球面三角形的面積與歐拉公式

1、§6 球面三角形的面積與歐拉公式問題提出如何計算球面三角形的面積？球面三角形面積與平面三角形面積有什么區(qū)別？如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？如何利用球面知識證明簡單多面體的歐拉公式？6.1球面二角形與三角形的面積我們知道，若球面半徑為r，則球面面積為，現(xiàn)在考慮球面上的一個小區(qū)域：球面上由兩個大圓的半周所圍成的較小部分叫做一個球面二角形。如圖所示，大圓半周和所圍成的陰影部分就是一個球面二角形。顯然p和是對徑點，大圓半周和稱為球面二角形的邊。球面角稱為球面二角形的夾角。如果大圓弧以p和為極點，所對的球心角為，則=。例1 計算地球上一個時區(qū)所占有的面積。解如圖所示，設o

2、為地心，n、s為北極點和南極點，a、b為赤道上兩點，且，地球半徑為r=6400km，根據(jù)地理知識，地球共分為24個時區(qū)，一個時區(qū)跨越地球表面，所以由經(jīng)線nas與經(jīng)線nbs圍成的二角形就是一個時區(qū)，它所占面積為地球表面積的，即如何計算一般球面二角形的面積？ 1 二角形的夾角，就是平面pa與pb所夾的二面角的平面角；2 這個二角形可以看成半個大圓繞直徑p旋轉(zhuǎn)角所生成；3 球面二角形的面積與其夾角成比例。設這個二角形得面積為，則即抽象概括球面上，夾角為的二角形的面積為。如何計算球面三角形的面積？設表示球面三角形abc的面積，1 對球面三角形abc，分別畫出三條邊所在的大圓。2 設a、b、c的對徑點分

3、別是，則3 球面三角形+球面三角形+球面三角形+球面三角形構(gòu)成半個球面，所以+=又因為所以得到抽象概括定理6.1球面三角形的面積等于其內(nèi)角和減去。球面三角形的三個內(nèi)角和大于。即球面三角形abc的面積，其中是球面三角形abc的內(nèi)角。例2 計算以北京、上海、重慶為頂點的球面三角形的邊長和的面積。解根據(jù)地理知識，北京位于北緯39°56、東經(jīng)116°20，上海位于北緯31°14、東經(jīng)121°29，重慶位于北緯29°30、東經(jīng)106°30的經(jīng)緯度，地球半徑為r=6400km，如圖所示，設n為北極點，b為北京，s為上海，c為重慶，在球面三角形nb

4、c中，弧度，解球面三角形nbc，有，即，同理，解球面三角形bsc，有，即弧度，同理弧度，弧度，所以球面三角形bsc的面積為。練習1 證明：半徑為r的球面上，夾角為的二角形的面積為。2 證明：半徑為r的球面上，球面三角形abc的面積。3 已知球面二角形的面積是球面面積的，求其夾角。4 已知球面三角形的邊角關(guān)系如下，求它的面積（前2組為單位球面，后兩組球面半徑為2）：（1） 已知（2） 已知（3） 已知（4） 已知5 查閱資料，比較例2結(jié)果與實際數(shù)據(jù)的差異。6 已知球面三角形abc的三個內(nèi)角之和為，求這個球面三角形的面積與球面面積的比。7 用4個全等的球面三角形覆蓋整個球面，如何構(gòu)造？6.2球面上

5、的歐拉公式設s是一個球面，我們把球面分割成若干個球面三角形，要求球面上的每一點至少包含在某個球面三角形的內(nèi)部或邊上。同時，任何兩個球面三角形或者沒有公共點，或者有一個公共點的頂點，或者有一條公共邊，三者比居其一，這樣構(gòu)成的球面上的網(wǎng)絡，叫做球面s上的一個三角剖分，記為。圖中所示的兩個三角形的位置關(guān)系在球面的三角剖分中都是不允許出現(xiàn)的。設是球面s的一個三角剖分，的頂點數(shù)記為v，三角形邊數(shù)記為e，三角形的個數(shù)記為f，那么v、e、f滿足什么關(guān)系？例3觀察下面的球面三角剖分，記錄它們的頂點數(shù)v，三角形邊數(shù)e和三角形個數(shù)f，說明它們滿足什么關(guān)系？解在左圖中，頂點為a、b、c、d，頂點數(shù)v=4，三角形的邊

6、為ab、ac、ad、bc、bd、cd，邊數(shù)e=6，三角形為abc、abd、acd、bcd，三角形個數(shù)f=4，所以；在中圖中，頂點為a、b、c、d、e、f，頂點數(shù)v=6，三角形的邊為ab、ac、ad、ae，fb、fc、fd、fe、bc、be、cd、ed，邊數(shù)e=12，三角形為abc、abe、acd、ade，fbc、fbe、fcd、fde，三角形個數(shù)f=8，所以；在右圖中，頂點為a、b、c、d、e、f、g、h，頂點數(shù)v=8，三角形的邊為ab、ac、ah、hd、ae、ch、he，fg、gb、fc、fd、fe、bc、be、cd、ed、cg、ge，邊數(shù)e=18，三角形為abc、abe、ach、chd、a

7、he、hed，fgc、gcb、fge、geb、fcd、fde，三角形個數(shù)f=12，所以。抽象概括球面上的三角剖分滿足下面的公式：。其中v、e、f分別是三角剖分的頂點數(shù)，三角形邊數(shù)和三角形個數(shù)。我們把這個公式叫做球面的歐拉公式。這個公式與球面的大小，三角剖分的方式無關(guān)。即不管你在怎樣的球面上，如何進行三角剖分，雖然v、e、f都發(fā)生了很大的變化，但是它們永遠滿足歐拉公式。因此，歐拉公式一定反映出球面本身固有的某種性質(zhì)。在另一個專題歐拉公式與閉曲面的分類中，將對這個問題進行詳細討論。如何利用球面三角形面積公式證明球面多面體的歐拉公式？1 考慮e和f的關(guān)系：球面上共有f個三角形，每個三角形有三條邊，每

8、條邊屬于兩個三角形，所以即。2 把f個三角形編號，記為。對于第個三角形，設它的面積為，三角形的內(nèi)角分別為，那么。因此，整個球面的面積3 因為三角剖分共有v個頂點，而在每個頂點處，以它為頂點的所有球面角之和為，所以。4 根據(jù)（1）、（2）、（3）式，得。這個公式用歐拉的名字命名，是因為在1750年歐拉首次發(fā)現(xiàn)了凸多面體的歐拉公式。由若干個平面多邊形所圍成的封閉的立體，稱為多面體。如果一個多面體在它的每一個面所決定的平面的同一側(cè)，就稱為凸多面體。如圖所示，（1）、（2）、（3）、（4）、（5）都是凸多面體，而（6）、（7）不是凸多面體。用v表示凸多面體的頂點數(shù)，e表示凸多面體的棱數(shù)，f表示凸多面體

9、的面 多面體的面是指可以經(jīng)過連續(xù)變換變成圓盤的多邊形，比如三角形、四邊形都可以做多面體的面，而正方形中挖掉一個小正方形后剩下的圖形就不是凸多面體的面。數(shù)，歐拉證明了：。思考交流觀察上面的圖形，寫出它們的頂點數(shù)v、棱數(shù)e和面數(shù)f，并驗證歐拉公式。正如上面的（6）中看到的一樣，后來又可以把凸多面體的歐拉公式推廣到簡單多面體。當把多面體想象成由橡皮薄膜圍成的，一充氣這個橡皮薄膜就可以變成一個球面，這樣的多面體就是簡單多面體。上圖中的（1）、（2）、（3）、（4）、（5）、（6）都是簡單多面體，而（7）不是簡單多面體。如何利用球面知識證明簡單多面體的歐拉公式？例4 觀察下面的圖形，寫出凸多面體和它對應

10、的球面三角剖分的頂點數(shù)v、棱數(shù)e和面數(shù)f，并驗證凸多面體的歐拉公式和它對應的球面三角剖分的歐拉公式。解在上圖中，凸多面體的頂點數(shù)v=4，棱數(shù)e=6，面數(shù)f=4它對應的球面三角剖分的頂點數(shù)v=4，棱數(shù)e=6，面數(shù)f=4，凸多面體的歐拉公式是，它對應的球面三角剖分的歐拉公式；在中圖中，凸多面體的頂點數(shù)v=6，棱數(shù)e=12，面數(shù)f=8它對應的球面三角剖分的頂點數(shù)v=6，棱數(shù)e=12，面數(shù)f=8，凸多面體的歐拉公式是，它對應的球面三角剖分的歐拉公式；在下圖中，凸多面體的頂點數(shù)v=8，棱數(shù)e=18，面數(shù)f=12它對應的球面三角剖分的頂點數(shù)v=8，棱數(shù)e=18，面數(shù)f=12，凸多面體的歐拉公式是，它對應的

11、球面三角剖分的歐拉公式；下面我們給出簡單多面體的歐拉公式的證明思路。不失一般性，我們不妨假設簡單多面體p的頂點都在同一個單位球面s上。如果a、b是簡單多面體上兩個頂點，且連結(jié)a、b的線段是多面體p的一條棱，過a、b作球面s的大圓劣弧，這樣就得到一個覆蓋整個球面的球面多邊形。在這個變化過程中，多面體p和它對應的球面多邊形的頂點數(shù)v、棱數(shù)（邊數(shù)）e和面數(shù)f都是一樣的。在球面多邊形中連接頂點使得它成為球面s的一個三角剖分，在此過程中，每添加一條大圓劣弧，邊數(shù)e就變成e+1，與此同時，面數(shù)f就變成f+1。假設中一共新連結(jié)了n條大圓劣弧，那么邊數(shù)為e+n，面數(shù)為f+n，而頂點數(shù)v不變，根據(jù)球面三角剖分的歐拉公式，有，因此。習題a1 已知地球表面上的球面三角形的三邊分別是1000km，1500km，2000km，求它的面積。2 在單位球面上，已知等邊球面三角形的面積等于球面面積的，求它的三個內(nèi)角和三條邊。3 已知一個簡單多面體的頂點數(shù)為8，面數(shù)為6，求這個多面體的棱數(shù)。4 在一個球面上，畫出一個三角剖分，并分別數(shù)出v、e、f，驗證歐拉公式。5 如圖所示，驗證簡單多面體的歐拉公式。6 若是球面上的一個三角剖分，說明