高等教育工程高等代數(shù)答案習題三

1、習 題 三a 組1填空題（1）設(shè)，則，解, （2）設(shè)，則，解， （3）若，則解 （4）設(shè)，正整數(shù)，則解 （5）設(shè)，矩陣，為正整數(shù)，則解 （6）設(shè)為階矩陣，且，則，解 ， （7）解 （8）設(shè)，則，解 ，（9）設(shè)，則解 （10）設(shè)矩陣，矩陣滿足，則，解 ，（11）設(shè),均為三階矩陣，則解 （12）設(shè)三階矩陣滿足，解（13）設(shè)為階方陣，為階方陣，則解 （14）設(shè)三階矩陣，矩陣滿足關(guān)系式，其中為的伴隨矩陣，則解 （15）設(shè)階矩陣的秩為，則其伴隨矩陣的秩為解 （16）設(shè)，其中，則的秩解 1（17）設(shè)矩陣，且，則解 （18）設(shè)，則將可以表示成以下三個初等矩陣的乘積解 選擇題（1）設(shè)是矩陣，是矩陣，是矩陣，互

2、不相等，則下列運算沒有意義的是（a）； （b）； （c）； （d）解d（2）設(shè)是矩陣，是矩陣，則下列的運算結(jié)果是階方陣（a）； （b）； （c）； （d）解b（3）設(shè)是階方陣，則有（a）；（b）； （c）或； （d）解c（4）設(shè)都是階矩陣，則必有（a）； （b）；（c）； （d）解c（5）設(shè)是階方陣，下列結(jié)論正確的是（a）若均可逆，則可逆； （b）若均可逆，則可逆；（c）若可逆，則可逆； （d）若可逆，則均可逆解b（6）設(shè)階方陣滿足關(guān)系式，則必有（a）；（b）； （c）； （d）解d（7）設(shè)均為階可逆矩陣，則等于（a）； （b）； （c）； （d）解c（8）設(shè),均為階矩陣，若，則為（a）； （

3、b）； （c）； （d）解 a（9）設(shè)矩陣 滿足，其中是的伴隨矩陣，為的轉(zhuǎn)置矩陣若為三個相等的正數(shù)，則為（a）； （b）3； （c）； （d）解 a（10）設(shè)三階矩陣，若的伴隨矩陣的秩為1，則必有（a）或； （b）或；（c）且； （d）且解 c（11）設(shè)，分別為階矩陣，對應(yīng)的伴隨矩陣，分塊矩陣，則的伴隨矩陣（a）； （b）；（c）； （d）解 d（12）設(shè)都是階非零矩陣，且，則的秩（a）必有一個等于零； （b）都小于；（c）一個小于，一個等于； （d）都等于解 b（13）下列矩陣中，不是初等矩陣（a）； （b）； （c）； （d）解b（14）設(shè)，則必有 （a）；（b）； （c）； （d）解c（

4、15）設(shè)為3階矩陣，將的第2行加到第1行得，再將的第1列的倍加到第2列得，記，則（a）； （b）； （c）； （d）解 （16）設(shè)階矩陣與等價, 則必有（a）當時，； （b）當時，；（c）當時, ； （d）當時, 解 d（17）設(shè)是3階方陣，將的第1列與第2列交換得，再把的第2列加到第3列得，則滿足的可逆矩陣為（a）； （b）； （c）； （d）解 d（18）設(shè)為（）階可逆矩陣，交換的第1行與第2行得矩陣, 分別為，的伴隨矩陣，則（a）交換的第1列與第2列得； （b）交換的第1行與第2行得；（c）交換的第1列與第2列得； （d）交換的第1行與第2行得解 c3已知矩陣，求，解；4設(shè)，求，解5計算

5、下列矩陣的乘積（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）解（1）原式； （2）原式；（3）原式；（4）原式；（5）原式；（6）原式；（7）原式；（8）原式，其中，所以，原式6設(shè)，問（1）嗎？（2）嗎？（3）嗎？解（1）因為，所以，（2）因為， ，所以，（3）因為， ，所以，7舉例說明下列命題是錯誤的（1）若，則；（2）若，則或；（3）若，且，則解（1）設(shè)，但；（2）設(shè)，則，但；（3）設(shè)，此時，但8設(shè)為正整數(shù)，求，其中（1）； （2）解 （1）由于， ，歸納得到， 再用歸納法證明之（2）計算得到， ， ， ，歸納出，再用歸納法證明之9設(shè)，求滿足的矩陣解設(shè)，則由可得解之

6、，可得因此，10設(shè)均為階矩陣，證明（1）若是對稱矩陣，則也是對稱矩陣；（2）若都是對稱矩陣，則是對稱矩陣的充分必要條件是證明（1）因為，所以，也是對稱矩陣（2）11設(shè)是階對稱矩陣，為階反對稱矩陣，證明（1）是對稱矩陣；（2）是對稱矩陣，是反對稱矩陣證明 （1）因為，所以，是對稱矩陣（2）因為，所以，是對稱矩陣因為，所以，是反對稱矩陣*12對以下矩陣和，分別求和（1）， ； （2）， ，解 直接由定義計算（1），（2）， 13證明奇數(shù)階反對稱矩陣一定不滿秩證明設(shè)是階反對稱矩陣，則因為是奇數(shù)，所以，不滿秩14設(shè)為階矩陣，證明證明因為所以，即15求下列矩陣的逆矩陣（1）； （2）； （3）解（1）；

7、 （2）；（3）16利用逆矩陣解下列方程組，解原方程組寫成矩陣形式有，因此，17設(shè)為階可逆矩陣，且每一行元素之和都等于常數(shù)，證明的逆矩陣的每一行元素之和為證明由題意有，因此，上式說明結(jié)論成立18設(shè)，為正整數(shù)，證明證明由可知等式成立19已知可逆，試證也可逆，且證明由題設(shè)有因此，結(jié)論成立20設(shè)階矩陣滿足，證明、均可逆，并求、解由已知等式可得，因此，21設(shè)三階矩陣滿足，其中，列向量，試求矩陣解由已條件有，即而 22已知矩陣方程，其中，求矩陣解由題設(shè)可得而，故有23設(shè)三階方陣滿足關(guān)系式，且，試求矩陣解由題設(shè)可得，另一方面，24已知三階矩陣的逆矩陣為，求伴隨矩陣的逆矩陣解利用得到，所以，而，故25設(shè)有，

8、求解由條件可得26求下列分塊矩陣的乘積，其中均為階矩陣(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 解(1) ； (2) ； (3) ；(4) ； (5) ； (6) 27設(shè)為正整數(shù)，求，解28設(shè)分別為階和階可逆矩陣，求下列分塊矩陣的逆矩陣（1）； （2）解 （1）設(shè)，其中，是階和階方陣，則有比較最后兩個分塊矩陣，得到矩陣方程組解之，得到因此，（2）設(shè)，其中，是階和階方陣，則有比較最后兩個分塊矩陣，得到矩陣方程組解之，得到因此，29用矩陣的分塊法求下列矩陣的逆矩陣（1）； （2）；（3）； （4），解 （1）；（2）；（3）；（4）將矩陣分塊可得這里，所以，30用初等變換求

9、下列矩陣的秩（1）； （2）；（3）； （4）解（1）；（2）；（3）；（4）31設(shè)是階可逆矩陣，將的第行和第行互換后得到的矩陣記為，（1）證明可逆； （2）求 證明（1）根據(jù)行列式的性質(zhì)有，故可逆（2）因為，所以，32用初等變換法求下列矩陣的逆矩陣（1）； （2）；（3）； （4）解（1）； （2）；（3）； （4）*33求下列矩陣的廣義逆（1）； （2）； （3）； （4）解 （1）對矩陣進行初等變換可得，可見，用初等矩陣表示為于是， ，其中為任意復(fù)數(shù)（2）對矩陣進行初等變換可得，可見，用初等矩陣表示為于是， ，其中為任意復(fù)數(shù)（3）對矩陣進行初等變換可得，可見，用初等矩陣表示為于是， ，（

10、4）對矩陣進行初等變換可得，可見，用初等矩陣表示為于是， ，其中為任意復(fù)數(shù)*34求下列矩陣的moorepenrose廣義逆，（1）； （2）；（3）； （4）解 （1）利用初等變換可以將分解得到，取， ，則（2）由于，所以（3）類似于（2）可得（4）利用初等變換可以將分解得到，取， ，則*35設(shè)矩陣，求解 由定義可計算得到*36設(shè)有矩陣，求和解 由矩陣導(dǎo)數(shù)的定義可得由于，故*37設(shè)，其中， ，且，證明證明 由矩陣導(dǎo)數(shù)的定義與性質(zhì)可得*38對于下列矩陣，計算和（1）； （2）解 由定義直接計算（1），（2），b 組1設(shè)為兩個階矩陣，則與的主對角線上的元素之和相等證明 設(shè)，則的主對角線上元素為的主

11、對角線上元素為 而因此，2設(shè)階方陣滿足關(guān)系式，和，證明證明由題設(shè)可得而所以，即3設(shè)階方陣滿足，證明 與可交換，且證明由可得，于是，上式說明與互為逆矩陣，因此，即，故與可交換另一方面，由條件可得，4設(shè)為階方陣，為任一實數(shù)，試證與均可逆，并求之證明由可得另一方面由于，所以，因此，可逆，并且5設(shè)為非零列矩陣， 證明（1）的充要條件是；（2）若，則不可逆證明（1）根據(jù)假設(shè)有（2）假設(shè)可逆，則有此時，與矛盾故不可逆6設(shè)為階非零實矩陣，是矩陣的元素對應(yīng)的代數(shù)余子式，證明（1） 可逆； （2）證明 （1）根據(jù)假設(shè)有，所以有根據(jù)條件可設(shè)，此時，的第行第列元素為因此，可逆（2）由得到因為前面已經(jīng)證明，所以，7設(shè)

12、是階矩陣的伴隨矩陣，證明 證明 對于階矩陣，總有（1）若，則 ，（2）若，假設(shè)，則 存在，此時，與假設(shè)矛盾，所以綜合上述討論可得8設(shè)為階可逆矩陣，為的伴隨矩陣，證明：（1）； （2）證明（1）由可得另一方面，（2）由可得另一方面，9設(shè)為階方陣，且，試證證明因為，所以，將代入上式有，10設(shè)是一個階矩陣，證明（1）； （2）證明 （1）由于，不失一般性，可設(shè)其余各行都是第一行的倍數(shù)，（2）顯然，其中，11設(shè)為階矩陣，如果，證明證明因為，所以，或若，則若，則中必存在一個元素而由第10題的結(jié)論有，進一步有，所以，因此，綜合以上討論可知結(jié)論成立12設(shè)有關(guān)系式，其中，試求矩陣解由題設(shè)有可計算出所以，13設(shè)矩陣，是的伴隨矩陣，矩陣滿足，求矩