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1、山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室18-3.向量的數(shù)量積與向量積向量的數(shù)量積與向量積1.數(shù)量積數(shù)量積2.向量積向量積山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室2一、向量的數(shù)量積一、向量的數(shù)量積引例引例. 設(shè)一物體在常力 f作用下,沿與力夾角為的直線移動,位移為 s ,則力f 所做的功為wcossf1mf2ms山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室31.向量的投影的概念向量的投影的概念設(shè)設(shè)a 、b0，將其始點移至同一點，將其始點移至同一點o，babao 為為向量向量a 與與b之間的夾角，之間的夾角， 記作（記作（a ,b),或（或（ b，a）且）且0兩非零向量的夾角：兩非零向量的夾角：山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室4,0時當a

2、上的投影為在ab記作,0,時當同理bbaj rpba上的投影為在baabcosbcosprbaj a山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室52.數(shù)量積的定義數(shù)量積的定義記為記為ab，兩個向量兩個向量a與與b的數(shù)量積等于的數(shù)量積等于又稱數(shù)積、內(nèi)積、點積，其值為一個數(shù)量。又稱數(shù)積、內(nèi)積、點積，其值為一個數(shù)量。及其夾角及其夾角 余弦的乘積余弦的乘積，即即ab= |a| |b|cos =兩個向量的模兩個向量的模|a|、|b|0 其中其中baaj rppr jbba山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室6性質(zhì) （為什么？）aa) 1 (2aab= |a| |b|cos 為兩個非零向量, 則有ba,)2(0baba , 1i

3、i jjkk 0jikjik （為什么？）規(guī)定：零向量垂直于任何向量規(guī)定：零向量垂直于任何向量山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室7運算律運算律(1) 交換律 (2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba (3) 分配律cbcacba練習：p207習題8-3第1題山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室8abcabc例例1. 證明余弦定理cos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),abc,baccbabac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室93. 數(shù)量積的坐標表示數(shù)量積的坐標表示設(shè)則

4、zzyyxxbababa當為非零向量時,cos zzyyxxbababa222zyxaaa222zyxbbb由于 bacosba,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(kajaiazyx)(kbjbibzyx, 1ii jjkk 0jikjik baba baba,4.兩向量的夾角公式 , 得山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室10相關(guān)例題：見課本203頁注意：0baba ba 0 x xyyzza ba ba b思考：求一個向量需要知道幾個條件？山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室11(101)mb ， ，(1)ma ，1，0 bm例例2. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1

5、 , 1 , 1(bam amb . a解解:則ambcos10022213amb求mbmama mb故山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室12解：解： 因因0cbacba,所以所以323)()()( accbbacabaccbba232()cos3a bb cc a cba構(gòu)成一個等邊三角形且構(gòu)成一個等邊三角形且1abc且且accbba求求cba,例例3. 設(shè)設(shè) 是單位向量，是單位向量，0cba且且 山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室13為 ) .求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量p (流體密度例例4. 設(shè)均勻流速為與該平面域的單位垂直向量,a解解:單位時間內(nèi)流過的體積apaa的夾角為且的流體流過一個面

6、積為 a 的平面域 ,vvncosvcosvnv vnn為單位向量山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室14二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)o 為杠桿l 的支點 , 有一個與杠桿夾角為oqolpq符合右手規(guī)則oqffsinopsinopmfopopm m矩是一個向量 m :的力 f 作用在杠桿的 p點上 ,則力 f 作用在杠桿上的力fopfmfm 山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室151. 定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩fopm山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室16注意： a

7、b是一個向量；而且其特征為方向與是一個向量；而且其特征為方向與a與與b都垂直，模等于以都垂直，模等于以a,b為鄰邊的平行四邊形的為鄰邊的平行四邊形的面積。即：面積。即：abcab思考思考: 三角形面積absba21山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室172. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則aa) 1 (0ba,)2(0baba3. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律abcba )(a c b c 右乘分配律）ba )()( ba)(baba) 1 (ijk(3),ijk jki kij(4)0,0,0iijjkkca bc a c b 左乘分配律山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室18)(kajaiazyx)

8、(kbjbibzyx4. 向量積的坐標表示式向量積的坐標表示式設(shè)則,kajaiaazyx,kbjbibbzyxba)(iibaxx)(jibayx)(kibazx)(ijbaxy)(kjbazy)(ikbaxz)(jkbayzibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)()(jjbayy)(kkbazz山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室19向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法kjixayazaxbybzb,zyzybbaa,zxzxbbaayxyxbbaabaibabayzzy)(jbabazxxz)(kbabaxyyx)(kajaiaazyxkbjbibbzyx山東水利職業(yè)

9、學(xué)院數(shù)理化教研室20向量向量a與與b平行平行aybz-azby=azbx-axbz=axby-aybx=0zzyyxxbababa上式說明：兩非零向量平行上式說明：兩非零向量平行對應(yīng)坐標成比例；對應(yīng)坐標成比例；上式中，若有分母為零，則對應(yīng)的分子也為零。上式中，若有分母為零，則對應(yīng)的分子也為零。山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室21相關(guān)例題：課本206頁例14例17n請練習：710山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室22補充例補充例1.已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(cba角形 abc 的面積 解解: 如圖所示,cbasabc21kji222124)(21,4,622222)6(

10、42114sin21ab ac21acab求三機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室23內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)設(shè)1. 向量運算加減:數(shù)乘:點積:),(zzyyxxbabababa),(zyxaaaazzyyxxbabababa),(, ),(, ),(zyxzyxzyxccccbbbbaaaa叉積:kjixayazaxbybzbba山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室242. 向量關(guān)系:xxabyyabzzab0zzyyxxbabababa/ba 0ba0ba山東水利職業(yè)學(xué)院數(shù)理化教研室25思考與練習思考與練習1. 設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321cos1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:ccbbaasinsinsinba,1baba