關(guān)于無窮級(jí)數(shù)求和問題的探討畢業(yè)論文

1、關(guān)于無窮級(jí)數(shù)求和問題的探討 方先鋒（莆田學(xué)院數(shù)學(xué)系 指導(dǎo)教師：林美琳）摘要：無窮級(jí)數(shù)是數(shù)學(xué)分析中的一個(gè)重要內(nèi)容,無窮級(jí)數(shù)的和對(duì)于研究無窮級(jí)數(shù)的特性、函數(shù)斂散性、近似計(jì)算等都有重要的作用，本文介紹了無窮級(jí)數(shù)求和的一些方法，如裂項(xiàng)相消法、逐項(xiàng)微分或積分法、轉(zhuǎn)化為函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求解法、利用子列的極限等等，以及這些方法在具體例子中的應(yīng)用，其目的是為了讓讀者更加熟練地掌握無窮級(jí)數(shù)求和方法及技巧，從而進(jìn)一步促進(jìn)其對(duì)該知識(shí)的學(xué)習(xí)和理解無窮級(jí)數(shù)，為以后更深入的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)做好準(zhǔn)備。關(guān)鍵字：級(jí)數(shù)求和;逐項(xiàng)積分;函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù);拉普拉斯變換Abstract: Infinite series is an important p

2、art of mathematical analysis, infinite series and for research the characteristics, function infinite series converges scattered sex, approximate computation has important effect, this paper introduces some methods of infinite series summation, such as Cancellation Method of Splitting, item by item,

3、 a photograph of differential and integral method, is transformed into a function of series method, using subsequence limit, etc, and these methods in specific examples of application, Its purpose is to let the reader more mastered the infinite series summation methods and skills, thus further promo

4、te its to the knowledge learning and understanding infinite series, for further study mathematics ready.Keywords: Series summation; Item by item, integral; Function of series; Laplace transform引言無窮級(jí)數(shù)不僅是研究分析學(xué)的重要工具，同時(shí)在自然科學(xué)和工程技術(shù)中有許多問題也可以由無窮級(jí)數(shù)來解決。這是因?yàn)?，一方面有很多函?shù)可以用無窮級(jí)數(shù)來表示；另一方面，又能借助于無窮級(jí)數(shù)來研究函數(shù)逼近和近似計(jì)算等問題。所以無

5、窮級(jí)數(shù)理論在理論或?qū)嶋H應(yīng)用中，都是研究函數(shù)的一種重要數(shù)學(xué)工具。要掌握這一工具無窮收斂級(jí)數(shù)求和的問題，便成為一個(gè)基本又很重要的一個(gè)課題了。 我們?cè)谘芯考?jí)數(shù)的斂散性時(shí), 當(dāng)級(jí)數(shù)收斂的情況下, 如何去求出其和, 有時(shí)是比較麻煩的事。對(duì)于無窮級(jí)數(shù)求和的這一問題，李素峰、張春平、鄭春雨、蔡炯輝等人對(duì)此有一定的研究，并撰寫了與此相關(guān)的一些文章，對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)起到了一定的指導(dǎo)作用 但他們的文章篇幅甚少，內(nèi)容簡單，沒有系統(tǒng)全面地介紹無窮級(jí)數(shù)求和的方法，本文作者通過長時(shí)間閱讀大量的文獻(xiàn)學(xué)習(xí)研究，研究級(jí)數(shù)求和方法以饗讀者。1 利用級(jí)數(shù)和的定義求和法定義：如果級(jí)數(shù)的部分和數(shù)列有極限，即，則稱無窮級(jí)數(shù)收斂，這時(shí)極限叫做這

6、級(jí)數(shù)的和，并寫成；如果沒有極限，則稱無窮級(jí)數(shù)發(fā)散。例1 求和 .分析：我們可以根據(jù)已知級(jí)數(shù)的特點(diǎn)：后一項(xiàng)中的的次數(shù)都比前一項(xiàng)的次數(shù)多一，這樣我們就可以乘以一個(gè)，然后作差，最后再取極限。解：記部分和則兩式相減得： 取極限后易得： .例 2 求級(jí)數(shù)的和。分析：由已知級(jí)數(shù)的通項(xiàng)可知：它的后一項(xiàng)的分母是前一項(xiàng)分母的倍，我們把通項(xiàng)的分母先乘以，然后作差，最后取極限。解： 由得：即于是2 裂項(xiàng)相消法求和法 主要適用于無窮級(jí)數(shù)的通項(xiàng)公式為分式且其分母是因式之積的形式的級(jí)數(shù)。它的關(guān)鍵是將級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)分解成部分分式的形式。諸如：，等等，都可以用裂項(xiàng)相消法求和。例 3 求無窮級(jí)數(shù)的和.分析：觀察到此無窮級(jí)數(shù)的通項(xiàng)

7、公式為分式且其分母是因式之積的形式的級(jí)數(shù)，注意到，然后再求和。解 ：因?yàn)?所以即例 4 求無窮級(jí)數(shù).分析：題目所給出的級(jí)數(shù)的通項(xiàng)是分母為根式之積的分式，我們可以考慮先將其分母有理化再進(jìn)行約分化簡成可抵消的兩項(xiàng)之差。解：先對(duì)通項(xiàng)分母中的和式進(jìn)行有理化，得所以 從而3 利用逐項(xiàng)求導(dǎo)與逐項(xiàng)求積分求和法定理1 如果級(jí)數(shù)的各項(xiàng)在區(qū)間上連續(xù)，且在上一致收斂于，則級(jí)數(shù)在上可以逐項(xiàng)積分，即 其中并且上式右端的級(jí)數(shù)在上也一致連續(xù)。定理2 如果級(jí)數(shù)在區(qū)間上收斂于和，它的各項(xiàng)都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，并且級(jí)數(shù)在上一致收斂，則級(jí)數(shù)在上也一致收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，即方法：利用逐項(xiàng)求導(dǎo)或逐項(xiàng)積分，將級(jí)數(shù)化為已知的展式求和。例 5 求

8、級(jí)數(shù)的和.分析：觀察到如果先對(duì)原級(jí)數(shù)從到積分，然后再變形就可轉(zhuǎn)化為泰勒展開式了，最后求和。解：記，其中。因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，發(fā)散。 當(dāng)時(shí)，發(fā)散即的收斂域?yàn)?，從而在其收斂域?nèi)逐項(xiàng)積分有所以 .例 6 計(jì)算無窮級(jí)數(shù)之和。分析：該級(jí)數(shù)求和的困難之處在于有分母, 如果沒有分母, 這就是一個(gè)等比級(jí)數(shù), 其和馬上可以寫出。但此級(jí)數(shù)容易證明其收斂半徑為。因此,內(nèi)可以逐項(xiàng)微分任意多次。將級(jí)數(shù)逐項(xiàng)微分兩次之后便消去了全部分母, 成為了。求出和再積分（從積到）兩次,即可得解。解：由則對(duì)于級(jí)數(shù)，兩邊從積到，得 兩邊再從積到，得 上式左邊正是原級(jí)數(shù)。所以級(jí)數(shù)和 例 7 設(shè)，求.分析：首先我們將積分算出來，然后又注意到是中

9、的值，由我們想到先求導(dǎo)后積分及可以求出。解：積分：.因此設(shè) 求導(dǎo)后再求和，得 積分，得 令，則 . 故 4 轉(zhuǎn)化數(shù)列極限的計(jì)算問題求和法數(shù)列的斂散性可由其子列來研究,并且有一個(gè)重要的結(jié)論：引理 1:數(shù)列收斂的充分必要條件是的任一子列都收斂,且有相同的極限。特別地,由引理1,可得引理2:數(shù)列收斂于的充分必要條件是的兩個(gè)子列和都收斂于同一極限，此時(shí)， 稱兩個(gè)子列和為互補(bǔ)子序列?？蓪⒁?推廣到一般情形定理1: 數(shù)列收斂于的充分必要條件是的(是某個(gè)正整數(shù))個(gè)子列,，都收斂于同一極限.證明:當(dāng)時(shí),結(jié)論顯然成立;下面證明當(dāng)p = 3 時(shí)結(jié)論成立,其他情形類似可證由引理1可知必要性顯然,只要證明“充分性”

10、由條件,由收斂于，則對(duì)，當(dāng)時(shí)，有由收斂于，則對(duì)上述的，當(dāng)時(shí)，有由收斂于，則對(duì)上述的，當(dāng)時(shí)，有取，則時(shí)，有且且當(dāng)時(shí)，或或所以故證數(shù)列收斂于。定理2：若級(jí)數(shù)的通項(xiàng)（當(dāng)時(shí)），則收斂于的充分必要條件是部分和數(shù)列的子數(shù)列收斂于。此時(shí)。證明：必要性：由引理可知。 充分性：因?yàn)槭諗坑?，由收斂的“?定義可得：對(duì)，當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)?，由收斂的“?定義可得：則對(duì)上述的，當(dāng)時(shí)，有，則當(dāng)，考察因此，由收斂的“”的定義得：收斂于，再根據(jù)引理，可知收斂于。定理3：若級(jí)數(shù)的通項(xiàng)（當(dāng)時(shí)），則收斂于的充分必要條件是部分和數(shù)列的的一個(gè)子列（是某個(gè)正整數(shù)，收斂于。證明：當(dāng)時(shí)結(jié)論成立，下面證明時(shí)結(jié)論成立，其他的情形類似可證。必要性

11、：由引理可知。充分性：收斂于，由收斂的“” 定義可得：則對(duì)，當(dāng)時(shí)，有，又因?yàn)?，由收斂的“?定義可得：則對(duì)上述的，當(dāng)時(shí)，有，則，考察因此，由收斂的“” 定義可得，收斂于，再根據(jù)定理可得收斂于。例 8 求交錯(cuò)級(jí)數(shù)的和.分析：通過寫出觀察后，我們可先考慮的極限，然后化簡就可以利用定理3知其和。解：原級(jí)數(shù)，觀察后，考察部分和數(shù)列的子列的極限。首先給出一個(gè)重要的公式： 其中成為常數(shù)，且。對(duì)于原級(jí)數(shù)，并由式可知即，又因?yàn)樗?，有定?知，原級(jí)數(shù)收斂，其和為.例 9 計(jì)算級(jí)數(shù)的和。分析：我們發(fā)現(xiàn)原級(jí)數(shù)每三項(xiàng)就會(huì)出項(xiàng)一個(gè)負(fù)的項(xiàng)，我們這樣就可以考慮級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的和，從而得出結(jié)果。解：級(jí)數(shù)的前項(xiàng)的和為 所以收斂于

12、，又因?yàn)?，因此根?jù)定理可得原級(jí)數(shù)收斂，其和為。 5 利用解微分方程求和法即研究它的導(dǎo)數(shù)或其與它本身有何特點(diǎn)及相關(guān)聯(lián)系，看其是否滿足某微分方程及定解條件 找出欲求和級(jí)數(shù)所滿足的微分方程及定解條件，再解該方程。例 10 求無窮級(jí)數(shù)的和.分析：我們發(fā)現(xiàn)此級(jí)數(shù)它的本身其實(shí)和它的導(dǎo)數(shù)的和相等，這樣我們就可列出微分方程，求其解，也就是無窮級(jí)數(shù)的和。解：易知該冪級(jí)數(shù)的收斂，故在內(nèi)級(jí)數(shù)處處收斂，且可逐項(xiàng)求導(dǎo)，令 又當(dāng)時(shí)，解一階微分方程得，即= .例 11 求無窮級(jí)數(shù)的和.分析：先對(duì)原級(jí)數(shù)求導(dǎo)，而后就會(huì)注意到，解這個(gè)一階線性微分方程就得出其和。解：該級(jí)數(shù)收斂域?yàn)?，設(shè)其和為. 則 即這是一階線性微分方程，由通解公

13、式： 由，得， .6 利用傅里葉級(jí)數(shù)求和法在將某些函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)時(shí)，往往得到一些比較規(guī)范的三角級(jí)數(shù)展開式。設(shè)在區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)，其中，它在上收斂，它的和函數(shù)例 12 求的和.分析：注意到該級(jí)數(shù)的和函數(shù)在展開的傅里葉級(jí)數(shù)的關(guān)系。解：先求的傅里葉級(jí)數(shù)，所以將函數(shù)在上展成傅里葉級(jí)數(shù)得： ；令，則例 13 求無窮級(jí)數(shù)的和。分析：通過先求的傅里葉級(jí)數(shù)，然后再轉(zhuǎn)向原級(jí)數(shù)求和。解：先求的傅里葉級(jí)數(shù) ， ，有在處連續(xù) ，有 7 利用歐拉常數(shù)求和法極限的值為歐拉常數(shù)，設(shè)為，則有： 其中。利用上式可求某些數(shù)值級(jí)數(shù)的和。例 14 求.分析：首先我們可以先用裂項(xiàng)相消法，然后化簡，注意到可以用歐拉常數(shù)

14、求和法，從而求和。解： 即 .例 15 級(jí)數(shù).分析：注意到，之后再用歐拉常數(shù)法。解：注意到，則 (是常數(shù))8 利用拉普拉斯（laplace）變換求和法基本定義和有關(guān)定理定義 設(shè)函數(shù)當(dāng)時(shí)有定義，而且積分 （為復(fù)參數(shù)）在的某一領(lǐng)域內(nèi)收斂，則有此積分所確定的函數(shù)為 公式稱為函數(shù)的拉普拉斯變換式。記為 稱為的拉氏變換，而稱為的拉氏逆變換，記為 積分反演定理 若是可變換的，且，則 。例 16 求級(jí)數(shù)之和.分析：這種題目比較簡單，也有其他的方法，我們這里就用拉普拉斯變換來求和。解： 由于，將改成得 ，故得.例 17 求級(jí)數(shù)之和.分析：這里用拉普拉斯變換來求和，比較一下和其他的其和方法有什么好的地方。解：由

15、于，把改成，即有.所以.9 結(jié)論以上本著由淺入深循序漸進(jìn)的原則介紹了無窮級(jí)數(shù)的幾種求和方法 相信對(duì)于解決此類問題會(huì)起到一定的指導(dǎo)作用，但單純地掌握幾種方法還遠(yuǎn)遠(yuǎn)不夠，總之 ,在級(jí)數(shù)求和過程中,要掌握多種求和方法 ,而且要根據(jù)具體題確定用哪種方法。以上較為全面地介紹了一些常用的方法和技巧，希望對(duì)提高學(xué)生的計(jì)算能力和計(jì)算速度起到一定的作用，特別是針對(duì)許多一題多解的級(jí)數(shù)求和問題采取正確的方法以便最簡。有些求和問題用一種方法求解很麻煩甚至不可能，它需要多種方法的靈活交錯(cuò)使用，有些題目也可以用多種方法求解，讀者可以結(jié)合自身的特點(diǎn)使用。致謝在此論文撰寫過程中，要特別感謝我的導(dǎo)師林美琳的指導(dǎo)與督促，同時(shí)感謝

16、她的諒解與包容。沒有林美琳老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。求學(xué)歷程是艱苦的，但又是快樂的。感謝我的鋪導(dǎo)員陳梅香老師、林斌老師，謝謝他們?cè)谶@四年中為我們?nèi)嗨龅囊磺?，他們不求回?bào)，無私奉獻(xiàn)的精神很讓我感動(dòng)，再次向他們表示由衷的感謝。在這四年的學(xué)期中結(jié)識(shí)的各位生活和學(xué)習(xí)上的摯友讓我得到了人生最大的一筆財(cái)富。在此，也對(duì)他們表示衷心感謝。 謝謝我的父母，沒有他們辛勤的付出也就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻(xiàn)給你們！ 本文參考了大量的文獻(xiàn)資料，在此，向各學(xué)術(shù)界的前輩們致敬！參考文獻(xiàn)：1 李素峰.關(guān)于無窮級(jí)數(shù)求和問題的探討J.邢臺(tái)學(xué)院學(xué)報(bào)，2008，（4）：12-13.2 張春平.無窮級(jí)數(shù)的求和探討J.沈陽師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2008，（3）：20-21.3 鄭春雨.數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和的求法例談J.海南廣播電視大學(xué)學(xué)報(bào)，2006，24（3）：96-97.4 蔡炯輝，胡曉敏.收斂級(jí)數(shù)求和的初等方法J.玉溪師范學(xué)院院報(bào)，2006，22（6）：95-98.5 復(fù)旦大學(xué)數(shù)學(xué)系. 數(shù)學(xué)分析M.3版.北京：高等教育出版社，1983.6同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.高等數(shù)學(xué)習(xí)題全解指南M.北京：高等教育出版社，2007