工程數(shù)學(xué)場(chǎng)論課件

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 與時(shí)間無(wú)關(guān)的場(chǎng)稱為穩(wěn)定場(chǎng)，否則為不穩(wěn)定場(chǎng).1. 場(chǎng)場(chǎng):如果在空間或其部分空間的每一點(diǎn)，都對(duì)應(yīng)著某個(gè)物理量的一個(gè)確定的值，該物理量的一個(gè)場(chǎng)場(chǎng). 如果該物理量是數(shù)量，稱它為數(shù)量場(chǎng)；如果該物理量是矢量，稱它為矢量場(chǎng)矢量場(chǎng)或向量場(chǎng)向量場(chǎng).分別用( , , )uu x y z( , , )aa x y z表示.及則稱在該空間定義了關(guān)于目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在數(shù)量場(chǎng) 中，( , , )uu x y z稱曲面 為該( , , )u x y zc數(shù)量場(chǎng)的等值面. 在平面場(chǎng) 中，稱曲線( , )uu x y為它的等值線,如等溫線、等高線等.( , )u x yc一個(gè)等值面通

2、過(guò)；等值面族充滿了數(shù)量場(chǎng)所在的空間，而且互不相交.由于數(shù)量場(chǎng)是單值的，所以場(chǎng)中的每一點(diǎn)有且僅有等值面等值線目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè) c 為矢量場(chǎng) 中的曲線，如果c( , , )aa x y z矢量線:上每一點(diǎn)對(duì)應(yīng)的矢量 都與 c 相切,則稱之為矢量線.azxyo( , , )m x y zrmaa設(shè) 為曲線上一點(diǎn)，( , , )m x y zaromxiyjzk d rdxidyjdzkd ra因?yàn)?, 所以矢量線滿足xyzdxdydzaaa目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 工程數(shù)學(xué)工程數(shù)學(xué)-矢量分析與場(chǎng)論矢量分析與場(chǎng)論解：解：矢量線所滿足的微分方程為 ydzzdyyzdx2)(ydzzd

3、y122czy由得又由合比定理 yzzydyzdx)()(2求矢量場(chǎng)2()azyizjyk的矢量線方程.(1,2,1)過(guò)點(diǎn)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )()(zydzydx22)(2czyx22122)(2czyxczy可得有(1,2,1)將點(diǎn) 代入得123cc所以所求矢量線方程為：22232()3yzxyz目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義1： 1.方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)設(shè)0m是數(shù)量場(chǎng)()uu m中的一點(diǎn)，0000()()limlimmmmmu mu mum m存在， 則稱此極限為 在點(diǎn)()u m0m處沿 l 方向的方向?qū)?shù)， 記作0mullm0m若沿方向 l目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 則函數(shù)

4、在該點(diǎn)沿任意方向沿任意方向 l 的方向?qū)?shù)存在 ,coscoscosuuuulxyz.,的方向角為其中l(wèi)證明證明:且有得若函數(shù)( , )uu x y z在點(diǎn)0000(,)mxyz處可微，( )uuuuxyzoxyz (coscoscos )( )uuuoxyz故0limcoscoscosuuuuulxyz在點(diǎn) 可微 ,( , , )u x y z0m由函數(shù)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)0m是數(shù)量場(chǎng)()uu m中的一點(diǎn)，0000()()limlimmmmmu mu musm m存在， 則稱此極限為 在點(diǎn)()u m0m處沿曲線c(正向)的記作0musl若沿曲線c 之正向c方向?qū)?shù)，曲線c光滑，u

5、usl( , )uu x y z若在點(diǎn)( , )m x y z處函數(shù) 可微、l 為 c 在 處 的切線方向（正向），m則0mm目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2,3,3)m20zxy在點(diǎn)是曲面n設(shè)處指向下側(cè)的法向量，求函數(shù)uxyz在點(diǎn)m處沿 的方向?qū)?shù) .n解解: 方向余弦為3cos,172cos,172cos17而( 3 , 2 , 2) (,2)myx法向量為(3 ,2 ,2)n 所以9,mmuyzx6,muy6muz所以(coscoscos )mmuuuunxyz2717目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 朝 x 增大方向的方向?qū)?shù).解解:將已知曲線用矢量形式表示為它在點(diǎn) p 的切向量為,17

6、1cos1760 xoy2prxiy j1716xy174)23(2yx)3,2(4ij174cos1在點(diǎn)p(2, 3)沿曲線223yyxz12 xy求函數(shù)mmuusl(2)pprix j2(1)xixj目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 記作 gradu,即定義：定義： 稱向量uuugijkxyz為數(shù)量場(chǎng) u(m) 在( , ),uu x y z設(shè)有矢量場(chǎng)在點(diǎn)( , )m x y z處,點(diǎn) m 處的梯度,uuuijkxyzgrad u 引入哈密頓算子：ijkxyz grad uu 有目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方向：u 變化率最大的方向 模 : u 的最大變化率之值grad:u1)0gradgr

7、adluu lul2)3)gradmu為等值面( , )u x y zc在點(diǎn) m 處的法向量，u(m) 增大的一方.gradnuucm指向數(shù)量場(chǎng)注：注：稱為由數(shù)量場(chǎng)u產(chǎn)生的梯度場(chǎng).grad u矢量場(chǎng)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1)0c(2)()cuc u(3)()uvuv (4)()uvu vv u (6)( )( )f ufuu2(5)( )uv uu vvv 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ,)(可導(dǎo)設(shè)rf),(222zyxpzyxr為點(diǎn)其中證證:xrf)()(rf yrf)()( gradrf)(1)(kzjyixrrfrrrf1)( rzrfzrf)()(0)(rrfjyrf)(kz

8、rf)(xrrf)(222zyxxpxozy,)(ryrf ixrf)(試證rxrf)( .)()(radg0rrfrf處矢徑 r 的模 ,r目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 作出數(shù)量場(chǎng)uxy所產(chǎn)生的梯度場(chǎng)的矢量線.解解:graduyix j數(shù)量場(chǎng)uxy所產(chǎn)生其矢量線滿足微分方程 dxdyyx所以矢量線方程為：22xyc的梯度場(chǎng)為xyo目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 s定義：定義： 1.通量通量簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線:沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線；沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲線；簡(jiǎn)單曲面簡(jiǎn)單曲面:沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲面；沒(méi)有重點(diǎn)的連續(xù)曲面；設(shè)有矢量場(chǎng) ，()a m中有向曲面s某一側(cè)的曲面積分sa ds 向積分所沿一側(cè)叫做矢量場(chǎng)a穿

9、過(guò)曲面s的通量.沿其目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 s設(shè)( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k又ddd dd dssa dspyzqzxr xy ddd dd ddsyzizxjr xyk所以通量為 當(dāng) 0 時(shí),當(dāng) 0 時(shí),當(dāng) = 0 時(shí), 不能判定s內(nèi)有無(wú)源.表明s 內(nèi)有正源源; 表明s 內(nèi)有負(fù)源 ;通量的物理意義通量的物理意義目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:設(shè)由矢徑rx iy jz k構(gòu)成的矢量場(chǎng)中， 有一由圓錐面222xyz及平面(0)zhh所圍成的封閉曲面s, 試求 從s內(nèi)r穿出s的通量.zoyxhrdsrs 3d ddxy

10、z3hddd dd dsxyzyxzzxy由奧-高公式目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義：定義：limlimsmma dsvv存在， 則稱此極限為 在點(diǎn)()a mm處的散度， 記作div . a若設(shè)有矢量場(chǎng) ，()a mm0diva表明該點(diǎn)處有正源, 0diva表明該點(diǎn)處有負(fù)源, 0diva表明該點(diǎn)處無(wú)源, 散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.0diva若向量場(chǎng) a 處處有 , 則稱 a 為無(wú)源場(chǎng). 說(shuō)明說(shuō)明: 散度是通量對(duì)體積的變化率, 且目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在任一點(diǎn)m(x, y, z)的散度為在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x

11、y z jr x y z kdivpqraxyza 證明：證明：由奧-高公式dddd dd dssaspyzqzxr xy ()dpqrvxyz目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又由中值定理得()dpqrvxyz*mpqrvxyz所以*limmmpqrxyzdivlimmavpqrxyz其中 為 中的某一點(diǎn),*m目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 奧-高公式的矢量形式ddivdsasa v推論推論2：d0sas若在封閉曲面 s 內(nèi)處處有 ，div0a 則推論推論3：或這些點(diǎn)的任一封閉曲面的通量都相等.若在矢量場(chǎng) 內(nèi)某些點(diǎn)上有 ，div0a adiv a不存在， 而在其他點(diǎn)上 ，div0a 則穿出包圍目錄

12、 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 求矢量場(chǎng)kxzxyzjyzyiyzxa)3()()23(2232所產(chǎn)生的散度場(chǎng) , 并求此散度場(chǎng)通過(guò)點(diǎn) m (2,-1,1)的梯度。 adivzryqxp x6 223zy xzxy6 令audiv grad u kxzjxyizy)62()6()66(zukyujxui grad 414muijk 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1)0c(2)()caca(3)()abab (4)()uauau a 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 已知,xyzerxiy jzk 求divr 3graddiv. r由基本公式得divdivgradrrr由于div()xi

13、y jzkgradxyze()xyzeyzixz jxyk故div33xyzxyzreexyz3(1)xyzxyz e目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義：定義： 1.環(huán)量環(huán)量設(shè)有矢量場(chǎng) ，()a m封閉有向曲線 lla d l 按積分所取方向沿曲線 l 的環(huán)量.叫做矢量場(chǎng)a沿其中( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z klla d lpdxqdyrdz d ldxidy jdzk通量al表示表示l的曲線積分目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:設(shè)有平面矢量場(chǎng),ay ix j l 為場(chǎng)中的星形線3cos,xr3sin,yr求a沿l正向的環(huán)量.

14、la d l lydxxdy233330sin(cos)cos(sin)rd rrd royxr2242420(3sincos3 cossin)rrd222203sincosrd 234r目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義：定義：存在，中的設(shè) m 為矢量場(chǎng) ()a mlimlimlsmsma dlss 記作 ,n一點(diǎn)， 若沿方向 n則稱此極限為 在點(diǎn)am處沿方向 的環(huán)量面密度，n即limlnsma dls snml目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 在直角坐標(biāo)系中，矢量場(chǎng)( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k證明：證明： 由斯托克斯公式dl

15、lalpdxqdyrdz 在任一點(diǎn)m(x, y, z)的處沿方向 的環(huán)量面密度為n()cos()cos()cosnyzzxxyrqprqp,其中 為n的方向角.()()()yzzxxysrq dydzpr dzdxqp dxdy()cos()cos()cos yzzxxysrqprqpds目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 又由中值定理得所以limnsms 其中 為 中的某一點(diǎn),*m ()cos()cosyzzxrqpr()cos()cos()cosyzzxxyrqprqp*()cos xymqpscoscoscosxyzpqr目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 求矢量場(chǎng)32422axz ix y

16、z jyz k在點(diǎn) m (2,-1,1)沿方向623nijk環(huán)量面密度.n的方向余弦為623cos,cos,cos,777所以在點(diǎn) m沿n環(huán)量面密度為coscoscosnmxyzpqr623182387777 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義：定義： 稱向量設(shè)矢量場(chǎng)在點(diǎn)( , )m x y z處,()()()xzzxxyrrq iprjqp k( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k為矢量場(chǎng)在點(diǎn) m 處的旋度,a記作 ，rot a即rotijkaxyzpqra 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 方向： 模 :rot:a1)rotrotnn

17、a na2)a的最大環(huán)量面密度的方向a的最大環(huán)量面密度之值斯托克斯公式的矢量形式drotlsala ds目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ozxyl設(shè)某剛體繞定軸 l 轉(zhuǎn)動(dòng),m為剛體上任一點(diǎn), 建立坐標(biāo)系如圖,m則),(zyxr 角速度為 ,r), 0, 0(點(diǎn) m 的線速度為rvvrotzyxkji00)0,(xy0 xykjizyx)2, 0, 0(2(此即“旋度”一詞的來(lái)源)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (1)()caca (5)()0u (2)()abab (3)()uauaua (4)()abbaab(6)0a目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ppzpxyzqqqd axyzrrrxyz()

18、yzrq idiv a ()zxprj()xyqp kpqrxyzrot a 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解: 已知233,3,ux yax yz jxyk 求rot a由于2grad63uxyix j又及rot.ua23320003360d ax yzx zx yyxy所以322rot(6)33axyx y iy jx yzk故rotrotgraduauaua22323(9)95x yxxiy jx zk目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 線單連域線單連域:如果空間區(qū)域g內(nèi)的任何一條簡(jiǎn)單閉曲線 l，都存在一個(gè)以l為邊界且全部位于 g的曲面s，否則稱g為線復(fù)連域.則稱區(qū)域g為線單連域，面單連域面

19、單連域: 如果空間區(qū)域g內(nèi)的任何一個(gè)簡(jiǎn)單閉曲面s所包圍的點(diǎn)皆在g內(nèi)(即s 沒(méi)有洞), 否則稱g為面復(fù)連域.則稱區(qū)域g為面單連域，目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 定義定義:若存在單值函數(shù) muu使得使得gradau則稱a為有勢(shì)場(chǎng).uv稱為該矢量場(chǎng)的勢(shì)函數(shù), 即gradav (),a m設(shè)矢量場(chǎng)勢(shì)函數(shù)的全體可表示為()v mc在線單連域內(nèi)，a為有勢(shì)場(chǎng)rot0a 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 設(shè)( , , )( , , )( , , )ap x y z iq x y z jr x y z k為有勢(shì)場(chǎng),則存在單值函數(shù) muu使得grad ,au那么rotrot(grad )0.au由于場(chǎng)所在區(qū)域?yàn)榫€單連

20、域，la dl0m ma dl所以rot0,a l 為區(qū)域內(nèi)任一閉曲線；與路徑無(wú)關(guān)( )；“ ”“ ”slrot0,sa dsxzyo( , , )m x y z0000(,)mxyz場(chǎng)保守目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 000( , , )(,)( , , )x y zxyzu x y zpdxqdyrdzdupdxqdyrdz存在函數(shù) u,uuupqrxyzgrad,ua( , , )m x y zxzyo0000(,)mxyz即a為有勢(shì)場(chǎng).注：注：1) 場(chǎng)有勢(shì)場(chǎng)保守場(chǎng)無(wú)旋2) 勢(shì)函數(shù)v 000( ,)xxp x yzdx00( , ,)yyq x y zdy0( , , )zzr x y

21、z dzc目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:則存在函數(shù) u(m), 使因 是保守場(chǎng)，a()( )( )baaba dlu mu bu aaba dl則曲線積分 與路徑無(wú)關(guān)，于是babaa dla dl00bamma dla dl其中 為場(chǎng)中任一點(diǎn).0m00mbama dla dl若 是保守場(chǎng)，a令0(),mmu ma dl則()( )( ).baaba dlu mu bu a注：注：()u m稱為a dlpdxqdyrdz的原函數(shù).目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:3232223axyz ix z jx yz k證明矢量場(chǎng)為保守場(chǎng)，并計(jì)算曲線積分,la dl其中l(wèi) 是從 a(1,4,1)

22、到 b(2,3,1)32322rot23ijkzaxyzxyzx zx yz0a為保守場(chǎng).故2222000003xyzudxdyx yz dzx yz000(,)(0,0,0),xyz取于是la dl22(2,3,1)(1,4,1)1248bax yz的任一路徑.22(66)xyzxyzj2222(33)x zx zi33(22)xzxzk目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 解解:是有勢(shì)場(chǎng)，并求其勢(shì)函數(shù) v.kyzxjyzxixyza22222cos2證明矢量場(chǎng)由 的雅可比矩陣a得2222rot(22)(44)(22)axzxzixyzxyz jxzxzk0a為有勢(shì)場(chǎng),故2222222242sin2

23、422yzxzxyzd axzyx zxyzx zx y那么存在函數(shù)u使得grad ,au目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 000(,)(0,0,0),xyz取20000cos2xyzudxydyx yzdz22sin yx yz于是得勢(shì)函數(shù)22sinvuyx yz 勢(shì)函數(shù)的全體為22sinvyx yzc 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22222,cos ,2xyzuxyzux zy ux yz那么有第一個(gè)方程對(duì)x積分，得22( , )ux yzy z上式對(duì)y 求導(dǎo)，得22( , )yyux zy z所以有( , )cos ,yy zy于是( , )sin( ),y zyz也就有22sin( )ux yzyz22cosx zy存在函數(shù)u使得grad ,au目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 22( )zux yzz22222,cos ,2xyzuxyzux zy ux yz22x yz即有( )0,zz于是1( ) zc所以有221sinux yzyc從而勢(shì)函數(shù)22sinvx yzyc 上式對(duì) z 求導(dǎo)，得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 div0,a 若21,ss12ssa dsa ds定義：定義：