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文檔簡介
1、一般地,對于一般地,對于n N*有有011222()nnnnnnnrn rrnnnnabC aC abC abC abC b 二項定理二項定理:新課引入新課引入二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些?共二項展開式中的二項式系數(shù)指的是那些?共有多少個?有多少個? 下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性下面我們來研究二項式系數(shù)有些什么性質?我們先通過觀察質?我們先通過觀察n為特殊值時,二項式為特殊值時,二項式系數(shù)有什么特點?系數(shù)有什么特點?第1頁/共24頁1615 20 1561(a+b)1(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)20 01 1C C1 11 1C C0 02 2C C1 12 2C
2、 C2 22 2C C0 03 3C C1 13 3C C2 23 3C C3 33 3C C0 05 5C C1 15 5C C2 25 5C C3 35 5C C4 45 5C C5 55 5C C(a+b)6111211331146411510 1051(a+b)n0 06 6C C1 16 6C C2 26 6C C3 36 6C C4 46 6C C5 56 6C C6 66 6C C0 04 4C C1 14 4C C2 24 4C C3 34 4C C4 44 4C CCn0Cn1Cn2CnrCnn011()nnnrn rrnnnnnna+bC aC abC abC b第2頁/共
3、24頁(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6議一議議一議1 1)請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律?)請看系數(shù)有沒有明顯的規(guī)律?2 2)上下兩行有什么關系嗎?上下兩行有什么關系嗎? 3 3)根據這兩條規(guī)律,大家能寫出下面的系數(shù)嗎根據這兩條規(guī)律,大家能寫出下面的系數(shù)嗎?第3頁/共24頁每行兩端都是每行兩端都是1 Cn0= Cnn=1從第二行起,每行除從第二行起,每行除1以外的每一個數(shù)都等以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和于它肩上的兩個數(shù)的和 Cn+1m= Cnm + Cnm-1(a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6+這個表叫做二項式系
4、數(shù)這個表叫做二項式系數(shù)表表, ,也稱也稱“楊輝三角楊輝三角”第4頁/共24頁二項式系數(shù)的函數(shù)觀點二項式系數(shù)的函數(shù)觀點 展開式的二項式展開式的二項式系數(shù)依次是:系數(shù)依次是: nba)( nnnnnC,C,C,C210 從函數(shù)角度看,從函數(shù)角度看, 可看可看成是以成是以r為自變量的函數(shù)為自變量的函數(shù) , ,其定義域是:其定義域是: rnC)(rfn, 2 , 1 , 0當當n=6時,其圖象是時,其圖象是7個孤立點個孤立點定義域定義域0,1,2, ,n rnCrf )(第5頁/共24頁二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)的性質 (1 1)對稱性)對稱性 與首末兩端與首末兩端“等距離等距離”的兩個二項式系數(shù)相等
5、的兩個二項式系數(shù)相等 這一性質可直接由公式這一性質可直接由公式 得到得到mnnmn CC圖象的對稱軸:圖象的對稱軸:2nr (a+b)1(a+b)2(a+b)3(a+b)4(a+b)5(a+b)6第6頁/共24頁2 2、若(、若(a+ba+b)n n的展開式中,第三項的二的展開式中,第三項的二項式系數(shù)與項式系數(shù)與 第五項的第五項的二項式系數(shù)相等,二項式系數(shù)相等,1 1、在、在(a(ab)b)展開式中,與倒數(shù)第三項二展開式中,與倒數(shù)第三項二項式系數(shù)相等是項式系數(shù)相等是( )( )A A 第項第項 B B 第項第項 C C 第項第項 D D 第項第項則則n=_n=_B B6 6請問請問: :一般地
6、一般地, ,當當r r滿足什么范圍時,后一項滿足什么范圍時,后一項C Cn nk k比前一項比前一項C Cn nk-1k-1要大要大? ? 分析分析:以上問題即以上問題即C Cn nk k C Cn nk-1k-1時,求時,求k k的范圍的范圍? ?知識對接測查知識對接測查1第7頁/共24頁(2 2)增減性與最大值)增減性與最大值 112111()()()CC()!kknnn nnnknkkkk 由于由于:所以所以 相對于相對于 的增減情況由的增減情況由 決定決定knC1Cknkkn1由由:2111nkkkn 即二項式系數(shù)即二項式系數(shù)前前半部分半部分是是逐漸增大逐漸增大的,由對稱性可知它的的,
7、由對稱性可知它的后后半部分是半部分是逐逐漸減小漸減小的,且的,且中間項取得最大值中間項取得最大值。21nk 可知,當 時,二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)的性質 第8頁/共24頁 因此因此, ,當當n為偶數(shù)時為偶數(shù)時, ,中間一項的二項式中間一項的二項式2Cnn系數(shù) 取得最大值; 當n為奇數(shù)時, ,中間兩項的二項式系數(shù) 12Cnn 12Cnn 相等,且同時取得最大值。先增后減,中間項取得最大值二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)的性質 (2 2)增減性與最大值)增減性與最大值 第9頁/共24頁1.在在(1+x)4的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是的展開式中,二項式系數(shù)最大的項是 ; 二項式系數(shù)最大的項是第二項式
8、系數(shù)最大的項是第 項項.在在(1-x)11的展開式中,二項式系數(shù)最大為的展開式中,二項式系數(shù)最大為 , .611C511C2.在二項式在二項式(x-1)11的展開式中的展開式中, 求系數(shù)最小的項的系數(shù)。求系數(shù)最小的項的系數(shù)。462462C C5 51111最大的系數(shù)呢?知識對接測查知識對接測查2611462C 22246C xx3第10頁/共24頁二項式系數(shù)的性質二項式系數(shù)的性質 (3 3)各二項式系數(shù)的和)各二項式系數(shù)的和 在二項式定理中,令在二項式定理中,令 ,則:,則: 1bannnnnn2CCCC210 這就是說, 的展開式的各二項式系數(shù)的和等于:nba)( n2同時由于 ,上式還可以
9、寫成:1C0n12CCCC321nnnnnn這是這是組合總數(shù)公式組合總數(shù)公式 賦值法賦值法第11頁/共24頁例例1 1、證明:在證明:在( (ab)n展開式中展開式中, ,奇數(shù)項的二項奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和. . 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C即證:即證:n-1n-1證明證明令令a=1,=1,b=-1=-1得得0) 11 () 1() 1(2n nn nr rn n2 2n n1 1n n0 0n nC C.C C.C CC CC Cn 3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC C
10、C CC CC C1222 nn3 3n n1 1n n2 2n n0 0n nC CC CC CC C特例法特例法賦值法賦值法011()CCCCnnnrn rrnnnnnna+baababb第12頁/共24頁121010101013579111111111111111._;_.CCCCCCCCC1021024 1021 1023 知識對接測查知識對接測查3第13頁/共24頁11212322nnnnnnCCCnCn證證例例 求求分析分析: :本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和本題的左邊是一個數(shù)列但不能直接求和. .因為因為 由此分析求解由此分析求解rnnrnnnnnnnCCCCCC110,01
11、131023):(1nnnnnnnnnSCCCCnCnC 設設解解nnnnnnnnCCCnCnnCS0) 2() 1(1210兩式相加兩式相加)(21210nnnnnnnnCCCCCnSnn 212nnnS倒序相加法倒序相加法第14頁/共24頁 一般地,一般地, 展開式的二項式系數(shù)展開式的二項式系數(shù) 有如下性質:有如下性質:nba)( (1 1)nnnnCCC,10mnnmnCC (2 2) (3 3)當)當 n n 為偶數(shù)時,為偶數(shù)時, (4 4)mnmnmnCCC11為最大值2nnC 當當 n n 為奇數(shù)時為奇數(shù)時 ,為最大值2121nnnnCC11 - r2311r22010222nnn
12、nnnnnnnnnnCCCCCCCCC第15頁/共24頁nxx)2(34項的二項式系數(shù)是倒數(shù)第2項的二項式系數(shù)的7倍,求展開式中x的一次項例2 已知 的展開式中,第第16頁/共24頁例例3、若若 展開式中前三項系數(shù)成等差展開式中前三項系數(shù)成等差 數(shù)列,求數(shù)列,求(1)展開式中含)展開式中含x的一次冪的項;的一次冪的項; (2)展開式中所有展開式中所有x 的有理項;的有理項; (3)展開式中系數(shù)最大的項。)展開式中系數(shù)最大的項。42 xn1( x+)解決系數(shù)最大問題,通常設第解決系數(shù)最大問題,通常設第 項是系數(shù)最項是系數(shù)最大的項,則有大的項,則有1r112rrrrTTTT由此確定由此確定r r的
13、取值的取值第17頁/共24頁變式引申: 1.1.求在求在 的展開式中系數(shù)的展開式中系數(shù)絕對值絕對值最大的項最大的項 20)23 (yx解:設系數(shù)絕對值最大的項是第解:設系數(shù)絕對值最大的項是第r+1r+1項,則項,則1211202020119120202023232323rrrrrrrrrrrrCCCCrrrr3)21( 2)20( 2) 1( 3542537r8r所以當所以當 時,系數(shù)絕對值最大的項為時,系數(shù)絕對值最大的項為8r812812820923yxCT第18頁/共24頁變式引申:變式引申:2、 的展開式中,系數(shù)絕對值最大的項是(的展開式中,系數(shù)絕對值最大的項是( )A.第第4項項 B.
14、第第4、5項項 C.第第5項項 D.第第3、4項項3、若、若 展開式中的第展開式中的第6項的系數(shù)最大,則不項的系數(shù)最大,則不含含x的項等于的項等于( )A.210 B.120 C.461 D.4167()xy321()nxx第19頁/共24頁 418 444454 118313060TTCxxx 43110,nxx 3.3.已已知知的的展展開開式式中中只只有有第第項項系系數(shù)數(shù)最最大大求求第第五五項項為偶數(shù)依題意 n,110182,.nn 且且解第20頁/共24頁(1)二項式系數(shù)的三個性質二項式系數(shù)的三個性質 (2) 數(shù)學思想:函數(shù)思想數(shù)學思想:函數(shù)思想 a 單調性;單調性; b 圖象;圖象;c 最值。最值。 各各二二項項式式系系數(shù)數(shù)的的和和增增減減性性與與最最大大值值對對稱稱性性小結小結第21頁/共24頁第22頁/共24頁求展開式中系數(shù)最大求展開式中系數(shù)最大( (小小) )的項的項206.(23),x例 在的展開式中 求其項的最大系數(shù)與最大二項式系數(shù)的比解解: :設設 項是系數(shù)最大的項項是系數(shù)最大的項, ,則則1r112012
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