灰色系統(tǒng)理論資料1選講

1、灰色系統(tǒng)理論（選講）內(nèi)容：灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展動態(tài)，灰色系統(tǒng)的基本概念，灰色系統(tǒng)與模糊數(shù)學(xué)、黑箱方法的區(qū)別，灰色系gm（1，n）模型，灰色系統(tǒng)模型的檢驗(yàn)，應(yīng)用舉例。1.1灰色系統(tǒng)理論的產(chǎn)生和發(fā)展動態(tài)1982鄧聚龍發(fā)表第一篇中文論文灰色控制系統(tǒng)標(biāo)志著灰色系統(tǒng)這一學(xué)科誕生。1985灰色系統(tǒng)研究會成立，灰色系統(tǒng)相關(guān)研究發(fā)展迅速。1989海洋出版社出版英文版灰色系統(tǒng)論文集，同年，英文版國際刊物灰色系統(tǒng)雜志正式創(chuàng)刊。目前，國際、國內(nèi)200多種期刊發(fā)表灰色系統(tǒng)論文，許多國際會議把灰色系統(tǒng)列為討論專題。國際著名檢索已檢索我國學(xué)者的灰色系統(tǒng)論著500多次?；疑到y(tǒng)理論已應(yīng)用范圍已拓展到工業(yè)、農(nóng)業(yè)、社會、經(jīng)

2、濟(jì)、能源、地質(zhì)、石油等眾多科學(xué)領(lǐng)域，成功地解決了生產(chǎn)、生活和科學(xué)研究中的大量實(shí)際問題，取得了顯著成果。1.2灰色系統(tǒng)的基本原理1.2.1灰色系統(tǒng)的基本概念我們將信息完全明確的系統(tǒng)稱為白色系統(tǒng)，信息未知的系統(tǒng)稱為黑色系統(tǒng)，部分信息明確、部分信息不明確的系統(tǒng)稱為灰色系統(tǒng)。系統(tǒng)信息不完全的情況有以下四種：1.元素信息不完全2.結(jié)構(gòu)信息不完全3.邊界信息不完全4.運(yùn)行行為信息不完全1.2.2灰色系統(tǒng)與模糊數(shù)學(xué)、黑箱方法的區(qū)別主要在于對系統(tǒng)內(nèi)涵與外延處理態(tài)度不同；研究對象內(nèi)涵與外延的性質(zhì)不同。灰色系統(tǒng)著重外延明確、內(nèi)涵不明確的對象，模糊數(shù)學(xué)著重外延不明確、內(nèi)涵明確的對象?！昂谙洹狈椒ㄖ叵到y(tǒng)外部行為數(shù)據(jù)

3、的處理方法，是因果關(guān)系的兩戶方法，使揚(yáng)外延而棄內(nèi)涵的處理方法，而灰色系統(tǒng)方法是外延內(nèi)涵均注重的方法。1.2.3灰色系統(tǒng)的基本原理公理1：差異信息原理?！安町悺笔切畔?，凡信息必有差異。公理2：解的非唯一性原理。信息不完全，不明確解是否唯一的。公理3：最少信息原理?；疑到y(tǒng)理論的特點(diǎn)是充分開發(fā)利用已有的“最少信息”。公理4：認(rèn)知根據(jù)原理。信息是認(rèn)知的根據(jù)。公理5：新信息優(yōu)先原理。新信息對認(rèn)知的作用大于老信息。公理6：灰性不滅原理?！靶畔⒉煌耆笔墙^對的。1.2.4灰色系統(tǒng)理論的主要內(nèi)容 灰色系統(tǒng)理論經(jīng)過10多年的發(fā)展，已基本建立起了一門新興學(xué)科的結(jié)構(gòu)體系，其主要內(nèi)容包括以“灰色朦朧集”為基礎(chǔ)的理論

4、體系、以晦澀關(guān)聯(lián)空間為依托的分析體系、以晦澀序列生成為基礎(chǔ)的方法體系，以灰色模型（g，m）為核心的模型體系。以系統(tǒng)分析、評估、建模、預(yù)測、決策、控制、優(yōu)化為主體的技術(shù)體系。灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇大致分為以下幾方面：1.2.5灰色系統(tǒng)的應(yīng)用范疇 （1）灰色關(guān)聯(lián)分析。（2）灰色預(yù)測：人口預(yù)測；初霜預(yù)測；災(zāi)變預(yù)測.等等。（3）灰色決策。（4）灰色預(yù)測控制。1.2 灰色關(guān)聯(lián)分析法灰色關(guān)聯(lián)分析是灰色系統(tǒng)理論的一個分支應(yīng)用灰色關(guān)聯(lián)分析方法對受多種因素影響的事物和現(xiàn)象從整體觀念出發(fā)進(jìn)行綜合評價(jià)是一個被廣為接受的方法 一、灰色關(guān)聯(lián)分析的建模過程和機(jī)理為利用灰色關(guān)聯(lián)分析進(jìn)行綜合評價(jià)的步驟是：1根據(jù)評價(jià)目的確定評價(jià)指

5、標(biāo)體系，收集評價(jià)數(shù)據(jù)設(shè)個數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣：其中為指標(biāo)的個數(shù)，2確定參考數(shù)據(jù)列 參考數(shù)據(jù)列應(yīng)該是一個理想的比較標(biāo)準(zhǔn)，可以以各指標(biāo)的最優(yōu)值 （或最劣值）構(gòu)成參考數(shù)據(jù)列，也可根據(jù)評價(jià)目的選擇其它參照值記作3對指標(biāo)數(shù)據(jù)進(jìn)行無量綱化 無量綱化后的數(shù)據(jù)序列形成如下矩陣：常用的無量綱化方法有均值化法（見（123）式）、初值化法（見（124）式）和變換等或采用內(nèi)插法使各指標(biāo)數(shù)據(jù)取值范圍（或數(shù)量級）相同例如，某地縣級醫(yī)院病床使用率最高為90%，最低為60%，我們可以將90%轉(zhuǎn)化10，60%轉(zhuǎn)化為1，其它可以通過內(nèi)插法確定其轉(zhuǎn)化值如80%轉(zhuǎn)化為多少？可進(jìn)行如下計(jì)算： 解之得，即80%轉(zhuǎn)化為74逐個計(jì)算每個被評

6、價(jià)對象指標(biāo)序列（比較序列）與參考序列對應(yīng)元素的絕對差值即 （ 為被評價(jià)對象的個數(shù)）5確定 與6計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù) 由（12-5）式，分別計(jì)算每個比較序列與參考序列對應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)系數(shù) 式中為分辨系數(shù)，在（0，1）內(nèi)取值，越小，關(guān)聯(lián)系數(shù)間的差異越大，區(qū)分能力越強(qiáng)通常取0.5當(dāng)用各指標(biāo)的最優(yōu)值 （或最劣值），構(gòu)成參考數(shù)據(jù)列計(jì)算關(guān)聯(lián)系數(shù)時，也可用改進(jìn)的更為簡便的計(jì)算方法： 改進(jìn)后的方法不僅可以省略第三步，使計(jì)算簡便，而且避免了無量綱化對指標(biāo)作用的某些負(fù)面影響7計(jì)算關(guān)聯(lián)序 對各評價(jià)對象（比較序列）分別計(jì)算其個指標(biāo)與參考序列對應(yīng)元素的關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值，以反映各評價(jià)對象與參考序列的關(guān)聯(lián)關(guān)系，并稱其為關(guān)聯(lián)序，記為：

7、8如果各指標(biāo)在綜合評價(jià)中所起的作用不同，可對關(guān)聯(lián)系數(shù)求加權(quán)平均值即 9依據(jù)各觀察對象的關(guān)聯(lián)序，得出綜合評價(jià)結(jié)果二、灰色關(guān)聯(lián)分析的應(yīng)用舉例利用灰色關(guān)聯(lián)分析對6位教師工作狀況進(jìn)行綜合評價(jià)1評價(jià)指標(biāo)包括：專業(yè)素質(zhì)、外語水平、教學(xué)工作量、科研成果、論文、著作與出勤2對原始數(shù)據(jù)經(jīng)處理后得到以下數(shù)值，見表（12 3 ）表12 3 教師考評數(shù)據(jù)編號專業(yè)外語教學(xué)量科研論文著作出勤1898752927875738397966474688843658669838689576483確定參考數(shù)據(jù)列：4計(jì)算，見表（124 ）表12 4 絕對差值編號專業(yè)外語教學(xué)量科研論文著作出勤110124702212426130203

8、3524311156351330161610423515 6依據(jù)（125）式，取計(jì)算，得 同理得出其它各值，見表（125 ）表（125） 計(jì)算結(jié)果編號i10.7781.0000.7780.6360.4670.3331.00020.6360.7780.6360.4670.6360.3680.77831.0000.6361.0000.5380.5380.4120.63640.5380.7780.7780.7780.4120.3680.53850.7780.5380.5381.0000.7780.3680.77860.7781.0000.4670.6360.5380.4120.7787分別計(jì)算每個人

9、各指標(biāo)關(guān)聯(lián)系數(shù)的均值（關(guān)聯(lián)序）：同理 ， 8如果不考慮各指標(biāo)權(quán)重（認(rèn)為各指標(biāo)同等重要），六個被評價(jià)對象由好到劣依次為1號（），5號（），3號（），6號（），2號（），4號（）1.3灰色系統(tǒng)預(yù)測模型灰色預(yù)測方法的特點(diǎn)表現(xiàn)在：首先是它把離散數(shù)據(jù)視為連續(xù)變量在其變化過程中所取的離散值，從而可利用微分方程式處理數(shù)據(jù)；而不直接使用原始數(shù)據(jù)而是由它產(chǎn)生累加生成數(shù)，對生成數(shù)列使用微分方程模型。這樣，可以抵消大部分隨機(jī)誤差，顯示出規(guī)律性。1.3.1灰色系統(tǒng)理論的建模思想下面舉一個例子，說明灰色理論的建模思想。考慮4個數(shù)據(jù)，記為，其數(shù)據(jù)見下表：序號1234符號數(shù)據(jù)121.54將上表數(shù)據(jù)作圖得上圖表明原始數(shù)據(jù)沒有

10、明顯的規(guī)律性，其發(fā)展態(tài)勢是擺動的。如果將原始數(shù)據(jù)作累加生成，記第k個累加生成為,并且得到數(shù)據(jù)如下表所示序號1234符號數(shù)據(jù)134.57.5上圖表明生成數(shù)列x是單調(diào)遞增數(shù)列。6.3.2灰色系統(tǒng)預(yù)測模型建立1. 數(shù)列預(yù)測gm（1，1）模型灰色系統(tǒng)理論的微分方程成為gm模型，g表示gray（灰色），m表示model（模型），gm（1，1）表示1階的、1個變量的微分方程模型。gm（1，1）建模過程和機(jī)理如下：記原始時間序列為：記原始數(shù)據(jù)序列為非負(fù)序列即其相應(yīng)的生成數(shù)據(jù)序列為其中，為的緊鄰均值生成序列其中，稱為gm(1,1)模型，其中，b是需要通過建模求解的參數(shù)，若為參數(shù)列，且， 則求微分方程的最小二乘

11、估計(jì)系數(shù)列，滿足 稱為灰微分方程的白化方程，也叫影子方程。如上所述，則有1.白化方程的解或稱時間響應(yīng)函數(shù)為2.gm(1,1)灰微分方程的時間響應(yīng)序列為3.取，則4.還原值6.4灰色系統(tǒng)模型的檢驗(yàn)定義1.設(shè)原始序列相應(yīng)的模型模擬序列為殘差序列 相對誤差序列1.對于kn,(其中，k=1n)稱為k點(diǎn)模擬相對誤差，稱為濾波相對誤差，稱為平均模擬相對誤差；2.稱為平均相對精度，為濾波精度；3.給定，當(dāng)，且成立時，稱模型為殘差合格模型。定義2 設(shè)為原始序列，為相應(yīng)的模擬誤差序列，為與的絕對關(guān)聯(lián)度，若對于給定的，則稱模型為關(guān)聯(lián)合格模型。定義3設(shè)為原始序列，為相應(yīng)的模擬序列，為殘差序列。為的均值，為的方差，為

12、殘差均值，為殘差方差，1.稱為均方差比值；對于給定的，當(dāng)時，稱模型為均方差比合格模型。2.稱為小誤差概率，對于給定的,當(dāng)時，稱模型為小誤差概率合格模型。精度檢驗(yàn)等級參照表指標(biāo)臨界精度等級相對誤差關(guān)聯(lián)度均方差比值小誤差概率一級0.010.900.350.95二級0.050.800.500.80三級0.100.700.650.70四級0.200.600.800.60一般情況下，最常用的是相對誤差檢驗(yàn)指標(biāo)。6.5應(yīng)用舉例例6-1設(shè)原始序列建立gm(1,1)模型，并進(jìn)行檢驗(yàn)。求的值解：1）對作1-ago，得（d為的一次累加生成算子，記為1-ago，a cumulated generating oper

13、ator）2)對作緊鄰均值生成，令于是， 3）確定模型及時間響應(yīng)式 4)求的模擬值 =(2.8740,6.1058,9.4599,12.9410,16.5538)5)還原出的模擬值，由得 =（2.8740，3.2318，3.3541，3.4811，3.6128）6）誤差檢驗(yàn)序號號實(shí)際數(shù)據(jù)模擬數(shù)據(jù)殘差相對誤差23.2783.23180.04621.41%33.3373.3541-0.01710.51%43.3903.4811-0.09112.69%53.6793.61280.06621.80%殘差平方和=0.0151085平均相對誤差 =1.0625%計(jì)算x與的灰色關(guān)聯(lián)度=1.7855=1.81

14、44=0.04535=0.99020.90精度為一級，可以用預(yù)測。例6-2某大型企業(yè)1997-2000年四年產(chǎn)值資料年份199719981992000產(chǎn)值（萬元）27260295473241135388試建立gm(1,1)模型的白化方程及時間響應(yīng)式，并對gm(1,1)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，預(yù)測該企業(yè)2001-2005年產(chǎn)值。解：設(shè)時間序列為 =（27260，29547，62411，35388） 2)對作緊鄰均值生成，令于是，對參數(shù)列作最小二乘估計(jì)，得設(shè)由于可得gm(1,1)模型的白化方程其時間響應(yīng)式為由此得模擬序列 =（27260，29553，32336，35381）檢驗(yàn)：殘差序列為 =（0，-6，7

15、5，7） 平均相對誤差模擬誤差 ，精度一級計(jì)算與的灰色關(guān)聯(lián)度=11502=11429.5 =72.5精度為一級計(jì)算均方差比 所以，均方差比值為一級計(jì)算小誤差概率所以，小誤差概率為一級，故可用進(jìn)行預(yù)測，2001-2005年預(yù)測值為 =（38713，42359，46318，50712，55488）例6-3預(yù)測實(shí)例，已知某企業(yè)2001-2005年的工業(yè)總產(chǎn)值年份20012002200320042005總產(chǎn)值1.671.511.032.141.99建立gm(1,1)模型的白化方程，預(yù)測2006-2015工業(yè)總產(chǎn)值。解： 對作緊鄰均值生成，令于是， 方程為及時間響應(yīng)式 求的模擬值 =(1.67,2.96

16、2,4.474,6.202,8.311)還原出的模擬值，由得 =（1.67，1.292，1.512，1.728，2.109）計(jì)算x與的灰色關(guān)聯(lián)度=0.2585 =0.0885 =0.940.90精度為一級，關(guān)聯(lián)度為一級，可以用進(jìn)行預(yù)測。 例6-4建立gm(1，1)預(yù)測模型所進(jìn)行的災(zāi)變?nèi)掌陬A(yù)測。譬如，某地區(qū)連續(xù)17年的降水量數(shù)據(jù)如表10-4所示。若規(guī)定降水量320mm的年份為旱災(zāi)年份，試用災(zāi)變預(yù)測法預(yù)測下次旱災(zāi)發(fā)生的年份。表10-4  某地區(qū)年降水量(單位：mm) (1)首先作災(zāi)變映射，建立gm(1，1)模型。 作映射piq對災(zāi)變?nèi)掌谛蛄衟=p(1)，p(2)，p(

17、3)，p(4)，p(5)=3，8，10，14，17建立gm(1，1)模型為了書寫方便，不妨將p(i)記為p(i)(i=1，2，3，4，5)將p中的數(shù)據(jù)作一次累加處理：p(1)(1)=p(1)=3p(1)(2)=p(1)+p(2)=11p(1)(3)=p(1)+p(2)+p(3)=21p(1)(4)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)=35p(1)(5)=p(1)+p(2)+p(3)+p(4)+p(5)=52p(1)(t)可用下述微分方程擬合： 而系統(tǒng)辨識參數(shù)為 (12)式中：  因此(5)式就為： (13)式的時間響應(yīng)為：p(1)(i+1)

18、=27.677e-0.25361i-24.677  (14) (2)誤差分析：災(zāi)變?nèi)掌跀?shù)列的預(yù)測計(jì)算值與實(shí)際值的相對誤差計(jì)算如下：計(jì)算值      實(shí)際值       相對誤差p(2)=7.999 p(2)=8      q(2)=0.125p(3)=10.286       p(3)=10     q(3)=-2.86p(4)=13.268       p(4)=14