09平面波的反射與透射ppt課件

1、第九章第九章 平面波的反射與透射平面波的反射與透射 在無限彈性介質(zhì)中有無旋波（縱波）和等容波（橫波）這兩種彈性波的傳播。 但是實(shí)際介質(zhì)內(nèi)部，一般都會(huì)存在分界面。如地表表面、巖層的分界面。 通常把實(shí)際地層稱為層狀介質(zhì)。本章研究彈性波在傳播的過程中遇到分界面的情況 縱波和橫波 地震波到達(dá)之處,介質(zhì)就產(chǎn)生形變。由力學(xué)定律知道，任何小的形變都可以分解為兩部分：一部分表示脹縮，即變體積而不變形狀；另一部分表示畸變，即變形狀而不變體積。 形變傳播時(shí)，兩部分的傳播速度不同。在震源附近，兩部分還未分開，所以波經(jīng)過處的形變是復(fù)雜的。在較遠(yuǎn)的地方，波陣面就分成兩個(gè)。脹縮波傳播較快，波陣面上的質(zhì)點(diǎn)位移和傳播方向一致

2、，所以叫做縱波，一般用字母P表示。較慢的叫畸變波,質(zhì)點(diǎn)位移和傳播方向垂直，所以叫做橫波,一般用字母S表示。在均勻的介質(zhì)中，波陣面在震源附近是曲面，但在相當(dāng)距離后就趨近于平面。為簡(jiǎn)單起見，現(xiàn)只討論平面波。 1;.2地震地震P波波(縱波縱波)和和S波波(橫波橫波)運(yùn)行時(shí)彈性巖石運(yùn)動(dòng)的形態(tài)運(yùn)行時(shí)彈性巖石運(yùn)動(dòng)的形態(tài) 34縱波：間隔形成壓縮帶（密集帶）和膨脹帶（稀疏帶），傳播方向與振動(dòng)方向一致，波速 Vp橫波：傳播方向與振動(dòng)方向相垂直，波速Vs水平面內(nèi)分量：稱SH波 垂直面內(nèi)分量：稱SV波 59-1平面波在自由界面上的反射平面波在自由界面上的反射一、平面縱波在自由界面上的反射一、平面縱波在自由界面上的反

3、射 設(shè)半無限彈性介質(zhì)的自由表面為yoz面，z軸與圖面垂直。假定yoz面的左邊為真空，由于沒有傳播振動(dòng)的介質(zhì)，故不會(huì)產(chǎn)生透射問題，全部入射波都在界面上被反射。 因?yàn)榈乇砻婵梢越频目醋鳛樽杂山缑?，任意平面波又可以用頻譜分析的方法分解為許多簡(jiǎn)諧平面波的線性疊加，于是我們現(xiàn)在討論簡(jiǎn)諧平面波在自由界面上的反射就可以了 。P1入射縱波P1S1反射橫波P11反射縱波6設(shè)一平面縱波與x軸夾角為1的方向入射到自由界面；設(shè)入射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)（即波動(dòng)方程的解）為：22222pUUVtr1212()()ppUUUf rV tfrV t1111cossinsin()pxyUAtV1111sin()UAtf xg

4、 y改寫為1111cossin;ppfgVV7 設(shè)入射波為拉伸波，即質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與波的前進(jìn)方向相反，于是可以知道在入射波中質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：111111cos,sinuUvU 假設(shè)與自由界面作用后，只有縱波反射，且反射縱波的位移函數(shù)為：22221sin()UAtf xg y2222cossin;ppfgVVF2前面的負(fù)號(hào)原因：反射波相對(duì)于x軸而言，是正向傳播。1為常數(shù)，表示由反射所引起的相位改變。仍假設(shè)反射波為拉伸波，在此波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：222222cos,sinuUvU 8問題：確定反射波的各參數(shù)問題：確定反射波的各參數(shù)方法：由邊界條件可以確定方法：由邊界條件可以確定邊界條件：在自

5、由界面上位移不受任何限制，即應(yīng)力等于零；即在x=0的平面上，對(duì)于y與t的任意值有0 xxyxz由廣義胡克定理和幾何方程可以得到：0000002000 xxtxxyxxxyxxuxuvyxuwzx自然滿足在此波動(dòng)中，質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)與z無關(guān)，且位移在z方向的分量w=09 因?yàn)樵谧杂山缑嫔霞扔腥肷洳◣淼奈灰?，又有反射波帶來的位移。所以在假定只有反射縱波的時(shí)候，有1212;uuu vvv1111sin()UAtf xg y111111cos,sinuUvU22221sin()UAtf xg y222222cos,sinuUvU 代入邊界條件可以得到：2111222211112221(2 cos)co

6、s()(2 cos)cos()0sin2cos()sin2cos()0pAtg yAtg yAtg yAtg yV10對(duì)于y的任意值，為了使第一式得到滿足，必須有1211112112(1)();(2)0,ggAAAA 即或上面兩式是等價(jià)的，說明經(jīng)過自由界面的反射，位移的位相改變了，但是將其代入第二式卻不能使第二式得到滿足。于是我們可以知道僅有一反射的縱波，是不能同時(shí)滿足邊界上無正應(yīng)力和無剪應(yīng)力的邊界條件的?，F(xiàn)在我們證明還有一反射的橫波，入射縱波、反射縱波、反射橫波代入可以同時(shí)滿足邊界上的邊界條件。11 設(shè)反射橫波的傳播方向與x軸的夾角為2，相應(yīng)于此波質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：33332sin()UAt

7、f xg y2233cossin;ssfgVV 考慮到橫波中質(zhì)點(diǎn)的位移與傳播方向垂直，且假定z方向無運(yùn)動(dòng)，因此振動(dòng)必然發(fā)生在oxy平面內(nèi)，這樣，在次波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：332332sin,cosuUvU12 入射縱波、反射縱波、反射橫波同時(shí)存在，在自由界面上質(zhì)點(diǎn)的位移分量為：123123;uuuu vvvv1111sin()UAtf xg y111111cos,sinuUvU22221sin()UAtf xg y222222cos,sinuUvU 33332sin()UAtf xg y332332sin,cosuUvU代入邊界條件可以得到：0000002000 xxtxxyxxxyxxux

8、uvyxuwzx自然滿足13整理可以得到：211122221323212112213232(2 cos)cos()(2 cos)cos()( sin2)cos()0sin2cos()sin2cos()cos2cos()0ppsppsAtg yVAtg yVAtg yVAAtg ytg yVVAtg yV 14由此可以得到:1231221122,sinsinsinsinsinppspsgggVVVVV即由此可以得到：，一、二、111221322121232和必須等于零或者等于如果 ，帶入邊界條件可以得到(A +A )cos2sin-A sinsin2=02(A -A )cossin-A cos2

9、=02221122222sinsin2,2sinsinpsVV即入射波、反射波振幅間的關(guān)系15結(jié)論：平面縱波在自由界面上反射的特點(diǎn)（1）、縱波入射到自由界面上時(shí)，將產(chǎn)生兩種反射波，即反射縱波和反射橫波。（2）、入射波與反射波的傳播方向存在關(guān)系。當(dāng)入射波為縱波的時(shí)候，反射縱波的射線與自由界面法線的夾角等于入射角，反射橫波的射線與自由界面法線的夾角與入射角的夾角，類似與光的折射的關(guān)系。（3）如果取反射波的位相改變量為零，入射波和反射波的振幅也存在相應(yīng)的關(guān)系。當(dāng)入射波的振幅、入射角以及材料的彈性常數(shù)已知時(shí)，可以求出反射縱波、反射橫波的反射角及振幅。16反射時(shí)波的能量分配關(guān)系波的能量與振幅的平方成正比

10、，引入振幅比為縱波的反射系數(shù)，為橫波的反射系數(shù)振幅比反映了反射波相對(duì)于入射波振幅的相對(duì)強(qiáng)度。21222112212212212221122122212cos2sin-sinsin2=cos2sincossincos2=cossin解得：cos2sin-sinsin2cossincos2cos2sin-sinsin2cossincos2cos2sincos2sin1121221122122cossincossincos2sin-sinsin2cossincos21722222(1)(1 2 )psVKV12212212122122展開整理可以得到：sinsin2 cos 2sinsin2 cos

11、 2sincos2sinsin2 cos 2sinsin18研究入射縱波的應(yīng)力與反射波的應(yīng)力之間的關(guān)系：入射縱波在傳播方向引起的應(yīng)力為：12(2 )(2 )rtrrUr 111111111cossinsin()sin()cossinsin()pppxyrUAtAtVVrxyrUAtV1(2 )cos()rppArtVV19反射縱波的位移方程為：22sin()prUAtV ，取 (2 )(2 )cos()rppUArtrVV反射橫波的位移方程為：sin()rUAtV 2cos()rssUArtrVV3320結(jié)論：入射縱波引起的應(yīng)力和兩個(gè)反射波引起的應(yīng)力都是時(shí)間和位置的函數(shù)。在自由界面上存在：22

12、2222(1)(1 2 )rrsrrppsAAAVAVVKV 12211223121122122sinsin2 cos 2-sinsin2 cos 2sincos2sinsin2 cos 2sinsin入射縱波的應(yīng)力與反射波應(yīng)力的關(guān)系。21二、平面橫波在自由界面上的反射二、平面橫波在自由界面上的反射橫波：質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向與波的傳播方向垂直，但是不限定于那個(gè)面內(nèi)。故考慮任一橫波所引起的位移可以是振動(dòng)方向互相垂直的二波疊加而成。無論質(zhì)點(diǎn)在什么方向振動(dòng)，它與波的傳播方向垂直，可以分解為一個(gè)平行于z軸和垂直于z軸（即在xoy面）的運(yùn)動(dòng)。質(zhì)點(diǎn)平行于z軸振動(dòng)的橫波，我們稱為SH波；質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸振動(dòng)的橫波，

13、我們稱為SV波。22在研究中，通常把橫波看作是由兩個(gè)方向的振動(dòng)所組成，一個(gè)是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)在水平平面內(nèi)的橫波分量，稱為SH波，一個(gè)是質(zhì)點(diǎn)振動(dòng)在垂直平面內(nèi)的橫波分量，稱為SV波，SH 波SV波23（1）質(zhì)點(diǎn)平行于z軸振動(dòng)的橫波（SH波） ，到達(dá)自由界面時(shí)應(yīng)該滿足的邊界條件。邊界條件為：在x=0的平面上0 xxyxz由于振動(dòng)平行于z軸，故在此波動(dòng)中質(zhì)點(diǎn)沒有x和y方向的位移，即u=v=0，由于w只是x、y、t的函數(shù)，與z沒有關(guān)系。00 xxyxz自然滿足，現(xiàn)在考慮的條件就可以了。由這個(gè)唯一的邊界條件可以分析得到以下結(jié)論： 質(zhì)點(diǎn)平行于z軸振動(dòng)的橫波（SH波），入射到自由界面時(shí)，只產(chǎn)生一個(gè)質(zhì)點(diǎn)是平行于z軸振動(dòng)

14、的反射橫波（SH波）；反射角等于入射角；反射波的振幅與入射波的振幅數(shù)值相等，但是位相改變了 ；沒有縱波反射。24（2）對(duì)于質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸（即在xoy面）振動(dòng)的橫波（sv波），質(zhì)點(diǎn)在z方向上沒有運(yùn)動(dòng)。分析問題的方式和入射縱波在自由界面上反射的問題相似邊界條件：在自由界面上位移不受任何限制，即應(yīng)力等于零；即在x=0的平面上，對(duì)于y與t的任意值有0 xxyxz0 xz因?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)沒有z方向的運(yùn)動(dòng)，恒成立由邊界條件得到結(jié)論： 質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸（即在xoy面）振動(dòng)的橫波（sv1波）入射到自由界面上時(shí)，將產(chǎn)生兩種反射波，即反射橫波sv11和反射縱波sv1 P1。25 入射波與反射波的傳播方向存在關(guān)系。當(dāng)入射波為

15、橫波的時(shí)候，反射橫波的射線與自由界面法線的夾角等于入射角，反射縱波的射線與自由界面法線的夾角與入射角有如下的關(guān)系。1222121sinsinsinsinsinssppsVVVVV由此可以得到：， 如果取反映反射時(shí)位相改變的量等于零，則反射橫波的振幅和反射縱波的振幅與入射橫波的振幅之間的關(guān)系為111211321121312和必須等于零或者等于如果 ，帶入邊界條件可以得到(B +B )sin2 sin-B sincos2=0(B -B )cos2-2B sincos=0269-2平面波在兩種介質(zhì)分界面上的反射和透射平面波在兩種介質(zhì)分界面上的反射和透射 實(shí)際地球內(nèi)部是成層結(jié)構(gòu)的，我們稱為層狀介質(zhì)。地

16、震波在層與層之間的分界面上將會(huì)產(chǎn)生反射和透射。 可以證明，當(dāng)任何一種彈性波到達(dá)緊密接觸的兩種介質(zhì)的分界面時(shí)，一般來講，都會(huì)產(chǎn)生四種波，其中兩種波透射到第二種介質(zhì)中去；另外兩種波反射回原來的介質(zhì)。 緊密接觸的兩種介質(zhì)：對(duì)于地球內(nèi)部的情況來說，壓縮很大，對(duì)于相當(dāng)微弱的彈性振動(dòng)，可以認(rèn)為分界面兩邊的介質(zhì)質(zhì)點(diǎn)是緊密接觸的，界面上的介質(zhì)是連續(xù)的。 在兩種介質(zhì)的分界面上的位移和應(yīng)力都是連續(xù)的。 于是可以得到分界面上的邊界條件。27邊界條件：在分界面上有力的邊界條件：分界面兩邊的應(yīng)力相等；在分界面上有位移的邊界條件：分界面兩邊的位移相等。即：下述四個(gè)量應(yīng)該相等1、正應(yīng)力2、剪應(yīng)力3、質(zhì)點(diǎn)的法向位移4、質(zhì)點(diǎn)的

17、切向位移上述每個(gè)量都由五個(gè)位移分量組合而成。其中三個(gè)分量來自原來介質(zhì)的入射波和兩個(gè)反射波，另外兩個(gè)來自第二種介質(zhì)的兩個(gè)透射波。一、入射波為縱波。yoz面為兩種介質(zhì)a介質(zhì)和b介質(zhì)的分界面，x軸為界面的法線，一平面縱波平行于xoy面與x軸夾角為1的方向入射到自由界面。28P1入射縱波P1S1反射橫波P12透射縱波P1S2透射橫波設(shè)入射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：1111sin()UAtf xg y1111cossin;papafgVV相應(yīng)的位移分量為：111111cos,sinuUvU29設(shè)反射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：2222sin()UAtf xg y2222cossin;papafgVV相應(yīng)的位移

18、分量為：222222cos,sinuUvU 3333sin()UAtf xg y2233cossin;sasafgVV相應(yīng)的位移分量為：332332sin,cosuUvU設(shè)反射橫波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：30設(shè)透射縱波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：4444sin()UAtf xg y3344cossin;pbpbfgVV相應(yīng)的位移分量為：443443cos,sinuUvU5555sin()UAtf xg y3355cossin;sbsbfgVV相應(yīng)的位移分量為：553553sin,cosuUvU設(shè)透射橫波中質(zhì)點(diǎn)的位移函數(shù)為：31在a介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)的總位移分量為：123123;aauuuu vvvv在b介質(zhì)中質(zhì)點(diǎn)

19、的總位移分量為： 0000abxxabxxuuvv 設(shè)入射縱波的各個(gè)參數(shù)為已知，于是可以由邊界條件確定反射波和投射波的各參數(shù)。1、在分界面上位移連續(xù)，有4545;bbuuu vvv32代入可得：111222323434535111222323434535cossin()cossin()sinsin()cossin()sinsin()sinsin()sinsin()cossin()sinsin()cossin()Atg yAtg yAtg yAtg yAtg yAtg yAtg yAtg yAtg yAtg y1234533122sinsinsinsinsinpapasapbsbgggggVVV

20、VV121324353121324353cossincossin0sincossincos0AAAAAAAAAA330000 xxxxabxyxyxxab2、在分界面上應(yīng)力連續(xù)，有122324353()cos2sin2cos2sin20pasabbpbsbaaAA VAVAVAV21213224353()sin2cos2sin2cos20paasasapapabsbpasbVVAAAVVVVAAVV34結(jié)論：1、入射縱波到達(dá)兩種介質(zhì)的分界面上時(shí)，反射兩種波，即反射縱波和反射橫波；透射兩種波，即透射縱波和透射橫波。2、入射波、反射波及透射波的傳播方向之間存在關(guān)系：33122sinsinsinsi

21、nsinpapasapbsbVVVVV3、入射波、反射波及透射波的振幅之間存在關(guān)系：35121211212121221212121212211121121121sincossincossincossincossincossin2cos2sin2cos2sin2cos2sin2pppspppspppspppspsppspppspppssspspspppspppAABBAABBVV VV VAABBVV VVVVAABV 2221211111cos2sin2cos2spsppVBVV 121212122122121212122211121122122121211111sincossincoscos

22、sincossinsin2cos2sin2cos2cos2sin2cos2sin2pppsppspssspspppspsspppAVV VV VAVV VVBBVVVVVV1111sincossin2cos2寫成矩陣形式：寫成矩陣形式：這就是著名的佐普瑞茲這就是著名的佐普瑞茲 Zoepritz方程。方程。ppApsAppBpsB36111222pspsVVVV、ppApsA ppBpsB 0pspsBA371121ppVV21ppVV 12ppVV12ppVV1pspppsppBBAA根據(jù)能量守恒原則有：根據(jù)能量守恒原則有：3839221 1221 11 1221 12RRITTIAVVKAV

23、VAVKAVV垂直入射（或法向入射）時(shí)波的反射和透射垂直入射（或法向入射）時(shí)波的反射和透射假設(shè)：A.各向同性彈性介質(zhì)； B.波通過分界面時(shí)滿足兩個(gè)連續(xù)性條件： 1. 彈性位移的法向分量和切向分量連續(xù)； 2. 應(yīng)力的法向分量與切向分量連續(xù)。依據(jù)：A.斯奈爾定律； B.地震波可分解為無限個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)由此可推導(dǎo)出用于揭示入射、反射、透射波能量分配關(guān)系的佐普瑞茲由此可推導(dǎo)出用于揭示入射、反射、透射波能量分配關(guān)系的佐普瑞茲(Zoepritz)(Zoepritz)方方程。在該方程中，令入射角程。在該方程中，令入射角0求解得：求解得： 401IRTTRAAAKKTKRK41TK42要把質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)分解為平行于z

24、軸和在oxy平面內(nèi)的兩個(gè)分量。1、對(duì)于質(zhì)點(diǎn)平行于z軸的振動(dòng)；即SH波它沒有垂直于分界面的運(yùn)動(dòng)，因此不產(chǎn)生反射和透射的縱波，即存在如下關(guān)系：312112511253sin;sin0sin2()sin20sbsaabVVBBBBBB二、入射波為橫波二、入射波為橫波432、對(duì)于質(zhì)點(diǎn)垂直于z軸（即在oxy平面內(nèi)）的振動(dòng)；即SV波SV1：入射橫波SV11：反射橫波SV1P1：反射縱波SV1P2：透射縱波SV12：透射橫波44入射波、反射波即透射波相應(yīng)的各參數(shù)關(guān)系如下：33122sinsinsinsinsinsapasapbsbVVVVV121324353121324353sincoscossin0cos

25、sinsincos0BBBBBBBBBB122314353()sin2cos2cos2sin20sapabbpbsbaaBB VBVB VBV121324353()cos2sin2sin2cos20saasapasbbsbpbVVBBBVVVBBV45全反射問題： 當(dāng)反射波和透射波的速度大于入射波的速度時(shí)，就存在入射的臨界角，在這種角度之下，反射角和透射角成為90。如果入射角比它還大，關(guān)系式就不對(duì)。從而出現(xiàn)了類似在光學(xué)中所謂的全反射的情況。全反射全反射:;1212 vv46當(dāng)當(dāng) 到一定程度，但還未到到一定程度，但還未到 時(shí)，時(shí)， 已增大到已增大到 ，這時(shí)透射波在第，這時(shí)透射波在第二種介質(zhì)中沿界面二種介質(zhì)中沿界面“滑行滑行”，出現(xiàn)，出現(xiàn)“全反射全反射”現(xiàn)象?，F(xiàn)象。1。902。9012sincvv開始出現(xiàn)開始出現(xiàn)“全反射全反射”時(shí)的入射角叫臨界角時(shí)的入射角叫臨界角 ,c47對(duì)于入射角大于臨界角的問題，必須借助復(fù)變函數(shù)來解決。 可以證明。代替一部分反射或透射的平面波，將產(chǎn)生一種波動(dòng)，它是隨著離開分界面距離的增加而按指數(shù)規(guī)律減弱的波，這個(gè)波并不從邊界帶走能量，入射波的能量是分給了剩下來的反射波和透射波，但是，這種衰減波的存在，使所產(chǎn)生的其他波的位相有所改變。橫波SV1入射于自由界面上時(shí)，臨界角的求法：