線(xiàn)性代數(shù)幾個(gè)基本基礎(chǔ)概念PPT精選文檔

1、.1線(xiàn)性代數(shù)的幾個(gè)基本概念線(xiàn)性代數(shù)的幾個(gè)基本概念(一).2 引引 言言 .3 數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性產(chǎn)生了全面的升華數(shù)學(xué)的表述方式和抽象性產(chǎn)生了全面的升華 !F幾何的抽象化幾何的抽象化實(shí)用實(shí)用直觀(guān)直觀(guān)抽象抽象(a, b，c).4 按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線(xiàn)性代數(shù)是通按照現(xiàn)行的國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)，線(xiàn)性代數(shù)是通過(guò)公理化、系統(tǒng)性表述的，具有很強(qiáng)的邏過(guò)公理化、系統(tǒng)性表述的，具有很強(qiáng)的邏輯性、抽象性，是第二代數(shù)學(xué)模型輯性、抽象性，是第二代數(shù)學(xué)模型. .5通常的教學(xué)模式通常的教學(xué)模式概念概念相應(yīng)定理公式相應(yīng)定理公式例題求解例題求解直覺(jué)性喪失直覺(jué)性喪失！.6 向量表面上只是一列數(shù)，但是其實(shí)由于它的有序性， 所以除了這些數(shù)

2、本身攜帶的信息之外，還可以在每個(gè)數(shù)的對(duì)應(yīng)位置上攜帶信息. 線(xiàn)性空間中的任何一個(gè)對(duì)象，通過(guò)選取基和坐標(biāo)的辦法，都可以表達(dá)為向量的形式. 向量是什么？向量是什么？ 向量是具有向量是具有n n個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)（維度）個(gè)相互獨(dú)立的性質(zhì)（維度）的對(duì)象的表示的對(duì)象的表示問(wèn)問(wèn) 題題.7矩陣是什么？矩陣的乘法規(guī)則怎樣定義？矩陣的相似是什么意思？特征值的本質(zhì)是什么？Axx1P APB A.8 純粹的數(shù)學(xué)理論描述、證純粹的數(shù)學(xué)理論描述、證明不能令人滿(mǎn)意和信服明不能令人滿(mǎn)意和信服 ！.9一、線(xiàn)性空間和矩一、線(xiàn)性空間和矩陣的幾個(gè)核心概念陣的幾個(gè)核心概念 .10基本定義基本定義: 存在一個(gè)集合，在這個(gè)集合上定義某某概存

3、在一個(gè)集合，在這個(gè)集合上定義某某概念，然后滿(mǎn)足某些性質(zhì)念，然后滿(mǎn)足某些性質(zhì)”，就可以被稱(chēng)為空間，就可以被稱(chēng)為空間.空空 間間 為什么要用“空間”來(lái)稱(chēng)呼一些這樣的集合呢？奇怪!.11 三維的空間三維的空間由很多（實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成；由很多（實(shí)際上是無(wú)窮多個(gè)）位置點(diǎn)組成；這些點(diǎn)之間存在相對(duì)的關(guān)系；這些點(diǎn)之間存在相對(duì)的關(guān)系；可以在空間中定義長(zhǎng)度、角度；可以在空間中定義長(zhǎng)度、角度；1.這個(gè)空間可以這個(gè)空間可以容納運(yùn)動(dòng)容納運(yùn)動(dòng).這里我們所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的這里我們所說(shuō)的運(yùn)動(dòng)是從一個(gè)點(diǎn)到另一個(gè)點(diǎn)的跳躍（變換）跳躍（變換）,而不是微積分意義上的而不是微積分意義上的“連續(xù)連續(xù)”性的運(yùn)動(dòng)性

4、的運(yùn)動(dòng). .12 容納運(yùn)動(dòng)是空間的本質(zhì)特征容納運(yùn)動(dòng)是空間的本質(zhì)特征 “ “空間空間”是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象是容納運(yùn)動(dòng)的一個(gè)對(duì)象 集合，而空間的運(yùn)動(dòng)由變換所規(guī)定集合，而空間的運(yùn)動(dòng)由變換所規(guī)定. .13 矩陣矩陣 矩陣是什么？矩陣是什么？ 1. 矩陣只是一堆數(shù)，如果不對(duì)這堆數(shù)建立一些運(yùn)算規(guī)則. 2. 矩陣是一列列向量，如果每一列向量列舉了對(duì)同一個(gè)客觀(guān)事物的多個(gè)方面的觀(guān)察值. .14 3. 矩陣是一個(gè)圖像，它的每一個(gè)元素代表相對(duì)位置的像素值. 4. 矩陣是一個(gè)線(xiàn)性變換，它可以將一些向量變換為另一些向量. 要回答要回答“矩陣是什么矩陣是什么”，取決于你從什，取決于你從什么角度去看它么角度去看它. .15

5、 矩陣與矩陣與線(xiàn)性變換線(xiàn)性變換 在線(xiàn)性空間中，當(dāng)選定一組基之后，不在線(xiàn)性空間中，當(dāng)選定一組基之后，不僅可以用一個(gè)向量來(lái)描述空間中的任何一個(gè)僅可以用一個(gè)向量來(lái)描述空間中的任何一個(gè)對(duì)象，而且可以用矩陣來(lái)描述該空間中的任對(duì)象，而且可以用矩陣來(lái)描述該空間中的任何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換）何一個(gè)運(yùn)動(dòng)（變換）.也即對(duì)于任何一個(gè)線(xiàn)性也即對(duì)于任何一個(gè)線(xiàn)性變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來(lái)加以描述變換，都能夠用一個(gè)確定的矩陣來(lái)加以描述. .16. 在線(xiàn)性空間中選定基之后，向量刻畫(huà)對(duì)在線(xiàn)性空間中選定基之后，向量刻畫(huà)對(duì)象，矩陣刻畫(huà)對(duì)象的運(yùn)動(dòng)象，矩陣刻畫(huà)對(duì)象的運(yùn)動(dòng). 而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方法，就是而使某個(gè)對(duì)象發(fā)生對(duì)應(yīng)運(yùn)動(dòng)的方

6、法，就是用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的用代表那個(gè)運(yùn)動(dòng)的矩陣，乘以代表那個(gè)對(duì)象的向量向量.用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動(dòng)用矩陣與向量的乘法施加運(yùn)動(dòng). 矩陣是線(xiàn)性空間中的線(xiàn)性變換的一個(gè)描述矩陣是線(xiàn)性空間中的線(xiàn)性變換的一個(gè)描述.17線(xiàn)性變換不同于線(xiàn)性變換的一個(gè)描述線(xiàn)性變換不同于線(xiàn)性變換的一個(gè)描述 對(duì)于同一個(gè)線(xiàn)性變換，選定一組基，就可以找到一個(gè)矩陣來(lái)描述這個(gè)線(xiàn)性變換；換一組基，就得到一個(gè)不同的矩陣. 所有這些矩陣都是這同一個(gè)線(xiàn)性變換的描述，但又不是線(xiàn)性變換本身.18同一個(gè)線(xiàn)性變換的矩陣具有性質(zhì)：同一個(gè)線(xiàn)性變換的矩陣具有性質(zhì)： 若A和B是同一個(gè)線(xiàn)性變換的兩個(gè)不同矩陣，則一定存在非奇異矩陣P，使得

7、即同一個(gè)線(xiàn)性變換在不同的坐標(biāo)系下表現(xiàn)為不同的矩陣，但其本質(zhì)相同，所以特征值相同.1APBP.19 相似矩陣，就是同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同的相似矩陣，就是同一個(gè)線(xiàn)性變換的不同的描述矩陣描述矩陣. 或者說(shuō)相似矩陣都是同一個(gè)線(xiàn)性變或者說(shuō)相似矩陣都是同一個(gè)線(xiàn)性變換的描述換的描述 .20 線(xiàn)性變換可以用矩陣的形式呈現(xiàn)，也就是說(shuō)，矩陣是形式，而變換 也就是各種映射才是本質(zhì)， 而代數(shù)的重要任務(wù)之一就是研究各種數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)之間的關(guān)系也就是映射.21 維線(xiàn)性空間里的方陣 的 個(gè) 維向量如果線(xiàn)性無(wú)關(guān)，那么它們就可以成為度量 維線(xiàn)性空間的一組基，事實(shí)上就是一個(gè)坐標(biāo)系體系.矩陣與坐標(biāo)系nnnnA.221001A矩陣描述了一個(gè)

8、坐標(biāo)系矩陣描述了一個(gè)坐標(biāo)系.231001bbIbb?MbMIbMb?bb.24()MbM IbMbaaaIab變換變換坐標(biāo)坐標(biāo)Mb()MbMI bMb.25()()RMRM ITI 從變換的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，對(duì)坐標(biāo)系M施加R變換，就是對(duì)組成坐標(biāo)系M的每一個(gè)向量施加R變換. 從坐標(biāo)系的觀(guān)點(diǎn)來(lái)看，對(duì)坐標(biāo)系M的每一個(gè)基向量，把它在I坐標(biāo)系中的坐標(biāo)找出來(lái),然后通過(guò)R組成一個(gè)新的（坐標(biāo)系）矩陣. MIT.26 矩陣既是坐標(biāo)系，又是變換. 數(shù)學(xué)定義：數(shù)學(xué)定義：矩陣就是由矩陣就是由 行行 列數(shù)列數(shù)放在一起組成的數(shù)學(xué)對(duì)象放在一起組成的數(shù)學(xué)對(duì)象mn.27 數(shù)學(xué)書(shū)上的語(yǔ)言是經(jīng)過(guò)千錘百煉的。這種抽象的語(yǔ)言，精準(zhǔn)的描述了人類(lèi)

9、對(duì)數(shù)學(xué)某些局部理解的精微. 這些描述的語(yǔ)言可能可以有更完善的改進(jìn)，就像編寫(xiě)的程序有些地方的語(yǔ)句可以改得更巧妙更堅(jiān)固一樣. .28 數(shù)學(xué)容許我們每個(gè)人按自己的理解方式來(lái)理解, 這就看你怎樣對(duì)它加工，使它明確、使它華麗、使它完美. 使它更易于理解和使用. 這個(gè)過(guò)程也就是一個(gè)人學(xué)懂?dāng)?shù)學(xué)的過(guò)程.29 數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀(guān)數(shù)無(wú)形時(shí)少直觀(guān), , 形無(wú)數(shù)時(shí)難入微形無(wú)數(shù)時(shí)難入微, , 數(shù)形結(jié)合百般好數(shù)形結(jié)合百般好, , 隔離分家萬(wàn)事休隔離分家萬(wàn)事休. . -華羅庚.30將抽象思維形象化將抽象思維形象化將理論知識(shí)實(shí)用化將理論知識(shí)實(shí)用化.31二、矩陣的四個(gè)基本子空間二、矩陣的四個(gè)基本子空間.32記：1212m nnmA

10、基本定義基本定義.33Column space():nC AAx xRmR12 ,(,)nspan135070001213519m nAn=5.34 Row space():TTmC AA xxRnR12(,)TTTmspan135070001213519m nAm=3.35dim( )dim()TrankAC AC A135070001213519m nAr=2.36設(shè)A的行階梯形為135070001200000m nRNotice ()()C AC R()RrrefABAR1ABR則存在可逆矩陣B使得.37m=3n=5r=2135070001200000m nRPivot rows 1 a

11、nd 2Pivot columns 1 and 4dim( )dim()2TrankRC RC R例例1.38Null space():0,nNAxAxxR123451350700012,00000m nR 有三個(gè)自由變量： 方程235,.xxx0Rx 有解：223355xkkk( ) :0,nN Rx RxxR.39355700,1002012- 31其 中=000dim ( )5 23N Rn r dim( )N Rnr.40 方程方程組組 中，若中，若 不等不等于于 0 0 且有解，且有解，則則其解不其解不會(huì)構(gòu)會(huì)構(gòu)成子空成子空間間，因，因?yàn)闆](méi)為沒(méi) 有有0 0元素元素. .Rxbb.41L

12、eft nullspace() :0,TTmN Ry R yyRLeft nullspace?00TTTRyyR.42dim()TN Rmr1231,3,5,0,70,0,0,1,20,0,0,0,0yyy0,0,0,0,03(0,0,)()TyyN R.433 3103012115A12 = 1 0 3 =0 1 2（ ，）（ ，）3 3103012000R13 3231030120115xAXxx 設(shè)設(shè)由由例例2 2行基.4413 3231030120000 xRxx 12 X=1 0 3 X=0 X=0 1 2 （ ，）（ ，） X = 012 X ,X12 (,)LX TC(A )(

13、)N A.45(3,2,-1)(0,1,2)(1,0,3)T12 C(A )(,)L N(A).46例3123123246A1()()CAs p a n0TAy 21y()()TNAsp a ny()()TCANA則由解得則顯然.47Row spaceall ATyColumn spaceall AxNullspaceAx=0Left nullspaceATy=0C(AT)dim rRnN(A)dim n-rRmC(A)dim rN(AT)dim m-r互為正交補(bǔ)互為正交補(bǔ)AX=b有解 b N(AT)Rn.48Row spacerxrxbArnxxxb0nx Anullspace Left n

14、ullspaceAction of on ArnxxxColumn spacexAnx.49例4若1236A分解43x 得2241rnxx 122110()3643TrAxC A 1220( )3610nAxN A .50三、矩陣的奇異值分解三、矩陣的奇異值分解.51 應(yīng)用領(lǐng)域應(yīng)用領(lǐng)域 1.1.最優(yōu)化問(wèn)題；最優(yōu)化問(wèn)題； 特征值問(wèn)題；特征值問(wèn)題； 最小二乘問(wèn)題；最小二乘問(wèn)題； 廣義逆矩陣問(wèn)題等廣義逆矩陣問(wèn)題等. . 2.2.統(tǒng)計(jì)分析；統(tǒng)計(jì)分析； 信號(hào)與圖像處理；信號(hào)與圖像處理； 系統(tǒng)理論和控制等系統(tǒng)理論和控制等. .52矩陣的正交對(duì)角分解 若若A是是n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則存在正交矩陣階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，則

15、存在正交矩陣Q，使得，使得 (1)其中其中 為矩陣為矩陣A的特征值，而的特征值，而Q的的n個(gè)列向個(gè)列向量組成量組成A的一個(gè)完備的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量系的一個(gè)完備的標(biāo)準(zhǔn)正交特征向量系. 對(duì)于實(shí)的非對(duì)稱(chēng)矩陣A，不再有像式（1）的分解，但卻存在兩個(gè)正交矩陣P和Q，使 為對(duì)角矩陣，即有下面的正交對(duì)角分解定理.12(,.)TnQ AQdiag (1, 2,. )iinTP AQ.53 定理定理 設(shè)設(shè) 非奇異，則存在正交矩陣非奇異，則存在正交矩陣P和和Q， 使得使得 (2)(2) 其中其中證 因?yàn)锳非奇異，所以 為實(shí)對(duì)稱(chēng)正定矩陣，于是存 在正交矩陣Q使得，其中 為 特征值令 ,12()(,.)TTnQA A

16、Qdiag 0(1,2,. )iin12(,.)TnP AQdiag n nARTA A0(1,2,. )iinTA A(1,2,. )iiin12(,.)ndiag .541()TAQAQ 2()TTQA A Q 1PAQ則有 或者再令 ,于是有即P為正交矩陣，且使改寫(xiě)式(2)為 (3)稱(chēng)式（3）為正交矩陣正交矩陣A的正交對(duì)角分解的正交對(duì)角分解11() ()TTP PAQAQI12(,.)TnP AQdiag 12( ,.)TnAP diagQ .55引理： 1.設(shè) 則 是對(duì)稱(chēng)矩陣， 且其特征值是非負(fù)實(shí)數(shù). 2. 3. 設(shè) 則 的充要條件是 (0),m nrrAC()Trank A Aran

17、kATA A(0),m nrrAC0A0TAA.56ArTA A定義 設(shè) 是秩為 的 實(shí)矩陣，mn的特征值為的特征值為1210rrn 則稱(chēng)則稱(chēng) 為為A的奇異值的奇異值. .(1,2, )iiir(0)r r .57奇異值分解定理奇異值分解定理 設(shè)設(shè)A是秩為是秩為(0)r r 的的mn則存在則存在 階正交矩陣階正交矩陣實(shí)矩陣實(shí)矩陣, ,mU與與 階正交矩陣階正交矩陣,V使得使得TSOU AVOO 其中其中12diag(,)r (1,2, )ir10r為矩陣為矩陣A的全部奇異值的全部奇異值. .n.58證明證明 設(shè)實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣 的特征值為A1210rrn 則存在n階正交矩陣 ，使得 V12TT()n

18、OVA AVOO 將 分塊為V12()VVV其中 ， 分別是 的前 r 列與后 列.1V2VVnr.59并改寫(xiě)式為2TOA AVVOO 則有T2T112A AVVA AVO， 由的第一式可得TT2T1111() ()rV A AVAVAVE， 或者 由的第二式可得T222() () A VA VOA VO或 者令 ，則 ，即 的r個(gè)列是兩兩正交的單位向量.記111UAV T11rU UE1U.60112(,)rUuuu因此可將 擴(kuò)充成 的標(biāo)準(zhǔn)正交基，記增添的向量為 ，并構(gòu)造矩陣則是m階正交矩陣,且有于是可得12,ruuumC1,rmuu21(,)rmUuu12121( ,) ( , , ,)r

19、rmUU Uu uu uuTT1121 rU UEU UO，TTT1121T2()()OUU AVUAVAVUOOOU， .61TTTT11 1222rrrOAUVuvu vu vOO 稱(chēng)上式為矩陣A的奇異值分解.62 在矩陣?yán)碚撝?，奇異值分解?shí)際上是“對(duì)稱(chēng)矩陣正交相似于對(duì)角矩陣”的推廣.奇異值分解中 是 的特征向量，而 的列向量是 的特征向量，并且 與 的非零特征值完全相同. 但矩陣 的奇異值分解不惟一.121,rrmu uu uuTAAVTA ATAATA A注意A.63數(shù)值秩數(shù)值秩 在沒(méi)有誤差時(shí)，奇異值分解可以確定矩陣的秩. 但是誤差的存在使得確定變得非常困難. 例如，考慮矩陣1/ 31

20、/ 32 / 32 / 32 / 34 / 31/ 32 / 312 / 51/ 53 / 53 / 71/ 74 / 7A.64 因?yàn)榈谌惺乔皟闪械暮停?A 的秩是2. 如果不考慮到這個(gè)關(guān)系，運(yùn)用IEEE標(biāo)準(zhǔn)的雙精度浮點(diǎn)計(jì)算模式，用MATLAB命令SVD計(jì)算A 的奇異值：1/31/32/32/32/34/31/32/312/51/53/53/ 71/ 74/ 7Aformat long eA=1/3,1/3,2/3;2/3,2/3,4/3;1/3,2/3,1;2/5,1/5,3/5;3/7,1/7,4/7；D= svd(A).65 計(jì)算結(jié)果為：D = 2.421457493421318

21、e+000 3.406534035359026e-001 1.875146052457622e-016 因?yàn)橛幸驗(yàn)橛小叭眰€(gè)非零奇異值，所以個(gè)非零奇異值，所以A的秩的秩為為“3 3”. 然而，注意到在然而，注意到在IEEE雙精度的標(biāo)準(zhǔn)下雙精度的標(biāo)準(zhǔn)下, ,其中一個(gè)奇異值是微小的其中一個(gè)奇異值是微小的. . 也許應(yīng)該將它看作也許應(yīng)該將它看作零零. .因?yàn)檫@個(gè)原因，引人數(shù)值秩的概念因?yàn)檫@個(gè)原因，引人數(shù)值秩的概念. .66 如果矩陣如果矩陣 有有 個(gè)個(gè)“大大”的奇異值，而其的奇異值，而其它都很它都很“微小微小”，則稱(chēng)，則稱(chēng) 的數(shù)值秩為的數(shù)值秩為 . 為了確定哪個(gè)奇異值是為了確定哪個(gè)奇異值是“微小微

22、小”的，需要引的，需要引人閾值或容忍度人閾值或容忍度 .就就MATLAB而言，可以把而言，可以把 設(shè)為閾值，大于這個(gè)閾值的奇異值的數(shù)目就是設(shè)為閾值，大于這個(gè)閾值的奇異值的數(shù)目就是 A的數(shù)值秩，把小于這個(gè)閾值的奇異值看作零的數(shù)值秩，把小于這個(gè)閾值的奇異值看作零. 利用利用MATLAB的命令的命令rank計(jì)算計(jì)算 的秩，它的結(jié)的秩，它的結(jié)果是果是2 2，就是這個(gè)道理，就是這個(gè)道理.-161toleps ( eps=2.24 10)nAAAkk.67求矩陣求矩陣01.60.601.20.8000000A的奇異值分解的奇異值分解解解: :MATLAB程序?yàn)椋撼绦驗(yàn)椋篈=0,-1.6,0.6;0 ,1.

23、2,0.8;0,0,0;0,0,0U,S,V=svd(A).68計(jì)算結(jié)果計(jì)算結(jié)果A = 0 -1.6000 0.6000 0 1.2000 0.8000 0 0 0 0 0 0U = 0.8000 0.6000 0 0 -0.6000 0.8000 0 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 1.0000.69S = 2.0000 0 0 0 1.0000 0 0 0 0 0 0 0V = 0 0 1.0000 -1.0000 0.0000 0 0.0000 1.0000 0.70奇異值分解的幾何意義奇異值分解的幾何意義 研究將一個(gè)空間映射到不同空間，特別是研究將一個(gè)空間映射到不同空間，特別

24、是不同維數(shù)的空間時(shí)，例如超定或欠定方程組所不同維數(shù)的空間時(shí)，例如超定或欠定方程組所表示的情況，就需要用矩陣的奇異值來(lái)描述算表示的情況，就需要用矩陣的奇異值來(lái)描述算子對(duì)空間的作用了子對(duì)空間的作用了. . .71 考察二維平面上的單位圓考察二維平面上的單位圓2:1xRx在映射在映射A下的變換過(guò)程下的變換過(guò)程, ,其中其中33133211A MATLAB程序?yàn)椋撼绦驗(yàn)椋篈=sqrt(3)sqrt(2),sqrt(3)sqrt(2);-3sqrt(2),3sqrt(2); 1sqrt(2),1sqrt(2)U,S,V=svd(A).72.73V是正交矩陣，表示二維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn)是正交矩陣，表示二維空間

25、的一個(gè)旋轉(zhuǎn)TV1110111012TV1 1(,)2 21 1(,)2 2(1,0)(0,1).74S11220010100001010000S S 將平面上的圓變換到三將平面上的圓變換到三維空間坐標(biāo)平面上的橢維空間坐標(biāo)平面上的橢 圓圓12.75V是正交矩陣，表示二維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn)是正交矩陣，表示二維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn) S 維維將將 空空平平 間間面面 坐坐上上 標(biāo)標(biāo)的的 平平圓圓 面面變變 上上換換 的的到到 橢橢三三 圓圓U是正交矩陣，表示三維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn)是正交矩陣，表示三維空間的一個(gè)旋轉(zhuǎn)TAUSVTVSU1v2v11u22u.76 當(dāng)A是方陣時(shí)，其奇異值的幾何意義是: 若x是 維單位球面上

26、的一點(diǎn)，則 是一個(gè) 維橢球面上的點(diǎn)，其中橢球的 個(gè)半軸長(zhǎng)正好是A的 個(gè)奇異值. 簡(jiǎn)單地說(shuō)，在2維情況下，A將單位圓變成了橢圓，A的兩個(gè)奇異值是橢圓的長(zhǎng)半軸和短半軸.nAxnnn.77 設(shè) A 是秩為 的 實(shí)矩陣， A的奇異值分解為： 即 ,且 (0)r r m nTAUSVAVUS奇異值分解的性質(zhì)奇異值分解的性質(zhì)11(,)rrmUuu uu.781rm nOSOO11(,)rrnVvvvv則.79（1） A的非零奇異值的個(gè)數(shù)等于它的秩r，即 （2） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.（3） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.（4） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.（5） 是 的標(biāo)準(zhǔn)正交基.rank( )rA1,rnvv1,ruu( )C

27、A1,rmuuT()N A1,rvvT()C A()NA.80從上面的結(jié)論可以得到T()( )CNAAT()()CNAAdim()dim()CNnAAT()()C與CAA同構(gòu).81奇異值分解的特征奇異值分解的特征1.1.奇異值分解可以降維奇異值分解可以降維 A表示 個(gè) 維向量，可以通過(guò)奇異值分解表示成 個(gè) 維向量.若A的秩 遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于 和 , 則通過(guò)奇異值分解可以降低A的維數(shù).可以計(jì)算出，當(dāng) 時(shí)，可以達(dá)到降維的目的，同時(shí)可以降低計(jì)算機(jī)對(duì)存貯器的要求.1mnrmnnmmnrmnr.822. 奇異值對(duì)矩陣的擾動(dòng)不敏感奇異值對(duì)矩陣的擾動(dòng)不敏感 特征值對(duì)矩陣的擾動(dòng)敏感. 在數(shù)學(xué)上可以證明，奇異值的變化不會(huì)超過(guò)相應(yīng)矩陣的變化，即對(duì)任何的相同階數(shù)的實(shí)矩陣A、B