第5講直線平面垂直的判定及其性質(zhì)

1、第5講直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)【2013年高考會(huì)這樣考】1以選擇題、填空題的形式考查垂直關(guān)系的判定，經(jīng)常與命題或充要條件相結(jié)合2以錐體、柱體為載體考查線面垂直的判定考查空間想象能力、邏輯思維能力，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用能力3能以立體幾何中的定義、公理和定理為出發(fā)點(diǎn)，運(yùn)用公理、定理和已獲得的結(jié)論，證明一些有關(guān)空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)和判定定理的簡單命題【復(fù)習(xí)指導(dǎo)】1垂直是立體幾何的必考題目，且?guī)缀趺磕甓加幸粋€(gè)解答題出現(xiàn)，所以是高考的熱點(diǎn)，是復(fù)習(xí)的重點(diǎn)縱觀歷年來的高考題，立體幾何中沒有難度過大的題，所以復(fù)習(xí)要抓好三基：基礎(chǔ)知識，基本方法，基本能力2要重視和研究數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法在本講中“化歸

2、”思想尤為重要，不論何種“垂直”都要化歸到“線線垂直”，觀察與分析幾何體中線與線的關(guān)系是解題的突破口基礎(chǔ)梳理1直線與平面垂直(1)判定直線和平面垂直的方法定義法利用判定定理：如果一條直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，則這條直線與這個(gè)平面垂直推論：如果在兩條平行直線中，有一條垂直于平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面(2)直線和平面垂直的性質(zhì)直線垂直于平面，則垂直于平面內(nèi)任意直線垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行垂直于同一直線的兩平面平行2斜線和平面所成的角斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫斜線和平面所成的角3平面與平面垂直(1)平面與平面垂直的判定方法定義法利用判定定理：如果一個(gè)平面過另一個(gè)平面的

3、一條垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直(2)平面與平面垂直的性質(zhì)如果兩平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個(gè)平面一個(gè)關(guān)系垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系三類證法(1)證明線線垂直的方法定義：兩條直線所成的角為90°；平面幾何中證明線線垂直的方法；線面垂直的性質(zhì)：a，bab；線面垂直的性質(zhì)：a，bab.(2)證明線面垂直的方法線面垂直的定義：a與內(nèi)任何直線都垂直a；判定定理1：l；判定定理2：ab，ab；面面平行的性質(zhì)：，aa；面面垂直的性質(zhì)：，l，a，ala.(3)證明面面垂直的方法利用定義：兩個(gè)平面相交，所成的二面角是直二面角；判定定理：a，a.雙基自測1(人教a版教材習(xí)題改編)

4、下列條件中，能判定直線l平面的是()al與平面內(nèi)的兩條直線垂直bl與平面內(nèi)無數(shù)條直線垂直cl與平面內(nèi)的某一條直線垂直dl與平面內(nèi)任意一條直線垂直解析由直線與平面垂直的定義，可知d正確答案d2(2012·安慶月考)在空間中，下列命題正確的是()a平行直線的平行投影重合b平行于同一直線的兩個(gè)平面平行c垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行d垂直于同一平面的兩條直線平行解析選項(xiàng)a，平行直線的平行投影可以依然是兩條平行直線；選項(xiàng)b，兩個(gè)相交平面的交線與某一條直線平行，則這條直線平行于這兩個(gè)平面；選項(xiàng)c，兩個(gè)相交平面可以同時(shí)垂直于同一個(gè)平面；選項(xiàng)d正確答案d3(2012·蘭州模擬)用a，b，c

5、表示三條不同的直線，表示平面，給出下列命題：若ab，bc，則ac；若ab，bc，則ac；若a，b，則ab；若a，b，則ab. 其中真命題的序號是()a b c d解析由公理4知是真命題在空間內(nèi)ab，bc，直線a、c的關(guān)系不確定，故是假命題由a，b，不能判定a、b的關(guān)系，故是假命題是直線與平面垂直的性質(zhì)定理答案c4(2011·聊城模擬)設(shè)a、b、c表示三條不同的直線，、表示兩個(gè)不同的平面，則下列命題中不正確的是()a.cb.bcc.cd.b解析由a，b可得b與的位置關(guān)系有：b，b，b與相交，所以d不正確答案d5如圖，已知pa平面abc，bcac，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_解析由線面垂直

6、知，圖中直角三角形為4個(gè)答案4考向一直線與平面垂直的判定與性質(zhì)【例1】(2011·天津改編)如圖，在四棱錐pabcd中，底面abcd為平行四邊形，adc45°，adac1，o為ac的中點(diǎn)，po平面abcd.證明：ad平面pac.審題視點(diǎn) 只需證adac，再利用線面垂直的判定定理即可證明adc45°，且adac1.dac90°，即adac，又po平面abcd，ad平面abcd，poad，而acpoo，ad平面pac. (1)證明直線和平面垂直的常用方法有：判定定理；ab，ab；，aa；面面垂直的性質(zhì)(2)線面垂直的性質(zhì)，常用來證明線線垂直【訓(xùn)練1】 如圖，

7、已知bd平面abc，mc綉bd，acbc，n是棱ab的中點(diǎn)求證：cnad.證明bd平面abc，cn平面abc，bdcn.又acbc，n是ab的中點(diǎn)cnab.又bdabb，cn平面abd.而ad平面abd，cnad.考向二平面與平面垂直的判定與性質(zhì)【例2】如圖所示，在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，abdc，pad是等邊三角形，已知bd2ad8，ab2dc4.m是pc上的一點(diǎn)，證明：平面mbd平面pad.審題視點(diǎn) 證明bd平面pad，根據(jù)已知平面pad平面abcd，只要證明bdad即可證明在abd中，由于ad4，bd8，ab4，所以ad2bd2ab2.故adbd.又平面pad平面ab

8、cd，平面pad平面abcdad，bd平面abcd，所以bd平面pad.又bd平面mbd，故平面mbd平面pad. 面面垂直的關(guān)鍵是線面垂直，線面垂直的證明方法主要有：判定定理法、平行線法(若兩條平行線中一條垂直于這個(gè)平面，則另一條也垂直于這個(gè)平面)、面面垂直性質(zhì)定理法，本題就是用的面面垂直性質(zhì)定理法，這種方法是證明線面垂直、作線面角、二面角的一種核心方法【訓(xùn)練2】 如圖所示，在長方體abcda1b1c1d1中，abad1，aa12，m是棱cc1的中點(diǎn)證明：平面abm平面a1b1m.證明a1b1平面b1c1cb，bm平面b1c1cb，a1b1bm，由已知易得b1m，又bm，b1b2，b1m2b

9、m2b1b2，b1mbm.又a1b1b1mb1，bm平面a1b1m.而bm平面abm，平面abm平面a1b1m.考向三平行與垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用【例3】如圖，在四面體abcd中，cbcd，adbd，點(diǎn)e、f分別是ab、bd的中點(diǎn)求證：(1)直線ef平面acd；(2)平面efc平面bcd.審題視點(diǎn) 第(1)問需證明efad；第(2)問需證明bd平面efc.證明(1)在abd中，因?yàn)閑、f分別是ab、bd的中點(diǎn)，所以efad.又ad平面acd，ef平面acd，所以直線ef平面acd. (2)在abd中，因?yàn)閍dbd，efad，所以efbd.在bcd中，因?yàn)閏dcb，f為bd的中點(diǎn)，所以cfbd.因?yàn)?/p>

10、ef平面efc，cf平面efc，ef與cf交于點(diǎn)f，所以bd平面efc.又因?yàn)閎d平面bcd，所以平面efc平面bcd. 解答立體幾何綜合題時(shí)，要學(xué)會(huì)識圖、用圖與作圖圖在解題中起著非常重要的作用，空間平行、垂直關(guān)系的證明，都與幾何體的結(jié)構(gòu)特征相結(jié)合，準(zhǔn)確識圖，靈活利用幾何體的結(jié)構(gòu)特征找出平面圖形中的線線的平行與垂直關(guān)系是證明的關(guān)鍵【訓(xùn)練3】 如圖，正方形abcd和四邊形acef所在的平面互相垂直，efac，ab，ceef1.(1)求證：af平面bde；(2)求證：cf平面bde. 證明(1)設(shè)ac與bd交于點(diǎn)g.因?yàn)閑fag，且ef1，agac1.所以四邊形agef為平行四邊形，所以afeg.

11、因?yàn)閑g平面bde，af平面bde，所以af平面bde.(2)如圖，連接fg.因?yàn)閑fcg，efcg1，且ce1，所以四邊形cefg為菱形所以cfeg.因?yàn)樗倪呅蝍bcd為正方形，所以bdac.又因?yàn)槠矫鎍cef平面abcd，且平面acef平面abcdac，所以bd平面acef. 所以cfbd.又bdegg.所以cf平面bde.考向四線面角【例4】(2012·無錫模擬)如圖，四棱錐pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，點(diǎn)e在棱pb上(1)求證：平面aec平面pdb；(2)當(dāng)pdab，且e為pb的中點(diǎn)時(shí)，求ae與平面pdb所成的角的大小審題視點(diǎn) (1)轉(zhuǎn)化為證明ac平面pdb；(

12、2)ae與平面pdb所成的角即為ae與它在平面pdb上的射影所成的角(1)證明四邊形abcd是正方形，acbd.pd底面abcd，pdac.又pdbdd，ac平面pdb.又ac平面aec，平面aec平面pdb.(2)解設(shè)acbdo，連接oe.由(1)知，ac平面pdb于點(diǎn)o，aeo為ae與平面pdb所成的角點(diǎn)o、e分別為db、pb的中點(diǎn)，oepd，且oepd.又pd底面abcd，oe底面abcd，oeao.在rtaoe中，oepdabao，aeo45°.即ae與平面pdb所成的角為45°. 求直線與平面所成的角，一般分為兩大步：(1)找直線與平面所成的角，即通過找直線在平面

13、上的射影來完成；(2)計(jì)算，要把直線與平面所成的角轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中求解【訓(xùn)練4】 (2012·麗水質(zhì)檢)如圖，已知dc平面abc，ebdc，acbceb2dc2，acb120°，p，q分別為ae，ab的中點(diǎn)(1)證明：pq平面acd；(2)求ad與平面abe所成角的正弦值(1)證明因?yàn)閜，q分別為ae，ab的中點(diǎn)，所以pqeb.又dceb，因此pqdc，pq平面acd，dc平面acd，從而pq平面acd.(2)解如圖，連接cq，dp.因?yàn)閝為ab的中點(diǎn)，且acbc，所以cqab.因?yàn)閐c平面abc，ebdc，所以eb平面abc.因此cqeb，又abebb，故cq平面abe

14、.由(1)有pqdc，又pqebdc，所以四邊形cqpd為平行四邊形，故dpcq，因此dp平面abe，dap為ad和平面abe所成的角，在rtdpa中，ad，dp1，sindap.因此ad和平面abe所成角的正弦值為.閱卷報(bào)告11證明過程推理不嚴(yán)密而丟分【問題診斷】 高考對空間線面關(guān)系的考查每年必有一道解答題，難度為中低檔題，大多數(shù)考生會(huì)做而得不到全分，往往因?yàn)橥评聿粐?yán)密，跳步作答所致.【防范措施】 解題過程要表達(dá)準(zhǔn)確、格式要符合要求.每步推理要有根有據(jù).計(jì)算題要有明確的計(jì)算過程，不可跨度太大，以免漏掉得分點(diǎn).引入數(shù)據(jù)要明確、要寫明已知、設(shè)等字樣.要養(yǎng)成良好的書寫習(xí)慣.【示例】(2011

15、83;江蘇)如圖，在四棱錐pabcd中，平面pad平面abcd，abad，bad60°，e，f分別是ap，ad的中點(diǎn)求證：(1)直線ef平面pcd；(2)平面bef平面pad.錯(cuò)因在運(yùn)用判定定理時(shí)漏掉關(guān)鍵條件致使推理不嚴(yán)謹(jǐn)致誤實(shí)錄(1)在pad中，因?yàn)閑，f分別為ap、ad的中點(diǎn)，所以efpd，所以ef平面pcd.(2)abd為正三角形，bfad，又平面pad平面abcdbf平面pad，平面bef平面pad.正解(1)在pad中，因?yàn)閑，f分別為ap，ad的中點(diǎn)，所以efpd.又因?yàn)閑f平面pcd，pd平面pcd，所以直線ef平面pcd.(2)如圖，連結(jié)bd.因?yàn)閍bad，bad60°，所以abd為正三角形因?yàn)閒是ad的中點(diǎn)，所以bfad.因?yàn)槠矫鎝ad平面abcd，bf平面abcd，平面pad平面abcdad，所以bf平面pad.又因?yàn)閎f平面bef，所以平面bef平面pad.【試一試】 如圖所示，在四棱錐pabcd中，底面abcd是邊長為a的正方形，e、