數(shù)列通項(xiàng)公式求法的進(jìn)一步思考

1、數(shù)列通項(xiàng)公式求法的進(jìn)一步思考遞歸數(shù)列通項(xiàng)公式的求法摘要：數(shù)列是高中數(shù)學(xué)中的重要內(nèi)容,求數(shù)列的通項(xiàng)公式就是其中最為常見(jiàn)的題型之一,每年都有一個(gè)大題, 既可考查等價(jià)轉(zhuǎn)化與化歸這一數(shù)學(xué)思想,又能反映考生對(duì)等差與等比數(shù)列理解的深度,具有一定的技巧性,而且數(shù)列問(wèn)題背景新穎,綜合性強(qiáng),能力要求高,思維力度大,內(nèi)在聯(lián)系密切,思維方法靈活,致使很多考生在數(shù)列題當(dāng)中失分較多,特別是已知條件以遞推形式給出的數(shù)列遞歸數(shù)列,求其通項(xiàng)公式就顯得更加困難. 本文對(duì)幾類常見(jiàn)的遞歸數(shù)列求通項(xiàng)問(wèn)題作一些探求,希望對(duì)大家有所啟發(fā).關(guān)鍵字：遞歸數(shù)列 遞推公式 通項(xiàng)公式 求法一、定義：對(duì)任意的自然數(shù)n,有遞推關(guān)系 確定的數(shù)列,其中為

2、初始值，r為遞歸數(shù)列的階數(shù)。二、通項(xiàng)公式的求法類型1.若數(shù)列例1.（07年北京考卷15題）數(shù)列.(1)求c的值 （2）求的通項(xiàng)公式.分析：有條件（1）易知?jiǎng)t=點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于型如類的通項(xiàng)公式，只要能進(jìn)行求和，則宜采用此方法求解，稱之為疊加法。類型2. 若數(shù)列=·例2：在數(shù)列中， =1, (n+1)·=n·，求的表達(dá)式。分析：由(n+1)·=n·得，=··= 所以點(diǎn)評(píng)：一般地，對(duì)于型如=(n)·類的通項(xiàng)公式，當(dāng)?shù)闹悼梢郧蟮脮r(shí)，宜采用此方法；稱之為疊乘法.類型3. 若數(shù)列p=1為等差，q=0時(shí)為等比.當(dāng)構(gòu)造1：，轉(zhuǎn)化

3、類型1，可求其通式構(gòu)造2：設(shè)存在，即可求其通式例3.（07年全國(guó)試卷22題）已知數(shù)列(1) 求的通項(xiàng)公式；(2) 若數(shù)列分析：（1）利用構(gòu)造2:由，,可求其通式公式.利用構(gòu)造1：，同樣可求得其通項(xiàng)公式.類型4. 若數(shù)列分析：可在式子的兩邊同除以，化為類型3構(gòu)造1，可求其通項(xiàng)公式.例4.（07年天津21題）在數(shù)列中，（1） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2） 求數(shù)列的前n項(xiàng)和；（3） 證明存在分析：由題意得： 所以是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，即類型5. 若數(shù)列p,q為常數(shù).分析：若能找到-，令 ，則為等比數(shù)列，且，由此可化為類型4.下面主要探討如何來(lái)確定：可化為，比較得，此方程稱的特征方程.于是有所以

4、，轉(zhuǎn)化為類型4可求其通式. 分析：上式可化為， ，轉(zhuǎn)化為類型1,可求其通式.已知數(shù)列的遞推關(guān)系求數(shù)列的通項(xiàng)公式，都可轉(zhuǎn)化化歸為以上五中類型之一進(jìn)行求解，等差數(shù)列和等比數(shù)列是最為常見(jiàn)較為簡(jiǎn)單的遞歸數(shù)列，熟悉以上幾種類型，明確其中的原理，滲透其中的構(gòu)造思想，對(duì)我們解決數(shù)列方面的問(wèn)題大有幫助.三、應(yīng)用1.若數(shù)列求其通項(xiàng)公式解：原式可變?yōu)槭醉?xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，則，由類型1；可得.2.設(shè)，求此數(shù)列的通項(xiàng)公式.解：可把遞推公式化為，可見(jiàn)是常數(shù)列，于是=,即，進(jìn)而可變形為：，所以是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可得.3(02年高考). 某城市01年末汽車保有量為30萬(wàn)輛，預(yù)計(jì)此后每年報(bào)廢上一年末汽車保有

5、量的6%，并且每年新增汽車數(shù)量相同，為保護(hù)城市環(huán)境，要求該城市汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，那么每年新增汽車數(shù)量不應(yīng)超過(guò)多少輛？分析：本題主要考查數(shù)列、數(shù)列的極限等基礎(chǔ)知識(shí)，考查建立數(shù)學(xué)模型，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題的能力。解：設(shè)01年末汽車保有量為萬(wàn)輛，以后各年末汽車保有量依次為萬(wàn)輛，萬(wàn)輛，每年新增汽車x萬(wàn)輛，則對(duì)于，有遞推關(guān)系，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以0.94為公比的等比數(shù)列，故當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)閿?shù)列單調(diào)增加，且，所以可以任意靠近，但不會(huì)超過(guò)。因此，如果要求汽車保有量不超過(guò)60萬(wàn)輛，即，則，即（萬(wàn)輛）綜上，每年新增汽車不應(yīng)超過(guò)3.6萬(wàn)輛。4. “hanni塔謎”。有n個(gè)外徑不等的圓環(huán)，套在尖端

6、朝上的木釘上，最大的圓環(huán)在最底層，成為一個(gè)上小下大的塔形（如圖），另外還有兩釘子豎直釘在木板上，現(xiàn)將塔形移到第二個(gè)釘子上，而每次只能移動(dòng)一個(gè)圓環(huán)，但在每次移動(dòng)中都不能將大圓環(huán)置于小圓環(huán)之上，這些當(dāng)然要第三個(gè)釘子的作用，試問(wèn)必須搬動(dòng)多少次？分析：用遞歸數(shù)列思想建立與的遞歸關(guān)系是解題的關(guān)鍵所在。解：設(shè)為搬完這n個(gè)圓環(huán)所需搬動(dòng)的次數(shù)，易知，首先將第一個(gè)釘子最上的個(gè)圓環(huán)移到第三個(gè)釘子上，需搬動(dòng)次，將底部最大圓環(huán)搬到第二個(gè)釘子上，需1次，然后將第三個(gè)釘子上的圓環(huán)搬到第二個(gè)釘子上，需要次搬動(dòng)，于是有關(guān)系式，即，則數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，故，即在數(shù)列中，已知，利用類型3構(gòu)造2，令，與對(duì)比，得，由

7、數(shù)列是等比數(shù)列，可得，即.總結(jié)：數(shù)列是初等數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的銜接點(diǎn),它與數(shù)、式、函數(shù)、方程、不等式有著密切的聯(lián)系因而在歷年的高考試題中占有較大的比重,求解數(shù)列題往往涉及到重要的數(shù)學(xué)思想方法，對(duì)學(xué)生的能力要求較高所以，數(shù)列問(wèn)題成為歷年高考的熱點(diǎn)內(nèi)容在這類問(wèn)題中，求數(shù)列的通項(xiàng)往往是解題的突破口、關(guān)鍵點(diǎn)，本文以高考題為實(shí)例，根據(jù)教學(xué)實(shí)踐,談?wù)勄蠼飧呖紨?shù)列題的常用策略:化歸轉(zhuǎn)化策略數(shù)列問(wèn)題?？苫瘹w為等差（等比）數(shù)列或化歸為我們熟悉的數(shù)列問(wèn)題去求解，就數(shù)列通項(xiàng)公式的幾種初等求法作一總結(jié)，供參考參考文獻(xiàn)：1.j數(shù)學(xué)教學(xué)研究; 1996年06期;李康海;27-302.j中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考；1999年07期；方逢安；44-4