電子科技大學(xué)概率論

1、21.11.2d(xy)=d(x)d(y)+2exe(x)ye(y)d(xy)=d(x)d(y)2exe(x)ye(y) 當(dāng)研究的問題涉及多個隨機變量的時候, 變量與變量之間的關(guān)系, 是必須關(guān)注的一個方面. 本節(jié)介紹的協(xié)方差、相關(guān)系數(shù)就是描述隨機變量之間相互關(guān)系的數(shù)字特征.21.11.2 定義4.3.1 若exe(x)ye(y)存在，稱 cov( x,y )=exe(x)ye(y)為隨機變量(x,y)的協(xié)方差.有 d(x)= cov(x, x )； d(x士y)=d(x)+d(y)士2cov(x,y )協(xié)方差的性質(zhì)1.cov( x, y ) cov( y, x ) ；21.11.23.cov(

2、 x1+x2 , y ) cov( x1,y )+cov( x2 ,y ).常用計算公式cov( x,y )e(xy) e(x)e(y)例4.3.1 )()(),(2ybebyxaeaxebyaxcov ）證證)()(yeyxexabe ).,(yxabcov 例4.3.2 2.cov( ax, by ) ab cov( x,y ), a, b是常數(shù)；21.11.2 定義4.3.2 設(shè)二維隨機變量x,y 的d(x)0, d(y)0 , 稱)()(),(ydxdyxcovxy 為隨機變量x與y 的相關(guān)系數(shù).注 1）xy是一無量綱的量. 2）)()()()(ydyeyxdxexexy ),(*yx

3、covyxe 標(biāo)準化隨機變量的協(xié)方差21.11.2性質(zhì) 設(shè)隨機變量x,y 的相關(guān)系數(shù)存在，則 1） |1; 2） |1 x與y 依概率為1線性相關(guān). 即),0(, 存存在在證 明 1 xyp相關(guān)系數(shù)是衡量兩個隨機變量之間線性相關(guān)程度的數(shù)字特征.練習(xí) 將一枚硬幣重復(fù)拋擲n次, x, y 分別表示正面朝上和反面朝上的次數(shù)，則xy21.11.2注1 若隨機變量x, y 的相關(guān)系數(shù)xy存在, 2）xy1，則0, 稱 x, y 正相關(guān)；21.11.2 定理4.3.1 若隨機變量x 與y 相互獨立，則x 與y 不相關(guān)，即有 xy0 .注2 若(x,y)n(1,21; 2 , 22; ) ,則 x, y 相

4、互獨立 xy0 . 注1 此定理的逆定理不成立, 即由xy0 不能得到x 與y 相互獨立.例4.3.3 參見p116 例4.4.6例4.3.5 例4.3.4 21.11.2 定義4.3.3 設(shè)n 維隨機變量(x1,x2,xn) 的協(xié)方差 )(ijcc 均存在, 稱矩陣 為(x1, x2 , xn)的協(xié)方差矩陣.cij = cov( xi , xj ) nnnnnncccccccccc.21222211121121.11.2其中有 cov( x,y )=exe(x)ye(y)d(x)= cov(x,x )三、協(xié)方差矩陣的性質(zhì);,.,2 , 1),(1nixdciii ）例4.3.6 ;,.,2

5、, 1,2njiccjiij ）njiccjjiiijc1,2,.,42 ）3）c是非負定矩陣；對稱陣21.11.2 定義4.3.4 設(shè)x為隨機變量, 若e(|x|k) +, 稱k= e(xk) k=1,2,3.為x的 k 階原點矩. 稱k =e(|x|k), k=1,2,3.為x的 k 階絕對原點矩. 定義4.3.5 設(shè) x 為隨機變量,若e|xe(x)|k 0, d(z)0, 故 xz = 0.)2,()3,(yxcovxxcov 21.11.2 (3) (x, z )是正態(tài)分布隨機變量 ( x, y )的線性組合, 也服從二維聯(lián)合正態(tài)分布. xz = 0,即 x與z 不相關(guān), 從而x與z 相互獨立.21.11.2p=0-2-1012-2-1012p=0.2-303-303p=0