計量學基礎教學線性參數(shù)最小二乘處理

1、 最小二乘法原理是一種在多學科領域中獲得廣泛應用的數(shù)據(jù)處理方法應了解最小二乘法的基本思路和基本原理，以及在等精度或不等精度測量中線性、非線性參數(shù)的最小二乘估計方法，并科學給出估計精度。一、引入一、引入待測量（難以直接測量）：txxx,21直接測量量：nyyy,21),(),(),(212122221111tnnnttxxxfylxxxfylxxxfyl問題：如何根據(jù)和測量方程解得待測 量的估計值？nlll,21txxx,21: tn 直接求得。txxx,21: tn 有利于減小隨機誤差，方程組有冗余，采用最小二乘原理求 。txxx,21討論：最小二乘原理：最可信賴值應使殘余誤差平方和最小。二、

2、最小二乘原理二、最小二乘原理 設直接測量量 的估計值為 ，則有nyyy,21nyyy,21),(),(),(2121222111tnnttxxxfyxxxfyxxxfy由此得測量數(shù)據(jù) 的殘余誤差nlll,21),(),(),(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv殘差方程式 若 不存在系統(tǒng)誤差，相互獨立并服從正態(tài)分布，標準差分別為 ，則 出現(xiàn)在相應真值附近 區(qū)域內的概率為nlll,21n,21nddd,21), 2 , 1(21)2(22nidepiiiii由概率論可知，各測量數(shù)據(jù)同時出現(xiàn)在相應區(qū)域的概率為nnniidddeppniii21)2(2111222

3、1nlll,21測量值 已經(jīng)出現(xiàn)，有理由認為這n個測量值出現(xiàn)于相應區(qū)間的概率p為最大。要使p最大，應有nlll,212222222121nn最小由于結果只是接近真值的估計值，因此上述條件應表示為2222222121nnvvv最小等精度測量的最小二乘原理：niinvvvv1222221最小 不等精度測量的最小二乘原理：niiinnvpvpvpvp122222211最小最小二乘原理（其他分布也適用）最小二乘原理（其他分布也適用） 測量結果的最可信賴值應使殘余誤差平方和（或加權殘余誤差平方和）最小。三、等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理三、等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理線性參數(shù)的測量方程和相應的估計

4、量為：tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111tntnnnttttxaxaxayxaxaxayxaxaxay22112222121212121111殘差方程為)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv令ntnnttnnnaaaaaaaaaavvvvxxxxllll212222111211212121則殘差方程的矩陣表達式為xalv等精度測量最小二乘原理的矩陣形式：最?。ǎㄗ钚alxalvvtt不等精度測量最小二乘原理的矩陣形式：22222212

5、21000000000000nnnnpppp權矩陣最?。ǎㄗ钚alpxalpvvtt四、不等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理四、不等精度測量的線性參數(shù)最小二乘原理正規(guī)方程：誤差方程按最小二乘法原理轉化得到的有確定解的代數(shù)方程組。一、等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程一、等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程tntnnnnttttxaxaxalvxaxaxalvxaxaxalv2211222212122121211111最小22221nvvv0)(0)(12112nniiniixvxv正規(guī)方程：正規(guī)方程：tniititniiitniiitiniittniitiniiiniiiinii

6、tniitiniiiniiiiniixaaxaaxaalaxaaxaaxaalaxaaxaaxaala12121111122122111212112121111111特點：特點：主對角線分布著平方項系數(shù)，正數(shù)相對于主對角線對稱分布的各系數(shù)兩兩相等看正規(guī)方程組中第r個方程：012121111tniitirniiirniiiriniirxaaxaaxaala02211nnrrrvavava則正規(guī)方程可寫成000221122221121221111nntttnnnnvavavavavavavavava0vat即正規(guī)方程的矩陣形式正規(guī)方程的矩陣形式將代入到中，得xalv0vat0xaalattlaxa

7、attaactlaxctlacxt1（待測量的無偏估計）例1 已知銅棒的長度和溫度之間具有線性關系：，為。為獲得時銅棒的長度和銅的線膨脹系數(shù)，現(xiàn)測得不同溫度下銅棒的長度，如下表，求，的最可信賴值。)1 (0tyyt0y0ycti0/mmli/解： 1）列出誤差方程)(00iiitayylv令 為兩個待估參量，則誤差方程為daycy00,)(dtclviii按照最小二乘的矩陣形式計算60150140130120110160.200148.200107.200180.200072.200036.2000adcxl則有：0012. 0034. 0034. 013. 11c03654. 097.199

8、91dclacxt那么：cydmmcy000/0000183. 0/97.1999二、不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)二、不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī) 方程方程最小niiivp120)(0)(12112nniiiniiixvpxvp由此可得不等精度測量線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程：tniititiniiitiniiitiiniititniitiiniiiiniiiiiniiitniitiiniiiiniiiiiniiixaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplapxaapxaapxaaplap12121111122122111212112121111111整理得

9、：000222111222221121122121111nntnttnnnnnnvapvapvapvapvapvapvapvapvap即0pvat不等精度的正規(guī)方程不等精度的正規(guī)方程將代入上式，得xalv0xpaaplattplaxpaattpaactplaxctplacxt1（待測量的無偏估計）例2 某測量過程有誤差方程式及相應的標準差： 08. 0)5(27.1508. 0)4(22.1308. 0)3(81.1006. 0)2(60. 806. 0)(44. 652154214321322121211xxvxxvxxvxxvxxv試求 的最可信賴值。21,xx解：首先確定各式的權9:9:

10、9:16:161:1:1:1:1:252423222154321ppppp令61514131211127.1522.1381.1060. 844. 621axxxl900000900000900000160000016nnp227. 2186. 4)(121plapaaxxxtt三、非線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程三、非線性參數(shù)最小二乘處理的正規(guī)方程針對非線性函數(shù)), 2 , 1(),(21nixxxfytii其測量誤差方程為 ),(),(),(212122221111tnnnttxxxflvxxxflvxxxflv02010,txxxtiiiititixfxfxfxxxfxxxf020210

11、10201021)()()(),(),(令 ，現(xiàn)將函數(shù)在 處展開，則有tttxxxxxx022021101,將上述展開式代入誤差方程，令002201102010)(,)(,)(),(tiitiiiitiiixfaxfaxfaxxxfll則誤差方程轉化為線性方程組)()()(2211222212122121211111tntnnnnttttaaalvaaalvaaalv于是可解得 ，進而可得 。), 2 , 1(trr), 2 , 1(trxr近似值近似值為獲得函數(shù)的展開式，必須首先確定 02010,txxx1）直接測量2）通過部分方程式進行計算：從誤差方程中選取 最簡單的t個方程式，如令 ，由

12、此可解得 。0iv02010,txxx四、最小二乘原理與算術平均值原理的關系四、最小二乘原理與算術平均值原理的關系 為確定一個被測量x的估計值x，對它進行n次直接測量，得n個數(shù)據(jù) ，相應的權分別為nlll,21nppp,21，則測量的誤差方程為xlvxlvxlvnn2211按照最小二乘原理可求得niiniiiplpx11結論：最小二乘原理與算術平均值原理是一致的，結論：最小二乘原理與算術平均值原理是一致的， 算術平均值原理是最小二乘原理的特例。算術平均值原理是最小二乘原理的特例。組合測量：通過直接測量待測參數(shù)的組合量（一般是 等精度），然后對這些測量數(shù)據(jù)進行處理， 從而求得待測參數(shù)的估計量，求其精度估計。以檢定三段刻線間距為例，要求檢定刻線a、b、c、d間的距離 。321,xxxabcd1x3x2xabcd1l3l2l4l6l5l直接測量各組合量，得mmlmmlmmlmmlmmlmml032. 3981. 1016. 2020. 1985. 0015. 1654321首先列出誤差方程)(