圖形中的趣題

1、圖形中的趣題活動方案一、活動目的人們普遍把數(shù)學(xué)教學(xué)視為“思維的體操”，這自然是有道理的。但在實(shí)際上又常常僅側(cè)重于邏輯思維，這就偏狹了。針對我國數(shù)學(xué)“雙基”教學(xué)的薄弱環(huán)節(jié)，特別強(qiáng)調(diào)在培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維、創(chuàng)造思維上進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)是適當(dāng)?shù)摹８鶕?jù)現(xiàn)實(shí)的需要，我們必須適當(dāng)拓展中學(xué)數(shù)學(xué)習(xí)題的觀念，構(gòu)建基礎(chǔ)性訓(xùn)練與探索性訓(xùn)練相結(jié)合的習(xí)題體系，通過設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性、創(chuàng)造性思維，有效改進(jìn)學(xué)生的學(xué)習(xí)。下面是一個(gè)探索性課題。二、活動內(nèi)容一個(gè)三角形兩邊中點(diǎn)的連線叫做這個(gè)三角形的中位線。我們可以看到圖1中三角形的三條中位線把這個(gè)三角形分成了4個(gè)小的三角形，而且這些小的三角形都是全等的。圖1 圖2 圖3把三條邊

2、都分成三等分，再按圖2將分點(diǎn)連起來，可以看到整個(gè)三角形被分成了9個(gè)小的三角形，而且這些小的三角形也都是全等的。我們還可以把三條邊都分成四等分如圖3，再似圖1、圖2那樣將分點(diǎn)連起來，可以看到整個(gè)三角形被分成了一個(gè)個(gè)更小的全等三角形?，F(xiàn)在請你和你的同學(xué)起參與如下的探索活動：（一）、收集數(shù)據(jù):1 數(shù)一數(shù)圖1、圖2中的點(diǎn)、線段和全等三角形的個(gè)數(shù)，用一張表記錄下來；2 再把三條邊都分成四等分，似圖1、圖2、圖3那樣將分點(diǎn)連起來，數(shù)一數(shù)這時(shí)的點(diǎn)、線段和全等三角形的個(gè)數(shù)，也記錄在相應(yīng)的表格中；三角形的邊的等分?jǐn)?shù)k點(diǎn)的個(gè)數(shù)線段的個(gè)數(shù)全等三角形的個(gè)數(shù)234（二）、數(shù)據(jù)分析3 仔細(xì)分析所得到的一些數(shù)據(jù)，相互交流討

3、論，想一想其中有什么關(guān)系；三角形的邊的等分?jǐn)?shù)k點(diǎn)的個(gè)數(shù) 線段的個(gè)數(shù)全等三角形的個(gè)數(shù)26943101894153016猜想1：全等三角形的個(gè)數(shù)等于等分?jǐn)?shù)的平方。即， 。猜想2：線段的條數(shù)都是3的倍數(shù)。猜想3：點(diǎn)的個(gè)數(shù)，猜想4：線段的條數(shù)和點(diǎn)的個(gè)數(shù)的關(guān)系：，猜想5：線段的條數(shù)，猜想6：，猜想7：繼續(xù)把三條邊都分成五、六等分、似圖1、圖2那樣將分點(diǎn)連起來，數(shù)一數(shù)這時(shí)的點(diǎn)、線段和全等三角形的個(gè)數(shù)，看看與你的猜想是否符合；三角形的邊的等分?jǐn)?shù)k點(diǎn)的個(gè)數(shù)線段的個(gè)數(shù)全等三角形的個(gè)數(shù)2694310189415301652145256286336n通過對當(dāng)k2,3,4,5,6時(shí)，的值的觀察，探究它們之間的關(guān)系，下

4、面我們研究的求和：不妨設(shè)，那么對這一組數(shù)進(jìn)行倒序即。把兩個(gè)數(shù)組對齊上下逐逐項(xiàng)累加，得所以，（三）、結(jié)構(gòu)分析以上我們對它們從代數(shù)方面進(jìn)行考慮，通過找數(shù)據(jù)的規(guī)律得出了點(diǎn)、線段、小三角形個(gè)數(shù)與邊的等分?jǐn)?shù)k之間的關(guān)系。那么由它們的幾何結(jié)構(gòu)我們能否得到相應(yīng)的結(jié)論呢？1. 如果我們僅看圖形中的點(diǎn)不難發(fā)現(xiàn)每一層都比上一層多一點(diǎn)，那么等分成k份就有了k+1層的點(diǎn)，這就解釋了為什么所以 2. 如果我們把圖形中的線段也用分層的方法來看，每三條線段看成是一個(gè)三角形的三條邊，不難發(fā)現(xiàn)每一層都比上一層多一個(gè)三角形。那么等分成k份就有了k層三角形，所以即3. 對于圖中三角形的個(gè)數(shù)就比較容易一些，把兩個(gè)相同的圖形拼成一個(gè)平

5、行四邊形，按照三角形的等分方法可以看出平行四邊形被等分成個(gè)小平行四邊形，每一個(gè)小平行四邊形由兩個(gè)小全等三角形構(gòu)成。所以一共有個(gè)小全等三角形。即，。（四）、歸納總結(jié)問題解決思路：一、是通過觀察圖形搜集數(shù)據(jù)；二、是運(yùn)用數(shù)據(jù)分析發(fā)現(xiàn)事實(shí)并進(jìn)行猜想；三、是通過數(shù)據(jù)的結(jié)構(gòu)分析進(jìn)行嚴(yán)格證明；四、是基于直覺和圖形的幾何結(jié)構(gòu)創(chuàng)造性地理解事實(shí)。通過數(shù)形的結(jié)合，最后給出問題的解答?；顒涌偨Y(jié)和反思要培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力，這是個(gè)較好的例子，可供學(xué)生在自我監(jiān)控的思路下，找到不同的解題思路，提出不同的猜想，從不同方面去解決問題。于是，可以對它隱含的知識和能力標(biāo)準(zhǔn)作出如下分析：(1)幾何和測量概念(觀察平面圖形，想象小三角形遞增序列的幾何模型)；(2)函數(shù)和代數(shù)概念(用公式對給出的情境構(gòu)建模型，運(yùn)用和處理變量表達(dá)式，運(yùn)用函數(shù)作