中考復(fù)習(xí)~幾何定值和極值+不分版本

1、實(shí)用文案幾何定值和極值一. 本周教學(xué)內(nèi)容：幾何定值和極值1. 幾何定值問題定值問題大致分為兩類：一類是定量問題（如定長度、定角、定弧、定比）；一類是定形問題（如定點(diǎn)、定線、定圓或弧、定方向）解決這類問題要通過題目中元素動靜結(jié)合，特殊與一般結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)去分析，把定值找 出來，再有的放矢地進(jìn)行論證。（1）定量問題：解決定量問題的關(guān)鍵在探求定值，一旦定值被找出，就轉(zhuǎn)化為熟悉的幾何證明題了。探求定值的方法 一般有運(yùn)動法、特殊值法及計(jì)算法。（2）定形問題：定形問題是指定直線、定角、定向等問題。在直角坐標(biāo)平面上，定點(diǎn)可對應(yīng)于有序數(shù)對，定向直線可以 看作斜率一定的直線，實(shí)質(zhì)上這些問題是軌跡問題。2.

2、 幾何極值問題：最常見的幾何極值問題大體包括：有關(guān)線段的最大最小問題；三角形面積的最大最小問題；角的最大最小問題等。二. 重點(diǎn)、難點(diǎn)：（一）重點(diǎn)：重點(diǎn)是幾何的定值問題和極值問題，證幾何定值問題時要運(yùn)用一定的猜想、聯(lián)想、推理、計(jì)算等手段探求 定值。幾何中的極值問題大量的是利用幾何圖形的性質(zhì)，作各種幾何變換及利用幾何中的不等量關(guān)系來求解。（二）難點(diǎn)：難點(diǎn)是通過題目中元素動靜結(jié)合，特殊與一般結(jié)合，數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)進(jìn)行分析，從而提高分析問題和解決 問題的能力?！纠}分析】例1.已知的兩邊的中點(diǎn)分別為 M、N , P為MN上的任一點(diǎn)，BP、CP的延長線分別交 AC、AB于D、E,求證：為定值。標(biāo)準(zhǔn)文檔點(diǎn)將

3、與A點(diǎn)重合，而AM = MB，于是，于是轉(zhuǎn)入一般證明。分析：用運(yùn)動法探求定值，先考慮特殊情況，令P在MN上向M運(yùn)動，此時D點(diǎn)向A運(yùn)動，P點(diǎn)運(yùn)動到M時，D證明：連結(jié)AP例2.兩圓相交于P、Q兩點(diǎn)，過點(diǎn)P任作兩直線與 交一圓于 A、B，交另一圓于,AB與 交于點(diǎn)C,求證：為定值。分析：設(shè)兩圓為o o、o ，現(xiàn)從運(yùn)動極端分析，因?yàn)橹本€與 都是以P為固定點(diǎn)運(yùn)動的。當(dāng)與 重，QA、分別為直徑。合時，便成了左圖的情況，而 AC和分別成了兩圓的切線。且容易求得這就是所求的定值。證明：如右圖，連結(jié) PQ、BQ、則有例3.在定角XOY的角平分線上，任取一點(diǎn) P,以P為圓心，任作一圓與 0X相交，靠近0點(diǎn)的交點(diǎn)為

4、A，與0Y相 交，遠(yuǎn)離0點(diǎn)的交點(diǎn)為B,貝U為定角。分析：先探求定值，根據(jù)特殊化求定值，一般證明的原則，先看圖（2），如果以角平分線上任意一點(diǎn)P為圓心，以0P為半徑作圓，此時， A點(diǎn)與0點(diǎn)重合，證明：如圖，作例4.已知E、F分別是四邊形 ABCD的AB、CD邊上的中點(diǎn)求證：分析：本題即證EF的最大值為，因此可先考慮特殊情況，以找出等號成立的條件，再證一般情況。證明：當(dāng)四邊形中AD/BC時，如左圖EF是梯形ABCD的中位線當(dāng)AD不平行BC時，如右圖連結(jié)AC,取AC的中點(diǎn)G,再連結(jié)EG、FG在中，在中，又中,綜合，得【考點(diǎn)解析】交BE延長線于點(diǎn)C,若例1.如圖，AD是O O的直徑，B是AD延長線上一

5、點(diǎn)，BE切O O于點(diǎn)E, 弦EG交AD于點(diǎn)F。求證:證明：連結(jié)AE、ED點(diǎn)評：本題用到了垂徑定理的推論，圓周角、弦切角、直徑所對的圓周角、直角三角形兩銳角互余，角平分線的性質(zhì)等知識。例2.如圖，在中，,O是AB上一點(diǎn)，以 0為圓心，0B為半徑的半圓與 AC切于點(diǎn)D，與AB交于點(diǎn)E,若AD = 2 , AE = 1，求的值和四邊形BCDE的面積。分析：求的值，需要用轉(zhuǎn)化的思想，因?yàn)椴皇侵苯侨切?，所以要轉(zhuǎn)化到直角三角形中解決問題。因?yàn)橹薪鉀Q問題。求四邊形可以用割補(bǔ)的方法，把四邊形分割成，所以可以把問題轉(zhuǎn)化到和等腰兩個三角形分別求解。:連結(jié)BD，過D點(diǎn)作于點(diǎn)F點(diǎn)評：本題主要運(yùn)用了轉(zhuǎn)化的思想，把求轉(zhuǎn)

6、化到了中來解決?？疾榱讼嗨迫切?、弦切角、圓周角、勾股定理等知識?！灸M試題】幾何定值問題1. 求證：正三角形內(nèi)一點(diǎn)到三邊距離之和為定值。2.在正方形ABCD的外接圓的AD上任取一點(diǎn)P,則(PC + PA) : PB 為定值。3.在正方形ABCD內(nèi)，以A點(diǎn)為頂點(diǎn)作且，設(shè)這個角的兩邊分別交正方形的邊BC、CD于E、F,自E、F分別作正方形對角線 AC的垂線，垂足為 P、Q。求證：過B、P、Q所作圓的圓心在 BC上。4.已知CD是半徑為R的O O的直徑，AB是動弦，AB與CD相交于E,且成 角，求證：為定值。二.幾何極值問題5在中，D是AB的中點(diǎn)，E、F分別是AC、BC上的點(diǎn)，試證明的面積不超過之

7、和。6.如圖，中，D、E分別是BC、AB上的點(diǎn)，且，如果m、，證明：。的面積的周長依次是7.已知P為平行四邊形 ABCD的AB邊上的一個動點(diǎn)，DP的延長線與 CB的延長線相交于 Q,問P點(diǎn)在什么位置時，使得的值最小?8.設(shè)AB是O O的動切線，與通過圓心 0而互相垂直的兩直線相交于A、B, O O的半徑為r,求0A + 0B的最小值?！疽呻y解答】A. 教師自己設(shè)計(jì)問題：1 .本周的模擬試題為什么沒有選擇題和填空題？2 解答題的8個題各屬于幾何定值和極值的哪種類型？它們的解題思路是什么？B. 對問題的解答：1. 本周的幾何定值和極值問題綜合性較強(qiáng)，而且一般都在解答題中出現(xiàn)，選擇題和填空題出現(xiàn)極少

8、，因此本周的模擬 試題都是解答題。2. 答：解答題的第1題、第2題和第4題是幾何定值中的定量問題；第3題是幾何定值中的定形問題；第 5到第8題是幾何極值問題。下面就這8個題的解題思路分別作以下的說明。第1題：已知P為正內(nèi)任意一點(diǎn)，它到 BC、CA、AB的距離分別為 PE、PF、PD，求證：PD + PE+ PF為定值。分析：點(diǎn)P可以在三角形內(nèi)任意運(yùn)動，當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到正三角形的一個頂點(diǎn)時，顯然就是正三角形的高，因此，PD +PE+ PF必取定值，這個定值，就是的高h(yuǎn)。證明：連結(jié)PA、PB、PC顯然有：第2題：分析：用運(yùn)動法令P與D重合，則(PC + PA) : PB變?yōu)?DA + DC) : DB

9、，顯然其定值為 由于圖中直角比較多，所以可做垂線構(gòu)造相似形證明。證明：由A引第3題：本題屬于定形問題，要證 B、P、Q三點(diǎn)所確定的圓的圓心在 BC上，若命題正確，則 B點(diǎn)就是半徑的端點(diǎn), 且，AB就是圓的切線，APQ是割線，那么必有，證明即可。證明：如圖，AB是過B、P、Q三點(diǎn)所作圓的切線， BC過切點(diǎn)B垂直于AB，它必通過圓心，也就是過B、P、Q所作圓的圓心在 BC邊上。第4題：這是定值問題，既然 AB是O O的動弦，而且與O O的定直徑CD保持夾角為，則可把這些動弦視為組平行移動的弦，顯然，做一條過圓心且平行于 AB的弦，則E點(diǎn)與0點(diǎn)重合，這時于是探求到定值為，這里的是特殊位置，一般情況就

10、比較好證了。第5題：分析：因?yàn)镈A = DB ,所以就可以拼合成一個四邊形，然后再去與比較面積的大小。證明：(1)如圖(1)，以D為對稱中心，把旋轉(zhuǎn)，易知四邊形是凸四邊形，連結(jié)而且(2) 當(dāng)E運(yùn)動到與A重合時，如圖(2)(3) 當(dāng)F運(yùn)動到與B重合時，如圖(3)綜合(1)、(3)總能成立。第6題：分析：初看本題不好下手，但仔細(xì)想來有兩條路可走，一是把分別用同一個三角形的邊長的代數(shù)式表示，將轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求極值；另一是將的和，分別求其代數(shù)式再求極值。證明：設(shè) BC= a, AC = b , AB = c,貝V m = a + b + c第7題：分析：P是AB邊上的一個動點(diǎn)，Q點(diǎn)隨P的運(yùn)動而動，題中涉及兩個未知量的和。BQ隨AP的變化而變化,所以可用AP的代數(shù)式來表示。這樣，我們設(shè)所求兩線段之和為線段AP的函數(shù)，即可用代數(shù)法求解。解：設(shè) AP = x, AB = m , AD = n , AP + BQ