任意角的正弦、余弦、正切

1、任意角的三角函數(shù)課 型：新授課課 時：1課時教材分析本節(jié)課是三角函數(shù)這一章里非常重要的一節(jié)課，它是本章的基礎(chǔ)，主要是從 通過問題引導(dǎo)學(xué)生自主探究任意角的三角函數(shù)的生成過程，從而很好理解任意角 的三角函數(shù)的定義。三角函數(shù)是基本初等函數(shù)，它是描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學(xué)模 型，在數(shù)學(xué)和其他領(lǐng)域中具有重要的作用。我們要借助單位圓去理解任意角的三 角函數(shù)（正弦、余弦、正切）的定義，為后面的學(xué)習(xí)做好準備。在本模塊中，學(xué) 生將通過實例學(xué)習(xí)三角函數(shù)及其基本性質(zhì)，體會三角函數(shù)在解決具有變化規(guī)律的 問題中的作用。教學(xué)目標1、知識與技能：掌握任意角的三角函數(shù)的定義；已知角a終邊上一點，會求角a的各三角函 數(shù)值；記住三角

2、函數(shù)的定義域、值域，誘導(dǎo)公式（一）。2、過程與方法：理解并掌握任意角的三角函數(shù)的定義；樹立映射觀點，正確理解三角函數(shù)是 以實數(shù)為自變量的函數(shù)；通過對定義域，三角函數(shù)值的符號，誘導(dǎo)公式一的推導(dǎo), 提高學(xué)生分析、探究、解決問題的能力。3、情感態(tài)度與價值觀：使學(xué)生認識到事物之間是有聯(lián)系的，三角函數(shù)就是角度（自變量）與比值（函 數(shù)值）的一種聯(lián)系方式；學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化的思想，培養(yǎng)學(xué)生嚴謹治學(xué)、一絲不茍的科學(xué) 精神。教學(xué)重難點重點：三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的定義域及其確定方法；三角函數(shù)值在各個象 限內(nèi)的符號以及誘導(dǎo)公式一難點：任意角正弦、余弦、正切的定義教學(xué)過程一、復(fù)習(xí)引入思考：我們已經(jīng)學(xué)過銳角三角函數(shù)，知道它們

3、都是以銳角為自變量，以比值為函 數(shù)值的函數(shù)，你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？結(jié)論：在RtAABC中，設(shè)A對邊為/ B對邊為b, C對邊為c,銳角A的正弦，sinA = .cosA = -.tanA =余弦，正切依次為：ccb o銳角三角函數(shù)就是以銳角為自變量，以比值為函數(shù)值的函數(shù)。思考1:角推廣后，這樣的三角函數(shù)的定義不再適用，我們必須對三角函數(shù)重新 定義。你能用直角坐標系中角的終邊上點的坐標來表示銳角三角函數(shù)嗎？如圖，設(shè)銳角&的頂點與原點°重合，始邊與X軸的正半軸重合，那么它的終 邊在第一象限.在Q的終邊上任取一點PZ ,它與原點的距離 "

4、;Wo. 過P作X軸的垂線,垂足為M ,則線段OM的長度為件線段MP的長度為»MP bsin a =-則op r ；OM acos a =OP rfMP btcin ct =OM a思考2：對于確定的角a,這三個比值是否會隨點卩在&的終邊上的位置的改變 而改變呢？為什么？A(1,0) ； XP在儀的終邊上的位置的改變而改變大小.我們可以將點P取在使線段的長廠=1的特殊位置上,根據(jù)相似三角形的知識，對于確定的角© ,三個比值不以點這樣就可以得到用直角坐標系內(nèi)的點的坐標表示銳角三角函數(shù):sin"叫OPOMcos a = aOPMP btan a =OM a單位

5、圓:在直角坐標系中，我們稱以原點。為圓心，以單位長度為半徑的圓稱 為單位圓.上述P點就是Q的終邊與單位圓的交點，銳角Q的三角函數(shù)可以用單位圓 上點的坐標表示.二、新課講授1.任意角的三角函數(shù)的定義結(jié)合上述銳角Q的三角函數(shù)值的求法，我們應(yīng)如何求解任意角的三角函數(shù)值 呢？顯然,我們可以利用單位圓來定義任意角的三角函數(shù).如圖，設(shè)Q是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點P(兒刃，那么：(1) y叫做的正弦，記做血叫即sina = y；*叫做Q的正切，記做tana(2) %叫做Q的余弦，記做cos匕即cosa = x;tancr = (a 0)x思考3:在上述三角函數(shù)定義中，自變量是什么？對應(yīng)關(guān)系有什么特

6、點，函數(shù)值是 什么？a = _ + k兀(k eZ)說明：(i)當 2時，&的終邊在 >軸上，終邊上任意一點的橫坐標xtan 6Z =都等于°,所以無意義，除此情況外，對于確定的值上述三各值都是唯一確定的實數(shù).(2) 當儀是銳角時，此定義與初中定義相同；當。不是銳角時，也能夠找出 三角函數(shù)，因為，既然有角，就必然有終邊，終邊就必然與單位圓有交點A”)， 從而就必然能夠最終算出三角函數(shù)值.(3) 正弦，余弦，正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值 為函數(shù)值的函數(shù)，我們將這種函數(shù)統(tǒng)稱為三角函數(shù).2.利用定義求角的三角函數(shù)值5龍例1求亍的正弦，余弦和正切值.AA

7、OB = 解：在直角坐標系中，作ZAOB的終邊與單位圓的交點坐標為.5tty/35/r15兀氏sin =.cos =-,Un =一 73323235龍7兀思考：如果將亍變?yōu)镋呢？例2.已知角Q的終邊過點九（一玄7）,求角&的正弦，余弦和正切值.思考1：如何根據(jù)例題1解答思考2： 般的，設(shè)角"終邊上任意一點的坐標為（x,y）,它與原點的距離為r, yxysin a = ,cos a = ,tanz = 則廠廠,你能自己給出證明嗎？ 思考3：如果將題目中的坐標改為（-3/ -4a），題目乂應(yīng)該怎么做？3.三角函數(shù)的定義域和函數(shù)值符號探究：請根據(jù)上述任意角的三角函數(shù)定義，先將正弦，

8、余弦和正切函數(shù)在弧度制下的定義域填入下表，再將這三種函數(shù)的值再各象限的符號填入下表因3十十0X0函數(shù)y = sin ay = cosay = tan a定義域RR&|GH 彳+ SR GZ例3,求證：當下列不等式組成立時，角"為第三象限角，反之也對sin a V 0tan a >0證明：如果sinov °成立，那么角"的終邊可能位于第三或第四象限，也可能與丁軸的非負半軸重合;如果tano>°,所以角"的終邊可能位于第一或第三象限 所以，角"的終邊只能位于第三象限，時第三象限角反過來，請同學(xué)們自己證明變式訓(xùn)練判斷下列

9、各式的符號1. sin340°-cos265° 2. sin4-tan（-）；4求函數(shù)y=陌7+tan"的定義域4. 誘導(dǎo)公式一山三角函數(shù)的定義，可以知道，終邊相同的角的同一三角函數(shù)的值相等，山此得到一組公式sin(a + k 2/r) = sin acos(d + k 2”)= cos atan(a + k 2兀)=tan a利用公式一，可以把任意角的三角函數(shù)值，轉(zhuǎn)化為求0至IJ 2兀的三角函數(shù)值例4確定下列三角函數(shù)值的符號:()cos 250°(2)(3)tan(-672°)(4) tail3兀變式訓(xùn)練：求下列各式的值(1)cos + tan(15兀(2)sin 420° cos 750° + sin(-690°) cos(-660°)三. 課堂小結(jié)任意角的三角函數(shù)的定義；三角函數(shù)的