數(shù)學建?！督德鋫愕倪x購問題》123

1、數(shù)學與信息科學學院數(shù)學建模實訓論文數(shù)學與信息科學學院數(shù)學建模實訓論文實訓題目：降落傘的選購模型學生姓名、學號、專業(yè)班級 指導教師：2014年12月降落傘的選購模型摘要 近幾年自然災害頻繁發(fā)生，因此得進行大規(guī)模的搶險救災活動，例如汶川大地震。所以降落傘的選購是一個最大問題。選擇合理的降落傘并使投資費用最少是值得我們考慮的問題。本題目就是關于降落傘的選購方案的最優(yōu)化問題，目的是在滿足空投要求的條件下，使費用最少，從而達到節(jié)約支出的目的。為了方便研究我們先進行受受力分析: 把降落傘和物資看做一個整體，忽略了傘和繩子的質(zhì)量，降落傘在降落過程中除受到豎直向下的重力作用外還受到豎直向上的空氣阻力的作用，而

2、由題可知空氣阻力又與阻力系數(shù)(k)、加速度(a)、傘的受力面積(s)有關。運動速度(v)和受力面積(s)是已知的，所以要想確定每種傘的最大承載量，就必須先要確定空氣的阻力系數(shù)(k)。為了方便對物資進行受力分析，我們把降落傘和物資看作一個整體?？芍矬wA只受到豎直向上的空氣阻力和豎直向下的重力作用。又由題可知空氣阻力與降落速度v和傘的受力面積S的乘積成正比。則物體A在豎直方向上受到的合外力為：通過對降落傘在空中的受力情況的分析建立起了高度與時間的方程，然后以高度與時間的方程作為擬合曲線與題中給出的時間與高度的數(shù)據(jù)進行擬合，得出阻力系數(shù)k的值k=2.9377。我們建立了速度與質(zhì)量的方程，并證明其為

3、嚴格增函數(shù)（證明過程見建模與求解）。由于題中已限制降落傘的最大落地速度為20m/s，所以當速度為20m/s時，傘的承載量最大。建立高度與時間，速度與時間的方程組，代入最大速度20m/s，高度500m,傘的半徑（題中已給出可能選購的每種傘的半徑）。傘面費用C1、繩索費用C2、固定費用C3。傘面費用由傘的半徑r決定；繩索費用C2由繩索的長度及單價決定，由圖一可知繩索的長度又由降落傘的半徑?jīng)Q定即，則繩索費用為 ；固定費用為定值，總費用最后運用LINGO軟件進行線性規(guī)劃求解得一共需要四個n2=0，n2.5=0 ，n3=1， n3.5=1，n4=2最少總費用為3682.34元。關鍵字：最大承載量、線性規(guī)

4、劃、Matlab、數(shù)據(jù)擬合 一、問題的重述向災區(qū)空投救災物資共2000公斤，需選購一批降落傘。已知空投高度為500米，要求降落傘落地時的速度不能超過20米/秒。降落傘面是半徑為的半球面，用16根每根長為L的繩索連接的載重位于球心正下方球面處。每個降落傘的價格由三部分組成。傘面費用由傘的半徑?jīng)Q定，見表1-1；繩索費用由繩索總長度及單價4元/米決定；固定費用為200元。降落傘在降落過程中受到的空氣阻力，可以認為與降落速度和傘面積的乘積成正比。為了確定阻力系數(shù)，用半徑為米、載重公斤的降落傘從500米高度做降落試驗，測得各時刻的高度，見表1-2。試確定降落傘的選購方案，即共需多少個，每個傘的半徑多大（

5、在表1-1中選擇），在滿足空投要求的條件下，使得費用最低。表1-1 降落傘的傘面費用半徑（米）2.02.53.03.54.0傘面費用（元）75140220350500表1-2 降落試驗測得的數(shù)據(jù)時刻 （秒）036912151821242730高度 （米）500470425372317264215160108551 二、模型的假設1、 空投物資的總數(shù)2000kg可以任意分割；2、 假設空投物資的瞬時傘已打開；3、 降落傘和繩的質(zhì)量可以忽略不計；4、 降落傘的落地速度不會超過20m/s；5、 空氣的阻力系數(shù)與除空氣外的其它因素無關；6、 假設降落傘只受到豎直方向上的空氣阻力作用；7、 每個降落傘載

6、的物重都不會超過降落過程中的最大載重。三、符號說明 空氣阻力阻力系數(shù) 半徑為的降落傘的最大載重 半徑為的降落傘的傘面面積 時刻降落傘的下降高度 時刻降落傘的下降速度 購買半徑為的降落傘數(shù)目 傘面費 繩索費 固定費用L 降落傘每根繩索的長度 降落傘的加速度 重力加速度,四、問題的分析由題意可知每個傘的價格由三部分組成：傘面費用C1、繩索費用C2、固定費用C3。傘面費用由傘的半徑r決定；繩索費用C2由繩索的長度及單價決定，由圖一可知繩索的長度又由降落傘的半徑?jīng)Q定即，則繩索費用為 ；固定費用為定值 。因為題中已給出每種傘面的半徑，所以每種傘的價格為定值。要想確定選購方案，即共需半徑（在題中給出的半徑

7、中選擇）為多大的傘的數(shù)量，在滿足空投物資要求的條件下使總費用最少。因此，我們需要確定每種傘的最大承載量。然后進行線性規(guī)劃，確定總費用最少和每種傘的個數(shù)。要確定最大載重量，我們需對降落傘進行受力分析（如圖4.2）。降落傘在降落過程中除受到豎直向下的重力作用外還受到豎直向上的空氣阻力的作用，而由題可知空氣阻力又與阻力系數(shù)(k)、運動速度(a)、傘的受力面積(s)有關。運動速度(v)和受力面積(s)是已知的，所以要想確定每種傘的最大承載量，就必須先要確定空氣的阻力系數(shù)(k)。圖4.1 圖4.2 對圖4.2的分析可知降落傘的運動狀態(tài)是做加速度趨近于0的加速運動。因此，我們可以建立一個位移與時間的函數(shù)關

8、系式，在根據(jù)題中所給的數(shù)據(jù)擬合出阻力系數(shù)k的值。然后再建立一個速度與時間的函數(shù)關系式，兩個關系式聯(lián)立求解出最大載重量（其中高度和速度由題目已經(jīng)給出）。最后用LINGO軟件進行線性規(guī)劃算出問題要的結果。五、建模與求解（1）首先確定阻力系數(shù)k為了方便對物資進行受力分析，我們把降落傘和物資看作一個整體如圖二。由假設5可知物體A只受到豎直向上的空氣阻力和豎直向下的重力作用。又由題可知空氣阻力與降落速度v和傘的受力面積S的乘積成正比。則物體A在豎直方向上受到的合外力為：由運動學方程得由物體位移H和時間(t)的二次微分等于加速度建立方程得用MATLAB解微分方程得(程序見附錄1)則題目已經(jīng)給t-h數(shù)據(jù)為時

9、刻t（s）036912151821242730高度h（m）500470425372317264215160108551對給定的數(shù)據(jù)以為擬合函數(shù)進行擬合，r=3m,m=300kg,g=9.8,得出k=2.9377 。（程序見附錄2）（2）求解最大承載量用速度對時間的微分等于加速度，且v0=0建立方程組得：用MATLAB解得(程序見附錄3)由前面的和函數(shù)建立方程組得k=2.9377,g=9.8,r=2 2.5 3 3.5 4因為降落傘在下落過程中其質(zhì)量是不變的，所以我們把關系式中t看做一個定值，則關于m的方程為從上式我們可以知道是關于m的單調(diào)遞增函數(shù)證明過程如下由數(shù)學知識可知：函數(shù)的一階導數(shù)大于零

10、，則原函數(shù)是單調(diào)遞增的。一階導數(shù)小于零，則原函數(shù)是單調(diào)遞減的。對求一階導數(shù)得由上式分析可知無法確定其是否大于零，在對其求二階導數(shù)為則一階導數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，當m趨近于無窮大時對一階導數(shù)求極限可知由此可得則原函數(shù)是單調(diào)遞增函數(shù)，即速度v和m是成正比關系的。又如果存在平衡狀態(tài)則必須滿足，那么 而又通過對 分析，只有在，這與實際矛盾，故降落傘是一直做加速度減小的加速運動，不存在平衡狀態(tài)。因此，求最大載重量取傘在下降到地面的瞬間達到最大速度,此時m，由方程組調(diào)用MATLAB分別解得半徑為r的降落傘在滿足空投條件下的最大載重量如下表（程序見附錄5） 改變r的大小用matlab計算最后整理得表5-1 不同

11、半徑降落傘的最大載重量r（m）22.533.54最大承載（kg）151.0942236.0847339.9620462.7260604.3768（3）線性規(guī)劃求解數(shù)量和費用由分析可知每種傘的單價由題可知為 表1-1 降落傘的傘面費用r（m）22.533.54C1（元）75140220350500為為固定值即 由以上數(shù)據(jù)求得每種傘的單價見下表表5-2 購買不同半徑的降落傘的各需總費用22.533.54181.1222656271.36316.8036224456.12566.56691.36866.801062.24我們設每種傘分別取n2,n2.5,n3,n3.5,n4個,則其目標函數(shù)為 s.t

12、對其進行優(yōu)化求解C的最小值，就是所需的最小費用。用LINGO求解得（程序見附件6）n2=0n2.5=0 n3=1 n3.5=1n4=2最少總費用為3682.34元。六、模型的評價與推廣優(yōu)點：本模型的求解過程大量的運用了電腦軟件，使得計算更加精確。缺點：1、 本模型未考慮降落傘打開的時間，將其假設成在下降時傘就已經(jīng)打開。2、 由于在實際生活中降落傘還受到風向的影響，本模型假設的是理想的狀態(tài)下（無風）推廣：1、當降落傘的半徑仍為2m,2.5m,3m,3.5m,4m 五種時,其它條件不變,現(xiàn)在救災物資很多,超過3000kg要求確定選購方案,則只需將其相應數(shù)據(jù)改為其它數(shù)據(jù),如5000kg,9000kg

13、等,就可求出相應的選購方案及總費用.2、由于本模型假設的是在物資拋落的瞬時傘已打開，而在實際情況中物資拋落后應有一段自由落體運動。在模型的改進時應考慮到這一點，以便讓模型更切合實際。七、參考文獻1、郭高鵬.降落傘的選購問題 2015-1-62、蕭樹鐵主編.數(shù)學實驗M.,北京：高等教育出版社，1999 7 13、許 波MATLAB工程數(shù)學應用M 北京：清華大學出版社4、全國大學生數(shù)學建模競賽組委會，全國大學生數(shù)學建模競賽優(yōu)秀論文匯編，北京：中國物價出版社，20025、謝金星，薛毅，優(yōu)化建模與LINDO/LINGO 軟件，北京：清華大學出版社，2005八、附錄附錄1H=dsolve('m*

14、D2H+k*S*DH=m*g','H(0)=0,DH(0)=0','t')得：g/k2/S2*m2*exp(-k*S/m*t)+g/k/S*m*t-1/k2/S2*m2*g附錄2擬合k建立一個名為myfun1的m文件function F=myfun1(x,xdata)s=2*pi*32;m=300;g=9.8;F=500-m2*g/(x(1)2*s2)*exp(-x(1)*s*xdata/m)-m*g*xdata/(x(1)*s)+m2*g/(x(1)2*s2);在matlab command window中輸入下列命令：xdata=0 3 6 9 12

15、 15 18 21 24 27 30;ydata=500470425372317264215160108551 ;x0=1;x=lsqcurvefit(myfun1,x0,xdata,ydata)附錄3求解Vv=dsolve('m*Dv+k*S*v-m*g=0','v(0)=0','t')得：附錄4 syms m t g S k； f=g*m/(k*S)-g*m/(k*S)*exp(-k*S*t/m); diff(f,m2)求得-g/m3*t2*k*s*exp(-k*s/m*t)附錄5 求最大承載量在matlab中建立一個名為myfun的m文件，

16、如下：function F=myfun(x)r=2.5; %依次輸入不同半徑g=9.8;k=2.9458;s=2*pi*r2;F=x(1)2*g/(k2*s2)*exp(-k*s*x(2)/x(1)+x(1)*g*x(2)/(k*s)-x(1)2*g/(k2*s2)-500;g*x(1)/(k*s)-g*x(1)/(k*s)*exp(-k*s*x(2)/x(1)-20;在matlab中command window中輸入以下命令：x0 = 1; 1; % 初始點options=optimset('Display','iter'); % 顯示輸出信息x = fsol

17、ve(myfun,x0,options)附錄6優(yōu)化求解min=456.12*x1+566.56*x2+691.36*x3+866.80*x4+1062.24*x5;151.0942*x1+236.0847*x2+339.9620*x3+462.7260*x4+604.3768*x5>=2000;x1>=0;x2>=0;x3>=0;x4>=0;x5>=0;gin(x1);gin(x2);gin(x3);gin(x4);gin(x5);Global optimal solution found. Objective value: 3682.640 Extended solver steps: 0 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X1 0.00