2013有限元單元剛度矩陣(10-27講課用

1、6/14/2013第二章平面問題的有限元凍6/14/20136/14/20132-12-22-32-42-52-62-72-8離散化平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元 單元剛度矩陣單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元載荷移置整體分析整體剛度矩陣的形成 整體剛度矩陣的特點支承條件的處理6/14/20136/14/20132.1離散化6/14/20136/14/2013彈性力學(xué)平面問題的有限單元法包括五個主要步驟:2、所分析問題的數(shù)學(xué)建模2、離散化3、單元分析4、整體分析與求解5、結(jié)果分析6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元有限單元法的基礎(chǔ)是用所謂有限個單元的集合體來代替原來的連續(xù)體，

2、因而必須將連續(xù)體簡化為由有限個單元組成的離散體。對于平面問題，最簡單，因而最常用的單元是三角形單元。因平面問題的變形主要為平面變形，故平面上所有的節(jié)點都可視為 平面較，即每個節(jié)點有兩個自由度。單元與單元在節(jié)點處用鍍相連，作用在 連續(xù)體荷載也移置到節(jié)點上，成為節(jié)點荷載。如節(jié)點位移或其某一分量可以 不計之處，就在該節(jié)點上安置一個鍍支座或相應(yīng)的連桿支座。6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元1、位移函數(shù)如果彈性體的位移分量是坐標(biāo)的已知函數(shù)，則可用幾何方程求應(yīng)變 分量，再從物理方程求應(yīng)力分量。但對一個連續(xù)體，內(nèi)部各點的位移變化 情況很難用一個簡單函數(shù)來描繪。有限單元法的基本原理是分塊近

3、似，即將彈性體劃分成若干細(xì)小網(wǎng) 格，在每一個單元范圍內(nèi)，內(nèi)部各點的位移變化情況可近似地用簡單函數(shù) 來描繪。對每個單元，可以假定一個簡單函數(shù)，用它近似表示該單元的位 移。這個函數(shù)稱為位移函數(shù)，或稱為位移模式、位移模型、位移場。對于平面問題，單元位移函數(shù)可以用多項式表示，u( 乜嚀2 坷9+%/ +v=b +b2x+b3y+b + 休o+Qb +多項式中包含的項數(shù)越多，就越接近實際的位移分布，越精確。但選取多 少項數(shù)，要受單元型式的限制。六個節(jié)點位移只能確定六個多項式的系 數(shù)，所以平面問題的3節(jié)點三角形單元的位 移函數(shù)如下，u-ax +a2x + a3yv = a4 +a5x + a6y該位移函數(shù)

4、，將單元內(nèi)部任一點的位移設(shè) 定為坐標(biāo)的線性函數(shù)，該位移模式很簡 單。其滬心為廣義坐標(biāo)或待定系數(shù)，可據(jù)節(jié)點人卜m的位移值和坐標(biāo)值求出。6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元位移函數(shù)寫成矩陣形式為：町二bl _iXy000br000iX3a25a4%,6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變(三角形)單元111最終確定六個待定系數(shù)其中2A =axa2”5、氣12Aai_c<b：XjXrna.JbJCJa.JbjCJU：bmCm_ am bm5< w. >JuI加丿cvi*%a(i,j,m),b(i,j,m),C

5、(i,j,m)只是記號,表 :小此方陣僅與X (i,j,m)(i,j,m)有關(guān)。bi = yj-ymi,j,m輪換5=x廠Xj 為2A第1行各個元素的1代數(shù)余子式，U = (q +bix+ciy)ul +(竹 +bjx+cjy)uj +(am +/+£/)給Ci6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元令 Nj簡寫為忙”0Nj0Nm0 _VJX0 N：0N jONm_（下標(biāo)i, j, m輪換）INjuivi%'Jy I u .I是單位矩陣，A =<JV i>N稱為形函數(shù)矩陣，幾.JumN只與單元節(jié)點

6、坐標(biāo)有關(guān)，稱為單元mVI m J的形狀函數(shù) = Ny = inU2-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元據(jù)彈性力學(xué)幾何方程得單元的應(yīng)變分量03 +禺由于三節(jié)點三角形單元的位移函數(shù)為線性函數(shù)，則 單元的應(yīng)變分量均為常量，故這類三角形單元稱為 常應(yīng)變單元（位移在單元內(nèi)和邊界上為線性變化, 應(yīng)變?yōu)槌Ａ浚?/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元2、形函數(shù)的特點及性質(zhì)Q形函數(shù)叫為x、y坐標(biāo)的函數(shù)，與位移函數(shù)有相同的階次。2）形函數(shù)N在i節(jié)點處的值等于1,而在其他節(jié)點上的值為0。 即他（舌,升）=1 Ni（xj,yj） = 0他（?！?九）=0類似= 0 Nj（Xj,yJ = l Nj（xm,y

7、m） = 0N,”（*yJ = 0 N,”（9，“）= 0 Nm（xm,ym） = l3）單元內(nèi)任一點的三個形函數(shù)之和恒等于1。N©, y） + Nj （兀,y） + Nm （x,y） = 14）形函數(shù)的值在0_1間變化。6/14/20136/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元3、收斂性分析選擇單元位移函數(shù)時，應(yīng)當(dāng)保證有限元法解答的收斂性，即當(dāng) 網(wǎng)格逐漸加密時，有限元法的解答應(yīng)當(dāng)收斂于問題的正確解 答。因此，選用的位移模式應(yīng)當(dāng)滿足下列條件：（1）位移函數(shù)必須含單元常量應(yīng)變。（2）單元必須能反映單元的剛體位移（即單元應(yīng)變?yōu)?時的位移）。 前面位移函數(shù)改寫為（注意：a2,

8、a6,a3+a5為0 ）a. - a,a, + a.u-ax11- y + ax + 2y2 2 2a. - a.a, + a.v = % + x+a.y + -4 2 2則單元剛體位移為226/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元226/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元a、- a,u =a匕y記為u = ai-0Qyv = «4 + % 兀顯然，位移函數(shù)包=1含了單元的剛體位226/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元移（平動和轉(zhuǎn)動）a,v = a4 + x222-2平面問題的常應(yīng)變(三角形)單元2-2平面問題的常應(yīng)變(三角形)單元(3

9、)位移函數(shù)在單元內(nèi)部必須連續(xù)位移。因為線性函數(shù)，內(nèi)部連續(xù)y 二 Ax+B(4)位移函數(shù)必須保證相鄰單元在公共邊 界處的位移協(xié)調(diào)(即在公共邊界上位 移值相同)。如右圖設(shè)公共邊界直線方程為y=Ax+B,代入邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生裂縫位移函數(shù)可得：邊界上位移為u = a +«2x + «3(Ax+B)v = a4 + a5x + a6 (Ax + B)顯然，u,v仍為線性函數(shù)，即公共邊界 上位移連續(xù)協(xié)調(diào)。邊界不協(xié)調(diào)產(chǎn)生重迭綜上所述，常應(yīng)變?nèi)切螁卧奈灰?函數(shù)滿足解的收斂性條件，稱此單元 為協(xié)調(diào)單元6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元勺=片一另=°例題：圖示等

10、腰三角形單元，求其形函數(shù)矩陣N。ai=xjym-xmyj=Qbi=y-ym=aCi XmXj、把上步求得的P a(i,j,m),b(i,j,m),C(i,j,m)代入N =6/14/20132-2平面問題的常應(yīng)變(三角形)單元2由三角形的面積人二牛廠2 C亠_1XNj -(a +bix + ciy = (O + tzx+O)=1 2A 1 11a11y叫=二(勺+/?.%+(? j) = y(0 + 0 + ©) = _ 2AaaNm=L 4 +加+# =4 S -血0)=1-24cra axyxy-0-0 1-aaaa0蘭0丄14aa02-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元X 4.應(yīng)

11、力.應(yīng)變矩陣將位移函數(shù)代入平面問題幾何方程，得應(yīng)變矩陣:52-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元可二Nj00心Nj 0ui%bi0c：0c：0CjbJ0Jbm6/14/2013片UJVJ % %=5即BJ52-2平面問題的常應(yīng)變（三角形）單元x應(yīng)力矩陣由平面問題物理方程得:何衛(wèi)冏平回何卜s0Hb sS加應(yīng)變矩陣B反映了單元內(nèi)任一點的應(yīng)變與節(jié)點位移間的關(guān)系 應(yīng)力矩陣S反映了單元內(nèi)任一點的應(yīng)力與節(jié)點位移間的關(guān)系顯然，常應(yīng)變?nèi)切螁卧膽?yīng)變矩陣B為常量矩陣，說明在 該單元上的應(yīng)力和應(yīng)變?yōu)槌Ｖ?。由此可見，在相鄰單元的邊界處，?yīng)變及應(yīng)力不連續(xù)，有突變。6/14/2013166/14/20132-3單元剛度

12、矩陣討論單元內(nèi)部的應(yīng)力與單元的節(jié)點力的關(guān)系，導(dǎo)出用節(jié)點位 移表示節(jié)點力的表達(dá)式。由應(yīng)力推算節(jié)點力，需要利用平衡方程。采用虛功方程表示出平衡方程，即處r起虛位移上所作的虛功等于應(yīng)力在虛應(yīng)變上 作的爆應(yīng)變功。5*TF = JJfe*Todxdydz)節(jié)點力、內(nèi)部應(yīng)力(b)虛位移、虛應(yīng)變6/14/2013)節(jié)點力、內(nèi)部應(yīng)力(b)虛位移、虛應(yīng)變6/14/2013)節(jié)點力、內(nèi)部應(yīng)力(b)虛位移、虛應(yīng)變上圖三角形單元的實際受力，節(jié)點力和內(nèi)部應(yīng)力為:FxiFJ J °=<廠 、cr>、坯F嘰6/14/20136/14/2013(b)虛位移、虛應(yīng)變6/14/20136/14/2013任意

13、虛設(shè)位移，節(jié)點位移與內(nèi)部6/14/2013應(yīng)變?yōu)閁.6/14/2013* V.1*U.J*V.J6/14/20136/14/20136/14/2013(a)節(jié)點力.內(nèi)部應(yīng)力(b)虛位移、虛應(yīng)變節(jié)點力在虛設(shè)位移上作虛功: 計算內(nèi)力虛功時，從彈性體中截取微小矩形，邊長為dx和dy, 厚度為t,圖中為微小矩形的實際應(yīng)力和虛設(shè)變形。m 4 +臨+Uj坨+可坨 心 +xX廠6）實際應(yīng)力dxnyt dxdydx號x悶匚3"dy6/14/2013i nyt dx（b）虛設(shè)應(yīng)變Tdyi1| dx >p|叮dxIO6/14/2013（虛變形功）為微小矩形的內(nèi)力虛功* * *dU=(crjcfy)

14、 x £ dx)+(cr/dv) x (q dy)+(q腫)x (y$ dy)6/14/20132-3單元剛度矩陣微小矩形的內(nèi)力虛功為* * *dU=Ggdy) x(sxdx)+ (q 斶 x (可期+(q 述)x=Ox + YTtcbcdy1/Q* * * 114 勺卷o-tdxdy整個單元吸收的總虛應(yīng)變功Uj* j* d 二 n w%根據(jù)虛功原理，得6/14/20132-3單元剛度矩陣6/14/20132-3單元剛度矩陣這就是彈性平面問題的虛功方程，實質(zhì)是外力與應(yīng)力之間的平 衡方程。虛應(yīng)變可以由節(jié)點虛位移求出:代入虛功方程町=JJBT crtdxdy6/14/20132-3單元剛

15、度矩陣fY = , JJB7 cr tdxdy應(yīng)力用節(jié)點位移表示出同=DB3e有Fe = BYDWdxdy 6e令DBtdxdy實際上，單元剛度陣的一般格式可表示為DBdxdydzV町=可殲建立了單元的節(jié)點力與節(jié)點位移之間的關(guān)系，K稱為單元剛度 矩陣。它是6*6矩陣，其元素表示該單元的各節(jié)點沿坐標(biāo)方向發(fā) 生單位位移時引起的節(jié)點力，它決定于該單元的形狀、大小、 方位和彈性常數(shù)，而與單元的位置無關(guān)，即不隨單元或坐標(biāo)軸 的平行移動而改變。FeDBtdxdy 6e=A由于D中元素是常量，而在線性位移模式下，B中的元素也 是常量，且因此 Fe BfDBtA 3e K=BnDBtA可以進(jìn)一步得出平面應(yīng)力問

16、題和平面應(yīng)變問題中的單元剛度矩 陣。2-3常應(yīng)變?nèi)切螁卧膭偠染仃?%2-3常應(yīng)變?nèi)切螁卧膭偠染仃噷?yīng)變矩陣B的分 塊陣代入單元剛度 矩陣，可得其子塊 計算式：'1KL “KimKji qKjmKmm心:| =川叮刃以加陋 r,s = ij,mV對于常應(yīng)變?nèi)切?簞元，考慮平宙血 力問題彈性矩陣D,可得嘰0°5Cs bstA6/14/2013Et4(1宀1 J1 “71 “=吸 + CrCs就 Cs +"si1 i_她S +g +2%6/14/20132-4單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)6/14/20132-4單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)單元剛度矩陣的物理意

17、義： 將F°寫成分塊矩陣、巧< F. > =JF©jKimKjmK'nunKu © KmiV%6/14/20132-4單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)寫成普通方程、昭=唧他+齡阿+氐 朋卜%聞+匡訓(xùn)訓(xùn)站 FJ=MW 一其中K表示節(jié)點S(S=iJ,m)產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r(r=ij,m) 上所需要施加的節(jié)點力的大小。單元剛度矩陣的物理意義：將節(jié)點力列矩陣F與節(jié)點位移列矩陣灣筠展開成(6*1)階 列矩陣，單元剛度矩陣相應(yīng)地展開成(6*6)階方陣：每K.jiK.miW.V-Vu.J >Vj%元素K的腳碼，標(biāo)有的表示水平方向，沒有標(biāo)啲表示垂 直

18、方向。單元剛度矩陣的物理意義：Fxr = E（K 喬叭+K±Vs）（r = i，j，m）S=i,jjnFyr =工 （心他 + Ks）（r = i，j，加）S=ijm單元剛度矩陣的性質(zhì)。（1）單元剛度矩陣的每一個元素都有明顯的物理意義。心徐，心瓦表示節(jié)點S（S=iJ，m）在水平方向.垂直方向 產(chǎn)生單位位移時，在節(jié)點r（r=ij,m）±分別所要施加的水平節(jié)點 力和垂直節(jié)點力的大小。例如K#表示節(jié)點j在垂直方向產(chǎn)生 單位位移時，在節(jié)點i所需要施加的水平節(jié)點力的大小。3-4單元剛度矩陣的物理意義及其性質(zhì)和計算量。2) 單元剛度矩陣是對稱陣，在單剛計算中可以減少存儲量e)T屠對角元素為表3) 單元岡強(qiáng)主對負(fù)線元素恒為正值示力的方商和位餌向一致，故功總為正值。4) 單元剛陣是奇異陣，即|K|=0,這是因為計算單元剛陣時沒有對電元的垃點加以約束