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文檔簡(jiǎn)介
1、第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【2013年高考會(huì)這樣考】1以選擇題、填空題的形式考查垂直關(guān)系的判定,經(jīng)常與命題或充要條件相結(jié)合2以錐體、柱體為載體考查線面垂直的判定考查空間想象能力、邏輯思維能力,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用能力3能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn),運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論,證明一些有關(guān)空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理的簡(jiǎn)單命題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1垂直是立體幾何的必考題目,且?guī)缀趺磕甓加幸粋€(gè)解答題出現(xiàn),所以是高考的熱點(diǎn),是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)縱觀歷年來(lái)的高考題,立體幾何中沒有難度過大的題,所以復(fù)習(xí)要抓好三基:基礎(chǔ)知識(shí),基本方法,基本能力2要重視和研究數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在本講中“化歸
2、”思想尤為重要,不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”,觀察與分析幾何體中線與線的關(guān)系是解題的突破口基礎(chǔ)梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理:如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直,則這條直線與這個(gè)平面垂直推論:如果在兩條平行直線中,有一條垂直于平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面,則垂直于平面內(nèi)任意直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行垂直于同一直線的兩平面平行2斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角,叫斜線和平面所成的角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理:如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的
3、一條垂線,則這兩個(gè)平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩平面互相垂直,那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面一個(gè)關(guān)系垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系三類證法(1)證明線線垂直的方法定義:兩條直線所成的角為90°;平面幾何中證明線線垂直的方法;線面垂直的性質(zhì):a,bab;線面垂直的性質(zhì):a,bab.(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義:a與內(nèi)任何直線都垂直a;判定定理1:l;判定定理2:ab,ab;面面平行的性質(zhì):,aa;面面垂直的性質(zhì):,l,a,ala.(3)證明面面垂直的方法利用定義:兩個(gè)平面相交,所成的二面角是直二面角;判定定理:a,a.雙基自測(cè)1(人教a版教材習(xí)題改編)
4、下列條件中,能判定直線l平面的是()al與平面內(nèi)的兩條直線垂直bl與平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線垂直cl與平面內(nèi)的某一條直線垂直dl與平面內(nèi)任意一條直線垂直解析由直線與平面垂直的定義,可知d正確答案d2(2012·安慶月考)在空間中,下列命題正確的是()a平行直線的平行投影重合b平行于同一直線的兩個(gè)平面平行c垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行d垂直于同一平面的兩條直線平行解析選項(xiàng)a,平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線;選項(xiàng)b,兩個(gè)相交平面的交線與某一條直線平行,則這條直線平行于這兩個(gè)平面;選項(xiàng)c,兩個(gè)相交平面可以同時(shí)垂直于同一個(gè)平面;選項(xiàng)d正確答案d3(2012·蘭州模擬)用a,b,c
5、表示三條不同的直線,表示平面,給出下列命題:若ab,bc,則ac;若ab,bc,則ac;若a,b,則ab;若a,b,則ab. 其中真命題的序號(hào)是()a b c d解析由公理4知是真命題在空間內(nèi)ab,bc,直線a、c的關(guān)系不確定,故是假命題由a,b,不能判定a、b的關(guān)系,故是假命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理答案c4(2011·聊城模擬)設(shè)a、b、c表示三條不同的直線,、表示兩個(gè)不同的平面,則下列命題中不正確的是()a.cb.bcc.cd.b解析由a,b可得b與的位置關(guān)系有:b,b,b與相交,所以d不正確答案d5如圖,已知pa平面abc,bcac,則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_解析由線面垂直
6、知,圖中直角三角形為4個(gè)答案4考向一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例1】(2011·天津改編)如圖,在四棱錐pabcd中,底面abcd為平行四邊形,adc45°,adac1,o為ac的中點(diǎn),po平面abcd.證明:ad平面pac.審題視點(diǎn) 只需證adac,再利用線面垂直的判定定理即可證明adc45°,且adac1.dac90°,即adac,又po平面abcd,ad平面abcd,poad,而acpoo,ad平面pac. (1)證明直線和平面垂直的常用方法有:判定定理;ab,ab;,aa;面面垂直的性質(zhì)(2)線面垂直的性質(zhì),常用來(lái)證明線線垂直【訓(xùn)練1】 如圖,
7、已知bd平面abc,mc綉bd,acbc,n是棱ab的中點(diǎn)求證:cnad.證明bd平面abc,cn平面abc,bdcn.又acbc,n是ab的中點(diǎn)cnab.又bdabb,cn平面abd.而ad平面abd,cnad.考向二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】如圖所示,在四棱錐pabcd中,平面pad平面abcd,abdc,pad是等邊三角形,已知bd2ad8,ab2dc4.m是pc上的一點(diǎn),證明:平面mbd平面pad.審題視點(diǎn) 證明bd平面pad,根據(jù)已知平面pad平面abcd,只要證明bdad即可證明在abd中,由于ad4,bd8,ab4,所以ad2bd2ab2.故adbd.又平面pad平面ab
8、cd,平面pad平面abcdad,bd平面abcd,所以bd平面pad.又bd平面mbd,故平面mbd平面pad. 面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直,線面垂直的證明方法主要有:判定定理法、平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面,則另一條也垂直于這個(gè)平面)、面面垂直性質(zhì)定理法,本題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法,這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法【訓(xùn)練2】 如圖所示,在長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中,abad1,aa12,m是棱cc1的中點(diǎn)證明:平面abm平面a1b1m.證明a1b1平面b1c1cb,bm平面b1c1cb,a1b1bm,由已知易得b1m,又bm,b1b2,b1m2b
9、m2b1b2,b1mbm.又a1b1b1mb1,bm平面a1b1m.而bm平面abm,平面abm平面a1b1m.考向三平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】如圖,在四面體abcd中,cbcd,adbd,點(diǎn)e、f分別是ab、bd的中點(diǎn)求證:(1)直線ef平面acd;(2)平面efc平面bcd.審題視點(diǎn) 第(1)問需證明efad;第(2)問需證明bd平面efc.證明(1)在abd中,因?yàn)閑、f分別是ab、bd的中點(diǎn),所以efad.又ad平面acd,ef平面acd,所以直線ef平面acd. (2)在abd中,因?yàn)閍dbd,efad,所以efbd.在bcd中,因?yàn)閏dcb,f為bd的中點(diǎn),所以cfbd.因?yàn)?/p>
10、ef平面efc,cf平面efc,ef與cf交于點(diǎn)f,所以bd平面efc.又因?yàn)閎d平面bcd,所以平面efc平面bcd. 解答立體幾何綜合題時(shí),要學(xué)會(huì)識(shí)圖、用圖與作圖圖在解題中起著非常重要的作用,空間平行、垂直關(guān)系的證明,都與幾何體的結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合,準(zhǔn)確識(shí)圖,靈活利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關(guān)系是證明的關(guān)鍵【訓(xùn)練3】 如圖,正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直,efac,ab,ceef1.(1)求證:af平面bde;(2)求證:cf平面bde. 證明(1)設(shè)ac與bd交于點(diǎn)g.因?yàn)閑fag,且ef1,agac1.所以四邊形agef為平行四邊形,所以afeg.
11、因?yàn)閑g平面bde,af平面bde,所以af平面bde.(2)如圖,連接fg.因?yàn)閑fcg,efcg1,且ce1,所以四邊形cefg為菱形所以cfeg.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形,所以bdac.又因?yàn)槠矫鎍cef平面abcd,且平面acef平面abcdac,所以bd平面acef. 所以cfbd.又bdegg.所以cf平面bde.考向四線面角【例4】(2012·無(wú)錫模擬)如圖,四棱錐pabcd的底面是正方形,pd底面abcd,點(diǎn)e在棱pb上(1)求證:平面aec平面pdb;(2)當(dāng)pdab,且e為pb的中點(diǎn)時(shí),求ae與平面pdb所成的角的大小審題視點(diǎn) (1)轉(zhuǎn)化為證明ac平面pdb;(
12、2)ae與平面pdb所成的角即為ae與它在平面pdb上的射影所成的角(1)證明四邊形abcd是正方形,acbd.pd底面abcd,pdac.又pdbdd,ac平面pdb.又ac平面aec,平面aec平面pdb.(2)解設(shè)acbdo,連接oe.由(1)知,ac平面pdb于點(diǎn)o,aeo為ae與平面pdb所成的角點(diǎn)o、e分別為db、pb的中點(diǎn),oepd,且oepd.又pd底面abcd,oe底面abcd,oeao.在rtaoe中,oepdabao,aeo45°.即ae與平面pdb所成的角為45°. 求直線與平面所成的角,一般分為兩大步:(1)找直線與平面所成的角,即通過找直線在平面
13、上的射影來(lái)完成;(2)計(jì)算,要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解【訓(xùn)練4】 (2012·麗水質(zhì)檢)如圖,已知dc平面abc,ebdc,acbceb2dc2,acb120°,p,q分別為ae,ab的中點(diǎn)(1)證明:pq平面acd;(2)求ad與平面abe所成角的正弦值(1)證明因?yàn)閜,q分別為ae,ab的中點(diǎn),所以pqeb.又dceb,因此pqdc,pq平面acd,dc平面acd,從而pq平面acd.(2)解如圖,連接cq,dp.因?yàn)閝為ab的中點(diǎn),且acbc,所以cqab.因?yàn)閐c平面abc,ebdc,所以eb平面abc.因此cqeb,又abebb,故cq平面abe
14、.由(1)有pqdc,又pqebdc,所以四邊形cqpd為平行四邊形,故dpcq,因此dp平面abe,dap為ad和平面abe所成的角,在rtdpa中,ad,dp1,sindap.因此ad和平面abe所成角的正弦值為.閱卷報(bào)告11證明過程推理不嚴(yán)密而丟分【問題診斷】 高考對(duì)空間線面關(guān)系的考查每年必有一道解答題,難度為中低檔題,大多數(shù)考生會(huì)做而得不到全分,往往因?yàn)橥评聿粐?yán)密,跳步作答所致.【防范措施】 解題過程要表達(dá)準(zhǔn)確、格式要符合要求.每步推理要有根有據(jù).計(jì)算題要有明確的計(jì)算過程,不可跨度太大,以免漏掉得分點(diǎn).引入數(shù)據(jù)要明確、要寫明已知、設(shè)等字樣.要養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣.【示例】(2011
15、83;江蘇)如圖,在四棱錐pabcd中,平面pad平面abcd,abad,bad60°,e,f分別是ap,ad的中點(diǎn)求證:(1)直線ef平面pcd;(2)平面bef平面pad.錯(cuò)因在運(yùn)用判定定理時(shí)漏掉關(guān)鍵條件致使推理不嚴(yán)謹(jǐn)致誤實(shí)錄(1)在pad中,因?yàn)閑,f分別為ap、ad的中點(diǎn),所以efpd,所以ef平面pcd.(2)abd為正三角形,bfad,又平面pad平面abcdbf平面pad,平面bef平面pad.正解(1)在pad中,因?yàn)閑,f分別為ap,ad的中點(diǎn),所以efpd.又因?yàn)閑f平面pcd,pd平面pcd,所以直線ef平面pcd.(2)如圖,連結(jié)bd.因?yàn)閍bad,bad60°,所以abd為正三角形因?yàn)閒是ad的中點(diǎn),所以bfad.因?yàn)槠矫鎝ad平面abcd,bf平面abcd,平面pad平面abcdad,所以bf平面pad.又因?yàn)閎f平面bef,所以平面bef平面pad.【試一試】 如圖所示,在四棱錐pabcd中,底面abcd是邊長(zhǎng)為a的正方形,e、
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