高數(shù)8-8ppt課件

1、第八節(jié)：第八節(jié)： 多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值一元函數(shù)一元函數(shù) y = f (x) 的極值概念：的極值概念：1x 1x 1x2xxy0)(xfy ),( 1xUx 總有總有,)()(1xfxf ,1稱為極小值點(diǎn)稱為極小值點(diǎn)x ,)(1稱稱為為極極小小值值xf),(),(1111 xxxx,)()(1xfxf 若若.)(1稱稱為為極極大大值值xf1;.2（1）極值是一個局部概念，它只是對極值點(diǎn)鄰）極值是一個局部概念，它只是對極值點(diǎn)鄰近范圍的所有點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較近范圍的所有點(diǎn)的函數(shù)值進(jìn)行比較.（2）（極值存在的必要條件）若）（極值存在的必要條件）若 f (x) 在極值點(diǎn)在極值點(diǎn)處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)一定

2、為處可導(dǎo)，則導(dǎo)數(shù)一定為 0 ，反之不成立，反之不成立.（3）（駐點(diǎn)為極值點(diǎn)的充分條件）（駐點(diǎn)為極值點(diǎn)的充分條件）設(shè)設(shè),0)( 0 xf存在，則有存在，則有)( 0 xf（1）如果）如果0)( 0 xf)(0 xf（3）如果）如果0)( 0 xf，則，則為為 f ( x ) 的極小值；的極小值；（2）如果）如果0)( 0 xf)(0 xf，則，則為為 f ( x ) 的極大值；的極大值；，定理失效，定理失效.3（一）二元函數(shù)的極值（一）二元函數(shù)的極值定義定義 ：設(shè)：設(shè) z = f ( x , y ) 的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?D，DyxP ),(000總有總有),(),(00yxfyxf 總有總有是

3、是 D 的一個內(nèi)點(diǎn)，的一個內(nèi)點(diǎn)，則稱則稱),(00yxf是是 f ( x , y ) 的極大值；的極大值；則稱則稱),(00yxf是是 f ( x , y ) 的極小值的極小值.),(),()(01PUyx 當(dāng)當(dāng)若存在點(diǎn)若存在點(diǎn) 的一個去心鄰域的一個去心鄰域0PDPPyxPPU | ),()( 000),(),()(02PUyx 當(dāng)當(dāng)),(),(00yxfyxf 極大值和極小值統(tǒng)稱為極值極大值和極小值統(tǒng)稱為極值 ；4 使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn)使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn) ； 同一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)極值也是一個局部概念同一元函數(shù)一樣，二元函數(shù)極值也是一個局部概念(1)例例1 1處有極小值處

4、有極小值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(4322yxz 極值點(diǎn)必是極值點(diǎn)必是 D 的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn) ； 利用點(diǎn)函數(shù)的概念，上述二元函數(shù)極值的概念可以利用點(diǎn)函數(shù)的概念，上述二元函數(shù)極值的概念可以 推廣到推廣到 n 元函數(shù)的情形元函數(shù)的情形5(2)例例處有極大值處有極大值在在函數(shù)函數(shù))0 , 0(22yxz 例例處無極值處無極值在在函數(shù)函數(shù)),( 00 xyz 因?yàn)樵邳c(diǎn)因?yàn)樵邳c(diǎn) ( 0, 0 ) 處，函數(shù)值為處，函數(shù)值為 0，而在點(diǎn)而在點(diǎn) ( 0 , 0 ) 的任何鄰域內(nèi)的任何鄰域內(nèi),即有使函數(shù)值大于即有使函數(shù)值大于0 的點(diǎn)，的點(diǎn)，也有使函數(shù)值小于也有使函數(shù)值小于 0 的點(diǎn)的點(diǎn).xy 0 6問題：什么點(diǎn)可能

5、成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？問題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？ ),(0yx),(yx),(000yxP),(0PU則,)(),(時時當(dāng)當(dāng)0PUyx ),(),(00yxfyxf ,時時特特別別當(dāng)當(dāng)00 xxyy ),(),(000yxfyxf 下面，對極大值的情形進(jìn)行推導(dǎo)，極小值情形類似下面，對極大值的情形進(jìn)行推導(dǎo)，極小值情形類似假設(shè)假設(shè) f ( x , y ) 在點(diǎn)在點(diǎn)0P有極大值有極大值這表明一元函數(shù)這表明一元函數(shù)),(0yxf在點(diǎn)在點(diǎn)0 xx 處取得極大值，處取得極大值，因此因此000 ),(yxfx同理可證同理可證000 ),(yxfy7 凡是能使凡是能使 具有偏導(dǎo)

6、數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)，具有偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)的極值點(diǎn)必定是駐點(diǎn)， 但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)但駐點(diǎn)不一定是極值點(diǎn).同時成立的點(diǎn)同時成立的點(diǎn) 稱為函數(shù)的駐點(diǎn)稱為函數(shù)的駐點(diǎn) .),(00yx,),(000 yxfx000 ),(yxfy 極值點(diǎn)也可能是使偏導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)也可能是使偏導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)不存在的點(diǎn). 極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或使偏導(dǎo)數(shù)極值點(diǎn)只可能在駐點(diǎn)或使偏導(dǎo)數(shù) 不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生不存在的點(diǎn)中產(chǎn)生.定理定理 1 : （極值存在的必要條件）如果（極值存在的必要條件）如果 ),(yxf),(000yxP,),(000 yxfx在點(diǎn)在點(diǎn)處有極值，且兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則有處有極值，且兩個一階偏導(dǎo)數(shù)存在，則有問題

7、：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？問題：什么點(diǎn)可能成為極值點(diǎn)？什么點(diǎn)必定是極值點(diǎn)？000 ),(yxfy8例例4：1),(22 xyyxf解：解：,02 xfx得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))0,0(,1)0,0( f,0,0時時當(dāng)當(dāng) xy11)0,(2 xxf,0,0時時當(dāng)當(dāng) yx11),0(2 yyf,1)0,0(不不是是極極值值 f該函數(shù)無極值該函數(shù)無極值. )0,(x),0(yxy0)0,0(f )0,0(f ,02 yfy9定理定理 2 : （極值存在的充分條件）如果（極值存在的充分條件）如果 ),(yxf),(00yx,),(000 yxfx（1）（2）在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)

8、數(shù)，且的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的二階偏導(dǎo)數(shù)，且時具有極值，且當(dāng)時具有極值，且當(dāng) A 0 時，有極小值；時，有極小值；02 BAC時時, 沒有極值；沒有極值；（3）02 BAC時時, 可能有極值，也可能沒有極值，可能有極值，也可能沒有極值，還需另作討論還需另作討論.10具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù) f ( x , y ) 的極值的求法：的極值的求法：第一步：解方程組第一步：解方程組求出所有實(shí)數(shù)解，即求得函數(shù)的所有駐點(diǎn)求出所有實(shí)數(shù)解，即求得函數(shù)的所有駐點(diǎn).第二步：對于每一個駐點(diǎn)第二步：對于每一個駐點(diǎn)),(00yx第三步：定出第三步：定出),(00yxf計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)值計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)值

9、 A 、B 、 C.的符號，按定理的符號，按定理 2 判定判定是否是極值，是極大值還是極小值是否是極值，是極大值還是極小值. ,),(,),(000000yxfyxfyx2BAC 11例例5：求：求 的極值的極值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四個駐點(diǎn)：得到四個駐點(diǎn)：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03 ),(23 （2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù) A、B、C.,66 xfAxx,0 yxfB, yfCyy66 2BAC)(yx 1136（3）對每一個駐點(diǎn)，判斷）對每一個駐點(diǎn)，判斷2BAC 的符號

10、的符號,| )(),(072012 BAC,|),(01201 A且且所以所以 ( 1 , 0 ) 為極小值點(diǎn)，為極小值點(diǎn)，501 ),(f為極小值為極小值.12 ),(| )(212BAC所以點(diǎn)所以點(diǎn) ( 1 , 2 ) 和和 ( 3 , 0 ) 不是函數(shù)的極值點(diǎn)不是函數(shù)的極值點(diǎn).),(| )(032 BAC072 例例5：求：求 的極值的極值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四個駐點(diǎn)：得到四個駐點(diǎn)：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03 ),(23 ,66 xfAxx,0 yxfB, yfCyy66

11、2BAC)(yx 1136（3）對每一個駐點(diǎn)，判斷）對每一個駐點(diǎn)，判斷2BAC 的符號的符號（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù) A、B、C .13,| )(),(072232 BAC所以所以 ( 3 , 2 ) 是極大值點(diǎn)是極大值點(diǎn).,|),(01223 A且且3123 ),(f為極大值為極大值.例例5：求：求 的極值的極值xyxyxyxf9332233 ),(解：（解：（1）,09632 xxfx得到四個駐點(diǎn)：得到四個駐點(diǎn)：,0632 yyfy,3121 xx,2021 yy),(01),(21),(03 ),(23 ,66 xfAxx,0 yxfB, yfCyy66 2BAC)(yx 1

12、136（3）對每一個駐點(diǎn)，判斷）對每一個駐點(diǎn)，判斷2BAC 的符號的符號（2）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù)）計(jì)算二階偏導(dǎo)數(shù) A、B、C .14例例4、 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z 確確定定的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值 將方程兩邊分別對將方程兩邊分別對yx,求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)04222 xxzzzx解解得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P, 04222 yyzzzy 又在駐點(diǎn)處必有又在駐點(diǎn)處必有, 0 yxzz所以所以022 x022 y 04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)( 將上述方程組兩邊將上述方程組兩邊分別再對分

13、別再對 x , y 求偏求偏導(dǎo)數(shù)，得導(dǎo)數(shù)，得解解15例例4、 求求由由方方程程yxzyx22222 0104 z 確確定定的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值 解解得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P, 在駐點(diǎn)處必有在駐點(diǎn)處必有, 0 yxzz04222 xxxxxzzzz)(042 yxyxxyzzzzz)(04222 yyyyyzzzz)( 021 xxzz)(0 yxz021 yyzz)( )(2z在在駐駐點(diǎn)點(diǎn)處處,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(| )(zBACP所以駐點(diǎn)所以駐點(diǎn) ( 1 , 1 ) 為極值點(diǎn)為極值點(diǎn)16例例4、 求求由由方方程程y

14、xzyx22222 0104 z 確確定定的的函函數(shù)數(shù)),(yxfz 的的極極值值 得得駐駐點(diǎn)點(diǎn)為為)1, 1( P, 解解在駐點(diǎn)處必有在駐點(diǎn)處必有, 0 yxzz,|zzPxx 21,|0 Pyxz,|zzPyy 2102122 )(| )(zBACP所以駐點(diǎn)所以駐點(diǎn) ( 1 , 1 ) 為極值點(diǎn)為極值點(diǎn)將將)1, 1( P代代入入原原方方程程, 01242 zz, 21 z62 z,時時當(dāng)當(dāng)21 zPxxzA| , 041 所所以以2 z為為極極小小值值； ,時時當(dāng)當(dāng)62 zPxxzA| , 041 所所以以6 z為為極極大大值值； （二）最大值和最小值（二）最大值和最小值 如果如果 f

15、( x , y ) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域 D 上連續(xù)，則它在上連續(xù)，則它在 D 上上 必定取得最大值和最小值必定取得最大值和最小值. 這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)即可能在這種使函數(shù)取得最大值或最小值的點(diǎn)即可能在 D 的的 內(nèi)部，也可能在內(nèi)部，也可能在 D 的邊界上的邊界上. 假定函數(shù)在假定函數(shù)在 D 上連續(xù)、在上連續(xù)、在 D 的內(nèi)部可微且僅有有限的內(nèi)部可微且僅有有限 個駐點(diǎn)，這時如果函數(shù)在個駐點(diǎn)，這時如果函數(shù)在 D 的內(nèi)部取得最大或最小值，的內(nèi)部取得最大或最小值， 則它也是函數(shù)的極大或極小值，并且一定在某個駐點(diǎn)則它也是函數(shù)的極大或極小值，并且一定在某個駐點(diǎn) 上取得上取得.17;.18

16、求函數(shù)最大值和最小值的一般方法：求函數(shù)最大值和最小值的一般方法：（1）求函數(shù)在）求函數(shù)在 D 內(nèi)的所有駐點(diǎn)；內(nèi)的所有駐點(diǎn)；（2）求函數(shù)在）求函數(shù)在 D 的邊界上的最大值和最小值；的邊界上的最大值和最小值；（3）將函數(shù)在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在）將函數(shù)在所有駐點(diǎn)處的函數(shù)值及在 D 的邊界上的的邊界上的 最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在最大值和最小值相比較，最大者就是函數(shù)在 D 上上 的最大值，最小者就是最小值的最大值，最小者就是最小值. 在實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最在實(shí)際問題中，如果根據(jù)問題的性質(zhì)，知道函數(shù)的最 大或最小值存在且一定在大或最小值存在且一定在 D 的內(nèi)部取得，

17、而函數(shù)在的內(nèi)部取得，而函數(shù)在 D 內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是函數(shù)在內(nèi)只有一個駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)就是函數(shù)在 D 上的最大或上的最大或 最小值點(diǎn)最小值點(diǎn).19例例6：有一寬為：有一寬為 24cm 的長方形鐵板，把它兩邊折起來，的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？面的面積最大？ 解：解：24cmxxx224 x224 梯形的上底長為梯形的上底長為x224 cosx2 高為高為 sinx sin)()cos(xxxxA 22242224其中其中,120 x,20 20例例6：有一寬為：有一寬為 24cm

18、的長方形鐵板，把它兩邊折起來，的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？面的面積最大？ 解：解： sin)()cos(xxxxA 22242224 sin)sincos(sinxx2422 問題轉(zhuǎn)化為求面積函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求面積函數(shù) A = A ( x , ) 在區(qū)域在區(qū)域 D20120 ,x上的最大值上的最大值（1）求）求 A = A ( x , ) 在在 D 內(nèi)的駐點(diǎn)內(nèi)的駐點(diǎn)02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(xxA 21例例6：有一寬為：有一寬

19、為 24cm 的長方形鐵板，把它兩邊折起來，的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？面的面積最大？ 解：解：x 0D sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:xD02422 sin)sincos(sinxAx0242222 cos)cossincos(xxA 注意到注意到00 sin,x得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),38 x,),(34838 A22例例6：有一寬為：有一寬為 24cm 的長方形鐵板，把它兩邊折起來，的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能

20、使斷做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？面的面積最大？ 解：解： sin)sincos(sinxxA2422 20120 ,:xD得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),38 x,),(34838 A（2）在）在 D 的邊界上的邊界上,:1202 xD ,),(22242xxxA 04242 xxAx),( , 6 x x0D 23例例6：有一寬為：有一寬為 24cm 的長方形鐵板，把它兩邊折起來，的長方形鐵板，把它兩邊折起來，做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷做成一斷面為等腰梯形的水槽，問怎樣折法才能使斷面的面積最大？面的面積最大？ 解：解： sin)sincos(sinx

21、xA2422 得唯一駐點(diǎn)得唯一駐點(diǎn),38 x,),(34838 A（2）在）在 D 的邊界上的邊界上,:1202 xD ,),(22242xxxA , 6 x7226 ),( Ax 0D 348 所以當(dāng)所以當(dāng),時時38 x斷面的面斷面的面積最大積最大24練習(xí)：要造一個容量一定的長方體箱子，問選擇練習(xí)：要造一個容量一定的長方體箱子，問選擇怎樣的尺寸，才能使所用的材料最?。吭鯓拥某叽?，才能使所用的材料最??？解：解： 設(shè)箱子的長、寬、高分別為設(shè)箱子的長、寬、高分別為 x , y , z , 容積容積為為 V , 表面積為表面積為 S ，則，則,zyxV )(2xzzyyxS ,yxVz 或或)(2y

22、VxVyx 0,0| ),( yxyxD,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy25解上述方程組得唯一駐點(diǎn)解上述方程組得唯一駐點(diǎn) ),(33VV 根據(jù)實(shí)際問題可知根據(jù)實(shí)際問題可知 S 一定存在最小值一定存在最小值 ，并且，并且一定在一定在 D 的內(nèi)部取得，的內(nèi)部取得，所以駐點(diǎn)所以駐點(diǎn)),(33VV即當(dāng)即當(dāng)33,VyVx yxVz ,時時3V 表面積表面積 S 取得最小值取得最小值 ，此時用料最省，此時用料最省.)(2xzzyyxS )(2yVxVyx ,0)(22 xVySx,0)(22 yVxSy是使是使 S 取得最小值的點(diǎn)取得最小值的點(diǎn)26, 0)1()(2)1(22222 yxy

23、xxyxzx, 0)1()(2)1(22222 yxyxyyxzy得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,解解:由由27即即邊邊界界上上的的值值為為零零.,21)21,21( z,21)21,21( z所以最大值為所以最大值為21，最小值為，最小值為21 .因?yàn)橐驗(yàn)?1lim22 yxyxyx無條件極值：無條件極值：對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件對自變量除了限制在定義域內(nèi)外，并無其他條件.得駐點(diǎn)得駐點(diǎn))21,21(和和)21,21( ,（三）條件極值與拉格朗日乘數(shù)法（三）條件極值與拉格朗日乘數(shù)法例：求表面積為例：求表面積為2a解：解： 設(shè)長方體的長、寬、高分別為設(shè)長方體的長

24、、寬、高分別為 x , y , z , 體積體積為為 V , 則問題可描述為：則問題可描述為：求體積求體積 zyxV 在約束條件在約束條件2)(2axzzyyx 下的最大值下的最大值解解出出由由2)(2axzzyyx )(222yxyxaz zyxV 所所以以 yxyxayx222轉(zhuǎn)化為無條件極轉(zhuǎn)化為無條件極值問題值問題.而體積為最大的長方體體積而體積為最大的長方體體積28;.29問題問題 1：求函數(shù)：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）下的極值（稱為條件極值問題）.假設(shè)假設(shè)),(00yx為一極值點(diǎn)，則為一極值點(diǎn)

25、，則000 ),(yx 又進(jìn)一步假設(shè)又進(jìn)一步假設(shè) ( x , y )在在 ),(00yx的某一鄰域內(nèi)的某一鄰域內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且000 ),(yxy 則則 ( x , y ) = 0 確定了一個隱函數(shù)確定了一個隱函數(shù) )(xy 代入目標(biāo)函數(shù)代入目標(biāo)函數(shù) z = f ( x , y ) 中得中得)(,xxfz 它在它在0 xx 處取得極值，故必有處取得極值，故必有00 xxdxdz000000 xxyxdxdyyxfyxf),(),(30假設(shè)假設(shè)),(00yx為一極值點(diǎn)，則為一極值點(diǎn)，則000 ),(yx 則則 ( x , y ) = 0 確定了一個隱函數(shù)確定了一個隱

26、函數(shù) )(xy 000000 xxyxdxdyyxfyxf),(),(又由隱函數(shù)求導(dǎo)公式有又由隱函數(shù)求導(dǎo)公式有),(),(00000yxyxdxdyyxxx 所以所以000000000 ),(),(),(),(yxyxyxfyxfyxyx 問題問題 1：求函數(shù)：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）下的極值（稱為條件極值問題）.31假設(shè)假設(shè)),(00yx為一極值點(diǎn)，則為一極值點(diǎn)，則000 ),(yx 所以所以000000000 ),(),(),(),(yxyxyxfyxfyxyx ,),(),(0000yxyxfy

27、y 令令則有則有00000 ),(),(yxyxfxx 00000 ),(),(yxyxfyy 000 ),(yx 此即為問題此即為問題1 在在處處),(00yx取極值的必要取極值的必要條件條件問題問題 1：求函數(shù)：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）下的極值（稱為條件極值問題）.3200000 ),(),(yxyxfxx 00000 ),(),(yxyxfyy 000 ),(yx ,),(),(),(yxyxfyxL 引入輔助函數(shù)引入輔助函數(shù)則則),( 00yxLx00000 ),(),(yxyxfxx ),(

28、 00yxLy00000 ),(),(yxyxfyy ),( 00yxL000 ),(yx 問題問題 1：求函數(shù)：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）下的極值（稱為條件極值問題）.拉格朗日函數(shù)拉格朗日函數(shù)拉格朗日乘子拉格朗日乘子33拉格朗日乘數(shù)法：拉格朗日乘數(shù)法：（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)：),(),(),(yxyxfyxL 其中，其中， 為參數(shù)，稱之為拉格朗日乘子為參數(shù)，稱之為拉格朗日乘子.（2）聯(lián)解方程組，求出問題）聯(lián)解方程組，求出問題 1 的所有可能的極值點(diǎn)的所有可能的極值點(diǎn).問題問題 1：

29、求函數(shù)：求函數(shù) z = f ( x , y ) 在約束條件在約束條件 ( x , y ) = 0 下的極值（稱為條件極值問題）下的極值（稱為條件極值問題）.),( yxLx0 ),(),(yxyxfxx ),( yxLy0 ),(),(yxyxfyy ),( yxL0 ),(yx （3）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷.34 問題問題 2：求函數(shù)：求函數(shù) u = f ( x , y , z ) 在約束條件在約束條件 ( x , y , z ) = 0 , h( x , y , z

30、) = 0 下的條件極值下的條件極值.（1）作拉格朗日函數(shù)）作拉格朗日函數(shù)),(),(),(),(zyxhzyxzyxfzyxL 其中其中 ， 稱為拉格朗日乘數(shù)稱為拉格朗日乘數(shù). （2）聯(lián)解方程組，求出問題）聯(lián)解方程組，求出問題 2 的所有可能的極值點(diǎn)的所有可能的極值點(diǎn).xL0 xxxhfyL0yyyhf L0 ),(zyx zL0zzzhf L0),(zyxh（3）進(jìn)一步確定所）進(jìn)一步確定所求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，求點(diǎn)是否為極值點(diǎn)，在實(shí)際問題中往往可在實(shí)際問題中往往可根據(jù)問題本身的性質(zhì)根據(jù)問題本身的性質(zhì)來判斷來判斷.35例例1：求表面積為：求表面積為 而體積為最大的長方體體積而體積為最大的長方體體

31、積2a解：解： 設(shè)長方體的長、寬、高分別為設(shè)長方體的長、寬、高分別為 x , y , z , 體積體積為為 V , 則問題可描述為在約束條件則問題可描述為在約束條件22axzzyyx )(下，求體積函數(shù)下，求體積函數(shù)zyxV )0,0,0( zyx的最大值的最大值.（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)),( zyxLzyx )222(2axzzyyx （2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組xLzy 022 )(zy yLzx 022 )(zx zLxy 022 )(yx 36例例1：求表面積為：求表面積為 而體積為最大的長方體體積而體積為最大的長方體體積2a（1）構(gòu)造拉格朗日函數(shù)）構(gòu)造拉格朗日函數(shù))

32、,( zyxLzyx )222(2axzzyyx （2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組xLzy 022 )(zy yLzx 022 )(zx zLxy 022 )(yx 解：解：02222 axzzyyxL 由對稱性知，由對稱性知，x = y = z ，代入最后一個方程解得代入最后一個方程解得zyx a66 這是唯一可能的極值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，）判斷：因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個唯一可能的極值點(diǎn)處取得所以最大值就在這個唯一可能的極值點(diǎn)處取得.37例例1：求表面積為：求表面積為 而體積為最大的長方體體積而體積為最大的長方體體積2a

33、解：解：zyx a66 這是唯一可能的極值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn)（3）判斷：因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，）判斷：因?yàn)橛蓡栴}本身可知最大值一定存在，所以最大值就在這個唯一可能的極值點(diǎn)處取得所以最大值就在這個唯一可能的極值點(diǎn)處取得.結(jié)論：表面積為結(jié)論：表面積為2aa663636aV 的長方體中，以棱長為的長方體中，以棱長為的正方體的體積最大，且最大體積為的正方體的體積最大，且最大體積為38例例2：在橢球面：在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn).解：設(shè)解：設(shè) ( x , y , z ) 為橢球面上任意一點(diǎn)為橢球面上任意一點(diǎn)則該點(diǎn)到平

34、面的距離為則該點(diǎn)到平面的距離為222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件：在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大最小值的最大最小值. 由于由于 d 中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將問題中含有絕對值，為便于計(jì)算，考慮將問題 1 轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題轉(zhuǎn)化為下面的等價(jià)問題39問題問題2：在條件：在條件下，求函數(shù)下，求函數(shù)262)(),( zyxzyxf的最大最小值的最大最小值.222)1(12|62| zyxd6|62| zyx問題問題1：在約束條件：在約束條件下，求距離下，求距離 d 的最大最小值的最大最小值.012222 zyx012222

35、 zyx（1）作拉格朗日函數(shù)）作拉格朗日函數(shù))()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組40（1）作拉格朗日函數(shù)）作拉格朗日函數(shù))()(),(12622222 zyxzyxzyxL 04624 xzyxLx )(02622 yzyxLy )(（2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組02622 zzyxLz )(012222 zyxL 求得兩個駐點(diǎn)：求得兩個駐點(diǎn)：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M對應(yīng)的距離為對應(yīng)的距離為|62121212|611 d632 6342 d6|62|zyxd41

36、例例2：在橢球面：在橢球面12222 zyx上，求距離平面上，求距離平面62 zyx的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn)的最近點(diǎn)和最遠(yuǎn)點(diǎn).解：解：問題問題1：在約束條件：在約束條件012222 zyx下，求距離下，求距離 d 的最大最小值的最大最小值.求得兩個駐點(diǎn)：求得兩個駐點(diǎn)：,)21,21,21(1 M)21,21,21(2 M,6321 d對應(yīng)的距離為對應(yīng)的距離為,6342 d（3）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個，且由題意知最近距）判斷：由于駐點(diǎn)只有兩個，且由題意知最近距離和最遠(yuǎn)距離均存在離和最遠(yuǎn)距離均存在.所以所以最近距離為最近距離為,6321 d最遠(yuǎn)距離為最遠(yuǎn)距離為.6342 d42例例3：求：求xyzu 在條

37、件在條件解：解：azyx1111 下的極值，下的極值，其中，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0.（1）作拉格朗日函數(shù)）作拉格朗日函數(shù))(),(azyxxyzzyxL1111 （2）聯(lián)解方程組）聯(lián)解方程組, 02 xyzLx 02 yzxLy , 02 zyxLz 01111 azyxL 由對稱性知，由對稱性知，x = y = z ，代入最后一個方程解得代入最后一個方程解得這是唯一可能的極值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn),azyx3 43例例3：求：求xyzu 在條件在條件解：解：azyx1111 下的極值，下的極值，其中，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0.這是唯一可能的極

38、值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn),azyx3 （3）判斷：）判斷：設(shè)條件設(shè)條件azyx1111 所確定的隱函數(shù)為所確定的隱函數(shù)為),(yxz 代入目標(biāo)函數(shù)中得代入目標(biāo)函數(shù)中得),(yxyxu 它有唯一駐點(diǎn)它有唯一駐點(diǎn) ( 3 a , 3 a ),經(jīng)計(jì)算可得經(jīng)計(jì)算可得,|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 , 02722 aBAC, 06 aA且且44例例3：求：求xyzu 在條件在條件解：解：azyx1111 下的極值，下的極值，其中，其中，x 0 , y 0 , z 0 , a 0.這是唯一可能的極值點(diǎn)這是唯一可能的極值點(diǎn),azyx3 （3）判

39、斷：）判斷：),(yxyxu 它有唯一駐點(diǎn)它有唯一駐點(diǎn) ( 3 a , 3 a ),|),(auAaaxx633 ,|),(auBaayx333 ,|),(auCaayy633 , 02722 aBAC, 06 aA且且所以，所以， ( 3a , 3a ) 是函數(shù)是函數(shù) u = x y ( x , y ) 的極小值點(diǎn)的極小值點(diǎn)從而原條件極值問題有極小值點(diǎn)從而原條件極值問題有極小值點(diǎn) ( 3a , 3a , 3a)對應(yīng)的極小值為對應(yīng)的極小值為.327au 45多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法（取得極值的必要條件、充分條件）（取得極值的必要條件、充分條件）多元函數(shù)的最值多元

40、函數(shù)的最值四、小結(jié)四、小結(jié)46作業(yè). 8, 6, 4, 353頁：頁：第第47;.48平面點(diǎn)集平面點(diǎn)集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極極 限限 運(yùn)運(yùn) 算算多元連續(xù)函數(shù)多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念一、主要內(nèi)容一、主要內(nèi)容49全微分全微分的應(yīng)用的應(yīng)用高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性微分法在微分法在幾何上的應(yīng)用幾何上的應(yīng)用方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值全微分全微分概念概念偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)概念概念（四）最小二乘法（四）最小二乘法問題描述：問題描

41、述： 通過實(shí)驗(yàn)、測量或調(diào)查，得到自變通過實(shí)驗(yàn)、測量或調(diào)查，得到自變量量 x 和因變量和因變量 y 之間的之間的 n 對數(shù)據(jù)對數(shù)據(jù),),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA從而可用從而可用 y = f ( x ) 作為作為 x 和和 y 之間函數(shù)關(guān)系的之間函數(shù)關(guān)系的近似表達(dá)式，稱之為經(jīng)驗(yàn)公式。近似表達(dá)式，稱之為經(jīng)驗(yàn)公式。 要求尋找一個適當(dāng)類型的函數(shù)要求尋找一個適當(dāng)類型的函數(shù) y = f ( x )，使，使nxxx,21)(, )(, )(21nxfxfxf與實(shí)際觀測值與實(shí)際觀測值nyyy,21在某種尺度意義下在某種尺度意義下 “最接近最接近 ”它在觀測點(diǎn)它在觀測點(diǎn)的函數(shù)值的函數(shù)

42、值50;.51建立經(jīng)驗(yàn)公式常用的方法就是最小二乘法。建立經(jīng)驗(yàn)公式常用的方法就是最小二乘法。首先將首先將 n 對觀測數(shù)據(jù)對觀測數(shù)據(jù)看作直角坐標(biāo)系中的看作直角坐標(biāo)系中的 n 個點(diǎn)，并將其描出個點(diǎn)，并將其描出如果這些點(diǎn)幾乎分布在一條直線附近，就認(rèn)為如果這些點(diǎn)幾乎分布在一條直線附近，就認(rèn)為 x 和和 y 之間存在線性關(guān)系，如圖所示之間存在線性關(guān)系，如圖所示xy0,),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA1A1x2x2AiAixnAL直線直線 L 的方程即為所的方程即為所求經(jīng)驗(yàn)公式。求經(jīng)驗(yàn)公式。bxay 其中其中 a , b 為待定參數(shù)。為待定參數(shù)。nx設(shè)設(shè) L 的方程為：的方程為：5

43、2xy01A1x2x2AiAixnAL設(shè)直線設(shè)直線 L 的方程為：的方程為：bxay 其中其中 a , b 為待定參數(shù)。為待定參數(shù)。,),(111yxA,),(222yxA,),(nnnyxA直線上與點(diǎn)直線上與點(diǎn)),2,1(niAi 橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)設(shè)為橫坐標(biāo)相同的點(diǎn)設(shè)為),2,1(niBi 1B2BiBnB,(11xB,)1bxa ,(22xB,)2bxa ),(bxaxBiii ),(,bxaxBnnn :的的距距離離為為與與iiBA id|iiybxa nx53:的的距距離離為為與與iiBA id|iiybxa 叫作實(shí)測值與理論值的誤差，叫作實(shí)測值與理論值的誤差，id問題：確定一組參數(shù)問題

44、：確定一組參數(shù) a , b ，使誤差的平方和，使誤差的平方和 niidS12 niiiybxa12)(最小。最小。這種方法叫作最小二乘法。這種方法叫作最小二乘法。注意：在上式中，注意：在上式中，ixiy 故上述問題即為求一個二元函數(shù)的最小值問題故上述問題即為求一個二元函數(shù)的最小值問題和和是已知的，所以是已知的，所以 S是參數(shù)是參數(shù) a 和和 b 的二元函數(shù)。的二元函數(shù)。54 niidS12 niiiybxa12)( aS niiiixybxa1)(20 bS niiiybxa1)(20 niixa12 niixb1 niiiyx1 niixa1bn niiy1 從標(biāo)準(zhǔn)方程中從標(biāo)準(zhǔn)方程中解出解出a 和和 b代如直線方程代如直線方程bxay 即得經(jīng)驗(yàn)公式即