北航水力學 第五章粘性流體的動力學

1、第五章第五章 粘性流體的動力學粘性流體的動力學實際流體實際流體具有粘性,稱為粘性流體粘性流體。實際流體實際流體：1、不但有壓應力，而且有切應力存在； 2、歐拉運動微分方程不能應用于實際流體的流動 3、理想流體的伯努利能量方程不適用于于實際流體本章介紹實際流體的動力學基礎，： 1 粘性流體的運動方程N-S方程 2 恒定元流的伯努利方程 3 恒定總流的伯努利方程 4 氣體的伯努利方程、總流的動量方程 5 伯努利方程的一個應用-文丘里管流量計 : -0: -0: -0YZzpxpypXxzy 對 軸流體平衡微分方程式 對 軸（歐拉平衡方程） 對 軸第一節(jié)第一節(jié) 粘性流體的運動方程：粘性流體的運動方程

2、：N-SN-S方程方程流體靜止流體靜止理想流體的運動理想流體的運動-歐拉方程歐拉方程 1xxxxxxyzduuuuupXuuuxdttxyz1yyyyyxyzduuuuupYuuuydttxyz1zzzzzxyzduuuuupZuuuzdttxyz2udufPdt不可壓縮粘性流體運動不可壓縮粘性流體運動-不可壓縮不可壓縮納維爾納維爾- -斯托克斯方程斯托克斯方程 (Navier-Stokes Equations)Navier-Stokes Equations)2222222xyz流體的粘性系數流體的粘性系數因粘性而產生的應力因粘性而產生的應力粘性流體粘性流體：實際的流體（考慮粘性）：實際的流體

3、（考慮粘性）21xxxxxxyzuuuupXuuuuxtxyz 21yyyyyxyzuuuupYuuuuytxyz 21zzzzzxyzuuuupZuuuuztxyz 在推導中應用了牛頓粘性定律dudy1 1、N-S N-S 只適用于牛頓流體只適用于牛頓流體u+duuy動水壓強 p 的推導中，應用了不可壓縮流體的連續(xù)性方程2 2、不可壓縮流體不可壓縮流體 N-S N-S 只適用于不可壓縮流體運動只適用于不可壓縮流體運動1()3xxyyzzpppp N-S 方程加上連續(xù)方程，四個方程求解四個未知數 實際上由于邊界復雜，問題求解困難 數值求解是很好的方法 ,xyzp u u u 實際流體在流動中的

4、能量關系，需從對實際流體中的運動方程（N-S方程）進行積分得到。 其推導過程與理想流體的情況類似，但是，由于理想流體運動方程與N-S相比，多了單位質量流體上的切應力分量，它們對流程的積分就是切應力所做的功。 drV12第二節(jié)第二節(jié) 恒定元流（粘性流體）的伯努利方程恒定元流（粘性流體）的伯努利方程2222()()02xyzpud zu dxu dyu dzgg 對于質量力只有重力的情況，當所取坐標系z軸為鉛直朝上時，勢函數 ，得到 Ugz 式中， 為單位質量流體粘性力所做的微功，用 表示，則222()xyzu dxu dyu dzg2()02wpud zdhgwdh 對上式積分，由于對阻力所做的

5、功現在還很難真正通過積分來加以計算，所以通常令 得到wwhdh2211221222wpupuzzhgg - - 實際流體恒定元流的伯努利方程或稱能量方程實際流體恒定元流的伯努利方程或稱能量方程恒定元流（粘性流體）的伯努利方程恒定元流（粘性流體）的伯努利方程221122121 222wppzzhgg恒定元流（理想流體）的伯努利方程恒定元流（理想流體）的伯努利方程2211221222ppzzggdrV12前提條件：（前提條件：（1 1）定常流動）定常流動 （2 2）不可壓縮）不可壓縮 （3 3）質量力有勢）質量力有勢 第二節(jié)第二節(jié) 恒定元流（粘性流體）的伯努利方程恒定元流（粘性流體）的伯努利方程2

6、2Ug速度水頭速度水頭P動水壓強水頭動水壓強水頭z位置水頭位置水頭22UPzg總水頭總水頭/ /高度高度 動能動能 壓力勢能壓力勢能 重力勢能重力勢能 機械能機械能 恒定元流（粘性流體）的伯努利方程恒定元流（粘性流體）的伯努利方程221122121 222wppzzhgg1 2wh能量損失能量損失或或水頭損失水頭損失在理想流體中沒有由于粘滯性而產生的阻力，因此水頭損失水頭損失在理想流體中是不存在的，第三節(jié)第三節(jié) 恒定總流（粘性流體）的伯努利方程恒定總流（粘性流體）的伯努利方程 實際流體流動中: 一種是流線圖形變化劇烈,流線曲率較大,流線間的夾角較大等,這種流動叫做突變流動。如，管道大拐彎處的流

7、動等。突變流動的動水壓強分布比較復雜，難以推導總流能量方程。pZC 另一種，流線圖形變化極其緩慢；流線曲率很小，幾乎呈直線；流線間的夾角很小，幾乎是平行的，這種流動叫做漸變流動。5.3.1 5.3.1 漸變流及其過流斷面上動壓強的分布漸變流及其過流斷面上動壓強的分布 漸變流中的過流斷面可以看做是平面。 恒定漸變流在同一過流斷面上動壓強的分布近似地符合靜壓強分布規(guī)律。 不同的過流斷面有不同的常數5.3.2 5.3.2 恒定總流（粘性流體）的伯努利方程恒定總流（粘性流體）的伯努利方程 將所有微小流束的能量方程疊加，就得到總流的能量方程將所有微小流束的能量方程疊加，就得到總流的能量方程A A1 1A

8、 A2 222112212()()22wppZdQZhdQgg()pZdQpZC()pZdQ()pZQ假定過水斷面假定過水斷面A A1 1到到A A2 2都位于均勻流或漸變流區(qū)域都位于均勻流或漸變流區(qū)域建立從建立從A A1 1到到A A2 2的能量方程的能量方程即在截面上積分：即在截面上積分：22dQgdQdA32dAg33dAA32Ag22QgwhdQ截面平均截面平均whdQwhQ2211122212()()22wppZQQZQQhQgg 12, 截面上的平均流速截面上的平均流速12,動能修正系數動能修正系數流速分布越均勻，越接近于流速分布越均勻，越接近于 1.01.0；在漸變流中通?？山?/p>

9、地取為；在漸變流中通?？山频厝?.01.0。2211 1222121 222wppzzhgg 恒定總流（粘性流體）的伯努利方程恒定總流（粘性流體）的伯努利方程wh5.3.3 5.3.3 恒定總流的伯努利方程的應用恒定總流的伯努利方程的應用 恒定總流的伯努利方程的適用條件：恒定總流的伯努利方程的適用條件：（1）流體是不可壓縮的；（2）流動是恒定的； （3）作用于流體上的質量力只有重力；（4）所取得兩個過水斷面都必須位于均勻流或漸變流段，但兩斷面之間不必都是漸變流動。這樣建立能量方程時，保證可以在斷面上簡單積分，從而得到總流的伯努利方程。（5）所取得兩個過水斷面沒有流量匯入或流量分出，亦沒有能

10、量的輸入或輸出。否則要分別建立相應的方程。（后面討論） 。 注意：兩斷面間的某些流動可以是急變流。注意：兩斷面間的某些流動可以是急變流。 1 221whHHJll表示單位重量液體在單位長度流程上水頭損失表示單位重量液體在單位長度流程上水頭損失水力坡度水力坡度水平基準線水平基準線位置水頭線位置水頭線測壓管水頭線測壓管水頭線總水頭線總水頭線zp22vgwh1H2H1 2whl伯努利方程伯努利方程2211 12221222wppzzhgg 為為1 1、2 2 斷面之間平均單位力能量損失。斷面之間平均單位力能量損失。whwfjhhh總能量損失等于沿程水頭損失和局部水頭損失之和，總能量損失等于沿程水頭損

11、失和局部水頭損失之和，另外，通常還將另外，通常還將 寫成與單位動能有關的形式，即寫成與單位動能有關的形式，即wh22wvhg稱為損失系數稱為損失系數沿程損失沿程損失gvdlhf22（達西公式）（達西公式）沿程阻力系數沿程阻力系數局部損失局部損失gvhj22局部阻力系數局部阻力系數總能量損失總能量損失jfwhhh管道中機械能損失包括沿程損失和局部損失管道中機械能損失包括沿程損失和局部損失ld1 12 2（沒有流動分離）（沒有流動分離）（有流動分離）（有流動分離）流動分離流動分離：三維流場中，鄰近物面運動方向不同的流體質點：三維流場中，鄰近物面運動方向不同的流體質點/ /流層相遇、匯合、流層相遇、

12、匯合、離開物面的流動現象。離開物面的流動現象。損失的根源：剪切應力做功（熱能）損失的根源：剪切應力做功（熱能）文丘里管文丘里管-流量計（恒定總流伯努利方程的一個應用）流量計（恒定總流伯努利方程的一個應用） 文丘里管文丘里管是測量管道流量的是測量管道流量的裝置。（如圖所示）裝置。（如圖所示） 原理：原理： 喉道處斷面縮小，速度增加，動能相應增加，所以必然發(fā)生勢能向動能的轉化，這種動能的轉化反映在比壓計上測管水頭差 h 。由此可以根據 h 值可計算勢能及動能，最后可以計算出通過文丘管的流量。 文丘里管文丘里管1 11 12 22 2收縮段收縮段喉部喉部擴散段擴散段h hh h1 1h h2 2入口

13、段入口段2211221222wpvpvzzhgg1212ppzzh4222212211222wvvvdhhgggd文丘里管文丘里管1 11 12 22 2收縮段收縮段喉部喉部擴散段擴散段h hh h1 1h h2 2入口段入口段在入口斷面在入口斷面1 1和喉部斷面和喉部斷面2 2測量壓強測量壓強 22122112()22wppvvzzhgg測得，測得，又由連續(xù)方程可得，2122211()vAdvAd則則244221112(1)211whvghghhdddd式中式中1whh 是考慮水頭損失是考慮水頭損失 對流量影響的一個系對流量影響的一個系數，稱為文丘里管的流量系數。它隨文丘里管數，稱為文丘里管

14、的流量系數。它隨文丘里管的大小、材料性質、流動情況而定。的大小、材料性質、流動情況而定。文丘里管通過的流量為：2222421241dQA vghddwh0.970.99一般取一般取 如圖所示，如圖所示， ，流量，流量 系數系數 ，在水銀比壓計上讀，在水銀比壓計上讀 ，試求試求管中所通過的流量管中所通過的流量 【例題例題】 0.9552.5Dcmdcm20hcm 用絕對壓強表示的不可壓縮氣流的伯努利方程用絕對壓強表示的不可壓縮氣流的伯努利方程22121,12,21 222absabswzpzppgg第四節(jié)第四節(jié) 氣流的伯努利方程氣流的伯努利方程 恒定總流的伯努利方程也適用于不可壓縮氣體流動情況。

15、結合氣體流恒定總流的伯努利方程也適用于不可壓縮氣體流動情況。結合氣體流動的特點，表達式有一些變化。動的特點，表達式有一些變化。1212wwph兩過流段面之間的壓強損失兩過流段面之間的壓強損失,1,2,absabspp兩過流段面上的絕對壓強兩過流段面上的絕對壓強 氣體流動的特點：氣體重度氣體流動的特點：氣體重度 很小，因此很小，因此 項將很大，而且水頭的概項將很大，而且水頭的概念對于氣體來說沒有像液體那么形象具體。念對于氣體來說沒有像液體那么形象具體。p 下面將上式改變?yōu)橐韵鄬簭妬肀硎镜男问健?所謂的相對壓強表示法是以同一高程的大氣壓強作為零值來計算的，而不同高程的大氣壓強值是不同的，因此在不

16、同高程處取兩斷面時的相對壓強的計算零值就不相同，也就是說兩斷面間的相對壓強差值不等于絕對壓強差。必須考慮大氣壓強值隨高程變化的情況，進行分析：,1ap 高程高程 處大氣壓強，處大氣壓強， 為高程為高程 處相對壓強處相對壓強 高程高程 處大氣壓強，處大氣壓強， 為高程為高程 處相對壓強處相對壓強,2ap1z1p1z2z2z2p有，,1,221()aaappzz則，1,1,1absappp2,2,2,2,121()absaabsaapppppzz12,1,221()absabsappppzza為大氣的重度為大氣的重度相對壓強表示的不可壓縮流體的伯努利方程相對壓強表示的不可壓縮流體的伯努利方程221

17、212121 2()()22awpzzppgg則，可以得到p 靜壓靜壓 動壓動壓 位壓位壓浮升力對流動所起的作用浮升力對流動所起的作用壓強損失壓強損失212g21()()azz1 2wp2212121 222wpppgg 許多氣體流動情況中，氣體的重度和大氣的重度往往相差很小，以此方程簡化為 煤氣的煤氣的 ，由相對強度為，由相對強度為 的靜的靜壓箱壓箱 A A ，經過直徑，經過直徑 ，長度，長度 的管道的管道 B B 流入大氣，管道進口和出口的高程差流入大氣，管道進口和出口的高程差 ，如圖所，如圖所示示 。管道煤氣流動沿程壓強損失。管道煤氣流動沿程壓強損失 局部損失不計。試求通過管道氣體的速度

18、局部損失不計。試求通過管道氣體的速度 和流量和流量 。 【例題例題】book 5-369book 5-369頁頁 21 292wvpg212mmH O37.85/N m100lm0.10dm40hmvQ解解：取靜壓箱取靜壓箱 A A 中的斷面為中的斷面為 1-1 1-1 和管道出口斷面為和管道出口斷面為 2-2 2-2 ，根據（，根據（5.245.24），有），有8.30/vm s空氣的重度查表?。嚎諝獾闹囟炔楸砣。?21212121 2()()22awvvpzzppgg311.8/(20)N mC。代入已知的數據，代入已知的數據，3220.0129.8 100(11.87.85)4007.8

19、597.8529.829.8vv解得解得223(0.1)8.300.065/44Qd vms2233311 1131 322wpvpvzzhgg22333222232 322wpvpvzzhgg第五節(jié)第五節(jié) 有流量分流或匯流的伯努利方程有流量分流或匯流的伯努利方程所取得兩個過水斷面有流量匯入或流量分出，分別建立相應的方程。所取得兩個過水斷面有流量匯入或流量分出，分別建立相應的方程。匯流處的能量方程匯流處的能量方程： 流體連續(xù)方程為流體連續(xù)方程為123QQQ2211 1222121 222wpvpvzzhgg2233311 1131 322wpvpvzzhgg分流處的能量方程分流處的能量方程：

20、流體連續(xù)方程為流體連續(xù)方程為123QQQ第六節(jié)第六節(jié) 有能量輸入輸出的伯努利方程有能量輸入輸出的伯努利方程 對于單位重力的水流而言,如果這種能量的輸入或輸出為 (水頭),則說明在管路中有水力機械的情況下,總流能量方程為2211 1222121 222mwpvpvzHzhggmH對于水泵管路系統(tǒng),葉片對水流做功, 取正號；對于水輪機管路系統(tǒng),水流對水輪機做功, 取負號。mHmHmH 是單位重力的水流通過水泵后動力機械對它做了功而增加的能量，稱為水泵的揚程。由于1-1和2-2的斷面平均速度相對于管路中的流速很小，可以忽略它們的流速水頭 ，水泵的軸功率為221 122022vvgg可得1 2mwHz

21、hmEpppQHNN水泵的軸功率，單位時間內原動機給予水泵的功。pNQp單位時間內通過水泵的水流所受的重力水泵效率常見的水泵管路系統(tǒng)如圖所示。以0-0為基準面:12120,ppzzz12t 時刻流束1-21122P1P2t+dt 流束1-2減少的：減少的：1-11-1段段111udA u如圖，考慮微小的流束如圖，考慮微小的流束1-21-2增加的：增加的：2-22-2段段222u dA u1 1-2-2段內動量不變（流動恒定）段內動量不變（流動恒定）單位時間內單位時間內動量的增量：動量的增量：222111u dA uudA u第七節(jié)第七節(jié) 恒定總流的動量方程恒定總流的動量方程動量定理：動量定理：作用物體上各外力的合力等于動量對時間的變化率21mvmvFdt應用到恒定總流，可得到恒定總流的動量方程恒定總流的動量方程212 221 11AAFu dAuudAuA A1 1A A2 2定義定義動量修正系數動量修正系數uudAQV V斷面平均流速斷面平均流速微小流束上的合力：微小流束上的合力：F在在1-1,2-21-1,2-2斷面上積分：斷面上積分：2 21 1()FQvv流量流量Q應用動量定理：應用動量定理