高考物理向量概念與運算數(shù)學(xué)在物理中的應(yīng)用教學(xué)論文

1、向量概念與運算（數(shù)學(xué)）在物理中的應(yīng)用數(shù)學(xué)中的向量概念及其運算法則，在物理中有廣泛的應(yīng)用。把數(shù)學(xué)與物理溝通，既有利于理解數(shù)學(xué)，也有利于理解物理，還有利于提高遷移能力與綜合能力。數(shù)學(xué)中的向量，物理中叫矢量。定義如下：向量（數(shù)學(xué)）：我們把既有大小又有方向的量叫向量。（全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）數(shù)學(xué)第一冊（下），人民教育出版社，以下簡稱數(shù)學(xué)，第96頁，黑體字為原書所加，下同，物理同）矢量（物理）：力既有大小，又有方向，力的合成要遵守平行四邊形定則。在物理學(xué)中，象這樣的物理量叫做矢量。（全日制普通高級中學(xué)教科書（必修）物理第一冊，人民教育出版社，以下簡稱物理第一冊，第13頁）而長度、質(zhì)量、溫度、時

2、間、能量等物理量，只有大小，沒有方向，在物理學(xué)中叫做標量。（同上）物理量有許多矢量，如力f、位移s、速度v、加速度a、動量p、電場強度e、磁感應(yīng)強度b等等。標量除上述外還有，如功w、功率p、能量e（包括動能與勢能，勢能又包括重力勢能、彈性勢能、分子勢能、電勢能等）等等。矢量與標量物理意義不同，比較大小的方法不同，運算法則也不同。矢量的運算法則與數(shù)學(xué)中的向量相同。一、 向量的加法與減法力與運動的合成與分解（一）數(shù)學(xué)中向量的加法：1定義：求兩個向量和的運算，叫做向量的加法。（數(shù)學(xué)第99頁）2法則：（1）三角形法則：圖1中的兩個向量，如圖2（教科書圖5-7），根據(jù)向量加法的定義得出的求向量和的方法，

3、稱為向量加法的三角形法則。 a a b b o a b b a b d a c 圖1 圖2 圖3（2）平行四邊形法則：如圖3（教科書圖5-8）以同一點a為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作abcd，則以a為起點的對角線就是a與b的和，我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則。（數(shù)學(xué)第100頁）（二）數(shù)學(xué)中向量的減法：1定義：求兩個向量差的運算，叫做向量的減法。（數(shù)學(xué)第102頁）2法則：（1）三角形法則：如圖5（教科書圖5-11），a-b可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量。（數(shù)學(xué)第102頁） o a a a b b a+b b b a-b a a-b d c 圖4 圖5

4、 圖6（2）平行四邊形法則：如圖6（教科書圖5-14）,abcd中，a, b,知=-a-b.（數(shù)學(xué)第103頁）（三）物理中力的合成與分解1 力的合成（1） 定義：求幾個力的合力叫做力的合成。（2） 平行四邊形法則：實驗表明，如果用表示兩個力f1和f2的線段為鄰邊作平行四邊形，那么，合力f的大小和方向就可以用這兩個鄰邊之間的對角線表示出來。這叫做力的平行四邊形定則。（物理第12頁）2 力的分解（1） 定義：求一個已知力的分力叫做力的分解。（2） 平行四邊形法則：把一個已知力f作為平行四邊形的對角線，那么，與力f共點的平行四邊形的兩個鄰邊，就表示力f的兩個分力。同一個力f可以分解為無數(shù)對大小、方向

5、不同的分力。一個已知力究竟該怎樣分解，這要根據(jù)實際情況來決定。（物理第14頁）比較可知，數(shù)學(xué)的研究從定義出發(fā)，物理的研究從實驗出發(fā)。（四）物理中運動的合成與分解1 運動的合成與分解（1） 定義：在描述演示蠟塊在注滿水的玻璃管中參與玻璃管的水平運動與上浮運動兩個運動的實驗后給出：上述實驗中紅蠟塊在豎直方向的運動和隨管做的水平方向的運動，通常叫做分運動，紅蠟塊實際發(fā)生的運動，通常叫做合運動。（2） 定義：已知分運動求合運動，叫做運動的合成。已知合運動求分運動，叫做運動的分解。（物理第84頁）2 平拋運動的分解平拋運動可以分解為水平方向和豎直方向上的兩個分運動。在水平方向（也就是在初速度方向）上物體

6、不受力，物體由于慣性而做勻速直線運動，速度等于平拋物體的初速度。在豎直方向上物體受到重力的作用，并且初速度為零，物體做自由落體運動。（物理第86頁）然后是平拋實驗和頻閃照片，最后得公式：（是與x軸（水平方向）的正方向的夾角）。（物理第86和87頁）比較可知，數(shù)學(xué)的研究方法用邏輯推理，物理的研究方法以應(yīng)用為主。二、 向量的數(shù)量積力的功（一） 數(shù)學(xué)中向量的數(shù)量積1 定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，我們把數(shù)量叫做a與b的數(shù)量積（或內(nèi)積，或點乘積筆者加），記作ab，即ab=。（數(shù)學(xué)第118頁）2 幾何意義：數(shù)量積ab等于a的長度與b在a上的投影的乘積。（數(shù)學(xué)第119頁）（二） 物理中力的功

7、定義：一個物體受到力的作用，如果在力的方向上發(fā)生一段位移，這個力就對物體做了功。 f2 f f2 f f1 f1 s 圖7如圖7（教科書圖8-2）所示，這就是說，力對物體所做的功，等于力的大小、位移的大小、力和位移的夾角的余弦這三者的乘積。（物理第135頁）與數(shù)學(xué)比較可以得出，功w（標量）是力f(矢量)與位移s(矢量)的數(shù)量積，記作：w=fs，也叫做點乘積，其結(jié)果是數(shù)量（標量）。三、 向量的向量積安培力與洛侖茲力（一） 數(shù)學(xué)中實數(shù)與向量的積定義：實數(shù)與向量a的積是一個向量，記作a，它的長度與方向規(guī)定如下：（1）=（2）當>0時，a的方向與a的方向相同；當<0時，a的方向與a的方向相

8、反；當=0時，a=0。（二）數(shù)學(xué)中向量的向量積1 定義：已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為，我們把向量c叫做a與b的向量積（或叉乘積），記作ab，即ab=c，其中c的大小為，c的方向由左手定則確定（左手定則后面介紹）。（高中數(shù)學(xué)教科書沒有，筆者根據(jù)大學(xué)所學(xué)知識仿數(shù)學(xué)中向量的數(shù)量積的模式寫）2 幾何意義：向量積ab等于a的長度與b在a的法線（垂線）上的投影的乘積。（同上）（三）物理中的安培力和洛侖茲力1安培力（1）定義：磁場對電流的作用力通常稱為安培力。這是為了紀念法國物理學(xué)家安培（1775-1836）。（2）安培力的大?。簩嶒灡砻鳎喊岩欢瓮娭睂?dǎo)線放在磁場里，當導(dǎo)線方向與磁場方向垂直時，電流

9、所受的安培力最大；當導(dǎo)線方向與磁場方向一致時，電流所受的安培力最小，等于零；當導(dǎo)線方向與磁場方向斜交時，電流所受的安培力介于最大值和最小值之間。（物理第二冊第147頁）導(dǎo)線方向與磁場方向垂直時，公式為（物理第二冊第148頁）導(dǎo)線方向與磁場方向斜交，夾角為時，公式為。（筆者加）(3) 安培力的方向：通電直導(dǎo)線所受安培力的方向和磁場方向、電流方向之間的關(guān)系，可以用左手定則來判定（圖8，教科書圖16-17）：伸開左手，使大拇指跟其余四個手指垂直，并且都跟手掌在一個平面內(nèi)，把手放入磁場中，讓磁感線垂直穿入手心，并使伸開的四指指向電流的方向，那么，大拇指所指的方向就是通電直導(dǎo)線安培力的方向。（物理第二冊

10、第149頁）圖8與數(shù)學(xué)比較可以得出，安培力f是磁感應(yīng)強度b與電流i和導(dǎo)體長度l的積（il）的向量積。其中，f（安培力）、b（磁感應(yīng)強度）與電流i三個物理量是矢量（向量），其字母用黑體；導(dǎo)體長度l是標量（數(shù)量），其字母不用黑體。電流i與導(dǎo)體長度l的乘積是實數(shù)與向量的積，i相當于a, l相當于；b（磁感應(yīng)強度）與（il）的乘積是向量的向量積?？梢杂涀鳎篺=b（il），所以也叫做叉乘積。3 洛侖茲力(1) 定義：（電子射線管）實驗表明，在沒有外磁場時，電子束是沿直線前進的（圖9之上圖，教科書圖16-22甲），如果把射線管放在蹄形磁鐵的兩極間，熒光屏上顯示的電子束運動的徑跡發(fā)生了彎曲（圖9之下圖，教科

11、書圖16-22乙）。這表明，運動電荷確實受到了磁場的作用力，這個力通常叫做洛侖茲力。荷蘭物理學(xué)家洛侖茲（1853-1928）首先提出了運動電荷產(chǎn)生磁場和磁場對運動電荷有作用力的觀點，為紀念他，人們稱這種力為洛侖茲力。（物理第二冊第151頁）圖9（2）洛侖茲力的方向：洛侖茲力的方向也可以用左手定則來判定：伸開左手，使大拇指跟其余四個手指垂直，且處于同一個平面內(nèi)，把手放入磁場中，讓磁感線垂直穿入手心，四指指向正電荷運動的方向，那么，大拇指所指的方向就是電荷正電荷所受洛侖茲力的方向。運動的負電荷在磁場中所受的洛侖茲力，方向跟正電荷受的力相反。（物理第二冊第152頁）（3） 洛侖茲力的大?。簩?dǎo)線中的

12、電流公式代入安培力公式得，再除以這段導(dǎo)線的電荷數(shù)得：洛侖茲力的大小公式： 這就是說，當電荷在垂直于磁場的方向上運動時，磁場對運動電荷的洛侖茲力f等于電荷q、速率、磁感應(yīng)強度b三者的乘積。（物理第二冊第152頁）如果速度與磁感應(yīng)強度b不垂直而是夾角為，則洛侖茲力的大小公式變?yōu)椋骸＃üP者加）與數(shù)學(xué)比較可以得出，洛侖茲力f是磁感應(yīng)強度b與速度v和電荷量q的積（q v ）的向量積。其中，f（洛侖茲力）、v（速度）與b（磁感應(yīng)強度）三個物理量是矢量（向量），其字母用黑體，q(電荷量)是標量（數(shù)量），其字母不用黑體；v（速度）與q（電荷量）的乘積是數(shù)量與向量的積，其中，q 相當于，v相當于a; b（磁感應(yīng)強度）與（qv）的乘積是向量的向量積；可以記作：f=b（qv），所以也叫做叉乘積。需要注意的是，如果q為正電荷，則（qv）與v方向相同；如果q為負電荷，則（qv）與v方向相反。那么，按左手定則，q為負電荷時的洛侖茲力與q為正電荷時的洛侖茲力方向相反。在學(xué)習(xí)中，有的同學(xué)對f與位移s的乘積功w是標量，而磁感應(yīng)強度b與導(dǎo)線的長度l及電流i三者的乘積（為力f）0或電荷q、速率、磁感應(yīng)強度b三者的乘積（也是力f）是矢量不理解；對物理量不垂直而斜交其夾角為時，求功w時用而求安培力或洛侖茲力f時用不理解，通過物理與數(shù)學(xué)的對比，就能知道，原來前者是向量的數(shù)量積