根與系數(shù)關(guān)系知識講解及練習(xí)

1、韋達定理：對于一元二次方程，如果方程有兩個實數(shù)根，則說明：（1）定理成立的條件（2）注意公式重的負號與b的符號的區(qū)別根系關(guān)系的幾大用處 驗根：不解方程，利用根與系數(shù)的關(guān)系可以檢驗兩個數(shù)是不是一元二次方程的兩根； 例如：已知方程x2-5x+60，下列是它兩根的是（ ） a 3，-2 b. -2, 3 c. -2，-3 d. 3, 2 求代數(shù)式的值：在不解方程的情況下，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求關(guān)于x1和x2的代數(shù)式的值，如；  求作新方程：已知方程的兩個根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出一元二次方程的一般式.  求根及未知數(shù)系數(shù)：已知方程的一個根，可利用根與系數(shù)的關(guān)系求出另一

2、個數(shù)及未知數(shù)系數(shù).（后三種為主）（1）計算代數(shù)式的值例 若是方程的兩個根，試求下列各式的值：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：(1) (2) (3) (4) 說明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，等等韋達定理體現(xiàn)了整體思想（2）構(gòu)造新方程理論：以兩個數(shù)為根的一元二次方程是。例 解方程組 x+y=5            xy=6    解：顯然，x，y是方程z2-5z+60 的兩根由方程解得 z1=2

3、,z2=3原方程組的解為 x1=2,y1=3                 x2=3,y2=2顯然，此法比代入法要簡單得多。（3）定性判斷字母系數(shù)的取值范圍例 一個三角形的兩邊長是方程的兩根，第三邊長為2，求k的取值范圍。解：設(shè)此三角形的三邊長分別為a、b、c，且a、b為的兩根，則c=2由題意知k2-4×2×20，k4或k-4 為所求。【典型例題】例1 已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出的值(1) 方程兩實根的

4、積為5；(2) 方程的兩實根滿足分析：(1) 由韋達定理即可求之；(2) 有兩種可能，一是，二是，所以要分類討論解：(1) 方程兩實根的積為5 所以，當(dāng)時，方程兩實根的積為5(2) 由得知：當(dāng)時，所以方程有兩相等實數(shù)根，故；當(dāng)時，由于 ，故不合題意，舍去綜上可得，時，方程的兩實根滿足說明：根據(jù)一元二次方程兩實根滿足的條件，求待定字母的值，務(wù)必要注意方程有兩實根的條件，即所求的字母應(yīng)滿足例2 已知是一元二次方程的兩個實數(shù)根(1) 是否存在實數(shù)，使成立？若存在，求出的值；若不存在，請您說明理由(2) 求使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值解：(1) 假設(shè)存在實數(shù)，使成立 一元二次方程的兩個實數(shù)根 ， 又是一

5、元二次方程的兩個實數(shù)根 ，但 不存在實數(shù)，使成立 (2) 要使其值是整數(shù)，只需能被4整除，故，注意到，要使的值為整數(shù)的實數(shù)的整數(shù)值為說明：(1) 存在性問題的題型，通常是先假設(shè)存在，然后推導(dǎo)其值，若能求出，則說明存在，否則即不存在 (2) 本題綜合性較強，要學(xué)會對為整數(shù)的分析方法一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系練習(xí)題a 組1一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍是()abcd2若是方程的兩個根，則的值為()abcd3已知菱形abcd的邊長為5，兩條對角線交于o點，且oa、ob的長分別是關(guān)于的方程的根，則等于()abcd4若是一元二次方程的根，則判別式和完全平方式的關(guān)系是()abcd大小關(guān)系不

6、能確定5若實數(shù)，且滿足，則代數(shù)式的值為()abcd6如果方程的兩根相等，則之間的關(guān)系是 _ 7已知一個直角三角形的兩條直角邊的長恰是方程的兩個根，則這個直角三角形的斜邊長是 _ 8若方程的兩根之差為1，則的值是 _ 9設(shè)是方程的兩實根，是關(guān)于的方程的兩實根，則= _ ，= _ 10已知實數(shù)滿足，則= _ ，= _ ，= _ 11對于二次三項式，小明得出如下結(jié)論：無論取什么實數(shù)，其值都不可能等于10您是否同意他的看法？請您說明理由12若，關(guān)于的方程有兩個相等的的正實數(shù)根，求的值 13已知關(guān)于的一元二次方程(1) 求證：不論為任何實數(shù)，方程總有兩個不相等的實數(shù)根；(2) 若方程的兩根為，且滿足，求的值14已知關(guān)于的方程的兩根是一個矩形兩邊的長(1) 取何值時，方程存在兩個正實數(shù)根？(2) 當(dāng)矩形的對角線長是時，求的值b 組1已知關(guān)于的方程有兩個不相等的實數(shù)根(1) 求的取值范圍；(2) 是否存在實數(shù)，使方程的兩實根互為相反