圓錐曲線的極坐標(biāo)方程、焦半徑公式、焦點(diǎn)弦公式good

1、精品資料歡迎下載圓錐曲線的極坐標(biāo)方程知識(shí)點(diǎn)精析橢圓、雙曲線、拋物線可以統(tǒng)一定義為：與一個(gè)定點(diǎn)( 焦點(diǎn) ) 的距離和一條定直線 ( 準(zhǔn)線 ) 的距離的比等于常數(shù)e 的點(diǎn)的軌跡以橢圓的左焦點(diǎn) ( 雙曲線的右焦點(diǎn)、拋物線的焦點(diǎn) ) 為極點(diǎn)，過點(diǎn) F 作相應(yīng)準(zhǔn)線的垂線， 垂足為 K，以 FK 的反向延長線為極軸建立極坐標(biāo)系橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)一的極坐標(biāo)方程為：ep.1ecos其中 p 是定點(diǎn) F 到定直線的距離， p0 當(dāng) 0e1 時(shí)，方程表示橢圓；當(dāng) e1 時(shí)，方程表示雙曲線，若 0，方程只表示雙曲線右支，若允許 0，方程就表示整個(gè)雙曲線；當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向右的拋物線 .ep引論（ 1

2、）若1+e cos則 0e1 當(dāng)時(shí)，方程表示極點(diǎn)在右焦點(diǎn)上的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)時(shí)，方程表示開口向左的拋物線當(dāng) e1 方程表示極點(diǎn)在左焦點(diǎn)上的雙曲線ep（2 ）若1-esin當(dāng) 0 e 1 時(shí)，方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的橢圓當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向上的拋物線當(dāng) e 1 時(shí)! 方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的雙曲線ep（3）1+esin當(dāng) 0 e 1 時(shí)，方程表示極點(diǎn)在上焦點(diǎn)的橢圓精品資料歡迎下載當(dāng) e=1 時(shí)，方程表示開口向下的拋物線當(dāng) e 1 時(shí)! 方程表示極點(diǎn)在下焦點(diǎn)的雙曲線（2）圓錐曲線弦長問題若圓錐曲線的弦 MN經(jīng)過焦點(diǎn) F，1、橢圓中， pa2cb2epep2ab22 .， MNecos1 e

3、cos()a22cc1c cos2、雙曲線中，（注釋：雙曲線問題比較特殊，很多參考書上均有誤解。）若 M、N 在雙曲線同一支上，MNepep2ab2；ecos1 ecos() a2c2cos21若 M、N 在雙曲線不同支上，MNepep2ab2.ecos1ecosc2 cos2a213、拋物線中， MNpp2 p1cos1 cos()sin 2例 1 過雙曲線x 2y21的右焦點(diǎn)，引傾斜角為的直線，交雙曲線與AB4-5A、B 兩點(diǎn)，求3解：根據(jù)題意，建立以雙曲線右焦點(diǎn)為極點(diǎn)的極坐標(biāo)系5即得23cos所以 A( 1,),B( 2,)33又由AB |12 |5580得 |23cos(|72 3co

4、s)33注釋：求橢圓和拋物線過焦點(diǎn)的弦長時(shí)，無需對(duì)v加絕對(duì)值，但求雙曲線的弦長時(shí)，一定要加絕對(duì)值，這是避免討論做好的方法。點(diǎn)睛由于橢圓 , 拋物線的弦的兩個(gè)端點(diǎn)極徑均為正值,所以弦長都是;對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)都1在雙2曲線右支上的弦, 其端點(diǎn)極徑均為正值,所以弦長也是;對(duì)于兩個(gè)端點(diǎn)分別在雙曲線左、右支上的弦 , 其端點(diǎn)極徑一個(gè)為正值一個(gè)為負(fù)值, 所以弦長是 -或12為統(tǒng)一起見，求雙曲線時(shí)一律加絕對(duì)值，使用1- 1 22變式練習(xí)：等軸雙曲線長軸為 2，過其右有焦點(diǎn)，引傾斜角為的直線，交雙曲線于 A,B6兩點(diǎn)，求 AB求AB精品資料歡迎下載解：A( 1,),B( 2,)66AB|12 |11|2212 c

5、os（） 12 cos( )|2|2 6666附錄直角坐標(biāo)系中的焦半徑公式設(shè) P（x,y ）是圓錐曲線上的點(diǎn)，1、若 F1 、 F2 分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，則PF1aex ， PF2aex ；2、若 F1 、 F2 分別是雙曲線的左、右焦點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 在雙曲線右支上時(shí)，PF1exa ， PF2exa ；當(dāng)點(diǎn) P 在雙曲線左支上時(shí)，3、若 F 是拋物線的焦點(diǎn)，PF1aex ， PF2aex ；pPFx.利用弦長求面積高考題（ 08 年海南卷）過橢圓x 2y 22 的直線與橢圓交于 A，51 的焦點(diǎn) F 作一條4斜率為4B 兩點(diǎn)， O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求AOB 的面積簡解首先極坐標(biāo)方程中的焦點(diǎn)弦長公式

6、|AB|2ep求弦長，然后利用公式e2 cos211S AOB| A B |OF| | s i nAFO 直接得出答案。2變式 (2005年全國高考理科 ) 已知點(diǎn) F 為橢圓 x2y2 1的左焦點(diǎn) . 過點(diǎn) F 的直線 l1 與橢圓交2于 P 、 Q 兩點(diǎn)，過 F 且與 l1 垂直的直線 l 2 交橢圓于 M 、 N 兩點(diǎn)，求四邊形 PMQN 面積的最小值和最大值 .2解析以點(diǎn) F 為極點(diǎn)，建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：212 cos2設(shè)直線 l1 的傾斜角 ，則直線 l2 的傾斜角為900 ，由極坐標(biāo)系中焦點(diǎn)弦長公式知：精品資料歡迎下載|PQ |2，|MN |221 cos21 co

7、s2 (900)1 1 sin211222用他們來表示四邊形的面積S1 |PQ |MN |111112sin2212224cos2sin16即求1的最大值與最小值1 1 sin2 22 16由三角知識(shí)易知：當(dāng)sin21 時(shí)，面積取得最小值16 ；當(dāng)sin 20 時(shí)，面積取得最大值29利用弦長公式解決常量問題x2y 21 (ab 0)例一過橢圓 a2b2的左焦點(diǎn) F，作傾斜角為 60 的直線 l 交橢圓于 A、B 兩點(diǎn)，若FA2 FB ，求橢圓的離心率 .簡解，建立極坐標(biāo)系，然后利用等量關(guān)系，可很快求出離心率。設(shè)橢圓的極坐標(biāo)方程為e p則 FAe p, FBe p1ecos1 e cos60 0

8、，1 e cos 2400 e p2e p， 解得 e2；e1e3122變式求過橢圓2的左焦點(diǎn)，且傾斜角為的弦長 AB 和左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距離。3cos42解：先將方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式：311 cos3則離心率 e1 ， ep2 ，33p2所以左焦點(diǎn)到左準(zhǔn)線的距為2。設(shè)1,), B( 2,5) ，代入極坐標(biāo)方程，則弦長44A(AB1222243cos3 cos51744精品資料歡迎下載（3）定值問題例 1. 拋物線y 22 px ( p 0)的一條焦點(diǎn)弦被焦點(diǎn)分為a,b 的兩段，證明： 11 定值。ab解：以焦點(diǎn)F 為極點(diǎn)，以FX 軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則拋物線的極坐標(biāo)方程為p，設(shè) A(a, ),

9、 B(b,)1 cosp, bp將 A,B 兩點(diǎn)代入極坐標(biāo)方程，得 acos()1 cos1則 11 =1cos1 cos()=2（定值）abppp點(diǎn)睛，引申到橢圓和雙曲線也是成立的。推論 ：若圓錐曲線的弦 MN經(jīng)過焦點(diǎn) F，則有112MFNFep例二：經(jīng)過橢圓的的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的弦AB和弦 CD,求證11 為定值。ABCD證明：以橢圓的左焦點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，此時(shí)橢圓的極坐標(biāo)方程為ep， 又 設(shè)1ecosA 1,1,B2,+ ,C3,+3則代入可得, D4,+22| AB|2ep， |AB|2ep則222sin21 ecos1 e112-e2ABCD=2ep注釋。此公式對(duì)拋物線也成立，但對(duì)雙

10、曲線不成立。注意使用的范圍。推廣 1 若經(jīng)過橢圓的中心做兩條相互垂直的弦，倒數(shù)和也為定值。需要以原點(diǎn)為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)方程。推廣 2 若不取倒數(shù)，可以求它們和的最值。例三 (2007 重慶理改編 ) 中心在原點(diǎn) O 的橢圓 x2y21，點(diǎn) F 是其左焦點(diǎn)， 在橢圓上任取三3627個(gè)不同點(diǎn) P1,P2 ,P3 使P1FP 2 P2FP3 P3 FP11200 證明：111 為定值，并求此定值FP1FP 2FP3解析：以點(diǎn) F 為極點(diǎn)建立極坐標(biāo)系，則橢圓的極坐標(biāo)方程為：9，設(shè)點(diǎn) P1 對(duì)應(yīng)的2cos極角為，則點(diǎn) P2 與 P3 對(duì)應(yīng)的極角分別為1200 、1200， P1 、 P2 與 P3 的極徑

11、就分別是|FP1|99與 |FP3|9， 因 此2 cos、 |FP2|1200 )22 cos(cos( 1200 )精品資料歡迎下載1112 cos2cos(1200 ) 2 cos( 1200 ) ，而在三角函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我FP1FP 2FP3999們知道 coscos(1200 )cos(1200)0 ，因此1112 為定值FPFP 2FP331點(diǎn)睛：極坐標(biāo)分別表示 | FP1|、| FP|與| FP|，這樣一個(gè)角度對(duì)應(yīng)一個(gè)極徑就不會(huì)象解析23幾何那樣，一個(gè)傾斜角，對(duì)應(yīng)兩個(gè)點(diǎn)，同時(shí)對(duì)應(yīng)兩條焦半徑（極徑），這就是極坐標(biāo)表示圓錐曲線的優(yōu)點(diǎn)推廣 1 若放在拋物線和雙曲線中是否成立呢？推廣 2設(shè) PP12P3Pn是 橢圓