現代控制工程大作業(yè)

1、目 錄題目一：1一、系統設計及仿真分析11、確定被控系統狀態(tài)空間表達式12、系統能控、能觀性判別13、系統極點配置14、確定狀態(tài)反饋增益矩陣25、確定輸入變換線性放大器K26、驗證跟蹤單位斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差27、利用SIMULINK建立控制系統的動態(tài)仿真模型3（1）跟蹤單位階躍信號的動態(tài)仿真分析3（2）跟蹤單位斜坡信號的動態(tài)仿真分析3二、采用全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統41、配置閉環(huán)系統狀態(tài)觀測器極點42、確定觀測器偏差反饋增益矩陣G43、利用SIMULINK建立系統動態(tài)仿真模型5（1）對單位階躍輸入信號仿真分析5（2）對單位斜坡輸入信號仿真分析64、與采用直接狀態(tài)反饋的控制系統仿真結果比

2、較7（1）且時的仿真結果比較7（2）且時的仿真結果比較75、單位階躍輸入作用下狀態(tài)估值誤差收斂性分析8（1）收斂過程分析8（2）收斂速度與狀態(tài)觀測器極點的關系及對系統性能的影響9三、實現狀態(tài)反饋的降維觀測器設計101、通過線性變換使狀態(tài)向量按輸出可檢測性分解102、確定降維觀測器的反饋增益矩陣113、列寫降維觀測器狀態(tài)方程并重構原系統狀態(tài)114、利用SIMULINK建立系統動態(tài)仿真模型12（1）跟蹤單位階躍信號的動態(tài)仿真分析12（2）跟蹤單位斜坡信號的動態(tài)仿真13題目二：15一、線性二次型最優(yōu)控制律設計151、判斷系統是否具有最優(yōu)控制律152、非零給定點的最優(yōu)控制設計及仿真分析153、權矩陣的

3、各權值對動態(tài)性能的影響分析17（1）固定 ，使 分別取1，10,100,100017（2）固定 ，使 分別取1，10,100,100018（3）固定 ，使 分別取1，10,100,1000194、使系統具有良好動、靜態(tài)性能的線性二次型最優(yōu)控制20題目一：設被控系統的傳遞函數為，現在采用帶有輸入變換的狀態(tài)反饋控制（如教材圖5-15）改善系統的性能，要求控制系統滿足如下性能指標：超調量；調節(jié)時間秒；跟蹤階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差；跟蹤單位斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差。(1)根據控制系統綜合指標設計狀態(tài)反饋增益矩陣及輸入變換線性放大器，并在SIMULINK中建立控制系統的動態(tài)仿真模型，對系統的動態(tài)和靜態(tài)性能進

4、行仿真分析。(2)根據控制系統的響應速度，合理確定狀態(tài)觀測器系統矩陣期望特征值的分布，設計對狀態(tài)向量進行估計的全維狀態(tài)觀測器以實現狀態(tài)反饋，并保證控制系統的性能仍滿足要求；在SIMULINK中建立采用狀態(tài)觀測器實現狀態(tài)反饋的控制系統的動態(tài)仿真模型，對系統的動態(tài)和靜態(tài)性能進行仿真分析，并與采用直接狀態(tài)反饋的控制系統仿真結果比較；觀察單位階躍輸入作用下狀態(tài)估計值與狀態(tài)真實值的誤差的收斂過程，并研究狀態(tài)估計誤差收斂速度與狀態(tài)觀測器極點的關系及其對系統性能的影響。(3)設系統輸出量可準確測量，試設計實現狀態(tài)反饋的降維觀測器，在SIMULINK中建立采用降維狀態(tài)觀測器實現狀態(tài)反饋的控制系統的動態(tài)仿真模型

5、，對系統的動態(tài)和靜態(tài)性能進行仿真分析。一、系統設計及仿真分析1、確定被控系統狀態(tài)空間表達式被控系統傳遞函數為則其能觀型狀態(tài)空間表達式為2、系統能控、能觀性判別系統能控性判別矩陣則，所以系統完全能控；又因為其狀態(tài)空間表達式為能觀標準型，所以系統完全能觀。綜上所述，此系統既能控又能觀。3、系統極點配置根據系統性能指標要求：，由，可推出，取；由，得，取。根據經典控制理論，二階系統閉環(huán)傳遞函數標準形式為，將，代入式，得期望的閉環(huán)主導極點為；選擇一個期望的閉環(huán)非主導極點離虛軸為主導極點的5倍以上，即。則期望的閉環(huán)特征多項式為4、確定狀態(tài)反饋增益矩陣由上已知，系統完全能控，所以可以通過狀態(tài)反饋任意配置系統

6、閉環(huán)極點。應用MATLAB極點配置函數求解狀態(tài)反饋增益矩陣，代碼如下：A=0 0 0;1 0 -72;0 1 -18;B=1;0;0;P=-7.7+j*7.8556;-7.7-j*7.8556;-46.2;F=place(A,B,P)求得狀態(tài)反饋增益矩陣5、確定輸入變換線性放大器K根據題目要求，跟蹤單位階躍參考輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差，求得，則帶有輸入變換的狀態(tài)反饋系統傳遞函數6、驗證跟蹤單位斜坡輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差將帶有輸入變換的狀態(tài)反饋系統等效為具有單位負反饋的閉環(huán)系統，系統方框圖如下所示：圖1-1 等效單位負反饋閉環(huán)系統方框圖則系統傳遞函數求得，對于單位斜坡輸入信號，；則所以，所設計系統能滿足要

7、求系統性能指標。7、利用SIMULINK建立控制系統的動態(tài)仿真模型圖1-2 帶有輸入變換的狀態(tài)反饋系統（1）跟蹤單位階躍信號的動態(tài)仿真分析為便于輸出圖形數據的觀察比較，在t=0.5s處輸入單位階躍響應，仿真結果如下圖所示：圖1-3 單位階躍響應圖1-4 單位階躍響應局部放大圖靜態(tài)性能分析：由圖1-3可知，系統滿足跟蹤階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差。動態(tài)性能分析：從局部放大圖1-4中易知，超調量，調節(jié)時間秒（注意：為便于觀察，本實驗中單位階躍信號在t=0.5s時刻輸入），系統滿足設計要求。（2）跟蹤單位斜坡信號的動態(tài)仿真分析在t=0處輸入單位階躍響應，仿真結果如下圖所示：圖1-5 單位斜坡響應圖1-6

8、單位斜坡響應局部放大圖由圖t=1s的時刻知，跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差，故系統滿足設計要求。二、采用全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統基于復合系統特征值的分離特性，只要被控系統能控能觀，則用狀態(tài)觀測器估值形成狀態(tài)反饋時，可對系統的狀態(tài)反饋控制器及狀態(tài)觀測器分別按各自的要求進行獨立設計，由（一）中已求得。1、配置閉環(huán)系統狀態(tài)觀測器極點系統完全能觀，所以閉環(huán)系統狀態(tài)觀測器極點可任意配置。按通常選擇觀測器的響應速度比所考慮的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統快25倍這一選擇原則，取觀測器期望極點為,2、確定觀測器偏差反饋增益矩陣G應用MATLAB極點配置函數求解觀測器偏差反饋增益矩陣G，代碼如下：A=0 0 0;1 0 -

9、72;0 1 -18,C=0 0 1;P=-19;-19;-116;Gt=acker(A',C',P);G=Gt'求得偏差反饋增益矩陣3、利用SIMULINK建立系統動態(tài)仿真模型觀測器的狀態(tài)方程為：利用SIMULINK建立系統動態(tài)仿真模型如下：圖1-7 采用全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統（注：Scope1可觀測誤差的收斂過程）（1）對單位階躍輸入信號仿真分析在t=0.5s時刻輸入單位階躍信號，對于和的情況下仿真結果如下圖所示：圖1-8 且時單位階躍響應圖1-9 且時單位階躍響應局部放大圖靜態(tài)性能分析：由圖1-8可知，系統滿足跟蹤階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差。動態(tài)性能分析：從局部

10、放大圖1-9中易知，超調量，調節(jié)時間秒（注意：為便于觀察，本實驗中單位階躍信號在t=0.5s時刻輸入），系統滿足設計要求。（2）對單位斜坡輸入信號仿真分析在t=0時刻輸入單位斜坡信號，對于各狀態(tài)變量初值且情況下的仿真結果如下圖所示：圖1-10且時單位斜坡信號響應圖1-11且時單位斜坡信號響應局部放大圖由圖t=1s的時刻知，跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差，故系統滿足設計要求。4、與采用直接狀態(tài)反饋的控制系統仿真結果比較（1）且時的仿真結果比較（a）直接狀態(tài)反饋的單位階躍響應 （b）采用狀態(tài)觀測器的單位階躍響應（c）直接狀態(tài)反饋的單位斜坡響應 （d）采用狀態(tài)觀測器的單位斜坡響應圖1-12 且的仿真結果

11、比較從以上仿真結果圖可以看出，在各狀態(tài)變量且的情況下，直接狀態(tài)反饋與采用狀態(tài)觀測的反饋系統仿真結果幾乎一樣。（2） 且 時的仿真結果比較(a) 直接狀態(tài)反饋的單位階躍響應 (b) 采用狀態(tài)觀測器的單位階躍響應(c) 直接狀態(tài)反饋的單位斜坡響應 (d) 采用狀態(tài)觀測器的單位斜坡響應圖1-13 且的仿真結果比較由圖1-13可知，盡管初始時刻和存在差異，但隨著時間的推移，初始值不同情況下的響應也將趨于同樣的穩(wěn)定狀態(tài)。這其實與后面討論的估值誤差的收斂性質有關。對于復雜的實際工程應用，一般不可能采用直接狀態(tài)反饋，而是采用觀測器進行狀態(tài)反饋以獲得控制精度并且降低成本。5、單位階躍輸入作用下狀態(tài)估值誤差收斂

12、性分析（1）收斂過程分析對和，兩種情況下的系統進行收斂性仿真分析，結果如下所示：圖1-14 時誤差收斂情況 圖1-15 ，時誤差收斂情況由圖可知，當初始值相同，即時，狀態(tài)估值沒有誤差；當初始值不同，即，時，開始一段時期存在估值誤差，但是，隨著時間的推移，即估值誤差收斂到0。從理論上講，狀態(tài)觀測器之所以出現估值誤差是因為觀測器與系統初始狀態(tài)在實際工程中難以做到完全一致所造成的。估值誤差為根據上式，當初始時刻，時，顯然根據上式；當，時，由于我們通過選擇輸出偏差反饋增益矩陣使的所有特征值均位于復平面的左半開平面，盡管初始時刻時，存在差異，但觀測器的狀態(tài)仍將以一定精度和速度漸進逼近系統的實際狀態(tài)。因此

13、，仿真結果與理論分析相符。（2）收斂速度與狀態(tài)觀測器極點的關系及對系統性能的影響現重新選取全維觀測器期望極點為,應用MATLAB極點配置函數求解觀測器偏差反饋增益矩陣G，代碼如下：A=0 0 0;1 0 -72;0 1 -18,C=0 0 1;P=-35;-35;-208;Gt=acker(A',C',P);G=Gt'求得偏差反饋增益矩陣將代入采用全維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統中，并在SIMULINK中進行動態(tài)仿真，當， 時，各狀態(tài)變量的收斂情況如下圖所示：圖1-16 時的各狀態(tài)變量的收斂情況 由（1）中已知情況下的誤差收斂情況如下圖所示： 圖1-17 時的各狀態(tài)變量的收

14、斂情況從圖1-16和圖1-17中各狀態(tài)變量的收斂情況可以看出觀測器極點取不同值時，的誤差收斂情況。由圖可知，全維觀測器閉環(huán)極點離虛軸的距離越遠，狀態(tài)估值誤差收斂速度越快。但是，同時也使得反饋增益矩陣中的元素需要很大，從而導致物理實現困難。理論上講，估值誤差收斂速度越快，系統性能越好，但是，在實際工程應用中，觀測器的響應速度太快會出現放大量測噪聲，使系統無法正常工作。因此，觀測器期望極點的選擇應兼顧快速性、抗干擾性等折中考慮，通常選擇觀測器的響應速度比所考慮的狀態(tài)反饋閉環(huán)系統快25倍。三、實現狀態(tài)反饋的降維觀測器設計系統為能觀標準型，所以完全能觀，又，故可構造維狀態(tài)觀測器。1、通過線性變換使狀態(tài)

15、向量按輸出可檢測性分解構造非奇異變換矩陣則作線性變換，則將變換成，即由于，故只需設計二維觀測器重構。將分塊，得，2、確定降維觀測器的反饋增益矩陣配置觀測器極點為則期望多項式比較和各項系數，聯立方程并解得3、列寫降維觀測器狀態(tài)方程并重構原系統狀態(tài)則所對應的狀態(tài)向量的估值為將變換為原系統狀態(tài)空間，得到原系統的狀態(tài)重構為4、利用SIMULINK建立系統動態(tài)仿真模型圖1-18 采用降維狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統（1）跟蹤單位階躍信號的動態(tài)仿真分析在t=0.5s時刻輸入單位階躍信號，對于原系統狀態(tài)變量初始值，降維觀測器狀態(tài)初始值的仿真結果如下：圖1-19 采用降維觀測器的單位階躍響應圖1-20 采用降維觀

16、測器的單位階躍響應局部放大圖靜態(tài)性能分析：由圖可知，系統滿足跟蹤階躍輸入信號的穩(wěn)態(tài)誤差。動態(tài)性能分析：從局部放大圖1-20中易知，超調量，調節(jié)時間秒（注意：為便于對于觀察，本實驗中單位階躍信號在t=0.5s時刻輸入），系統滿足設計要求。（2）跟蹤單位斜坡信號的動態(tài)仿真在t=0時刻輸入單位斜坡信號，對于原系統狀態(tài)變量初始值，降維觀測器狀態(tài)初始值的仿真結果如下：圖1-21 采用降維觀測器的單位斜坡響應圖1-22 采用降維觀測器的單位斜坡響應局部放大圖由圖t=1s的時刻知，跟蹤單位斜坡信號的穩(wěn)態(tài)誤差，故系統滿足設計要求。可通過觀察整個系統的狀態(tài)變量隨時間的變化規(guī)律，進一步得出兩種輸入信號作用下，系統

17、的估值誤差都具有很好的收斂性，從而保證了由降維觀測器構成的狀態(tài)反饋系統具有很好的穩(wěn)定性。題目二：設被控系統狀態(tài)空間表達式為：設計使系統階躍響應具有良好的動、靜態(tài)特性的線性二次型最優(yōu)控制律，對閉環(huán)系統的階躍響應進行仿真，并研究系統二次型性能指標泛函中權矩陣的不同選取對動態(tài)性能的影響。一、線性二次型最優(yōu)控制律設計1、判斷系統是否具有最優(yōu)控制律要使系統階躍響應具有良好的動、靜態(tài)特性，則可按非零給定點的最優(yōu)控制律設計，即，由于的維數等于的維數，所以。系統能控性判別矩陣則，所以系統完全能控，最優(yōu)控制存在。選取性能泛函中的對稱正定矩陣，。2、非零給定點的最優(yōu)控制設計及仿真分析利用SIMULINK建立原控制

18、系統的動態(tài)仿真模型如下：圖2-1 原控制系統在t=0.5s時刻，輸入單位階躍信號，仿真分析結果如下圖所示：圖2-2 原系統單位階躍響應由圖2-2可知，系統輸出響應發(fā)散,引入最優(yōu)控制：選取，應用MATLAB程序求解，代碼如下：A=0 1 0;0 0 1;0 -2 -5;B=0;0;1;C=1 0 0;Q=100 0 0;0 1 0;0 0 1;R=1;K=lqr(A,B,Q,R);W=inv(-C*inv(A-B*K)*B) %與題中wc互為倒數求得，利用SIMULINK建立非零給定點最優(yōu)控制系統的動態(tài)仿真模型如下：圖2-3 非零給定點最優(yōu)調節(jié)系統在t=0.5s時刻，輸入單位階躍信號，仿真分析結果如下圖所示：圖2-4 非零給定點最優(yōu)調節(jié)系統單位階躍響應由圖可知，通過引入最優(yōu)控制，系統獲得了較好的動靜態(tài)