B和D點(diǎn)的速度。w 解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，OA和O1B都作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，C點(diǎn)是AB桿作平面運(yùn)動(dòng)的速度瞬心。vAvBvDCwAB32 ,23 23 5,24OAlABBClACl DC

33、l2AvOAlww2233 22AABvlAClwwwBABvBClww52DABvDClww例7 直桿AB與圓柱O相切于D點(diǎn)，桿的A端以 勻速向前滑動(dòng)，圓柱半徑 ，圓柱與地面、圓柱與直桿之間均無(wú)滑動(dòng)，如圖，求 時(shí)圓柱的角速度。scmvA60cmr1060j 解一：圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在 點(diǎn)，設(shè)其角速度為 。1CwwwrDCvD31 AB圓柱作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心在 點(diǎn)，則2CjAvABDO1CwDv2CABw22ACvDCvADABw即AADvvrrv3333亦即Avr333w故sradrvA2103603w例8 圖示小型精壓機(jī)的傳動(dòng)機(jī)構(gòu)，OAO1Br0.1 m，EBBDADl0.4 m，在圖

34、示瞬時(shí)OAAD，O1BED，O1D在水平位置，OD和EF在鉛直位置。已知曲柄OA的轉(zhuǎn)速n120 rpm，求此時(shí)壓頭F的速度。OADO1BEFn例9 圖示機(jī)構(gòu)，已知曲柄OA的角速度為w，OAABBO1O1Cr，角 = b = 60，求滑塊C的速度。解：AB和BC作平面運(yùn)動(dòng)，其瞬心分別為C1和C2點(diǎn)，則wwrOAvA1AABvrACrwww1BABvBCrww2133BBCvrBCrwww233CBCvCCrwwwbOABO1CC1C2wBCwABvAvBvC解：連桿AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C1點(diǎn)，則12 3cos303AABvrrACABlwww1sin302 33233BABABvBCABlrr

35、lwwww例10 曲柄肘桿式壓床如圖。已知曲柄OA長(zhǎng)r以勻角速度w轉(zhuǎn)動(dòng)，AB = BC = BD = l，當(dāng)曲柄與水平線成30角時(shí)，連桿AB處于水平位置，而肘桿DB與鉛垂線也成30角。試求圖示位置時(shí)，桿AB、BC的角速度以及沖頭C 的速度。AOBDC3030vAvBvCwC1wABC2wBC連桿BC作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C2點(diǎn)，則233BBCvrBClww233CBCrvCCww例11 曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，在連桿AB上固連一塊三角板ABD，如圖所示。機(jī)構(gòu)由曲柄O1A帶動(dòng)。已知曲柄的角速度為w2rad/s，曲柄O1A=0.1m，水平距離O1O2=0.05m，AD=0.05m，當(dāng)O1AO1O2時(shí)，ABO1

36、O2 ，且AD與AO1在同一直線上，j =30。試求三角板ABD的角速度和點(diǎn)D的速度。解、運(yùn)動(dòng)分析：O1A和O2B作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)；ABD作平面運(yùn)動(dòng)，其速度瞬心在點(diǎn)C。 O1O2ABDjCw2wABDwvAvDvB10.2 m/sAvO Aw110.1866 mCACOO A1.072 rad/sAABDvCAw0.2366 mCDCAAD0.254 m/sDABDvCDw例12 圖示蒸汽機(jī)傳動(dòng)機(jī)構(gòu)中，已知：活塞的速度為v，O1A1=a1, O2A2=a2, CB1=b1, CB2=b2; 齒輪半徑分別為r1和r2；且有a1b2r2a2b1r1。當(dāng)桿EC水平，桿B1B2鉛直，A1，A2和O1，O2都

37、在一條鉛直線上時(shí)，求齒輪O1的角速度。vA1vA2w1w2解：設(shè)齒輪O1轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)槟鏁r(shí)針，則齒輪O2的轉(zhuǎn)動(dòng)方向?yàn)轫槙r(shí)針。因A1，A2和O1，O2在一條鉛直線上，所以A1，A2點(diǎn)的速度均為水平方向，如圖所示 。因B1B2作平面運(yùn)動(dòng)，vCB1B2，由速度投影定理知vB1，vB1也應(yīng)垂直于B1B2而沿水平方向。A1B1作平面運(yùn)動(dòng)，vA1和vB1都沿水平方向，所以A1B1作瞬時(shí)平動(dòng)，同理A2B2也作瞬時(shí)平動(dòng)，所以vB1vB2111111 1BAvvO AawwvC2222222BAvvO AawwvA1vB1vB2vA2vCw1w2B1B2桿的速度分布如圖所示，速度瞬心在O點(diǎn)。設(shè)OC長(zhǎng)度為x，則O21

38、 12/r rwww因齒輪O1，O2相互嚙合，w1r1w2r2 ，所以2222 112/Bvaa rrwwCvvOCxww11111 1()BvOBbxbvawwww12211 2 22 1 1()bb r vab ra brw22222 112()/BvOBbxbva rrwwww當(dāng)a1b2r2a2b1r1時(shí)，齒輪O1的角速度為逆時(shí)針?lè)较?。?3 圖示放大機(jī)構(gòu)中，桿I和II分別以速度v1和v2沿箭頭方向運(yùn)動(dòng)，其位移分別以x和y表示。如桿II與桿III平行，其間距離為a，求桿III的速度和滑道的角速度。 IIIIIIIVBCyv1axAv2解：I、II、III桿作平動(dòng)，IV桿作平面運(yùn)動(dòng)。滑塊B

39、和滑塊C與滑道之間有相對(duì)運(yùn)動(dòng)，如果取滑道IV作為動(dòng)參考體分析滑塊B和滑塊C的運(yùn)動(dòng)，則牽連運(yùn)動(dòng)均為平面運(yùn)動(dòng)。ABIVvB(ve1)vAvAvBAva1vr1hIIIIIIIVBCyv1axAv2B點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)分析：取滑塊B為動(dòng)點(diǎn)，滑道作為動(dòng)參考體，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是滑塊B隨I桿的運(yùn)動(dòng)，速度為va1= v1；相對(duì)運(yùn)動(dòng)是滑塊B在桿滑道中的運(yùn)動(dòng)，速度為vr1；牽連運(yùn)動(dòng)是桿的平面運(yùn)動(dòng)，其速度可用基點(diǎn)法分析得到：取A為基點(diǎn)，分析桿上B點(diǎn)的速度，隨基點(diǎn)平動(dòng)的速度是桿的運(yùn)動(dòng)速度v2，相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度方向垂直于桿，大小未知，由這兩個(gè)速度合成得到桿上B點(diǎn)的速度vB，此速度即是前面復(fù)合運(yùn)動(dòng)中的牽連速度ve1，如圖所示。 1

40、1111eBABAaerABArvvvvvvv= vvv121BAr vvvvvB(ve1)Av1vAvBAva1vr1BIVh向h方向投影得:12cossinBAvvv2222cos, sinxyxyxy1222BAv yv xvxy12IV22BAvv yv xABxyw121BAr vvvvACvC(ve2)vAvAvCAva2vr2IIIIIIBCyv1axAv2C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)分析：取滑塊C為動(dòng)點(diǎn)，滑道作為動(dòng)參考體，絕對(duì)運(yùn)動(dòng)是滑塊C隨桿的運(yùn)動(dòng)，速度為va2vIII,大小待求； 相對(duì)運(yùn)動(dòng)是滑塊C在桿滑道中的運(yùn)動(dòng)，速度為vr2； 牽連運(yùn)動(dòng)是桿的平面運(yùn)動(dòng)，其速度可用基點(diǎn)法分析得到：取A為基點(diǎn)，分析

41、桿上C點(diǎn)的速度，隨基點(diǎn)平動(dòng)的速度是桿的運(yùn)動(dòng)速度v2，相對(duì)于基點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)的速度vCA方向垂直于桿，大小為vCA=wAC，由這兩個(gè)速度合成得到桿上C點(diǎn)的速度vC，此速度即是前面復(fù)合運(yùn)動(dòng)中的牽連速度ve2，如圖所示。 22222eCACAaerACAr vvvvvvvvvvIII22CAr vvvvhvC(ve2)AvAvAvCAva2(vIII)vr2CIII22CAr vvvv向h方向投影得:1212IV2222sinCAv yv xv yv xaavACxyxxywIII2sinsinCAvvvIII2sinCAvvvIII221212222()sinCAvaayaxvvvv yv xvvxxx因

42、為所以h解： 如圖所示。jrS 由于此式對(duì)任意時(shí)間都成立，故兩邊對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有ddddOsvrrttjw由此可得rvOw再對(duì)時(shí)間求導(dǎo)有2222ddddOsarrttj由此可得Oar例14 求圓輪在地面上作純滾動(dòng)時(shí)的角速度w和角加速度。wjOOrMMsvOvO 例15 車(chē)輪在地面上作純滾動(dòng)，已知輪心O在圖示瞬時(shí)的速度為vO，加速度為aO，車(chē)輪半徑為r，如圖。試求輪緣與地面接觸點(diǎn)C的加速度。解：車(chē)輪作平面運(yùn)動(dòng)，取O點(diǎn)為基點(diǎn)，則C點(diǎn)的加速度為tnCOCOCOaaaa,OOvarrwtOCOOaarrar2n22()OOCOvvarrrrw取如圖的投影軸，將各矢量投影到投影軸上得nCOa0OOCOOCa

43、aaaarvaaOnCOC2hrvaaaOCCC222h方向由C點(diǎn)指向O點(diǎn)。waOCOvOtCOaaOh例16 平面四連桿機(jī)構(gòu)中，曲柄OA長(zhǎng)r，連桿AB長(zhǎng)l4r。當(dāng)曲柄和連桿成一直線時(shí)，此時(shí)曲柄的角速度為w，角加速度為，試求搖桿O1B的角速度和角加速度的大小及方向。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，由題設(shè)條件知，AB的速度瞬心在B點(diǎn)，也就是說(shuō)，vB = 0，故：OO1ABw3030110BO BvO BwvA取A為基點(diǎn)分析B點(diǎn)的加速度如圖所示：ntntntBBAABABAaaaaaa其中：1n210BOBaOBwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAan22221()()4ABAABv

44、raABABrABllwww n22AaOArwwtAaOAr 將加速度向h軸投影得 ：ntnncos30cos60BBABAaaaatnn2221()cos6012()452BABAaaarrrwww 12t21532523BO BrarOBwwOO1ABnBAanAanAatAatBanBatAatBAah30ABCDO100100vCvB4545例17 平面四連桿機(jī)構(gòu)的尺寸和位置如圖所示，如果桿AB以等角速度w = 1 rad/s繞A軸轉(zhuǎn)動(dòng)，求C點(diǎn)的加速度。 解：AB和CD作定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，BC作平面運(yùn)動(dòng)，其B、C兩點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡已知為圓周，由此可知vB和vC的方向，分別作vB和vC兩個(gè)速度矢量

45、的垂線得交點(diǎn)O即為該瞬時(shí)BC的速度瞬心。由幾何關(guān)系知 200 mm100 2 mm,200 2 mmOBBCOCCD0.5rad/sBBCvABOBOBww50 2 mm/sCBCvOCwwBCwABCDaB45aBnCBatCBatCanCa80.54取B為基點(diǎn)分析C點(diǎn)的加速度，有 ntnntCCBCBCBa +aaaan22100 mm/sBaABwtnn2cos45106.07 mm/sCCBBaaa 將C點(diǎn)的加速度向BC方向投影得：aCn2225 2 mm/sCBBCaBCw2n217.68 mm/sCCvaCD負(fù)值表明實(shí)際方向與假設(shè)方向相反。n2t22()()107.5 mm/sCC

46、Caaatnarctan()80.54CCaa 例18 圖示曲柄連桿機(jī)構(gòu)中，已知曲柄OA長(zhǎng)0.2 m，連桿AB長(zhǎng)1m，OA以勻角速度w =10 rad/s繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)。求圖示位置滑塊B的加速度和AB桿的角加速度。解：AB作平面運(yùn)動(dòng)，瞬心在C點(diǎn)，則2m sAvOAw2rad sAABvACwOwwAB45AvA45vBBCAB作平面運(yùn)動(dòng)，以A點(diǎn)為基點(diǎn)，則B點(diǎn)的加速度為tnBABABA aaaa其中n2220m sAAaaOAwO45AaBBaAa nBAa tBAaAn224m sBAABaABw將B點(diǎn)加速度投影到h軸上得tsin45BABAaaancos45BBAaa25.66m sBa t216m sBAat216rad sBAABaABh將B點(diǎn)加速度投影到軸上得解：薄板作平面運(yùn)動(dòng)，取B為基點(diǎn)分析A點(diǎn)的加速度如圖所示：例19 圖示正方形薄板邊長(zhǎng)20 mm，在其平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)。某瞬時(shí)頂點(diǎn)A和B的加速度分別為 和 ，方向如圖。求薄板的角速度和角加速度。240 2 mm/sAa 280 mm/sBa DCBAaBaAa nCBa tCBaBntABABAB aaaa其中 ：240 2