圓的對(duì)稱性(1)教學(xué)設(shè)計(jì)

1、圓的對(duì)稱性（1）教學(xué)設(shè)計(jì)江蘇省藍(lán)天杯教學(xué)設(shè)計(jì)評(píng)比獲獎(jiǎng)作品一、課題圓的對(duì)稱性（ 1）是蘇教版教科書九年級(jí)上冊(cè)第五章第二節(jié)的第一課時(shí)內(nèi)容。二、教材分析圓的對(duì)稱性（ 1）是學(xué)生在學(xué)習(xí)了有關(guān)中心對(duì)稱圖形的知識(shí)，圓的相關(guān)概念（包括弦、弧、圓心角、同圓、等圓、等弧等）后所學(xué)習(xí)的一節(jié)重要內(nèi)容。本節(jié)課主要是在理解了圓的中心對(duì)稱性與旋轉(zhuǎn)不變性的基礎(chǔ)上，通過學(xué)生自主探究，掌握在同圓或等圓中，圓心角和它所對(duì)的弧、弦三者之間的關(guān)系。它為后續(xù)學(xué)生進(jìn)一步學(xué)習(xí)圓的其它知識(shí)以及解決與圓有關(guān)的問題提供了重要基礎(chǔ)。三、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)技能（ 1）經(jīng)歷圓繞圓心旋轉(zhuǎn)，理解圓的中心對(duì)稱性以及圓的旋轉(zhuǎn)不變性；（ 2）經(jīng)歷操作、猜想、說理

2、、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)， 理解并掌握在同圓或等圓中，圓心角和它所對(duì)弧、弦三者之間的關(guān)系，并能應(yīng)用其解決相關(guān)問題；（ 3）掌握弧的度數(shù)概念，并會(huì)計(jì)算弧的度數(shù)。2、數(shù)學(xué)思考（ 1）在參與操作、觀察、猜想、說理、歸納等數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理和演繹推理能力，清晰地表達(dá)自己的想法；（ 2）通過數(shù)學(xué)活動(dòng)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)。3、問題解決（ 1）通過問題解決的過程讓學(xué)生學(xué)會(huì)從數(shù)學(xué)的角度發(fā)現(xiàn)問題；（ 2）通過對(duì)問題的解決，讓學(xué)生獲得分析問題和解決問題的一些基本方法，發(fā)展創(chuàng)新意識(shí)；（ 3）進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生解決問題時(shí)的合作意識(shí)。4、情感態(tài)度在解決問題的過程中，體驗(yàn)獲得成功的樂趣，鍛煉克服困難的意志。四、教學(xué)重、難點(diǎn)

3、1、重點(diǎn)：在同圓或等圓中，圓心角和它所對(duì)弧、弦三者之間的關(guān)系及其應(yīng)用2、難點(diǎn)：從感性認(rèn)識(shí)到理性認(rèn)識(shí)，從直觀到抽象的數(shù)學(xué)知識(shí)探索過程以及歸納能力的培養(yǎng)。五、設(shè)計(jì)理念1、注重學(xué)生的自主動(dòng)手實(shí)踐，體現(xiàn)學(xué)生的主體地位數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)， 特別是教學(xué)活動(dòng)應(yīng)激發(fā)學(xué)生興趣， 調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)積極性， 而重視了學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐，自主活動(dòng)，能夠很好的達(dá)到這個(gè)效果。2、注重“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)” ，體現(xiàn)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成的過程“操作、猜想、說理、歸納總結(jié)”是一個(gè)較完整的探索數(shù)學(xué)知識(shí)的過程，讓學(xué)生親自體驗(yàn)數(shù)學(xué)知識(shí)探索的全過程， 有助于學(xué)生形成良好的數(shù)學(xué)思維方式， 有助于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解，有助于培養(yǎng)學(xué)生“數(shù)學(xué)基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)” 。3、

4、注重歸納總結(jié)，體現(xiàn)理性思維歸納總結(jié)是從感性到理性，從特殊到一般的質(zhì)的飛躍，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的特點(diǎn)。六、設(shè)計(jì)思路本節(jié)課中，探索新知由若干個(gè)活動(dòng)組成， 通過學(xué)生操作、 觀察、猜想、說理、歸納總結(jié)等一系列活動(dòng)獲得新知， 最后通過對(duì)若干條題目的解決來到達(dá)鞏固新知的作用。七、教學(xué)過程1、創(chuàng)設(shè)情境，引入新課活動(dòng)一： 欣賞圖片和動(dòng)畫，感知圓的對(duì)稱性（1）通過多媒體課件， 向?qū)W生展示生活中關(guān)于圓對(duì)稱性的一些實(shí)例， 例如：正在旋轉(zhuǎn)的摩天輪， 緩慢旋轉(zhuǎn)的車輪， 剪紙時(shí)將圓沿著直徑翻折等， 學(xué)生欣賞動(dòng)畫，并思考它們的共性，很容易發(fā)現(xiàn)圓具有對(duì)稱性。教師板書本節(jié)課課題?！驹O(shè)計(jì)意圖】圓的對(duì)稱性在學(xué)生已有的生活經(jīng)驗(yàn)中是大量存在的

5、，展示的動(dòng)畫，貼近學(xué)生生活實(shí)際， 容易激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣， 創(chuàng)設(shè)這個(gè)情景， 還能增加學(xué)生的聯(lián)想思維能力，為下面的探究活動(dòng)打下基礎(chǔ)。（2）關(guān)于對(duì)稱，我們學(xué)到今天主要學(xué)習(xí)了軸對(duì)稱和中心對(duì)稱，那么什么是中心對(duì)稱圖形？學(xué)生很容易能夠回答出：把一個(gè)圖形繞著某一點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠和原來的圖形重合， 那么這個(gè)圖形叫做中心對(duì)稱圖形，這個(gè)點(diǎn)是它的對(duì)稱中心?！驹O(shè)計(jì)意圖】復(fù)習(xí)舊知，同時(shí)也指明了本節(jié)課的學(xué)習(xí)重點(diǎn)是在圓的中心對(duì)稱性上面。（3）我們采用什么方法研究中心對(duì)稱圖形？根據(jù)中心對(duì)稱圖形的定義，學(xué)生易回答出：采用旋轉(zhuǎn)的方法研究中心對(duì)稱圖形?！驹O(shè)計(jì)意圖】為本節(jié)課研究圓的中心對(duì)稱性提供了方法

6、，即，利用旋轉(zhuǎn)來研究。2、活動(dòng)、思考，探索新知活動(dòng)二： 動(dòng)手操作，感受圓的中心對(duì)稱性（1）圓是中心對(duì)稱圖形嗎？請(qǐng)同學(xué)們拿出事先準(zhǔn)備好的圓（圓心處被大頭針戳在一張硬紙板上， 圓可以繞著圓心自由旋轉(zhuǎn)） 按照中心對(duì)稱圖形的定義轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)圓。根據(jù)前面的復(fù)習(xí)，學(xué)生很快根據(jù)自己的操作，發(fā)現(xiàn)：將圓繞圓心旋轉(zhuǎn) 180° 后，能夠和原來的圖形重合， 從而得到圓是中心對(duì)稱圖形， 它的對(duì)稱中心就是圓心。這里，教師可以讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)并總結(jié)本節(jié)課的第一個(gè)知識(shí)點(diǎn)： 圓是中心對(duì)稱圖形，圓心是它的對(duì)稱中心?！驹O(shè)計(jì)意圖】讓學(xué)生通過活動(dòng)，親身體驗(yàn)“圓的中心對(duì)稱性” ，既強(qiáng)化了對(duì)中心對(duì)稱圖形概念的理解，又實(shí)實(shí)在在的看到了圓是

7、中心對(duì)稱圖形。（2）請(qǐng)同學(xué)們將你們手上的圓繞圓心任意轉(zhuǎn)動(dòng)一定的角度，你們能發(fā)現(xiàn)什么？自己做一做，互相討論下！學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，無論將圓繞圓心怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，所得的圓還和原來的圓重合。教師進(jìn)一步總結(jié)： 其實(shí)圓具有旋轉(zhuǎn)不變性， 即，一個(gè)圓繞著它的圓心旋轉(zhuǎn)任何一個(gè)角度后，都能與原來的圖形重合?！驹O(shè)計(jì)意圖】圓的旋轉(zhuǎn)不變性的研究是為進(jìn)一步研究圓的性質(zhì)打下基礎(chǔ)。活動(dòng)三： 操作、觀察、猜想、說理，初步探索（1）請(qǐng)同學(xué)們利用量角器在你們剛才準(zhǔn)備的圓上畫出兩個(gè)相等且互不重疊的圓心角，分別記作 AOB和 A1OB1，并連接弦 AB、A1B1。（提醒學(xué)生注意：畫AOB和 A1OB1時(shí)，要使 OB相對(duì)于 OA的方向與 OB1 相

8、對(duì)于 OA1 的方向一致）（2）將扇形 OAB剪下，將它繞著圓心O旋轉(zhuǎn)，使得 OA與 OA1 重合。（3）在操作中，仔細(xì)觀察，你發(fā)現(xiàn)了什么？互相討論一下！如上圖，通過操作、觀察，討論，學(xué)生很容易發(fā)現(xiàn)，剪下來的部分繞著圓心旋轉(zhuǎn)，當(dāng) OA與 OA重合時(shí)， OB與 OB也重合，整個(gè)扇形OAB與扇形 OAB 完全重1111重合 , 弦 AB與弦 A1B1重合。合， AB 與A1 B1（4）根據(jù)對(duì)剛才的操作、觀察以及你們所發(fā)現(xiàn)的情況，你們能從數(shù)學(xué)的角度猜想出一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論嗎？引導(dǎo)學(xué)生得到：在中，如果則 。這OAOBA1OB1,ABA1 B 1,ABA1B1里，學(xué)生很容易把“在O中”給遺漏掉，教師要注意提醒

9、。（5）這個(gè)猜想出來的結(jié)論對(duì)嗎？如果正確，你能根據(jù)前面所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，對(duì)你的這個(gè)猜想進(jìn)行證明嗎？請(qǐng)同學(xué)們互相討論，然后嘗試著寫一寫。在思考證明的方法時(shí)，大部分學(xué)生都會(huì)想到利用AOB A1OB1 這樣的常規(guī)方法來證明 AB A1 B1，這里教師要加以肯定，但是對(duì)于證明, 卻會(huì)顯得AB A1 B1束手無策，因?yàn)樵谶@節(jié)課前，并沒有學(xué)習(xí)過關(guān)于證明弧相等的方法。這里，教師可以引導(dǎo)學(xué)生回憶等弧的概念， 即，能夠互相重合的弧叫做等弧， 而在剛才的操作過程中，最后確實(shí)出現(xiàn)了兩弧重合的現(xiàn)象， 進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)： 只要能說明到與重合，與重合即可證明到 ，同時(shí)也可證明到，AA1BB1ABA1B1ABA1B1這樣

10、也不需要用全等的方式來證明了。（6）我們一起來把這個(gè)證明過程寫一寫。【設(shè)計(jì)意圖】通過操作、觀察、猜想、說理這一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生親身體驗(yàn)了數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生的全過程， 感受了研究數(shù)學(xué)的科學(xué)方法， 培養(yǎng)了學(xué)生的動(dòng)手能力、數(shù)學(xué)觀察能力、數(shù)學(xué)猜想能力、邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)能力，同時(shí)也為本節(jié)課的重點(diǎn)難點(diǎn)部分的提出打下基礎(chǔ)， 最后讓學(xué)生自己寫出證明過程可以使學(xué)生對(duì)證明過程更加理解，思路更加清晰。,AB（7）通過證明，我們發(fā)現(xiàn)，“在 O中，如果 AOB A1OB1, 則AB A1 B 1 A1B1 。”但這個(gè)是針對(duì)在 O中的結(jié)論，那現(xiàn)在不給我們一個(gè)具體的圖形，你能直接用一句文字語言來描述一下上面的這

11、種性質(zhì)嗎？討論一下，然后告訴我。教師要引導(dǎo)學(xué)生首先找到， 前面操作過程中的， 圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，即，弧與弦都是相等的圓心角所對(duì)的，這樣，學(xué)生很快就能總結(jié)出“在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等， 所對(duì)的弦相等?！保珜W(xué)生在總結(jié)的時(shí)候容易漏掉 “在同圓中”這個(gè)前提。無論學(xué)生是否出現(xiàn)這個(gè)問題， 教師都要加以強(qiáng)調(diào) “在同圓中”這個(gè)條件，這時(shí)教師在多媒體課件上展示兩組圓， 一組是不等的兩個(gè)圓， 另一組是兩個(gè)等圓， 通過動(dòng)畫直觀展示給學(xué)生看， 第一組在不等的兩個(gè)圓中， 雖然圓心角是相等的， 但是所對(duì)的弧與弦確實(shí)不相等， 而另一組在兩個(gè)等圓中， 圓心角相等，所對(duì)的弧與弦是相等的。從而讓學(xué)生進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)

12、，不僅不能把“在同圓中”這個(gè)條件前提漏掉，還要把它改一改，改成“在同圓或等圓中” 。【設(shè)計(jì)意圖】 通過具體實(shí)物的操作， 猜想以及證明后， 最為重要的一步就是將猜想的結(jié)論進(jìn)一步一般化、數(shù)學(xué)化，在這一過程中，需要教師加以引導(dǎo)，這樣既能讓學(xué)生從中感悟到各個(gè)相關(guān)量之間的具體聯(lián)系， 又能讓學(xué)生更深的理解其中的真正內(nèi)涵所在，為將來能夠更好的應(yīng)用結(jié)論提高良好的基礎(chǔ)。教師將結(jié)論板書在黑板上?；顒?dòng)四： 思考、探索，形成知識(shí)升華（1）在同圓或等圓中，如果圓心角所對(duì)的弧相等，那么它們所對(duì)的弦相等嗎？這兩個(gè)圓心角相等嗎？為什么？在同圓或等圓中，如果圓心角所對(duì)的弦相等，那么它們所對(duì)的弧相等嗎？這兩個(gè)圓心角相等嗎？為什么

13、？對(duì)于這兩個(gè)問題，教師鼓勵(lì)學(xué)生用剛才前面的研究方法，猜一猜，證一證。由前面活動(dòng)三的基礎(chǔ)， 這個(gè)兩個(gè)問題都不會(huì)太困難， 教師要把時(shí)間完全的交由學(xué)生自主探索，自主證明，并模仿活動(dòng)三，將兩個(gè)結(jié)論得出。（2）我們上面所涉及的問題都是在同圓或等圓中，都是針對(duì)的關(guān)于圓心角、圓心角所對(duì)的弧與弦直接的關(guān)系， 我們發(fā)現(xiàn)，它們?nèi)咧苯樱?只要有一組量是相等的，其余兩個(gè)量就都相等了，那能不能用一句話總結(jié)一下？學(xué)生非常容易就可以得出：在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等， 那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組兩都分別相等。這里教師還應(yīng)強(qiáng)調(diào)兩點(diǎn)，一是“在同圓或等圓中”這個(gè)條件不能遺漏，二是在同圓或等圓中，弦

14、相等所對(duì)弧相等中的弧必須是同為“優(yōu)弧”或同為“劣弧”?！驹O(shè)計(jì)意圖】 通過思考、探索活動(dòng)三中的逆命題是否成立， 進(jìn)一步讓學(xué)生獨(dú)立自主的體驗(yàn)了研究數(shù)學(xué)的方式方法， 同時(shí)也進(jìn)一步培養(yǎng)了學(xué)生說理的能力， 歸納總結(jié)的能力。（3）教師將結(jié)論板書在黑板上，提出，這個(gè)結(jié)論我們今后在解決問題的時(shí)候可以直接使用，但是，我們?cè)谧鲱}目的時(shí)候通常都需要用數(shù)學(xué)符號(hào)語言來描述，能不能請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)老師所畫的圖，用數(shù)學(xué)符號(hào)語言把這個(gè)結(jié)論描述出來？教師請(qǐng)三位學(xué)生到黑板上把三個(gè)結(jié)論分別用數(shù)學(xué)符號(hào)語言寫出來， 其他學(xué)生在下面寫，教師加以適當(dāng)?shù)男薷暮涂偨Y(jié)。【設(shè)計(jì)意圖】數(shù)學(xué)符號(hào)語言是解決數(shù)學(xué)問題尤其是說理證明時(shí)重要的表達(dá)方式，學(xué)生必須能

15、夠熟練的將文字語言和數(shù)學(xué)符號(hào)語言進(jìn)行轉(zhuǎn)化， 同時(shí)在書寫數(shù)學(xué)符號(hào)語言的同時(shí)也再一次的讓學(xué)生感受了在同圓或等圓中， 圓心角、圓心角所對(duì)弧與弦三者之間的聯(lián)系，進(jìn)一步加深了對(duì)概念的理解和記憶。（4）教師指出，今后，在圓中，若要證明圓心角相等、弦相等、弧相等就要想到我們剛剛學(xué)習(xí)過的知識(shí)，即利用圓心角和它所對(duì)的弧、弦之間的關(guān)系?！驹O(shè)計(jì)意圖】教師幫助學(xué)生進(jìn)一步凝練總結(jié)，形成新的數(shù)學(xué)解題技能。活動(dòng)五： 關(guān)于“弧度”的概念（1）將頂點(diǎn)在圓心的圓周角等分成360 份時(shí)，每一份的圓心角是多少度？為什么？學(xué)生小學(xué)時(shí)就已經(jīng)知道圓一周角等于360°，基本都能回答出是1°的角。（2）那這 360 個(gè) 1

16、°的圓心角所對(duì)的弧有什么關(guān)系？這個(gè)在活動(dòng)三和活動(dòng)四中已經(jīng)具體總結(jié)過了， 學(xué)以致用，學(xué)生很快可回答出，它們都是等弧。（3）教師提出，通常，我們把1°的圓心角所對(duì)的弧叫做1°弧。（4）請(qǐng)問， n°圓心角所對(duì)的弧度數(shù)是多少？學(xué)生不難回答， n°圓心角所對(duì)的弧度數(shù)是n°。（5）那 n°弧所對(duì)的圓心角度數(shù)是多少？學(xué)生不難回答， n°弧所對(duì)的圓心角度數(shù)是n°。（6）哪個(gè)同學(xué)能把剛才我們一起敘述的結(jié)論用一句話總結(jié)一下嗎？對(duì)學(xué)生來說，這個(gè)問題也不難回答， 圓心角的度數(shù)與它多對(duì)的弧的度數(shù)相等?！驹O(shè)計(jì)意圖】 設(shè)計(jì)一系列簡(jiǎn)單的

17、問題， 層層深入， 讓對(duì)學(xué)生而言非常陌生的概念“弧的度數(shù)” 與學(xué)生非常熟悉的知識(shí)和本節(jié)課剛學(xué)習(xí)過的知識(shí)聯(lián)系起來， 順利得到結(jié)論。（7）請(qǐng)同學(xué)們思考一個(gè)問題，弧的度數(shù)相等與等弧是一個(gè)意思嗎？引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)弧的度數(shù)的概念與等弧的概念，畫一畫、想一想、討論一下。為了能讓學(xué)生能夠理解，教師可以通過多媒體展示出兩個(gè)例子。圖1圖2如圖所示， 與 的所對(duì)圓心角是相等的， 因此，它們兩個(gè)弧的度數(shù)是1ABCD相等的，但是，很顯然， AB CD ，它們并不能重合，但是由圖2 所示，由于是在同圓中， 、 的度數(shù)是相等的，也是等弧，原因就在于本節(jié)課剛學(xué)過的EFGH知識(shí)，在同圓或等圓中，圓心角相等，它所對(duì)的弧也相等，而圓

18、心角相等，也意味著圓心角所對(duì)的弧的度數(shù)是相等的。讓學(xué)生從直觀的角度和邏輯關(guān)系上認(rèn)識(shí)到：第一、兩條弧，弧的度數(shù)相等時(shí)，兩條弧不一定是等弧，除非這兩條弧是在同圓或等圓中；第二、兩條弧是等弧，那它們的度數(shù)肯定相等。因此只有在等弧時(shí)才能用等號(hào)把兩條弧連起來，而弧的度數(shù)相等，就不能這樣。【設(shè)計(jì)意圖】弧的度數(shù)相等和等弧歷來是學(xué)生最容易搞混淆的知識(shí)，因此本節(jié)課講到這里必須要引導(dǎo)學(xué)生加以區(qū)別，同時(shí)由對(duì)弧的度數(shù)相等和等弧這兩個(gè)概念的區(qū)別和聯(lián)系，讓學(xué)生進(jìn)一步加強(qiáng)了對(duì)弧的度數(shù)和等弧概念的理解，也復(fù)習(xí)了本節(jié)課剛剛學(xué)過的兩個(gè)知識(shí)點(diǎn)。3、例題教學(xué)、鞏固新知例 1、如圖，AB、AC、BC都是 O的弦， AOB BOC。AB

19、C與 BAC相等嗎？為什么？學(xué)生由于剛接觸圓心角和它所對(duì)的弧、 弦之間的關(guān)系， 比較陌生，還不善于利用這個(gè)關(guān)系來解決問題， 因此要引導(dǎo)學(xué)生從本節(jié)課剛講的知識(shí)點(diǎn)入手解決。 采取師生一起分析， 學(xué)生自主寫過程， 師生共同對(duì)典型的錯(cuò)誤進(jìn)行糾正的模式完成對(duì)本例題的講解?！驹O(shè)計(jì)意圖】 本題涉及到本節(jié)課的知識(shí)點(diǎn)主要是： 在同圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等。通過對(duì)本題的解決， 讓學(xué)生再次體驗(yàn)同圓或等圓中， 圓心角和它所對(duì)的弧、弦之間的關(guān)系。4、課堂練習(xí)，強(qiáng)化應(yīng)用、如圖，在中， ，°，求的度數(shù)。1OACBDAOB 50COD2、如圖，在 O中， AB AC ， A40°，求 ABC的度數(shù)。3、如圖，在 ABC中， C90°， B28°，以 C 為圓心， CA為半徑的圓交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求