華中師范大學(xué)2014-量子力學(xué)A卷-參考答案

1、華中師范大學(xué) 2014 2015 學(xué)年第一學(xué)期期末考試試卷（A）課程名稱 量子力學(xué) 課程編號(hào) 83810113 任課教師 題型填空題判斷題證明題簡(jiǎn)答題計(jì)算題總分分值2010162034100得分得分評(píng)閱人一、填空題：（共10題，每題2分，共20分）1. 若某種光的波長(zhǎng)為，則其光子的能量為 ，動(dòng)量大小為 。2. 戴維遜革末實(shí)驗(yàn)主要表現(xiàn)出電子具有 波動(dòng)性 。3. 若是歸一化的波函數(shù)，則表示 t時(shí)刻x附近dx體積元內(nèi)發(fā)現(xiàn)粒子的概率 。4. 設(shè)力學(xué)量算符與不對(duì)易，且其對(duì)易子為，則它們的不確定性關(guān)系為 。5. 厄米算符在自身表象是 對(duì)角 矩陣。6. 從量子力學(xué)的觀點(diǎn)看，氫原子中核外電子的運(yùn)動(dòng)不再是圓軌道

2、上的運(yùn)動(dòng)，而是電子云的圖像，電子云是 電子電荷在核外的概率分布 。7. 設(shè)氫原子處于態(tài)，求氫原子的角動(dòng)量分量的平均值 。 8. 證明電子具有自旋的實(shí)驗(yàn)是 鈉黃線的精細(xì)結(jié)構(gòu) / 復(fù)雜塞曼效應(yīng) / 斯特恩-蓋拉赫實(shí)驗(yàn) 。院（系）： 專業(yè)： 年級(jí)： 學(xué)生姓名： 學(xué)號(hào)： - 密 - 封 - 線 -9. 兩個(gè)角動(dòng)量，角量子數(shù)分別為，它們耦合的總角動(dòng)量的角量子數(shù) 3/2 或 1/2 。10. 周期性微擾下，當(dāng)時(shí)，躍遷概率為。式中函數(shù)的物理意義是 躍遷過程能量守恒 。得分評(píng)閱人二、判斷題：（共10題，每題1分，共10分）1. 光電效應(yīng)證實(shí)了光的粒子性，康普頓效應(yīng)進(jìn)一步證實(shí)了光的粒子性。 （）2. 若是體系的

3、一系列可能的狀態(tài)，則這些態(tài)的線性疊加（其中為復(fù)常數(shù)）也是體系的一個(gè)可能狀態(tài)。（）3. 不同定態(tài)的線性疊加還是定態(tài)。（×）4. 因?yàn)樽鴺?biāo)與動(dòng)量算符均是厄米算符，所以它們的乘積一定是厄米算符。（×）5. 若兩個(gè)力學(xué)量算符不對(duì)易，則它們一般沒有共同本征態(tài)。（）6. 粒子在中心力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，若角動(dòng)量Lz是守恒量，那么Lx就不是守恒量。（×）7. 在一維勢(shì)場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的粒子，勢(shì)能對(duì)原點(diǎn)對(duì)稱：，則粒子的束縛態(tài)波函數(shù)一定具有確定的宇稱。（）8. 費(fèi)米子體系的哈密頓算符必須是交換反對(duì)稱的，玻色子體系的哈密頓算符必須是交換對(duì)稱的。（×）9. 全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的對(duì)稱性

4、，是來(lái)自于全同粒子的不可區(qū)分性。（）10. 自由粒子所處的狀態(tài)只能是平面波。（×） 第 1 頁(yè)(共 4 頁(yè))得分評(píng)閱人三、證明題：（共2題，每題8分，共16分）1. 用狄拉克符號(hào)證明：（1） 厄米算符的本征值是實(shí)數(shù)；（2） 厄米算符不同本征值的本征矢互相正交（非簡(jiǎn)并情形）。（8分）證明：（1）設(shè)，其本征值方程為 用本征矢的共軛矢量左乘上式，得到 對(duì)上式取共軛，得 利用厄米算符的定義，得出式與式相等，即 （2）厄米算符的本征值方程記為 ，用左乘前式，用左乘后式，得 式取共軛得 式與式相減，左邊為零，得 而，則，證畢。 - 密 - 封 - 線 -2. 證明處于1s，2p和3d態(tài)的氫原子，

5、分別在，和的球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率最大。（提示：氫原子波函數(shù)，其中，。（8分）證明：球殼內(nèi)發(fā)現(xiàn)電子的概率（利用球函數(shù)的歸一性，徑向波函數(shù)是實(shí)函數(shù)） 得1s態(tài)，2p態(tài)和3d態(tài)的徑向概率密度為 概率密度的極值由一階偏導(dǎo)數(shù)為零得出，即 得； 得； 得。證畢。 第 2 頁(yè)(共 4 頁(yè))得分評(píng)閱人四、簡(jiǎn)答題：（共5題，每題4分，共20分）1. 簡(jiǎn)述玻爾的量子論，并對(duì)它進(jìn)行簡(jiǎn)單的評(píng)價(jià)。答：為了解釋原子穩(wěn)定性的問題和光譜的線狀譜，玻爾的工作：（a）首先假設(shè)了不連續(xù)的定態(tài)，處于定態(tài)的電子不輻射。定態(tài)由量子化條件決定。(b) 還引進(jìn)了量子躍遷的概念。這一模型解決了上述兩個(gè)困難，其定態(tài)的概念依然保留在近代量子論中，

6、為人們認(rèn)識(shí)微觀世界和建立量子理論打下了基礎(chǔ)。其缺點(diǎn)是，量子化條件是輸入，而不是輸出；保留了經(jīng)典的概念，如軌道，沒有成為一個(gè)完整的量子理論體系。2. 處于定態(tài)的體系具有哪些性質(zhì)。答：（a）定態(tài)是能量有確定值的狀態(tài)；（b）處于定態(tài)的系統(tǒng)，幾率分布與時(shí)間無(wú)關(guān)，幾率流密度與時(shí)間無(wú)關(guān)；（c）任何力學(xué)量（不顯含時(shí)間）的平均值不隨時(shí)間變化。總之，定態(tài)是一種力學(xué)性質(zhì)穩(wěn)定的狀態(tài)。3. 隧道效應(yīng)。答：微觀粒子能穿越比它的能量高的勢(shì)壘的現(xiàn)象，稱為隧道效應(yīng)。它是微觀粒子波動(dòng)性的體現(xiàn)。4. 躍遷的選擇定則及其理論依據(jù)。答：光照射原子時(shí)，即使入射光中與玻爾頻率對(duì)應(yīng)的能量密度不為零，躍遷也不一定發(fā)生。還要求兩能級(jí)的量子數(shù)滿

7、足，這稱為選擇定則。其理論依據(jù)是，在電偶極近似下躍遷概率。當(dāng)時(shí)，若，導(dǎo)致躍遷概率為零，躍遷是禁戒的。允許的躍遷要滿足，就得到選擇定則。5. 分波法的基本思想。答：對(duì)于中心力場(chǎng)，角動(dòng)量是守恒量。應(yīng)用角動(dòng)量守恒，把受勢(shì)場(chǎng)作用前后的定態(tài)按分波展開，各分波在散射過程中可以分開來(lái)一個(gè)一個(gè)處理，勢(shì)場(chǎng)對(duì)各分波的效應(yīng)在于改變分波的相位。 - 密 - 封 - 線 -得分評(píng)閱人五、計(jì)算題：（共3題，共34分）1. 質(zhì)量為的一維諧振子的基態(tài)波函數(shù)為，其中，求粒子出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)的概率。（10分）（積分公式：）解：諧振子的能量表達(dá)式，因經(jīng)典粒子的動(dòng)能必小于等于總能量，其轉(zhuǎn)折點(diǎn)（動(dòng)能為零的點(diǎn)）滿足，得。 對(duì)于基態(tài)，轉(zhuǎn)折點(diǎn)

8、，經(jīng)典禁區(qū)為。量子諧振子出現(xiàn)在經(jīng)典禁區(qū)的概率為在經(jīng)典禁區(qū)，粒子出現(xiàn)的概率不為零，對(duì)于基態(tài)，在經(jīng)典禁區(qū)出現(xiàn)的概率為15.4%。 第 3 頁(yè)(共 4 頁(yè))2. 已知在和的共同表象中，算符和的矩陣表示分別為，求它們的本征值和歸一化的本征函數(shù)，并將矩陣和對(duì)角化，寫出使矩陣對(duì)角化的么正變換矩陣U。（12分）解：的本征值方程為，久期方程的解為。將分別帶入本征值方程，得歸一化本征矢，。同理，的本征值方程為，久期方程的解為，歸一化的本征矢為，。為了將矩陣Lx和Ly對(duì)角化，需要做表象變換，變到它們自身的表象，就對(duì)角化了。表象變換的矩陣分別為，。 - 密 - 封 - 線 -3. 已知某表象中哈密頓算符的矩陣形式。（1） 設(shè)，應(yīng)用微擾論求哈密頓算符的本征值到二級(jí)近似；（2） 求精確解，并與上面的微擾論結(jié)果比較。（12分）解：當(dāng)，可把哈密頓分解為 是對(duì)角矩陣，是在自