小學(xué)奧數(shù)四年級講義

1、小學(xué)三升四奧數(shù)知識點需要牢背的基本概念1、加法中的巧算：加法交換律：a+b =a-b加法結(jié)合律：a+b+c=a+(b+c)減法和加、減混合運算中的巧算：（ 1）一個數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)，等于減去這幾個數(shù)的和。相反，一個數(shù)減去幾個數(shù)的和，等于連續(xù)減去這幾個數(shù)。即a-b-c=a-(b+c)a-(b+c) =a-b-c（ 2）在加、減混合運算中，如果算式中沒有括號，那么計算時可以帶著運算符號“搬家” 。 如： a-b+c=a+c-b（ 3）加、減混合運算中去括號（或添括號）時，如果括號前面是“”號，那么括號里“”變“+”，“+”變“-”；如果括號前面是“+”號，那么括號里的符號不變。如a-(b-c)=a

2、-b+c,a+(b-c)=a+b-c如果兩個數(shù)的和恰好可以湊成整十、 整百、整千的數(shù)，那么其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的 “互補數(shù)”?！盎鶞?zhǔn)數(shù)加累計差”法：幾個相近的數(shù)相加，可以選擇其中一個數(shù)，最好是整十整百的數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”，再找出每個加數(shù)與“基準(zhǔn)數(shù)”的差，大于“基準(zhǔn)數(shù)”的差做加數(shù)，小于“基準(zhǔn)數(shù)”的差做 減數(shù) ，把這些 差 累計起來，再加上“基準(zhǔn)數(shù)”與加數(shù)個數(shù)的乘積就可以得到結(jié)果。2、乘法中的巧算：乘法交換律：a× b=b×a乘法結(jié)合律：(a× b) ×c=a× (b ×c)乘法分配律：(a+b) × c=a×c+b&#

3、215;c、(a-b) ×c=a×c-b ×c3、除法中的巧算：（ 1）除法交換律： a÷ b÷c=a÷ c÷ b（ 2）根據(jù)“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變”的規(guī)律，進(jìn)行巧算。公式：如果a÷b=c則(a× n) ÷(b ×n)=c(a÷n) ÷ (b ÷n)=cn 0（ 3）根據(jù)“一個數(shù)除以兩個因數(shù)的積等于一個數(shù)連續(xù)除以這兩個因數(shù)”的規(guī)律，進(jìn)行巧算。公式： a÷(b × c)= a ÷b÷c（ 4）根

4、據(jù)“一個數(shù)除以兩個因數(shù)的商等于一個數(shù)除以第一個因數(shù)乘以第二個因數(shù)”公式： a÷(b ÷ c)= a ÷b×c（ 5）除法分配律： (a + b) ÷c = a ÷c + b ÷ ca÷ c + b ÷c=(a + b)÷c4、你知道巧算中有幾對好朋友嗎？請寫出來：2 × 5=104 ×25=1008 × 125=100016 × 625=10000 3 × 37=111 7 ×11×13=100137037× 3=1

5、01015、“頭同尾合十”：頭×（頭 +1）× 100+尾×尾“尾同頭合十”：（頭×頭 +尾）× 100+尾×尾227、配對求和，也就是等差數(shù)列求和。實質(zhì)是變加法（連加）為乘法，這可以從乘法的意義來理解。公式：和 = （首項 +末項）×項數(shù)÷ 2項數(shù) = （末項 - 首項）÷公差 +1首項 =末項 - 公差×（項數(shù) -1 ）末項（或者某一項） = 首項 +公差×（項數(shù) -1 ）公差 = （末項 - 首項）÷（項數(shù) -1 ） 奇數(shù)項的等差數(shù)列的和 = 中間項×項數(shù)奇數(shù)

6、項的等差數(shù)列的中間項 = 和÷項數(shù) = （首項 +末項）÷ 28、1+2+3+（n-1）+n+(n-1)+ +3+2+1=n × n9、數(shù)字找規(guī)律的基本方法：1、首先觀察數(shù)列是從小往大排還是從大往小排。2、后一項比前一項多幾或者少幾。3、后一項是前一項的倍數(shù)或者前一項是后一項的倍數(shù)。4、相鄰兩項的差依次是個等差數(shù)列。5、每一項都是項數(shù)乘以項數(shù)。6、前兩項的和等于后一項或者前三項的和等于后一項。（裴波拉契數(shù)列）7、前兩項的積或商等于后一項。8、把數(shù)列分組看。9、跳著看。（奇數(shù)項與奇數(shù)項，偶數(shù)項與偶數(shù)項成規(guī)律）10、圖形找規(guī)律的基本方法：1、從圖形的數(shù)量變化上來考慮。

7、2、從圖形的對稱來考慮。3、從圖形的種類和位置變化上來考慮。4、把大、小圖形分開考慮。11、圖形計數(shù)的基本方法：1、數(shù)線段、數(shù)角、數(shù)三角形的總個數(shù)，往往就用基本圖形的個數(shù)，依次加上比前一項少1 的自然數(shù)，直到 1?；蛘哂没緢D形的個數(shù)×（個數(shù)+1） =n×(n+1)2、遇到稍微復(fù)雜的圖形，可先把圖分類成幾個部分，數(shù)出各部分包含圖形的個數(shù)后，再求出圖形的總和。3、數(shù)“金字塔”式的三角形不僅要考慮單個的小三角形，還要考慮由單個三角形組成的新三角形。從邊長 1，2，3去分類比較數(shù)，計數(shù)時先分層再平移計算就不會少數(shù)。4、長方形的個數(shù)可以這樣算：長邊的線段數(shù)×寬邊的線段數(shù)=

8、長方形的個數(shù)5、正方形的個數(shù)可以這樣算： 1×1+2×2+3× 3+(n-1) ×(n-1)+n ×n(n 為正方形各邊的基本線段數(shù) )6、正方體的個數(shù)可以這樣算： 1×1×1+2×2×2+3× 3× 3+n× n× n(n 為正方體各邊的基本線段數(shù) )7、由正方體組成的立體圖形，可以從上往下一層一層的算，最后把每層的個數(shù)加起來。12、長方形的周長 =（長 +寬）× 2 =（a+b）× 2長=周長÷ 2-寬寬=周長÷ 2-長正

9、方形的周長 =邊長× 4=a×4正方形的邊長 =周長÷ 413、自然數(shù)的個位數(shù)字是有規(guī)律的，an 末位數(shù)字規(guī)律是：當(dāng) a 的末位是 0、1、5、6 時， an 的末位數(shù)字與 a 相同，不隨 n 的變化而變化。當(dāng) a 的末位是 2、3、7、8 時， an 的末位數(shù)字都分別以 4 個不同的數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，周期是 4。當(dāng) a 的末位是 2 時，周期是 4，以 2、4、8、6 循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng) a 的末位是 8 時，周期是 4，以 8、4、2、6 循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng) a 的末位是 3 時，周期是 4，以 3、9、7、1 循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng) a 的末位是 7 時，周期是 4，以 7、9、3、1

10、 循環(huán)出現(xiàn)。當(dāng) a 的末位是 4 和 9 時， an 的末位數(shù)字都分別以2 個不同的數(shù)循環(huán)出現(xiàn)，周期是2。當(dāng) a 的末位是 4 時，周期是 2，以 4、6 循環(huán)出現(xiàn)；當(dāng) a 的末位是 9 時，周期是 2，以 9、1 循環(huán)出現(xiàn)。第一講速算與巧算1、接近整十、整百、整千的數(shù)看成所接近的數(shù)進(jìn)行簡算。例題： 2548+503574+79 8根據(jù)“和”的變化規(guī)律，即一個加數(shù)增加多少，另一個加數(shù)反而減少同樣的數(shù)，和不變。根據(jù)“被減數(shù)和減數(shù)同時增加或減少同一個數(shù)，差不變”的規(guī)律。例題： 956-5973475-3082、兩個數(shù)相加，如果恰好湊成整十、整百、整千、整萬等，就把其中的一個數(shù)叫做另一個數(shù)的補數(shù)，為

11、計算簡便，可以先把兩個互為補數(shù)的數(shù)先湊成整十或整百的數(shù)，然后再與別的加數(shù)相加求和。例題： 783+25+1752803+（ 2178+5497 ） +47223、連續(xù)幾個數(shù)相加，它們都接近同一個基準(zhǔn)數(shù)，利用基準(zhǔn)數(shù)計算。例題： 93+95+98+96+88+89+87+91+93+91=90×10+（ 3+5+8+6-2-1-3+1+3+1 ）995+996+997+998+999第一種： =1000× 5- （ 5+4+3+2+1）第二種： =997× 5（此種方法利用“移多補少”變成5 個 997）4、幾個數(shù)相加，每個數(shù)都接近不同的整十、整百、整千例： 9999

12、+999+99+9=10000+1000+100+10-45、幾個數(shù)相加減，算式中含有括號，利用去括號。如算式中有兩項互補，可加括號。例：1654- （ 54+78）2937-493-2076、 當(dāng)數(shù)字特別巨大，而被減數(shù)和減數(shù)的前幾位相同時，可去掉相同的這幾位數(shù)。例題： 657897-657323+297=897-323+2977、用“移位湊整”來速算例： 1000-91-1-92-2-93-3-94-4-95-5-96-6-97-7-98-8-99-9=1000-(91+9)+(92+8)+(93+7)+ +(99+1)=1000-100 × 98、“取中間數(shù)相乘”，當(dāng)連續(xù)相加的個

13、數(shù)為單數(shù)個時，我們可以取中間數(shù)乘以加數(shù)的個數(shù)來進(jìn)行巧算，這個連續(xù)數(shù)必須是等差數(shù)列。例題： 1+3+5+7+9=5× 52+6+10+14+18=10× 590+93+96+99+102+105+108=9、配對求和，也就是等差數(shù)列求和。實質(zhì)是變加法（連加）為乘法，這可以從乘法的意義來理解。公式：和 =（首項 +末項）×項數(shù)÷ 2項數(shù) =（末項 - 首項）÷公差 +1公差 =（末項 - 首項）÷（項數(shù) -1 ）首項 =末項 - 公差×（項數(shù) -1 ）末項 =首項 +公差×（項數(shù) -1 ）例題：2+4+6+ +1001

14、+3+5+ +5710、利用乘法公式湊整2×5=10 4 × 5=204× 25=100 8 ×125=1000 16 ×625=1000025× 64× 62525× 8× 125× 411、“頭同尾合十”：頭×（頭 +1）× 100+尾×尾對于一個兩位數(shù)乘以兩位數(shù)，如果十位數(shù)相同，個位數(shù)加起來等于十，就是“頭同尾合十”。則結(jié)果為尾數(shù)相乘的積作后兩位數(shù)，如果積不滿十，十位上要補寫 0，把十位數(shù)乘以本身加 1 的積作為前兩位數(shù)。例： 63× 67=（ 6&

15、#215; 7）（ 3× 7）=422185× 85=（ 8×9）（ 5×5） =7225計算： 43×4728× 2234×3671× 7912、“尾同頭合十”：（頭×頭 +尾）× 100+尾×尾10，就是“尾同頭合十” ，對于兩位數(shù)乘以兩位數(shù)，如果個位相同，十位上的數(shù)加起來等于則結(jié)果為：將十位上的數(shù)字相乘加上個位上的數(shù)后擴大100 倍，再加上個位數(shù)乘以個位數(shù)的積。例： 63× 43=（ 6× 4+3）× 100+3× 3=2709計算： 27

16、×8713× 9346×6689× 2913、添 0 折半法428× 5=428÷2×10=2140848×25=848÷4×100=21200計算： 324× 5832× 5564×25344× 2514、兩位數(shù)、三位數(shù)乘以 11 的方法：頭做積的頭，尾做積的尾，頭尾相加（或三位數(shù)的前兩位數(shù)與后兩位數(shù)之和）做積的中間數(shù)，如果滿 10 或滿 100 要向前一位進(jìn)“ 1”例： 38× 11=3（ 3+8） 8=418339× 11=3（

17、33+39） 9=37294726× 11=4（ 4+7） (7+2)(2+6)6=51986計算： 13×1123× 1167× 11567× 1115、某數(shù)乘以 99 或 999 有規(guī)律可循。規(guī)律為：二位數(shù)乘以99 的幾位（這兩位數(shù) -1 ）放在千、百位上，十、個位數(shù)為這兩位數(shù)的補數(shù)， 如果是乘以999，則在中間添加一個9，如果是 9999，則添加二個 9。45× 99=（ 45-1 ）（ 100-45 ） =445538× 999=（38-1 ） 9（ 100-38 ） =37962計算： 23×9967&#

18、215; 9964× 99923×99916、用“平方差公式”解題a2-b 2=(a+b) × (a-b)642 -362752-252582-422832-17217、 1+2+3+（n-1） +n+(n-1)+3+2+1=n×n1+2+3+ +9+10+9+ +3+2+11+2+3+ +49+50+49+ +3+2+1速算與巧算復(fù)習(xí)一、基本概念1、加法中的巧算：加法交換律：加法結(jié)合律：減法和加、減混合運算中的巧算：（ 1）一個數(shù)連續(xù)減去幾個數(shù)，等于減去這幾個數(shù)的和。相反，一個數(shù)減去幾個數(shù)的和，等于連續(xù)減去這幾個數(shù)。即（ 2）在加、減混合運算中，如果算

19、式中沒有括號，那么計算時可以帶著運算符號“搬家” 。如：（3）加、減混合運算中去括號（或添括號）時，如果括號前面是“”號，那么括號里“”變“+”，“ +”變“ -”；如果括號前面是“+”號，那么括號里的符號不變。如如果兩個數(shù)的和恰好可以湊成整十、整百、整千的數(shù)，那么其中一個數(shù)叫做另一個數(shù)的“互補數(shù)”。“基準(zhǔn)數(shù)加累計差”法：幾個相近的數(shù)相加，可以選擇其中一個數(shù)，最好是的數(shù)為“基準(zhǔn)數(shù)”，再找出每個加數(shù)與“基準(zhǔn)數(shù)”的，大于“基準(zhǔn)數(shù)”的差做加數(shù)，小于“基準(zhǔn)數(shù)”的差做減數(shù)，把這些差累計起來，再加上“基準(zhǔn)數(shù)”與加數(shù)個數(shù)的乘積就可以得到結(jié)果。2、乘法中的巧算：乘法交換律：乘法結(jié)合律：乘法分配律：、3、除法中

20、的巧算：（ 1）除法交換律： a÷ b÷ c=a÷ c÷ b（ 2）根據(jù)“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變”的規(guī)律，進(jìn)行巧算。公式：如果a÷ b=c則(a× n) ÷ (b × n)=c(a÷ n) ÷(b ÷ n)=cn0（ 3）根據(jù)“一個數(shù)除以兩個因數(shù)的積等于一個數(shù)連續(xù)除以這兩個因數(shù)”的規(guī)律，進(jìn)行巧算。公式： a÷ (b × c)= a ÷ b÷ c（ 4）根據(jù)“一個數(shù)除以兩個因數(shù)的商等于一個數(shù)除以第一個因數(shù)乘以第二個因數(shù)”公式：

21、 a÷ (b ÷ c)= a ÷ b× c（5）除法分配律： (a + b)÷c = a ÷c + b ÷ ca÷c + b ÷ c=(a + b) ÷ c4、乘以 101，實際只要把這個兩位數(shù)即可；乘 1001 ，實際只要把這個三位數(shù)即可；乘 10001，實際只要把這個四位數(shù)即可。這種巧算一定要分清是用幾位數(shù)分別乘101， 1001。確定是幾位數(shù)一定要看相鄰的1 之間夾有幾個0， 0 的個數(shù)如果是n，那么就是位數(shù)；出現(xiàn)2個 1則連寫遍，出現(xiàn) 3 個 1 則連寫遍，出現(xiàn) n 個 1 則連寫遍。a

22、b× 101 =abc× 1001=abcd× 10001=ab× 10101 =abc× 1001001=abcd× 100010001=ab× 1010101 =abc×1001001001=abcd × 1000100010001=5、你知道巧算中有幾對好朋友嗎？請寫出來：6、“頭同尾合十” ：“尾同頭合十” ：7、運用 3× 37=平方差公式：8、配對求和，也就是等差數(shù)列求和。實質(zhì)是變加法（連加）為乘法，這可以從乘法的意義來理解。公式：和 =項數(shù) =公差=首項=末項（或者某一項）=奇數(shù)項

23、的等差數(shù)列的和=奇數(shù)項的等差數(shù)列的中間項=9、 1+2+3+ +（ n-1） +n+(n-1)+ +3+2+1=二、用簡便方法計算。25× 64× 62557×9925× 8× 125× 499999+9999+999+9404× 2546+89+54236+78-369998+998+98+9999× 999+1999428× 5848×525× 4441000-95-94-93-92-91-9-8-7-6-51000-5-15-25-35-45-55-65-75-85-9545&#

24、215; 10123×303404×2525× 4004423× 1001512× 1001256×1001102× 3003999× 111+333× 6679999× 1111+3333× 6667999× 222+333× 3343333× 6666+9999× 7778三、除法的巧算1、除法交換律：a÷b÷ c=a÷c÷ b1800÷ 25÷181900÷ 4÷

25、;195600÷ 40÷ 72、根據(jù)“被除數(shù)和除數(shù)同時擴大或縮小相同的倍數(shù)，商不變”的規(guī)律，進(jìn)行巧算。公式：如果a÷ b=c則(a×n) ÷ (b ×n)=c(a÷ n) ÷ (b ÷ n)=c210÷ 535400÷ 2525000÷ 125（兩種做法）n03、根據(jù)“一個數(shù)除以兩個因數(shù)的積等于一個數(shù)連續(xù)除以這兩個因數(shù)”的規(guī)律，進(jìn)行巧算。公式： a÷ (b × c)= a ÷ b÷c a÷ b÷ c= a ÷

26、; (b × c)280÷ 561125÷ 125360÷ 721200÷25÷44、根據(jù)“一個數(shù)除以兩個因數(shù)的商等于一個數(shù)除以第一個因數(shù)的商再乘以第二個因數(shù)”公式： a÷(b ÷ c)= a ÷ b×c180÷（ 9÷10）250÷（ 5÷ 2）256÷（ 256÷ 4）5、除法分配律：a÷c + b ÷c=(a + b)÷ c注意：當(dāng)除數(shù)相同被除數(shù)不相同時可以用，當(dāng)被除數(shù)相同除數(shù)不同時，不可以用。91&

27、#247; 13+39÷ 13300÷ 37+70÷ 3798÷ 25+27÷ 256、常錯題273- （ 49+73） 404 × 25 38+41+43+37+39 25× 64×62599999+9999+999+9444× 666+333× 1120+2+4+6+ +1001+3+5+ +1011+2+3+ +9+10+9+ +3+2+1四、綜合運用題1、 用“基準(zhǔn)數(shù)加累計差”方法計算。28+31+29+33+30+27+33+3598+102+99+103+101+98+97+1022

28、、 用“頭同尾合十”的方法計算52× 5833×3728×2277× 733、 用“尾同頭合十”的方法計算24× 8436×7611×9145× 654、 用“平方差公式”解題642 -362752-252582-422832-1725、 求首項是5，公差是3 的等差數(shù)列的前21 項之和。6、已知等差數(shù)列5、 10、 15。求這數(shù)列的第25 項是多少？7、在等差數(shù)列中，首項為3，公差等于2，末項是201，這個等差數(shù)列共有多少項？8、在等差數(shù)列中，首項為5，公差等于3，末項是152，這個等差數(shù)列共有多少項？9、在等差

29、數(shù)列中，公差等于2，項數(shù)等于100，它的末項是201，求首項是多少？10、在等差數(shù)列中，公差等于3，項數(shù)等于50，它的末項是152，求首項是多少？11、所有兩位數(shù)的和是多少？12、在 5 和 17 之間插入5 個數(shù)，使這7 個數(shù)構(gòu)成一個等差數(shù)列。求出中間的一個數(shù)。四、應(yīng)用題1、在一次同學(xué)聚會中，共有 20 人參加， 如果每兩人之間都握手1 次，那么， 這次聚會中一共握手多少次？2、時鐘一點敲 1 下，兩點敲 2 下，依次類推，十二點時敲 12 下，半點時敲 1 下。從 1 點到 10 點共敲多少下？一晝夜共敲多少下？3、把一堆蘋果分給 10 個小朋友，要使每個人都能拿到蘋果，而且每個人拿到蘋果

30、個數(shù)都不同的話，這堆蘋果至少應(yīng)該有多少個？4、小強學(xué)習(xí)英語單詞，第一天記看10 個單詞，以后每一天都比以前多記3 個，那么在一周中他總共記了多少個英語單詞？5、 7 個連續(xù)的整數(shù)和為105，求這 7 個數(shù)中最中間的數(shù)是多少？最大的數(shù)是多少？6、小剛看一本書，第一天看了3 頁，以后每天比前一天多看2 頁， 10 天剛好看完，這本書總共多少頁？五、提高題1、盒子里放有1 只球，一位魔術(shù)師第一次從盒子里將這1 只求拿出，變成4 只球放回盒子里；第二次又從盒子里拿出2 只球，將每只球各變成4 只球后放回盒子里，第十次從盒子里拿出10 只球，將每只球各變成 4 只球后放回到盒子里。這時盒子里共有多少只球

31、？2、某班 25 名學(xué)生的學(xué)號恰好是 25 個連續(xù)自然數(shù)， 并且學(xué)號之和恰好是 1000。求其中學(xué)號最小的學(xué)生是多少號？3、一個堆木頭有7 層，總共77 根，每一層比它的下一層少2 根。求最上面一層放了多少根？4、 1+2+3+ +9+10+9+ +3+2+15、 1+2+3+ +49+50+49+ +3+2+16、（ 1+3+5+ +99 ）（ 2+4+6+ +98）7、 345× 1001001第二講定義新運算1、 例：規(guī)定a b=(b+a) × b，求 (2 3) 5。規(guī)定 a b=(b+a) × b，求 (3 2) 7。2、 例：定義新運算“”如下：對于兩

32、個自然數(shù)a 和 b，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a b。例如： 4 6=（ 4,6 ）+4,6=2+12=14.根據(jù)上面定義的運算，18 12 等于幾？定義新運算“”如下：對于兩個自然數(shù)a 和 b，它們的最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)的和記為a b。例如： 2 3=（ 2,3 ） +2,3=1+6=7.根據(jù)上面定義的運算，27 18 等于幾？3、 例：兩個整數(shù) a 和 b， a 除以 b 的余數(shù)記為 a b。例如， 13 5=3. 根據(jù)這樣定義的運算， （ 26 9） 4 等于幾？兩個整數(shù) a 和 b， a 除以 b 的余數(shù)記為 a b。例如， 185=3. 根據(jù)這樣定義的運算， （32 13

33、） 4 等于幾？4、 例：規(guī)定：符號“”為選擇兩數(shù)中較大的數(shù)的運算，“”為選擇兩數(shù)中較小的數(shù)的運算，例如，3 5=5， 35=3。請計算下式： (7 3) 5 ×5 (3 7)規(guī)定：符號“”為選擇兩數(shù)中較大的數(shù)的運算， “”為選擇兩數(shù)中較小的數(shù)的運算，例如， 2 5=5， 2 6=2。請計算下式： (6 5) 8 × 8 (5 6)5、例：對于數(shù)a、 b、 c、 d，規(guī)定， a、 b、 c、d =2ab-c+d 。已知 1， 3， 5， x=7，求 x 的值。對于數(shù) a、 b、 c、 d，規(guī)定， a、 b、 c、 d =2ab-c+d 。已知 2， 5，7， x =24，求

34、 x 的值。6、 例：規(guī)定： 6 2=6+66=72， 2 3=2+22+222=246， 1 4=1+11+111+1111=1234，求 7 5。規(guī)定： 5 2=5+55=60， 4 3=4+44+444=492， 1 4=1+11+111+1111=1234，求 66。7、 例：如果用（a）表示 a 的所有約數(shù)的個數(shù)，例如（4） =3，那么（18）等于幾？如果用（ a）表示 a 的所有約數(shù)的個數(shù)，例如（4） =3，那么（24）等于幾？8、 例：如果a b 表示（ a-2 ）× b，例如 3 4=(3-2) × 4=4，那么當(dāng) (a 2) 3=12 時， a 等于幾？如

35、果 a b 表示（ a-2 ）× b，例如 3 4=(3-2) × 4=4，那么當(dāng) (a 3) 6=42 時， a 等于幾？9、 例：如果a¤ b 表示 (3a-2b) ，例如 4¤ 5=3× 4-2 × 5=2，那么，當(dāng)x ¤ 5 比 5¤ x 大 5 時， x 等于幾？如果 a¤ b 表示 (3a-2b) ，例如 4¤ 5=3× 4-2 ×5=2，那么，當(dāng)x ¤ 5 比 5¤ x 大 10 時， x 等于幾？10、例： 對于任意的兩個自然數(shù) a 和 b

36、，規(guī)定新運算“” ： a b=a+(a+1)+(a+2)+(a+3)+ +(a+b-1) 。如果 x 10=75，那么 x 等于幾？對于任意的兩個自然數(shù) a 和 b，規(guī)定新運算 “”：a b=a(a+1)(a+2)(a+3) (a+b-1) 。如果 (x 3) 2=3660，那么 x 等于幾？規(guī)定 a b,a b=a× (a+1) × (a+2) ×× (a+b-1),已知 :(x 4) 2=600, 求 x?11、例： Q、 P>0, 且 P#Q=（ P+Q） /3則 2# （ 17#10） =？Q、 P>0, 且 P#Q=（ P+Q） /

37、3則 3# （ 25#11） =？12、例：有一運算符號，使下列算式成立，4 8=16， 10 6=26，6 10=22， 18 14=50，求 8 10？有一運算符合，使下列算式成立，2 4=2， 10 4=26， 6 10=8，18 14=40，求 810？13、 a,b 表示兩個數(shù) , 規(guī)定新運算 :a b=3× a-2 × b, 已知 :4 b=2, 求 b？a,b 表示兩個數(shù)規(guī)定新運算:a b=3× a-2 ×b, 已知 :x (4 1)=7, 求 x？14、小明在一張神秘的紙上看到四個奇怪的算式 :2 × 2=92,7 ×

38、 7=57,5 × 9=7,9 × 2=68爺爺告訴他 , 這四個算式所用的運算符號與我們的相同 , 進(jìn)位也是十進(jìn)制 , 只是每個數(shù)字與我們的寫法不同 , 按照這個寫法 ,2+7+9 等于幾 ?第三講：周期問題基本概念：1、周期問題：一些數(shù)、圖形和事物的變化往往是周而復(fù)始循環(huán)出現(xiàn)的，我們把具有這種規(guī)律的問題稱為周期問題。例如每隔7 天是一周，每隔12 個月是一年，每隔24 小時是一晝夜等。2、周期問題中的周期：周期是一個數(shù)。如每個星期是7 天，即時間是 7 天一循環(huán)，則說周期是 7；每年有 12 個月，即時間是 12 個月一循環(huán)，則說周期是 12。在循環(huán)小數(shù)中，循環(huán)節(jié)數(shù)字的

39、位數(shù)，即為循環(huán)的周期。3、解決周期問題的方法：首先要發(fā)現(xiàn)問題的周期性和確定周期，然后用畫圖、列舉、計算等方法解決有關(guān)問題。4、解決周期問題的基本方法：利用余數(shù)建立一個周期內(nèi)序號與研究對象的對應(yīng)關(guān)系表。如有一串珠子按 2 粒白珠、 3 粒黑珠依次用線串出來， 第 48 粒珠是什么顏色的。 可知周期是 5，一個數(shù)除以 5 所得于是可能是 1、2、3、4、0（正好能整除也可看作余數(shù)是 0），可以建立這樣一個對應(yīng)關(guān)系表：余數(shù)12340對應(yīng)珠子顏色白白黑黑黑用 48÷ 5=9 3，由此表可知余數(shù) 3 對應(yīng)的是黑珠，即第48 粒珠子是黑色。nnnnnnnnnn5、周期是 1 的有： 1 、5、6

40、 、10 , 周期是 2 的有： 4、9。周期是 4 的有： 2、3、7、8。2n 的末尾數(shù)字是以2、 4、8、6 這四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)；n8、 4、2、6 這四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)；8 的末尾數(shù)字是以n3、 9、7、1 這四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)；n7、9、3、1 這四個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)；3 的末尾數(shù)字是以7 的末尾數(shù)字是以n4、 6 這二個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)；n9、1 這二個數(shù)字循環(huán)出現(xiàn)。4 的末尾數(shù)字是以9 的末尾數(shù)字是以一、仔細(xì)讀題，認(rèn)真填空。1、在括號里填上適當(dāng)?shù)乃財?shù)。16（）（）（）（）36（）（）（）（）（）（）（）（）2、按規(guī)律填數(shù)。2、 3、5、 7、 11、 13、 17、（）、 231、 4、9、

41、 16、 25、（）、 491、 2、6、 24、（）、 7203、按照規(guī)律在括號里畫出每組的第63 個圖形。（ 1）（）（ 2）（）（ 3）（）（ 4）（）（ 5）（）4、按照規(guī)律填空。（1）前30 個圖形中，有（）個，有（）個。（2）前28 個圖形中，有（）個，有（）個。（3）前 73 個圖形中，有（）個，有（）個，有（）個。（4）前 54 個圖形中，有（）個，有（）個，有（）個。（5）這一組圖形中一共畫了24 個“”，那么“”可能有（）個。二、自主探索，解決問題。1、字母 ABCDEFABCDEF 按照這樣排下去，第47 個字母是什么？2、算式 9× 9× 9

42、5; 9×× 9 是 98 個 9 相乘，請問積的個位數(shù)字是幾？3、有一些漢字和字母組成如下排列：香江花城小學(xué)香江花城小學(xué)ABCDABCDABCD請問第 35 列的漢字和字母各是什么？第74 列呢？4、我國民間通常用12 種動物（十二生肖）來表示不同的年份。它們排列順序如下：鼠牛虎兔龍蛇馬羊猴雞狗豬1982 年是狗年，請問2002 年是什么年？5、 2006 年 5 月 1 日是星期一，請問2006 年的兒童節(jié)是星期幾？教師節(jié)呢？6、 19921992 1992 共 2010 個 1992 連寫成一串?dāng)?shù)，用它去除以7，余數(shù)是多少？7、緊接著 1998 后面寫一串?dāng)?shù)字，要求是

43、：寫下的每個數(shù)字都是它前面兩個數(shù)字的乘積的個位數(shù)字。等到一串?dāng)?shù)字： 199826224。這串?dāng)?shù)字從 1 開始往右數(shù)，第 2010 個數(shù)字是幾？前 100 項之和是多少？第四講：數(shù)碼問題頁碼問題和周期問題有點相似，每個數(shù)字代表一個頁碼，一位數(shù)是1 個頁碼，兩位數(shù)是2個頁碼，同理三位數(shù) 3 個頁碼。19 共有 9 個頁碼，1099 共有 2×90=180個頁碼，100999共有 3×900=2700 個頁碼，同理 10009999 共有 4×9000=36000個頁碼1、有一串?dāng)?shù)字,任何相鄰的 4個數(shù)碼之和都是20,從左往右起第 105,1043,128個數(shù)碼分別是

44、4,3,9,求第 2個數(shù)碼。2、 有一串?dāng)?shù)字 9213從第 3個數(shù)碼起每一個數(shù)碼都是前面2個數(shù)碼的和的個位數(shù)。問:第 100個數(shù)碼是幾 ?前100個數(shù)碼之和是多少?3、 按自然數(shù)的順序從1寫到 n, 總共用了 4253個數(shù)碼 , 問 :n 是什么數(shù) ?4、 按自然數(shù)的順序從1寫到 n, 總共用了 5293個數(shù)碼 , 問 :n 是什么數(shù) ?5、 按自然數(shù)的順序從1寫到 n, 總共用了 6093個數(shù)碼 , 問 :n 是什么數(shù) ?6、 按自然數(shù)的順序從1寫到 n, 總共用了 6293個數(shù)碼 , 問 :n 是什么數(shù) ?7、 按自然數(shù)的順序從1寫到 n, 總共用了 7293個數(shù)碼 , 問 :n 是什么數(shù)

45、 ?8、 將自然數(shù)從小到大無間隔地排列起來, 得到一串?dāng)?shù)碼這串?dāng)?shù)碼中從左起第4001個數(shù)碼是幾 ?9、 排印一本1665 頁的書的頁碼 , 共需要多少個數(shù)碼?10、排印一本2200 頁的書的頁碼, 共需要多少個數(shù)碼?11、 一本書的頁碼由5541個數(shù)碼組成 ,這本書共有多少頁?12、從 1開始將自然數(shù)寫出來：從左向右數(shù)，數(shù)到第12個數(shù)字起將開始第一次出現(xiàn)三個連續(xù)的 1，數(shù)到第（）個數(shù)字起將開始第一次出現(xiàn)五個連續(xù)的6第五講和差問題一、基本概念和差問題的基本模式是：已知兩個數(shù)的和與差，求這兩個數(shù)。對于一般的和差問題應(yīng)用題，直接根據(jù)公式求解；復(fù)雜的和差問題，可以根據(jù)題目的條件通過畫線段圖 的方法找出

46、隱藏的“和”與“差” ，再用公式求解。公式：（和 +差）÷ 2=大數(shù)（和 - 差）÷ 2=小數(shù)實際上，求出其中一個數(shù)后，另一個數(shù)也可以這樣求得：大數(shù) =小數(shù) +差，小數(shù) =大數(shù) - 差大數(shù)=和- 小數(shù)，小數(shù) =和- 大數(shù)二、基本題型1、甲、乙兩人共有圖書106 本，甲比乙多24 本，問甲乙各有圖書多少本？2、教師和學(xué)生共有176 人，學(xué)生比教師多24 人。那么教師有多少人？學(xué)生有多少人？3、果園里有桃樹和梨樹共178 棵，桃樹比梨樹多70 棵。那么果園中桃樹、梨樹各有多少棵？4、甲與乙的年齡和是38 歲，甲比乙大4 歲，求甲與乙今年各多少歲？5、兩個連續(xù)的自然數(shù)的和是51，

47、它們的積是多少？6、從小到大的連續(xù)8 個自然數(shù)，如果最小的數(shù)與最大的數(shù)之和是77，那么最小的數(shù)是多少？7、小明比小紅多65 本書，小明要給小紅多少本書，才能使小明的書比小紅多3 本？8、在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差三個數(shù)的和為296，減數(shù)比差大30，則減數(shù)是多少？9、在一個減法算式里，被減數(shù)、減數(shù)與差三個數(shù)的和388，減數(shù)比差大16，則減數(shù)是多少？三、復(fù)雜題型1、兩筐橘子共重 80 千克，如果從第一筐中取出 5 千克放入第二筐后，兩筐的重量相等，兩筐橘子原來各多少千克？2、兩筐橘子共重80 千克，如果從第一筐中取出5 千克放入第二筐后，第一筐比第二筐還重2 千克，兩筐橘子原來各多少千克？

48、3、甲、乙兩輛汽車共載客 83 人，若甲車增加 6 人，乙車減少 7 人，這時兩車乘客同樣多，求兩輛汽車原來分別有乘客多少人？4、無線電一廠、二廠共有工人432 人，為了照顧工人就近上班，從一廠調(diào)入二廠16 名工人，這樣一廠工人還比二廠多24 人，一廠、二廠原來各有工人多少人？5、小李用 272 元買了一件上衣、 一頂帽子和一雙鞋子。 上衣比鞋子貴 60 元，鞋子比帽子貴 70 元。 求上衣、鞋子和帽子各多少錢？第六講：倍數(shù)問題一、基本概念：倍數(shù)問題分為 和倍問題 和差倍問題 ，和倍問題是指已知兩數(shù)的和以及兩數(shù)的倍數(shù)，求這兩個數(shù)。差倍問題是指已知兩數(shù)的差以及兩數(shù)的倍數(shù)，求這兩個數(shù)。此題關(guān)鍵點是一定要正確找出和、差所對應(yīng)的份數(shù)，并且一定要畫圖。公式：和÷（倍數(shù) +1）=1 份量差÷（倍數(shù) 1） =1 份量（一）和倍問題和倍問題應(yīng)用題中有兩個主人翁，一個是大數(shù)， 一個是