自動控制原理簡明教程5

1、第五章第五章 線性系統(tǒng)的頻域分析法線性系統(tǒng)的頻域分析法自動控制原理課程的任務與體系結構自動控制原理課程的任務與體系結構 頻域分析頻域分析是在正弦輸入信號作用下，考察系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸是在正弦輸入信號作用下，考察系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)輸出與輸入量之間的出與輸入量之間的振幅比振幅比和和相位差相位差的變化規(guī)律，其基本思想是的變化規(guī)律，其基本思想是把控制系統(tǒng)中的各個變量看成一些由不同頻率正弦信號組合而把控制系統(tǒng)中的各個變量看成一些由不同頻率正弦信號組合而成的信號，系統(tǒng)響應為對不同頻率信號的響應的總和。成的信號，系統(tǒng)響應為對不同頻率信號的響應的總和。 控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性可運用分析法和實驗控制系統(tǒng)及其元部件的頻率特性

2、可運用分析法和實驗方法獲得，并可用多種形式的曲線表示，故系統(tǒng)分析和控制方法獲得，并可用多種形式的曲線表示，故系統(tǒng)分析和控制器設計可應用器設計可應用圖解法圖解法進行，在工程上獲得了廣泛應用。進行，在工程上獲得了廣泛應用。 頻率特性物理意義明確。對于一階和二階系統(tǒng)，頻域頻率特性物理意義明確。對于一階和二階系統(tǒng)，頻域性能指標和時域性能指標有確定的對應關系；對于高階系統(tǒng)，性能指標和時域性能指標有確定的對應關系；對于高階系統(tǒng)，可建立可建立近似近似的對應關系。的對應關系。 控制系統(tǒng)的頻域設計可兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制兩方控制系統(tǒng)的頻域設計可兼顧動態(tài)響應和噪聲抑制兩方面的要求。面的要求。 頻域分析法不僅適用于

3、線性定常系統(tǒng)，還可推廣應用頻域分析法不僅適用于線性定常系統(tǒng)，還可推廣應用于某些非線性控制系統(tǒng)。于某些非線性控制系統(tǒng)。特點特點本章主要內容本章主要內容n頻率特性的基本概念和頻率特性曲線的繪制方法n頻率域穩(wěn)定判據n穩(wěn)定裕度n頻域性能指標的估算例：例：RC 電路如圖所示，電路如圖所示，ui(t)=Asinwt, 求求uo(t)=?建模建模RiouiuCoiuCRioouuuCR1ioUsUT CR( )111 T( )( )CR1T11 ToiUsG sU ssss0122222CCC1 T( )1 T1 TosAUsssssT2222A T( )sinT coscosT sin1T1TtoAu t

4、e T22T1TAte T)arctan-Tsin(T122 A0 tui tuo 22sin iiu ttUss.1.1 .1.1 頻率特性的基本概念頻率特性的基本概念RC tui tuoi解：解：暫態(tài)分量暫態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量22( )sin(-arctanT)1TsoAutt系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應稱系統(tǒng)對正弦輸入信號的穩(wěn)態(tài)響應稱頻率響應頻率響應。 A() 稱稱幅頻特性幅頻特性，()稱稱相頻特性相頻特性。 二者統(tǒng)稱為二者統(tǒng)稱為頻率特性頻率特性。幅頻特性幅頻特性相頻特性相頻特性=AA() sint+() 一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，一個穩(wěn)定的線性定常系統(tǒng)，輸入正弦信號時輸入正弦信號時，輸

5、，輸出穩(wěn)定后也是同頻正弦信號，并且輸出信號的振幅和出穩(wěn)定后也是同頻正弦信號，并且輸出信號的振幅和相位均為輸入信號頻率的函數。相位均為輸入信號頻率的函數。 R s C s sG sinc tAt sinr tAt0t AA 用用R(j)和和C(j)分別表示輸入信號分別表示輸入信號A sint和輸出信號和輸出信號cs(t)=A sin(t+)， 則輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號的復數比則輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號的復數比稱為該系統(tǒng)的頻率特性函數，稱為該系統(tǒng)的頻率特性函數， 簡稱簡稱頻率特性頻率特性， 記作記作()()()( )()jC jG jAeR j ()()( )( )G jG jPjQ幅頻特性

6、幅頻特性相頻特性相頻特性實頻特性實頻特性虛頻特性虛頻特性22( ) |()|( )( )AG jPQ1( )( )()( )QG jtgP ( )( )cos ( )PA ( )( )sin ( )QA 0Lm Q G j A Re P 頻率特性、傳遞函數、微分方程的關系頻率特性、傳遞函數、微分方程的關系系統(tǒng)系統(tǒng)頻率特性頻率特性傳遞函數傳遞函數微分方程微分方程sj dsdt djdt 頻率特性是傳遞函數的特例頻率特性是傳遞函數的特例，是定義在復平面虛軸上的傳，是定義在復平面虛軸上的傳遞函數，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數一樣反映遞函數，因此頻率特性與系統(tǒng)的微分方程、傳遞函數一樣反映了系

7、統(tǒng)的固有特性。了系統(tǒng)的固有特性。 例：例：()( )sjG jG s 10( )(3)G ss s 10()(3)G jjj sj .1.2 .1.2 頻率特性的圖示方法頻率特性的圖示方法 頻率特性頻率特性的圖形表示是描述系統(tǒng)的輸入頻率的圖形表示是描述系統(tǒng)的輸入頻率從從0到變化時頻率響應的幅值、變化時頻率響應的幅值、 相位與頻率之間關系的一組曲線。相位與頻率之間關系的一組曲線。常用頻率特性曲線及其坐標系常用頻率特性曲線及其坐標系對數幅相坐標對數幅相坐標尼柯爾斯圖尼柯爾斯圖對數幅相頻率特性曲線對數幅相頻率特性曲線3半對數坐標半對數坐標伯德圖伯德圖對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線2極坐標極坐標極坐

8、標圖極坐標圖奈奎斯特圖奈奎斯特圖幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線1坐標系坐標系圖形常用名圖形常用名名稱名稱序號序號 對于一個確定的頻率，必有一個幅頻特性的幅值和一個幅對于一個確定的頻率，必有一個幅頻特性的幅值和一個幅頻特性的相角與之對應，幅值與相角在復平面上代表一個向量。頻特性的相角與之對應，幅值與相角在復平面上代表一個向量。當頻率當頻率從零變化到無窮時，當頻率從零變化到無窮時，當頻率從零變化到無窮時，相應從零變化到無窮時，相應向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是向量的矢端就描繪出一條曲線。這條曲線就是幅相頻率特性曲幅相頻率特性曲線線，簡稱，簡稱幅相曲線幅相曲線，又稱，又稱Nyquist圖

9、圖。1. 幅相頻率特性曲線幅相頻率特性曲線例：例：RCRC電路的幅相頻率特性。電路的幅相頻率特性。CRuiuoTjRCjjGjUjUio1111)()()(G(j)=R()+jI() 代數式代數式 =|G(j)|G(j) 極坐標式極坐標式 =A()ej() 指數式指數式j1000112350221( )1ATG(j)=arctanT 又稱為又稱為伯德曲線伯德曲線（伯德圖伯德圖），由），由對數幅頻曲線對數幅頻曲線和和對數相對數相頻曲線頻曲線組成，是工程中廣泛應用的一組曲線。組成，是工程中廣泛應用的一組曲線。 對數幅頻曲線的橫坐標采用對數分度（對數幅頻曲線的橫坐標采用對數分度（=lg），單位為），

10、單位為弧度弧度/秒（秒（rad/s），縱坐標按），縱坐標按線性分度，單位是分貝（線性分度，單位是分貝（dB）；對數相頻曲線的縱坐標按）；對數相頻曲線的縱坐標按( () ) 線性分度，單位是度（線性分度，單位是度（）。由此構成的坐標系稱為）。由此構成的坐標系稱為半對數坐標系半對數坐標系。 ( )20lg()20lg( )LG jA2. 對數頻率特性曲線（對數頻率特性曲線（Bode圖）圖）和和lg的關系表的關系表 =0在對數分度的坐標系中的負無窮遠處，在對數分度的坐標系中的負無窮遠處， =0不可能不可能在橫坐標上表示出來，橫坐標上表示的最低頻率由所感興在橫坐標上表示出來，橫坐標上表示的最低頻率由所

11、感興趣的頻率范圍確定。趣的頻率范圍確定。 從表中可以看出，從表中可以看出，的數值每變化的數值每變化10倍，倍， 在對數坐標在對數坐標上上lg相應變化一個單位。相應變化一個單位。 頻率變化頻率變化10倍的一段對數刻度倍的一段對數刻度稱為稱為“十倍頻程十倍頻程”， 用用“dec”表示。表示。 軸為對數分度，軸為對數分度， 即采即采用相等的距離代表相等的用相等的距離代表相等的頻率倍增，在伯德圖中橫頻率倍增，在伯德圖中橫坐標按坐標按=lg均勻分度。均勻分度。00.11101002040-20 jGLlg20單位：dB00.1110100 9018090180十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍

12、頻程1461020401002十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程十倍頻程4P2P5P3P1P半對數坐標紙半對數坐標紙對數坐標圖的特點對數坐標圖的特點(1) 由于橫坐標采用對數刻度，將低頻段相對展寬了由于橫坐標采用對數刻度，將低頻段相對展寬了(低頻段低頻段 頻率特性的形狀對于控制系統(tǒng)性能的研究具有較重要的意頻率特性的形狀對于控制系統(tǒng)性能的研究具有較重要的意義義)，而將高頻段相對壓縮了。因此采用對數坐標既可以，而將高頻段相對壓縮了。因此采用對數坐標既可以拓寬視野，又便于研究低頻段的特性。拓寬視野，又便于研究低頻段的特性。(2) 當系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)串聯而成時，系統(tǒng)的頻率特性為各環(huán)當系統(tǒng)由多個環(huán)節(jié)

13、串聯而成時，系統(tǒng)的頻率特性為各環(huán)節(jié)頻率特性的乘積，由于對數可將乘除運算變成加減運算。節(jié)頻率特性的乘積，由于對數可將乘除運算變成加減運算。以上兩式表明，當繪制由多個環(huán)節(jié)串聯而成的系統(tǒng)的對數以上兩式表明，當繪制由多個環(huán)節(jié)串聯而成的系統(tǒng)的對數坐標圖時，只要將各環(huán)節(jié)對數坐標圖的縱坐標相加減即可，坐標圖時，只要將各環(huán)節(jié)對數坐標圖的縱坐標相加減即可，從而簡化了畫圖的過程。從而簡化了畫圖的過程。(3) 在對數坐標圖上，所有典型環(huán)節(jié)的對數幅頻特性乃至系統(tǒng)在對數坐標圖上，所有典型環(huán)節(jié)的對數幅頻特性乃至系統(tǒng)的對數幅頻特性均可用分段直線近似表示。這種近似具有一的對數幅頻特性均可用分段直線近似表示。這種近似具有一定的

14、精確度。若對分段直線進行修正，即可得到精確的特性定的精確度。若對分段直線進行修正，即可得到精確的特性曲線。曲線。(4) 若將實驗所得的頻率特性數據整理并用分段直線畫出對數若將實驗所得的頻率特性數據整理并用分段直線畫出對數頻率特性，則很容易寫出實驗對象的頻率特性表達式或傳遞頻率特性，則很容易寫出實驗對象的頻率特性表達式或傳遞函數。函數。精確曲線精確曲線漸近線漸近線轉折頻率轉折頻率 對數幅相圖的橫坐標表示對數相頻特性的相角，縱坐標表對數幅相圖的橫坐標表示對數相頻特性的相角，縱坐標表示對數幅頻特性的幅值的分貝數，又稱示對數幅頻特性的幅值的分貝數，又稱尼柯爾斯曲線尼柯爾斯曲線。3. 對數幅相曲線（對數

15、幅相曲線（Nichols） 典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié) 比例環(huán)節(jié)：比例環(huán)節(jié)：K 慣性環(huán)節(jié)：慣性環(huán)節(jié)：1/(Ts+1)，式中，式中T0 一階微分環(huán)節(jié)：一階微分環(huán)節(jié)：(Ts+1)，式中，式中T0積分環(huán)節(jié)：積分環(huán)節(jié)：1/s 微分環(huán)節(jié)：微分環(huán)節(jié)：s sssKsssKsG1 . 0111)21()1 . 01()21()(: 例例nnnnmmmmasasasabsbsbsbsHSG 11101110)()( 振蕩環(huán)節(jié)：振蕩環(huán)節(jié)：1/(s/n)2+2s/n+1；式中式中n0，0 0，0 1K1 比例環(huán)節(jié)的比例環(huán)節(jié)的 對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線 .2.2 .2.2 典型環(huán)節(jié)的頻率特性典型環(huán)節(jié)的頻率特性 積分環(huán)節(jié)

16、積分環(huán)節(jié)211)(,1)( jjGssG00jL()=-20lg()=-90o 00 L 0.110120-90-180decdB20-20decdB40 21 20lg40lg 180LG j 兩重積分兩重積分21()()G jj幅相曲線幅相曲線 對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線 （黃色線）（藍色線）L()=20lg()=90o 微分環(huán)節(jié)微分環(huán)節(jié)( ),()2G ss G jj00j00 L 0.11012090decdB20幅相曲線幅相曲線 對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線 1/T, L()-20lgT =-20(lg-lg1/T) G(s)=1/(Ts+1)2211()11jarctg

17、TG jej TT221lg20)(TL 慣性環(huán)節(jié)慣性環(huán)節(jié) 20jG01jG0 0j01 45dB32lg20LTTTT 1459000 L T1T10T10020decdB20T-arctg)( 221()1G jT ! ! 低通低通 濾波特性濾波特性對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線 幅相曲線幅相曲線 一階微分環(huán)節(jié)一階微分環(huán)節(jié) G(s)=Ts+1221lg20)(TL Tarctg)( 1/T, L()20lgT =20(lg-lg1/T) G(s)=Ts+11 20lg23 45TTTLdBT 4500 L 1T10T100T20decdB2090 =0 j 0 1！高頻放大！高頻放大！抑

18、制噪聲能力下降！抑制噪聲能力下降幅相曲線幅相曲線 對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線 22121G sT sTs22121G jTjTj22221221221 122tan1 2tan1G jTTTTG jTT T1T1 0jG01jG0 nnn010 振蕩環(huán)節(jié)振蕩環(huán)節(jié)1nT 90T1 n1()2G j幅相曲線幅相曲線 222212212220lg122tan12tan1LTTTTG jTT 22121G jTjTj00 L T1T10-40decdB4090180 180Tlg40Tlg20L2 90T1 n 0dB0L0 對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線 10-1100101-50-40-3

19、0-20-100102030(a)10-1100101-180-160-140-120-100-80-60-40-200(b) 延遲環(huán)節(jié)延遲環(huán)節(jié)00 1 j TGjeGjGjT 10 1 0 1GjGj j TsG se 20lg10 LGj 00 L 0.1110100幅相曲線幅相曲線 對數頻率特性曲線對數頻率特性曲線 u系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數通常可以寫成系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數通?？梢詫懗傻湫铜h(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)串聯的形式，串聯的形式， 即：即： G(s)H(s)=G1(s)G2(s).Gn(s) u系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性為)()(121)()()()()()()(1jjinineAeAjG

20、jGjGHjGini12( )( )( ).( )n 12( )20lg( )20lg( )20lg( ).20lg( )nLAAAA幅頻特性幅頻特性 = = 組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的對數幅頻特性之代數和。對數幅頻特性之代數和。相頻特性相頻特性 = = 組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的組成系統(tǒng)的各典型環(huán)節(jié)的相頻特性之代數和。相頻特性之代數和。.2.3 .2.3 開環(huán)對數頻率特性曲線開環(huán)對數頻率特性曲線( (伯德伯德BodeBode圖圖) )系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性和相頻特性分別為系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性和相頻特性分別為)()()()()(lg20)(lg20)(lg20)()()(lg2

21、0)(lg20)(1212121ininnnLLLLjGjGjGjGjGjGAL)()()()()(121ninjGjGjG開環(huán)系統(tǒng)開環(huán)系統(tǒng)Bode圖的繪制方法圖的繪制方法(1) 將開環(huán)傳遞函數表示為將開環(huán)傳遞函數表示為典型環(huán)節(jié)典型環(huán)節(jié)的串聯；的串聯；(2) 確定各環(huán)節(jié)的轉折頻率并由小到大標示在對數頻率軸上。確定各環(huán)節(jié)的轉折頻率并由小到大標示在對數頻率軸上。 轉折頻率轉折頻率1/Ti， 若若T1T2T3., 則有則有123.。(3) 計算計算20lgK，在，在1 rad/s處找到縱坐標等于處找到縱坐標等于20lgK 的點，的點，過該點作斜率等于過該點作斜率等于 -20v dB/dec的直線，向

22、左延長此線，的直線，向左延長此線，得到最低頻段的漸近線。得到最低頻段的漸近線。(4) 向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉折頻率改變一向右延長最低頻段漸近線，每遇到一個轉折頻率改變一次漸近線斜率次漸近線斜率:慣性環(huán)節(jié)，慣性環(huán)節(jié)，- 20dB/dec振蕩環(huán)節(jié)，振蕩環(huán)節(jié)， - 40dB/dec一階微分環(huán)節(jié)，一階微分環(huán)節(jié)，+20dB/dec二階微分環(huán)節(jié)，二階微分環(huán)節(jié)，+40dB/dec最低頻段的對數幅頻特性可近似為最低頻段的對數幅頻特性可近似為L( )=20lgK-20vlg 當當1 rad/s時，時，L()=20lgK；(5) 漸近線的最后一段漸近線的最后一段(高頻段高頻段)的斜率為的斜率為20(

23、n-m) dB/dec； 其中其中n為極點數，為極點數，m為零點數。為零點數。(6) 作出用分段直線表示的漸近線后，如果需要，可按作出用分段直線表示的漸近線后，如果需要，可按 照照各典型環(huán)節(jié)的誤差曲線對相應段的漸近線進行修正，各典型環(huán)節(jié)的誤差曲線對相應段的漸近線進行修正，即可得到精確的對數幅頻特性曲線。即可得到精確的對數幅頻特性曲線。(7) 繪制相頻特性曲線，逐個作出各典型環(huán)節(jié)的對數相頻繪制相頻特性曲線，逐個作出各典型環(huán)節(jié)的對數相頻特性曲線并進行疊加就可以得到系統(tǒng)開環(huán)對數相頻特特性曲線并進行疊加就可以得到系統(tǒng)開環(huán)對數相頻特性曲線。性曲線。 當然，當然， 也可以直接計算也可以直接計算()。 通常

24、采取求通常采取求出幾個特定值的辦法，出幾個特定值的辦法， 如如(0), (1), (10), ()等，等， 從而得到相頻特性曲線的概圖。從而得到相頻特性曲線的概圖。 例：繪制開環(huán)對數幅頻漸近特性曲線，設開環(huán)傳遞函數為例：繪制開環(huán)對數幅頻漸近特性曲線，設開環(huán)傳遞函數為轉折頻率：轉折頻率：0.5 2 30低頻段：低頻段：V=1，在，在1 處處 20lgK=20lg40=32 , 20 dB/dec，解：解：典型環(huán)節(jié)傳遞函數表示的標準形式典型環(huán)節(jié)傳遞函數表示的標準形式40(0.51)( )( )1(21)(1)30sG s H ssss40(0.51)()()1(21)(1)30jG jH jjjj

25、 其對應的頻率特性表達式為其對應的頻率特性表達式為0.10.51210301000db20db40db-20db-40dbL()-20-40-20-40) 1s301)(1s2( s) 1s5 . 0(40) s (H) s (G 轉折頻率轉折頻率：0.5 2 30-20例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數例：已知單位反饋系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數100(2)( )(1)(20)sG ss ss 試繪制開環(huán)對數頻率特性曲線。試繪制開環(huán)對數頻率特性曲線。10(0.51)( )(1)(0.051)sG ss ss 解：解：典型環(huán)節(jié)傳遞函數表示的標準形式典型環(huán)節(jié)傳遞函數表示的標準形式 其對應的頻率特性表達式為

26、其對應的頻率特性表達式為10(0.51)()(1)(0.051)jG jjjj 10,1kv(1) 轉折頻率為：轉折頻率為： 1231,1/0.52,201( )20lg20lg1020()LKdB(2) 在在 時：時：(3) 過過 的點，畫一條斜率為的點，畫一條斜率為-20dB/dec的斜的斜線，以此作為低頻漸近線。線，以此作為低頻漸近線。1( )20LdB 、(4) 因第一個轉折頻率因第一個轉折頻率11，故低頻漸近線畫至，故低頻漸近線畫至1 1為止，為止，經過經過11后曲線的斜率應為后曲線的斜率應為-40dB/dec；當曲線延伸至第二個轉折頻率當曲線延伸至第二個轉折頻率2 2時，斜率又恢復

27、時，斜率又恢復 為為-20dB/dec ；直至直至3 20時，曲線斜率再增加時，曲線斜率再增加-20dB/dec，變?yōu)?，變?yōu)?-40dB/dec的斜線。至此已繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性的斜線。至此已繪出系統(tǒng)的開環(huán)對數幅頻特性 漸近線。漸近線。10(0.51)()(1)(0.051)jG jjjj 直接繪制系統(tǒng)開環(huán)直接繪制系統(tǒng)開環(huán)對數幅頻特性的步驟對數幅頻特性的步驟(5) 系統(tǒng)開環(huán)對數相頻特性表達式為系統(tǒng)開環(huán)對數相頻特性表達式為0( )arctan0.590arctanarctan0.05 逐點計算結果逐點計算結果系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數據系統(tǒng)開環(huán)相頻特性數據20dB/dec40dB/dec20dB/

28、dec2040dB/dec例：例：(1)20lg7.517.5L相頻特性曲線相頻特性曲線例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為2212322213(1)1( ),1(1)(1) (2)nnnnK T sG sTTTs TsT sss試繪出開環(huán)對數漸近幅頻曲線。試繪出開環(huán)對數漸近幅頻曲線。解：解：v系統(tǒng)系統(tǒng)開環(huán)開環(huán)幅相曲線主要用于判斷幅相曲線主要用于判斷閉環(huán)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 v通常將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數寫成各環(huán)節(jié)串聯的形式，利用通常將系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數寫成各環(huán)節(jié)串聯的形式，利用“幅值相乘、幅值相乘、 幅角相加幅角相加”的原則確定幾個關鍵點的準確的原則確定幾個關鍵點的準確位

29、置，位置， 然后繪出圖形的大致形狀即可。然后繪出圖形的大致形狀即可。 v繪制步驟如下：繪制步驟如下： (1) 將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數將系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性函數G(j)H(j)寫成指數式寫成指數式A(j)ej()或代數式或代數式P()+jQ()； (2) 確定極坐標圖的起點確定極坐標圖的起點=0+和終點和終點； (3) 確定極坐標圖與坐標軸的交點（若奈氏圖與負實軸有確定極坐標圖與坐標軸的交點（若奈氏圖與負實軸有 交點，則必須求出）交點，則必須求出）; (4) 勾畫出大致曲線。勾畫出大致曲線。.2.4 .2.4 開環(huán)幅相曲線的繪制開環(huán)幅相曲線的繪制( (奈奎斯特奈奎斯特NyquistNyquist

30、圖圖) ) 12121111Kjjjj Tj T10111011 mmmmnnnnbjbjbjbG jmnajajaja對于一般線性定常系統(tǒng)，其頻率特性為對于一般線性定常系統(tǒng)，其頻率特性為0 01 I2 II型系統(tǒng)型系統(tǒng)型系統(tǒng)n階系統(tǒng)22122212121211112 KG jTTG jarctgarctgarctg Tarctg T奈氏圖的大致規(guī)律奈氏圖的大致規(guī)律22122212121211112 KG jTTG jarctgarctgarctg Tarctg T 的的線線段段，漸漸進進于于平平行行于于負負實實軸軸，00 jGjGK00020 2KG j時：1. 極坐標圖的起點極坐標圖的起點

31、 00G jK，1 2KG j ，22, KG j 的線段的線段，漸進于平行于負虛軸，漸進于平行于負虛軸，00 2jG001 222121 nmTTKjGnm0jG1mn2mn3mn2. 極坐標圖的終點極坐標圖的終點 12121111KjjG jjj Tj T 2121212102TTKjGmnjGmnmnTTKmn jG 0 0型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v = 0 = 0）只包含慣性環(huán)節(jié)的只包含慣性環(huán)節(jié)的0 0型系統(tǒng)型系統(tǒng)NyquistNyquist圖圖)1).(1)(1 ()1).(1)(1 ()(2121nmTjTjTjjjjKjGmn 0K)0(A0)0(0)(A90)mn()(設設m=0 I

32、I型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v = 1= 1）只包含慣性環(huán)節(jié)的只包含慣性環(huán)節(jié)的I I型系統(tǒng)型系統(tǒng)NyquistNyquist圖圖)1).(1)(1)()1).(1)(1 ()(2121nmTjTjTjjjjjKjGmn 0)0(A(0)90 0)(A90)mn()(設設m=0 IIII型系統(tǒng)（型系統(tǒng)（v = 2 = 2）只包含慣性環(huán)節(jié)的只包含慣性環(huán)節(jié)的II II型系統(tǒng)型系統(tǒng)NyquistNyquist圖圖)1).(1)(1 ()()1).(1)(1 ()(21221nmTjTjTjjjjjKjGmn 0)0(A180)0(0)(A90)mn()(設設m=0開環(huán)幅相曲線與負實軸相交時的交點開環(huán)幅相曲線與負

33、實軸相交時的交點計算方法有兩種計算方法有兩種10( )(0.51)(0.21)G ssss例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數例：已知系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數 ，試繪制試繪制 概略開環(huán)幅相曲線。概略開環(huán)幅相曲線。解：解：=0Nyquist圖與實軸相交時=0.2.5 .2.5 最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng) 根據零、極點在根據零、極點在s s平面上分布情況的不同，函數平面上分布情況的不同，函數G(s)G(s)可分為最小相位系統(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)?？煞譃樽钚∠辔幌到y(tǒng)、非最小相位系統(tǒng)。u最小相位（相角）系統(tǒng)最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數中：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數中沒有沒有右右極點、右零

34、點的系統(tǒng)。極點、右零點的系統(tǒng)。u非最小相位（相角）系統(tǒng)非最小相位（相角）系統(tǒng)：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數中：指系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數中有有右右極點或右零點的系統(tǒng)或者系統(tǒng)極點或右零點的系統(tǒng)或者系統(tǒng)帶有延遲環(huán)節(jié)帶有延遲環(huán)節(jié)。最小相位系統(tǒng)特點最小相位系統(tǒng)特點 在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角范在具有相同幅值特性的系統(tǒng)中，最小相位系統(tǒng)的相角范圍在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函圍在所有這類系統(tǒng)中是最小的。任何非最小相位傳遞函數的相角范圍都大于最小相位傳遞函數的相角范圍數的相角范圍都大于最小相位傳遞函數的相角范圍。 對于最小相位系統(tǒng)，其對于最小相位系統(tǒng)，其幅頻特性幅頻特性和和相頻特性相頻

35、特性一一對應，一一對應，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，某頻率段的相角主要由該頻率段的幅頻特性斜率所決定，也受相鄰頻段的影響。也受相鄰頻段的影響。20dB/dec 90040dB/dec 180060dB/dec 2700 設系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數分母多項式階次位設系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的傳遞函數分母多項式階次位n，分子多，分子多項式的階次為項式的階次為m（nm），系統(tǒng)串有），系統(tǒng)串有 v 個積分環(huán)節(jié)，則對于最小個積分環(huán)節(jié)，則對于最小相位系統(tǒng)，當相位系統(tǒng)，當時，對數幅頻特性漸近線的斜率為時，對數幅頻特性漸近線的斜率為20(n-m)dB/dec，相頻特性的相位趨于，相頻特性的相位趨于

36、90(n-m) ；而當而當0時相角等時相角等于于v*90，根據上述特征可以判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。，根據上述特征可以判斷系統(tǒng)是否為最小相位系統(tǒng)。 對于最小相位系統(tǒng)，對數幅頻特性與相頻特性之間存在唯一對于最小相位系統(tǒng)，對數幅頻特性與相頻特性之間存在唯一確定的關系，即根據系統(tǒng)的對數幅頻特性就可以唯一地確定相應確定的關系，即根據系統(tǒng)的對數幅頻特性就可以唯一地確定相應的相頻特性和傳遞函數，反之亦然。因此，從系統(tǒng)建模與分析設的相頻特性和傳遞函數，反之亦然。因此，從系統(tǒng)建模與分析設計角度看，只要詳細繪出幅頻與相頻兩者中的一種就足夠了，由計角度看，只要詳細繪出幅頻與相頻兩者中的一種就足夠了，由于對數幅頻

37、特性很容易繪出，故對于最小相位系統(tǒng)通常只畫出它于對數幅頻特性很容易繪出，故對于最小相位系統(tǒng)通常只畫出它的對數幅頻特性，而對相頻特性可以只畫簡圖，或者不畫。的對數幅頻特性，而對相頻特性可以只畫簡圖，或者不畫。注意注意最小相位系統(tǒng)的判別方法最小相位系統(tǒng)的判別方法.2.6 .2.6 根據頻率特性曲線確定系統(tǒng)傳遞函數根據頻率特性曲線確定系統(tǒng)傳遞函數 由于系統(tǒng)頻率特性是線性系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）在正弦輸入信號由于系統(tǒng)頻率特性是線性系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）在正弦輸入信號下的響應特性，下的響應特性， 因此由傳遞函數可以得到系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的因此由傳遞函數可以得到系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的頻率特性。頻率特性。 反之，反之， 由頻率特性也可以求得相

38、應的傳遞函數。由頻率特性也可以求得相應的傳遞函數。有許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得很準確，其傳遞函數很難有許多系統(tǒng)的物理模型很難抽象得很準確，其傳遞函數很難用純數學分析的方法求出。對于這類系統(tǒng)，可以通過實驗測用純數學分析的方法求出。對于這類系統(tǒng)，可以通過實驗測出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進而求出系統(tǒng)的傳遞函數。出系統(tǒng)的頻率特性曲線，進而求出系統(tǒng)的傳遞函數。 對于最小相位系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）而言，一條對數幅頻特性對于最小相位系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）而言，一條對數幅頻特性曲線只能有一條對數相頻特性曲線與之對應，曲線只能有一條對數相頻特性曲線與之對應， 因此只需用因此只需用對數幅頻特性曲線就可以求出系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數。對數

39、幅頻特性曲線就可以求出系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）的傳遞函數。 nm1Tj1Tj1j1jKjG212100 0lg20K dBL 11 T21 T11decdB20decdB20decdB40 nmTTKjG 11112221222100 00000KjGKjG 很小低頻時， vvKjKdB 得：令：線交點：低頻延長線與10 vvKjGKjG 111 很小低頻時， dBL 11 T21 T11decdB20decdB4040vKvKlg201 dBL 11 T21 T112040vK4060vKlg20 nm1Tj1Tjj1jKjG211v1 -601 aaKjKdB 得：令：線交點：低頻延長線與102 aa

40、KjGKjG 1122 很小低頻時， dBL 204060 dBL 204040aK1aKlg20604011 T211121 T4040aK11 T21 T11211aKlg20 nm1Tj1Tjj1jKjG2121a2 例：已知某最小相位系統(tǒng)的漸近開環(huán)幅頻特性如下圖所示，例：已知某最小相位系統(tǒng)的漸近開環(huán)幅頻特性如下圖所示，試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達式。試確定系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數，并寫出系統(tǒng)的相頻特性表達式。(1) 由于低頻段有兩個積分環(huán)節(jié)，故確定直線斜率為由于低頻段有兩個積分環(huán)節(jié)，故確定直線斜率為 。(2) 在在 處處 ， ，可得，可得 (3) 在在 處，斜率由處，斜

41、率由 變?yōu)樽優(yōu)?，故確，故確 定有一階微分環(huán)節(jié)定有一階微分環(huán)節(jié) 。(3) 在在 處，斜率由處，斜率由 變?yōu)樽優(yōu)?，故確，故確 定有慣性環(huán)節(jié)定有慣性環(huán)節(jié) 。40/dB dec1( )20LdB20lg()20,10KK12decdB/2040/dB dec11110s21040/dB decdecdB/2012s解：解：綜上所述，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數確定為綜上所述，系統(tǒng)的開環(huán)傳遞函數確定為故系統(tǒng)的相頻特性表達式為故系統(tǒng)的相頻特性表達式為( )180210arctgarctg 2210(0.51)50(2)( )(0.11)(10)ssG sssss 如果兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻特性，那么對于大于如果

42、兩個系統(tǒng)具有相同的幅頻特性，那么對于大于 0 的任的任何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總何頻率，最小相位系統(tǒng)的相角總小于小于非最小相角系統(tǒng)的相角。非最小相角系統(tǒng)的相角。11( ),( )11G sG sTsTs20-20 L(dB)10 L(dB)50-20-40100L(dB)-40-40-201c2)1 . 01(10)(ssG )01. 01()(ssKsG 50 K)1()1()(221 sssKsG ccKK 1121, 幅頻特性相同，但對數相頻曲線卻不相同幅頻特性相同，但對數相頻曲線卻不相同 。 最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應，只要根據最小相角系統(tǒng)的幅頻特性和相頻特性一一對應，

43、只要根據其對數幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數其對數幅頻曲線就能寫出系統(tǒng)的傳遞函數 。例：有兩個傳遞函數例：有兩個傳遞函數例：有兩個系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數分別為例：有兩個系統(tǒng)，其開環(huán)傳遞函數分別為1( ),1KG ss12( )1sKG ses試比較它們對數頻率特性。試比較它們對數頻率特性。解：解：由于開環(huán)傳遞函數由于開環(huán)傳遞函數 中含有滯后環(huán)節(jié)，表明其為非中含有滯后環(huán)節(jié)，表明其為非 最小相位系統(tǒng)。最小相位系統(tǒng)。)(2sG12( )( )G sG s、221)(KAarctg)(13 .57)(12arctg兩者的幅頻特性表達式相同，兩者的幅頻特性表達式相同，相頻特性表達式分別為相頻特性表達式分別

44、為均為均為開環(huán)系統(tǒng)伯德圖開環(huán)系統(tǒng)伯德圖系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件 全部閉環(huán)極點均具有負的實部全部閉環(huán)極點均具有負的實部u 由閉環(huán)特征多項式系數（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；由閉環(huán)特征多項式系數（不解根）判定系統(tǒng)穩(wěn)定性；u 不能用于研究如何調整系統(tǒng)結構參數來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性不能用于研究如何調整系統(tǒng)結構參數來改善系統(tǒng)穩(wěn)定性 及性能的問題。及性能的問題。代數穩(wěn)定判據代數穩(wěn)定判據 Ruoth判據判據 u 由由開環(huán)頻率特性開環(huán)頻率特性直接判定直接判定閉環(huán)系統(tǒng)閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性，開環(huán)頻率的穩(wěn)定性，開環(huán)頻率 特性可部分實驗求取特性可部分實驗求取，無需求出閉環(huán)極點；無需求出閉環(huán)極點；u 便于研究系統(tǒng)參數和結

45、構的改變對穩(wěn)定性的影響；便于研究系統(tǒng)參數和結構的改變對穩(wěn)定性的影響；u 可以研究包含延時環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性；可以研究包含延時環(huán)節(jié)的穩(wěn)定性；u 可以推廣到非線性研究。可以推廣到非線性研究。頻域穩(wěn)定判據頻域穩(wěn)定判據 Nyquist 判據判據 對數穩(wěn)定判據對數穩(wěn)定判據 特點特點u在在 s 平面上除有限個孤立奇點外函數處處解析，則在平面上除有限個孤立奇點外函數處處解析，則在 s 平平面上任選一復數面上任選一復數 s，通過復變函數，通過復變函數 F(s) 的映射關系在的映射關系在 F(s) 平面上可以找到平面上可以找到 s 相應的象（在相應的象（在s平面中，平面中，F(s)及其導數存及其導數存在在解析的；解析

46、的； F(s)及其導數不存在及其導數不存在奇點，顯然對奇點，顯然對F(s)，p1、p2 pn是其有限個奇點）。是其有限個奇點）。u若在若在 F(s) 的零極點分布圖上，選擇的零極點分布圖上，選擇A點，使點，使 s 從從A點開始點開始移動，繞移動，繞 F(s) 的零點的零點 zi 順時針順時針依曲線依曲線 s（ s不通過任何零不通過任何零極點）轉一周回到極點）轉一周回到A，相應地，相應地，F(s)也可從也可從 B 點出發(fā)回到點出發(fā)回到 B，也也畫畫出一條封閉曲線出一條封閉曲線 F。.3.1 .3.1 奈氏判據的數學基礎奈氏判據的數學基礎1212( )()()()( )()()()( )nnj F

47、 sszszszF sspspspF s e若若 s 依依 s變化時，變化時，F(s) 相角的變化為相角的變化為( )F s)()()()()()()(2121nnpspspszszszssF 則有則有0jAs s0jB FF( )()2iF ssz ()isz從圖中可以看出，除從圖中可以看出，除之外，其它各項均為零。之外，其它各項均為零。F(s)= -2 表示表示 s 的象的象 F 從從 B 點開始再回到點開始再回到 B點繞著原點點繞著原點順時針轉了一圈順時針轉了一圈。1212()()()( )()()()nnszszszF sspspsp幅角定理：幅角定理： 若若s平面閉合曲線平面閉合曲線

48、 s 包圍包圍F(s) 的的Z 個零點和個零點和P 個極點，則個極點，則 s 依依 s 順時針順時針旋轉一圈時，在旋轉一圈時，在 F(s) 平面上，平面上，F(s) 閉合曲線閉合曲線 F包包圍原點的圈數圍原點的圈數 R 為為 P 與與 Z之差，即之差，即 R= P-Z。同理，若同理，若 s 繞繞F(s)的極點順時針轉一圈時，在的極點順時針轉一圈時，在F(s)上上 s的象的象 F繞原點反時針轉一圈繞原點反時針轉一圈。0jAs s0jB FF其中：其中：R0，表示，表示 F逆時針逆時針包圍包圍F(s) 平面的原點；平面的原點； R=0，表示不包圍，表示不包圍F(s) 平面的原點。平面的原點。uF(

49、s)零點為閉環(huán)傳遞函數的極點，零點為閉環(huán)傳遞函數的極點， F(s)極點為開環(huán)傳遞函數極點為開環(huán)傳遞函數的極點；的極點；u開環(huán)傳遞函數分母多項式的階次一般大于或等于分子多項開環(huán)傳遞函數分母多項式的階次一般大于或等于分子多項式的階次，式的階次，F(s)零極點個數相同；零極點個數相同；uF(s) 和和 G(s)H(s) 只差常數。只差常數。( )G s( )H s( )R s( )E s( )C s)()()()()()()(212121sMsMsNsNsNsMs設設)()()()()()(2211sNsMsHsNsMsG，則則)()()()()()(2121sNsNsMsMsHsG定義一個輔助函數

50、定義一個輔助函數11212121()( )( )( )( )( )1( )( )( )( )()niinjjszN s NsMs MsF sG s H sN s NSsp 輔助函數輔助函數 F(s) 有如下特點有如下特點F(s) 函數的特點函數的特點0 ()G j)(sF01順時針方向包圍整個順時針方向包圍整個s右半面。由于不能通過右半面。由于不能通過F(s)的任何零、極點，的任何零、極點，所以當所以當F(s)有若干個極有若干個極點處于點處于s平面虛軸（包平面虛軸（包括原點）上時，則以括原點）上時，則以這些點為圓心，作半這些點為圓心，作半徑為無窮小的半圓，徑為無窮小的半圓，按按逆時針逆時針方向

51、方向從右側從右側繞過繞過這些點。這些點。jj1j1j( )F s的極點Rj 0j0js平面jjjjjs00設：設： 閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式閉環(huán)系統(tǒng)特征多項式 顯然：顯然：F(s) 的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點的零點就是閉環(huán)系統(tǒng)的極點 sHsGSF1.3.2 .3.2 奈奎斯特（奈奎斯特（NyquistNyquist）穩(wěn)定判據）穩(wěn)定判據 閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件是：s沿著奈氏路徑繞一圈沿著奈氏路徑繞一圈（當（當從從-+變化時），變化時），G(j)H(j)曲線曲線逆時針逆時針包圍包圍（-1，j0）點）點P圈。圈。 P 為為G(s)H(s)位于位于s右半平面的極點數；右半平面的極點數

52、； R G(j)H(j)曲線曲線逆時針逆時針繞（繞（-1，j0）點圈數；）點圈數； Z 閉環(huán)系統(tǒng)位于閉環(huán)系統(tǒng)位于s右半平面的極點數。右半平面的極點數。 Z=0，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數無極點在，說明系統(tǒng)閉環(huán)傳遞函數無極點在s右半開平面，系統(tǒng)是右半開平面，系統(tǒng)是穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。穩(wěn)定的；反之，系統(tǒng)則是不穩(wěn)定的。 若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不若系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，則閉環(huán)穩(wěn)定的充要條件是開環(huán)幅相曲線不包圍（包圍（-1，j0）點。）點。奈氏判據奈氏判據ZPR例：已知例：已知某系統(tǒng)某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，軌跡如下，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 P=1，試試分析系統(tǒng)穩(wěn)定

53、性。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。 由由=0+變化時變化時G(j)H(j)的曲線，根據鏡的曲線，根據鏡像對稱得像對稱得=-0-變化時變化時G(j)H(j)的曲線，得到一的曲線，得到一封閉曲線。封閉曲線。 解：解： G(j)H(j) (從從- -+)曲線逆時曲線逆時針包圍（針包圍（-1-1，j0 0）點一次，即）點一次，即R=1。Z= P-R=0，故，故閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 例：已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在例：已知單位反饋系統(tǒng)，開環(huán)極點均在 s 平面的左半平面，平面的左半平面，開環(huán)頻率特性極坐標圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。開環(huán)頻率特性極坐標圖如圖所示，試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即

54、系統(tǒng)開環(huán)穩(wěn)定，即P=0，從圖中看到，從圖中看到由由-+變化時，變化時，G(j) H(j)曲線不包圍曲線不包圍(-1，j0)點，即點，即N=0，Z=P-N=0，所以，所以，閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。閉環(huán)系統(tǒng)是穩(wěn)定的。解：解：說明說明: 如果開環(huán)傳遞函數如果開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)含有含有個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為一不封閉曲線，此時為了說明包圍一不封閉曲線，此時為了說明包圍（-1，j0）點的情況，可作）點的情況，可作輔助處理，即輔助處理，即由由=0+變化時變化時G(j)H(j)的曲線，根據鏡像的曲線，根據鏡像對稱得對稱得=-0-變化時變化時G(j)H(j)的曲線，然后的曲線，然后 從

55、從 =0-開始，開始，對應的對應的G(j)H(j)以以無窮大無窮大為半徑，按為半徑，按順時針順時針方向繞過方向繞過 角角度，與度，與 =0+ 曲線相接，成為封閉曲線，按照奈氏判據判定穩(wěn)曲線相接，成為封閉曲線，按照奈氏判據判定穩(wěn)定性。定性。 由由=0+變化時變化時G(j)H(j)的曲線，根據鏡像對稱得的曲線，根據鏡像對稱得=-0-變化時變化時G(j)H(j)的曲線，從的曲線，從=0-到到=0+以無限大為半徑順時針轉過以無限大為半徑順時針轉過，得封閉曲線。，得封閉曲線。 例：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為例：系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數為) 1)(1()()(21sTsTsKsHsG試判斷閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性。試判斷閉環(huán)系統(tǒng)

56、的穩(wěn)定性。解：解：當當 時，時，G(j)H(j) (從從- -+)曲線不包圍（曲線不包圍（-1-1，j0 0）點，）點，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。當當 時，時，G(j)H(j) (從從- -+)曲線穿越曲線穿越( -1，j0 )點，系點，系統(tǒng)處于臨界狀態(tài)統(tǒng)處于臨界狀態(tài) 。12121TTTKT12121TTTKT1 2121KTTTT可見：當可見：當由由- -+變化時，變化時，當當 時，時，G(j)H(j) (從從- -+)曲線順時針包圍（曲線順時針包圍（-1-1，j0 0）點兩圈，即）點兩圈，即N=-2=-2，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即，而開環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，即P=0 0，所以閉，所以閉環(huán)系統(tǒng)右極點個數環(huán)

57、系統(tǒng)右極點個數 Z=P- -N=2 2，閉環(huán)系統(tǒng)，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)右極點。不穩(wěn)定，有兩個閉環(huán)右極點。 Nyquist穩(wěn)定判據穿越法穩(wěn)定判據穿越法穿越穿越：指開環(huán)：指開環(huán)Nyquist曲線穿過曲線穿過 (-1, j0 ) 點左邊實軸點左邊實軸時的情況。時的情況。正穿越正穿越：增大時，增大時，Nyquist曲線曲線由上而下由上而下( (相角增加相角增加) ) 穿過穿過-1 -段實軸，用段實軸，用 表示。表示。G(j)H(j)曲線對稱實軸。應用中只畫曲線對稱實軸。應用中只畫 部分。部分。0 N負穿越負穿越：增大時，增大時，Nyquist曲線曲線由下而上（相角減少）由下而上（相角減少）穿過穿

58、過 -1 -段實軸，用段實軸，用 表示。表示。 N正穿越正穿越負穿越負穿越2N1N例：例：半次穿越半次穿越：若若G(j)H(j)軌跡起始或終止于軌跡起始或終止于 (-1, j0)以左的負以左的負軸上，則穿越次數為半次，且同樣有軸上，則穿越次數為半次，且同樣有+ 1/2 次穿越和次穿越和-1/2次穿次穿越。越。+1/2次穿越次穿越-1/2次穿越次穿越Nyquist穩(wěn)定判據：穩(wěn)定判據：當當由由0變化到變化到+時，時，Nyquist曲線在曲線在(-1, j0 )點左邊實軸上的正負穿越次數之差等于點左邊實軸上的正負穿越次數之差等于P/2時時( P為系統(tǒng)開環(huán)傳函為系統(tǒng)開環(huán)傳函右極點數右極點數)，閉環(huán)系統(tǒng)

59、穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。，閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定，否則，閉環(huán)系統(tǒng)不穩(wěn)定。NNN 若開環(huán)傳遞函數無極點分布在若開環(huán)傳遞函數無極點分布在S右半平面，即右半平面，即 ，則，則閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應該是閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定的充要條件應該是N=0。 注意：注意：這里對應的這里對應的變化范圍是變化范圍是 。00P2ZPNP=0P=2開環(huán)穩(wěn)定開環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定開環(huán)不穩(wěn)定開環(huán)不穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定閉環(huán)穩(wěn)定0NNN20ZPN2 1 1NNN 2220ZPN注意：注意：分析分析G(j)H(j)軌跡穿越軌跡穿越 (-1, j0)點以左的負實軸。點以左的負實軸。例：兩系統(tǒng)例：兩系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，已知其開環(huán)極點在軌跡如下

60、，已知其開環(huán)極點在s右半平右半平面的分布情況，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。面的分布情況，試判別系統(tǒng)的穩(wěn)定性。解：解：例：已知例：已知某系統(tǒng)某系統(tǒng)G(j)H(j)軌跡如下，軌跡如下，系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)開環(huán)不穩(wěn)定 P=1，試試分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。N= N+ - N - =1/2Z= P-2N=1-1=0閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定。 解：解：P=1 如果開環(huán)傳遞函數如果開環(huán)傳遞函數G(s)H(s)含有含有個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為個積分環(huán)節(jié)，奈氏曲線為一不封閉曲線，此時為了說明包圍一不封閉曲線，此時為了說明包圍（-1，j0）點的情況，可作）點的情況，可作輔助處理，即從輔助處理，即從 G(j 0+)H