電磁場(chǎng)與電磁波例題詳解

1、實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)第1章矢量分析例1.1求標(biāo)量場(chǎng)(x y)2 z通過點(diǎn)M(1,0,1)的等值面方程。解：點(diǎn)M的坐標(biāo)是xo 1, yo O,zo 1，則該點(diǎn)的標(biāo)量場(chǎng)值為(xo yo)2 zo0。其等值面方程為：(x y)2 z 0 或z (x y)21.2 求矢量場(chǎng) A axXy2 ayX2yazzy2的矢量線方程。解：矢量線應(yīng)滿足的微分方程為dx2xydy2x ydz2y z從而有dx2xydx2xydy2x ydz2y z解之即得矢量方程C|X2y，c1和c2是積分常數(shù)。例1.3求函數(shù)xy2 z2 xyz在點(diǎn)(1， 1， 2)處沿方向角3的方向?qū)?shù)。解：由于2'M (1,1,2) y yzM

2、(1,1,2) x1,M (1,1,2)yM (1,1,2)O,'M (1,1,2) 2z xy M (1,1,2) z121cos,cos,cos222文檔所以M COS lxcos ycos 1 z例1.4求函數(shù)xyz在點(diǎn)(5,1,2)處沿著點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,19)的方向?qū)?shù)。解：點(diǎn)(5,1,2)到點(diǎn)(9,4,19)的方向矢量為l ax(9 5) ay (4 1) az(19 2) ax4 a3 az17其單位矢量lax cosay cosazcos439x . 3149y .314az314yz (5,1,2)2,(5,1,2)yXg 10,石 I")xy(

3、5,1,2)所求方向?qū)?shù) cos xcos ycos z123、314例1.5已知x2 2y2 3z2 xy 3x 2y 6z，求在點(diǎn)(0,0,0)和點(diǎn)(1,1,1)處的梯度。解：由于ax(2x y 3) ay (4y x 2)az(6z6)所以(0,0,0)ax 3ay 2 az6 ，(1,1,1)ax6ay 3例1.6運(yùn)用散度定理計(jì)算下列積分：ISaxXz2 ay(x2y z3) az(2xy y2z) dS2 2 2S是z 0和z axJ所圍成的半球區(qū)域的外表面2解：設(shè)：A axXz2 ay(x2y z3) az(2xy y2z)則由散度定理Ad AdSs可得Ad(z2 x2 y2)dr

4、2dsindrd d2_a 4d 2 si nd r dr0 0 025a5例1.7試求 A和 A:Aaxxy zayX zazX yA(r,z)2arr cos2 . azr sinA(r,)arr sin1 . 1 a sin a 2 cos3(1)rr2 32 2解:(1)AxAyaxayazxyzAxAyAzyAaxayazxyz2 332 2xy zx zx yax(2x2y x3) ay(3xy2z22xy2) az(3x2z 2xyz3)Azz1 - (r3cos r一 (r2sin ) 3r cos z1arraaz1arraazrrArrAzAzrr2 r cos0z 2 .

5、r sinrrA0)(0 2r sin)az(0ra1 2 ar(r cos rarr cosar2 sin )2r s inazr sin (3)“1/ 2“、1 A、A 2 (r Ar)(sin )r rr si n1311. 2 x2(r sin )rsi n(sin )r rr3si n22 cosr1_Ar sin1(cos )r sin rarrar sina1A2 .r sinrArrAr sinA1arrar sina2 r sinr1r sinsinsincosr12_r sinar( cos 20) ra (0丄 sin 2 )2r2rsin a (0 r cos )例1.

6、8在球坐標(biāo)中，已知Pe cos4 °r2其中Pe、0為常數(shù),試求此標(biāo)量場(chǎng)的負(fù)cos21ar 3.a cosa cosr sinr梯度構(gòu)成的矢量場(chǎng)，即E解：在球坐標(biāo)戲中,ar r1rsinarpe cos( rpe cosar *34 °rpe cos2)ar 23orPe30r(ar 2cos例1.9在由r 52)0r1 Pe( a -rPe sin3 orpe cos(寧刃r 40rsin )4 04 °ra sin )4圍成的圓柱形區(qū)域上，對(duì)矢量r sinAarrpecosaz2z 驗(yàn)證高斯散度定理。解：因?yàn)橐篁?yàn)證高斯散度定理，即需要根據(jù)給出條件分別計(jì)算Ad

7、和:A dS，得到二者結(jié)果相同的結(jié)論。s在柱坐標(biāo)系下，有A 丄一 (rA1丄一3)0 (2r) 3r 2r rrz r rz在由r 5，z 0和z 4圍成的圓柱形區(qū)域內(nèi)取一個(gè)小體積元d ，可知d rdrd dz，其中 Or 5、02 、0 z 4，故524524Ad(3r 2)rdrd dz (3r 2)rdr d dz 150 241200而r 5，z 0和z 4圍成的圓柱形區(qū)域的閉合外表面由三部分構(gòu)成：圓柱上表面Si(面元矢量dS1azrdrdz 4 )、圓柱下表面S2 (面元矢量dS2azrdrd ，z 0)和圓柱側(cè)表面S3 (面元矢量dS3 ar rddz， 05)，故有:：sAdS

8、A dS1S15 2 / 2 (aj0 04 2 / 20 0 (arr58 rdrdS2AdS2S3 AdS3az2z) azrdrd(aj2az2z) ( azrdrd )例 1.100 04 2512002125az 2z) ar rd dz r 524125d dz0 024Ad1200，即證?，F(xiàn)有三個(gè)矢量場(chǎng)A、A ar sincosa cos cosa sin ，Barz2 sin2a z cosaz2rzsi n，2C ax (3y2x) ayX2 az2z。哪些矢量可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示？哪些矢量可以由一個(gè)矢量的旋度表 示？解：本題考查的是矢量場(chǎng)的場(chǎng)源關(guān)系， 即:標(biāo)量函數(shù)的

9、梯度是一個(gè)有散無旋 的場(chǎng)，并根據(jù)發(fā)散場(chǎng)旋度為零，漩渦場(chǎng)散度為零進(jìn)行反推故先分別求出矢量的散度和旋度:2(Ar)r r1z 2.一(r sin r r0cosr sin(sinarrarsin a1r sinrArrArsin Aarra1 A r sincos cos )rsin arsin ( sin )1-2 r sinsincosr cos cosrsin sin1(rBr) r r1(rz sinBzz(z2 cos(2rz sin ) z1arraaz1arraazrrzrrzBrrBBz2 . z sin2rz cos2rz sin2r sinB0axayazaxayazxyzxy

10、zCxCyCz3y22x x22z2020Caz(2x 6y)C2yCxxCzz故B可以由一個(gè)標(biāo)量函數(shù)的梯度表示，C可以由一個(gè)矢量的旋度表示第2章靜電場(chǎng)與恒定電場(chǎng)例2.1已知半徑為a的球內(nèi)、 外的電場(chǎng)強(qiáng)度為下式所示，求電荷分布Eo2 a2r(r a)3rr(r a)E ar E0 5332a2a解：由高斯定理的微分形式E ，得電荷密度為 o E0用球坐標(biāo)中的散度公式A(Sn A可得:r rr si nrsin1 2 a22 (r E°p)0 (r a)r rr(r a)1 2 r r15222 r Eo (53 亍)oEo 3 (a r )r r2a 2a2a例2.2 一個(gè)半徑為a的

11、均勻極化介質(zhì)球，極化強(qiáng)度是azPo，求極化電荷分布解：建立球坐標(biāo)系，讓球心位于坐標(biāo)原點(diǎn)極化電荷體密度為PazPo0極化電荷面密度為PSP n azP0 arPo cos例2.3 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球，帶電量為 Q,在導(dǎo)體球外套有外半徑為b的同 心介質(zhì)球殼， 殼外是空氣，如圖2.1所示。求空間任一點(diǎn)的D、E、P以及束縛 電荷密度。圖2.1解：由介質(zhì)中的高斯定律可知,在r a區(qū)域內(nèi)：D dSsDr 42r Q，故 DQar 4 r2由本構(gòu)方程DoEr oEE 得:介質(zhì)內(nèi)(a< r<b):1dar-rP4 roEar1 Q4 r2介質(zhì)外(b<r): EQ2，P 0or介質(zhì)內(nèi)表面束縛

12、電荷面密度分別為:ps r a PnParr 1 Qr 4 a2'ps r b P nP ar1 Qr 4 b2例2.4若真空中電荷q均勻分布在半徑為a的球體內(nèi)，計(jì)算球內(nèi)，外的電場(chǎng)強(qiáng) 度以及電場(chǎng)能量解：由電荷分布可知，電場(chǎng)強(qiáng)度是球?qū)ΨQ的，在距離球心為r的球面上,電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向沿半徑方向。在球外(r a)，取半徑為r的球面作為高斯面，利用高斯定理計(jì)算:D dSsDr 4 r2 q故有 Drq2，Er 1 Dr4 roq4 or2對(duì)球內(nèi)(r a)，也取球面作為高斯面，同樣利用高斯定理計(jì)算:r3故有Dr，Er-Dr0rq4 oa3電場(chǎng)能量We JoE2d224 r2dra"

13、.3q220°a例2.5計(jì)算圖2.2所示深埋地下半徑為a的導(dǎo)體球的接地電阻。已知土壤的電2D dS Dr 4 rs導(dǎo)率為解：導(dǎo)體球的電導(dǎo)率一般總是遠(yuǎn)大于土壤的電導(dǎo)率，可將導(dǎo)體球看作等位體。用靜電比擬法，位于電介質(zhì)中的半徑為 a的導(dǎo)體球的電容為C 4 a所以導(dǎo)體球的接地電導(dǎo)為 G 41 1所以導(dǎo)體球的接地電阻為 R -G 4 a例2.6半徑分別為a,b(ab)，球心距為c(c a b)的兩球面之間有密度為的均勻體電荷分布，如圖2.3所示，求半徑為b的球面內(nèi)任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。圖2.3解：為了使用高斯定理，在半徑為 b的空腔內(nèi)分別加上密度為+ 和 的 體電荷，這樣，任一點(diǎn)的電場(chǎng)就相當(dāng)于帶正

14、電的大球體和一個(gè)帶負(fù)電的小球體共 同產(chǎn)生，正負(fù)帶電體所產(chǎn)生的場(chǎng)分別由高斯定理計(jì)算。正電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)為 E1 an，3 02負(fù)電荷在空腔內(nèi)產(chǎn)生的電場(chǎng)為 E2a2，3 0其中單位向量ai， ar2分別以大、小球體的球心為球面坐標(biāo)的原點(diǎn)考慮到riar1 r2ar2 cax，最后得到空腔內(nèi)的電場(chǎng)為:ax例2.7 一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓柱體（無限長(zhǎng)）的電荷密度是p，求圓柱體內(nèi)、 外的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：因?yàn)殡姾煞植际侵鶎?duì)稱的，因而選取圓柱坐標(biāo)系求解。在半徑為r的柱面上，電場(chǎng)強(qiáng)度大小相等，方向沿半徑方向。計(jì)算柱內(nèi)電場(chǎng)時(shí)，取半徑為r，高度為1的圓柱面為高斯面。在此柱面上，使用高斯定理，有D dS 0Er

15、2 rlsq,qr2l,Er計(jì)算柱外電場(chǎng)時(shí)，取通過柱外待計(jì)算點(diǎn)的半徑為r，高度為1的圓柱面為高斯面。對(duì)此柱面使用高斯定理，有D dS 0Er2 rlsq,qa2l,Er例2.8 一個(gè)半徑為a的均勻帶電圓盤，電荷面密度是s0，如圖2.4所示。求軸線上任一點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度。解：由電荷的電荷強(qiáng)度計(jì)算公式E(r) J4（）（'）dS及其電荷的對(duì)稱關(guān)系，可知電場(chǎng)僅有z的分量。代入場(chǎng)點(diǎn)源點(diǎn)rzaxr'axr'cosayr'sindSr'dr'd電場(chǎng)的z向分量為例2.10電荷分布如圖2.5所示。試證明，在r>>l處的電場(chǎng)為Er3ql22 or42SoE

16、z-d4 0 0a zr'dr'soz1 -0 (z 2 op r r 0 r rr'2)3/22 o(a2 z2)1/2上述結(jié)果適用于場(chǎng)點(diǎn)位于z>0時(shí)。但場(chǎng)點(diǎn)位于z<0時(shí)，電場(chǎng)的z向量為EzSoz-12干2 0(a z )例2.9已知半徑為a的球內(nèi),外電場(chǎng)分布為2 aE0arr ar2 rE0arr aa求電荷密度解：從電場(chǎng)分布計(jì)算計(jì)算電荷分布，應(yīng)使用高斯定理的微分形式用球坐標(biāo)中的散度公式，并注意電場(chǎng)僅僅有半徑方向的分量，得出123E 00 2 r rr ra證明：用點(diǎn)電荷電場(chǎng)強(qiáng)度的公式及疊加原理，有Er 丄 J 電 J4 o (r l)r(r l)當(dāng)r&

17、gt;>l時(shí),將以上結(jié)果帶入電場(chǎng)強(qiáng)度表達(dá)式并忽略高階小量，得出Er3ql22 or4<r->圖2.5例2.11真空中有兩個(gè)點(diǎn)電荷，一個(gè)電荷q位于原點(diǎn)，另一個(gè)電荷(a,0,0)處，求電位為零的等位面方程。q/2位于解：由點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電位公式得電位為零的等位面為q4 orq2o1其中r (x2iz2)2，ri(xa)2等位面方程簡(jiǎn)化為2ri4(x2 2 2 ,a) y z x2z21111ll2、221-(12-3 二)(rl)r(1-)2rrrr1111ll2i x222 (12-)(rl)r(1t)2rrrr此方程可以改寫為22a24a34a2 a這是球心在（一,0,0）,半

18、徑為一的球面。33例2.12如圖2.6所示，一個(gè)圓柱形極化介質(zhì)的極化強(qiáng)度沿其軸方向，介質(zhì)柱的高度為L(zhǎng)，半徑為a，且均勻極化，求束縛體電荷分布及束縛面電荷分布。圖2.6解：選取圓柱坐標(biāo)系計(jì)算，并假設(shè)極化強(qiáng)度沿其軸向方向，P Poax如圖示，由于均勻極化，束縛體電荷為P 0。在圓柱的側(cè)面，注意介質(zhì)的外法向沿半徑方向 n ar，極化強(qiáng)度在z方向，故在頂面，外法向?yàn)閚ax，故P ar 0spP ax P0在底面，外法向?yàn)閚ax，故spP ( ax)P0例2.13假設(shè)xvO的區(qū)域?yàn)榭諝?，x>0的區(qū)域?yàn)殡娊赓|(zhì)，電解質(zhì)的介電常數(shù)為3 o，如果空氣中的電場(chǎng)強(qiáng)度E! ax 4ay 5az (V/m ),求

19、電介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E2。解：在電介質(zhì)與空氣的界面上沒有自由電荷，因而電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量連續(xù)，電位移矢量的法向分量連續(xù)。在空氣中，由電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量 Eit 4ay 5ax，可以得出介質(zhì)中電場(chǎng)強(qiáng)度的切向分量 E2t 4ay 5ax;對(duì)于法向分 量，用Din D2n，即oEixE2x，并注意Eix 3,3 o，得出E2x 1。將所得到的切向分量相疊加，得介質(zhì)中的電場(chǎng)為E2ax 4ay 5az(V / m)例2.14 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球面套一層厚度為b-a的電解質(zhì)，電解質(zhì)的介電常 數(shù)為&，假設(shè)導(dǎo)體球帶電q，求任意點(diǎn)的電位。解：在導(dǎo)體球的內(nèi)部，電場(chǎng)強(qiáng)度為 0。對(duì)于電介質(zhì)和空氣中的電場(chǎng)分布，

20、用高斯定理計(jì)算。在電介質(zhì)或空氣中的電場(chǎng)取球面為高斯面，由D dS 4sr2Drq得出Drq4 r2電場(chǎng)為:Erq4 r2在介質(zhì)中(a<r<b)；Erq4 0r2在空氣中(r>b )。電位為Edr2 dr 0rdr rq q (1 1)40b 4 r b(a<r<bEdrq40r2drq40r(r>b)例2.15真空中有兩個(gè)導(dǎo)體球的半徑都為a，兩球心之間距離為 d，且d>>a,試計(jì)算兩個(gè)導(dǎo)體之間的電容解：因?yàn)榍蛐拈g距遠(yuǎn)大于導(dǎo)體的球的半徑,球面的電荷可以看作是均勻分布由電位系數(shù)的定義，可得1 1Pl2P22， Pl2P214 oa4 od讓第一個(gè)導(dǎo)體

21、帶電q,第二個(gè)導(dǎo)體帶電-q，則ipiiqpi2qq q4oa4 odP2iqP22qq4odq4 oa化簡(jiǎn)得C2 oadd a例2.i6球形電容器內(nèi)，外極板的半徑分別為 a,b，其間媒質(zhì)的電導(dǎo)率為，當(dāng)外加電壓為U。時(shí)，計(jì)算功率損耗并求電阻。解：設(shè)內(nèi),外極板之間的總電流為Io，由對(duì)稱性，可以得到極板間的電流密度為Jar2 rUo =從而_I_4 r2b Edr =arUoi 2ar單位體積內(nèi)功率損耗為p=JU?？偣β屎膿p為U 2由P=，得Rb 2P= p4 r dr =a4Uo 2b dr _.4 Uo211 2a r211abab1 i2 r a bR=例2.17 一個(gè)半徑為a的導(dǎo)體球作為作為

22、電極深埋地下,土壤的電導(dǎo)率為。略去地面的影響，求電極的接地電阻。解：當(dāng)不考慮地面影響時(shí)，這個(gè)問題就相當(dāng)于計(jì)算位于無限大均勻點(diǎn)媒質(zhì)中的導(dǎo)體球的恒定電流問題。設(shè)導(dǎo)體球的電流為I，則任意點(diǎn)的電流密度為I4 r2 ar導(dǎo)體球面的電位為（去無窮遠(yuǎn)處為電位零點(diǎn)）U= r=a 44 a接地電阻為例2.18如圖2.7所示，平板電容器間由兩種媒質(zhì)完全填充，厚度分別為di和d2，介電常數(shù)分別為1和2，電導(dǎo)率分別為1和2，當(dāng)外加電壓Uo時(shí)，求分界面 上的自由電荷面密度。解:設(shè)電容器極板之間的電流密度為 J,則J1E1 2E2巳J，E2J1 2于是UoJd1Jd21 2即JUod1d21 2分界面上的自由面電荷密度為

23、UosD2nD1n2 E21 Ei1 U°1 did2Id1 1?1FJ1Id22 2, 2r圖2.7例2.19在電場(chǎng)強(qiáng)度E axy ayX的電場(chǎng)中把帶電量為2q(C)的點(diǎn)電荷從點(diǎn)(2,1, 1)移到點(diǎn)(8,2, 1)，試計(jì)算電場(chǎng)沿下列路徑移動(dòng)電荷所做的功。(1) 沿曲線x 2y2 ；沿連接該兩點(diǎn)的直線。解：本題要求電場(chǎng)力移動(dòng)電荷所做的功，最直接的辦法就是根據(jù)功 =作用力 x作用距離，由給出的電場(chǎng)強(qiáng)度確定電荷所受電場(chǎng)力， 再在對(duì)應(yīng)的移動(dòng)路徑C上 進(jìn)行線積分，即W F dl 2qE dl。但注意到題目給出的場(chǎng)強(qiáng)為靜電場(chǎng)的'CC電場(chǎng)強(qiáng)度，則可根據(jù)靜電場(chǎng)為保守場(chǎng)，由靜電力所做的功與

24、電荷移動(dòng)路徑無關(guān)， 至于電荷運(yùn)動(dòng)起止點(diǎn)的電位差有關(guān)這一特點(diǎn)進(jìn)行計(jì)算。方法一:axy ayX可得，電位(x, y,z) xyC，其中C為常數(shù)。點(diǎn)(2,1, 1)到點(diǎn)(8,2, 1)之間的電位差U (2,1, 1)(8,2, 1)14故無論是沿曲線x 2y2還是沿連接該兩點(diǎn)的直線,電場(chǎng)力移動(dòng)電荷2q(C)E 0，此電場(chǎng)為靜電場(chǎng)，電場(chǎng)力所做的功與電荷移動(dòng)路徑無關(guān)。所做的功W 2qU 28q(J)。方法二：電場(chǎng)力 F 2qE ax( 2qy) ay( 2qx)， 小，并求此最小電場(chǎng)強(qiáng)度。點(diǎn)(2,1,1)移到點(diǎn)(8,2, 1)變化的只是x和y，故有dlaxdx aydy， F dl 2qydx2qxdy

25、(1)曲線C:2 / ”x 2y 有 dx 4ydycF(2)曲線C:cF2dl 1 ( 2qy 4ydy 2qdyy 11剛，即 x 6y 4，x 2 62dl 1 2qy 6dy 2qdy (6y2y2)有dx4)例2.20球形電容器內(nèi)外導(dǎo)體球半徑分別為U不變，試證明當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系2 21 12qy2dy 28q(J)6dy21 ( 24qy 8q)dy 28q(J)a和b，如果保持內(nèi)外導(dǎo)體間電位差a=b/2時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)最解：要求得內(nèi)導(dǎo)體球表面的最小電場(chǎng)強(qiáng)度， 需先求出空間各點(diǎn)電場(chǎng)強(qiáng)度的分 布，再根據(jù)高等數(shù)學(xué)中函數(shù)最小值出現(xiàn)在函數(shù)一階導(dǎo)數(shù)零點(diǎn)的知識(shí)，求出內(nèi)導(dǎo)體球表面的電

26、場(chǎng)強(qiáng)度最小值，并得到此時(shí)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑之間的關(guān)系。由于內(nèi)外導(dǎo)體球間存在電位差，故內(nèi)導(dǎo)體球表面存在電荷，可設(shè)在內(nèi)導(dǎo)體球 面上均勻分布有總量為 Q的電荷，因此以導(dǎo)體球球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，內(nèi)導(dǎo)體球面為r a，外導(dǎo)體球面為r b。在a r b的區(qū)間包圍原點(diǎn)做一個(gè)半徑為r的閉合球面S,由于電荷和電場(chǎng)的分布滿足球?qū)ΨQ，在S上應(yīng)用高斯定理，有SE dS20 0 Err2sin d dQ4 or2Er4 or2,Ear設(shè)外導(dǎo)體電位為0，則內(nèi)導(dǎo)體電位為U，將點(diǎn)電荷從內(nèi)導(dǎo)體表面搬到外導(dǎo)體上所需要的電場(chǎng)力所做功為:bU E dla2 dr a 4 or2-(-；)0 a b4 o ab故可反解出 Q -一U

27、 ， Eaa-U2 (a r b)b ab ar在內(nèi)導(dǎo)體球表面r a，有Er bU 2Er (a, b)ab aEr bU (2a b)2 2 ，a (ab a )0，即b 2a 0，a b/2時(shí)有Er的最值又a b/2時(shí)，旦 0 aa b/2時(shí)，一空0 ;故a b/2時(shí)有最小值。 a當(dāng)內(nèi)外導(dǎo)體球半徑滿足關(guān)系a=b/2時(shí)，內(nèi)導(dǎo)體球表面的電場(chǎng)最小。實(shí)用標(biāo)準(zhǔn)此最小值為Emin ar 2U 可a b例2.21電場(chǎng)中一半徑為a的介質(zhì)球，已知球內(nèi)、外的電位函數(shù)分布為:E0r cos-a3Eo-c°, r a2 or文檔A E0rcos ,2 0驗(yàn)證球表面的邊界條件,并計(jì)算球表面的束縛電荷密度。

28、解：題目給出的邊界面，是介于介質(zhì)和空氣之間的球面，其法向?yàn)榍虻膹较騛r，切向則為a和a方向。要驗(yàn)證分界面上的邊界條件，可以從電場(chǎng)矢量方面入手，根據(jù)題目給出電位分布，求出電場(chǎng)強(qiáng)度的分布，得到在邊界面E1tE2t ；也可以直接根據(jù)電位的邊界條件,在r a的分界面上，得到12的結(jié)論。而要計(jì)算球面的束縛電荷密度，可根據(jù)PSP n來計(jì)算。1 )驗(yàn)證邊界條件:方法一：直接利用電位的邊界條件，有:a時(shí)，1E0acosaE0 cos2 0-E0r cos 2o12，邊界條件成立方法二:EiE2ar(Eo cos3Eo2cos3) a ( Eo sinr宀3E2 o匕單T),rar分界面r0 - (ar Eo

29、cos0a E0sin ), r aa 上, narE1t a ( E0 sinE0 sin ) a2 0- E0 sin E2t0EitEn，邊界條件成立計(jì)算球表面的束縛電荷密度:由上面可得Eiar (E0 cosE0 sin a3E。sin 、廠)，r a rE2(arE° cos2 0Eo sin),0E F0)EF2o)Ei0)E2(0)ar(10,2a3廠)E°cosa (r3I a、3)E°sin ,r a 0 r例2.22有一半徑為a，帶電荷量為q的導(dǎo)體球，其球心位于兩種介質(zhì)的分界面 上，此兩種介質(zhì)的介電常數(shù)分別為 i和2，分界面可視為無限大的平面，

30、求：(1) 球的電容量；儲(chǔ)存的總靜電能。解：此導(dǎo)體球?yàn)閱螌?dǎo)體系統(tǒng)，選無窮遠(yuǎn)點(diǎn)為零電位點(diǎn)，球的電容量可由C Q 求出，其中Q為導(dǎo)體球所帶電荷量，即q ;為導(dǎo)體球表面電位與零電位點(diǎn)的電位差。故求球的電容量，就需求導(dǎo)體球外電場(chǎng)強(qiáng)度的分布。同樣，靜電場(chǎng)的能量 也可由電場(chǎng)強(qiáng)度求出，故本題的核心在于求電場(chǎng)強(qiáng)度的空間分布。由圖2.8所示，以導(dǎo)體球的球心為坐標(biāo)原點(diǎn)建立球坐標(biāo)系，電荷和電場(chǎng)分布 具有球?qū)ΨQ特性。在r a處做同心的高斯閉合球面，有22D dS Dr1 2 r Dr2 2 r qS(1)在1和2的介質(zhì)分界面上，有Eit E故有Dr1Er即 E1rE2rEr ,We(注:D1 r 1 E1 r2 r2

31、 Dr2 2 r2dr1 Er， D2r 2E2r(1Er 2Er) 22Er ,2)r2qdra 2(12)r2q2 ( 12)rq2 a( 12)C2 a( i2a Er12qq4 a( 12)也可計(jì)算為:We/2 2 12 21E r sin drd d/2 0 22 22E r sin drd d4 a( !2)第4章恒定磁場(chǎng)例4.1半徑為a、高為L(zhǎng)的磁化介質(zhì)柱，如圖4.1所示，磁化強(qiáng)度為Mo(M。為 常矢量，且與圓柱的軸線平行)，求磁化電流Jm和磁化面電流Jms。圖4.1解：取圓柱坐標(biāo)系的z軸和磁介質(zhì)柱的中軸線重合，磁介質(zhì)的下底面位于z=0處，上底面位于z= L處。此時(shí)，M azM

32、0，磁化電流為J mM(M°az)0在界面z=0 上,naz，J mSM n M0az (az)0在界面z=L 上,n az，J mSM n M 0az az0在界面r=a上，n ar，J mSM n M0az arM0a例4.2內(nèi)、外半徑分別為a、b的無限長(zhǎng)空心圓柱中均勻分布著軸向電流I，求 柱內(nèi)、外的磁感應(yīng)強(qiáng)度。解：使用圓柱坐標(biāo)系。電流密度沿軸線方向?yàn)?,r aJazt12 ,a r b(b2 a2)0,r b由電流的對(duì)稱性，可以知道磁場(chǎng)只有圓周分量。用安培環(huán)路定律計(jì)算不同區(qū)域的磁場(chǎng)。當(dāng)r<a時(shí)，磁場(chǎng)為0。當(dāng)avrvb時(shí),選取安培回路為半徑等于r且與導(dǎo)電圓柱的軸線同心的圓。

33、該回路包圍的電流為I = J r2a2I r2a22 2 oI r a 由;B dl 2 rB o I'，得 B =22c2 r b2 a2當(dāng)r<b時(shí)，回路內(nèi)包圍的總電流為I，于是B =oI。2 r例4.3半徑為a的長(zhǎng)圓柱面上有密度為Jso的面電流，電流方向分別為沿圓周方 向和沿軸線方向，分別求兩種情況下柱內(nèi)、外的B。解： 當(dāng)面電流沿圓周方向時(shí)，由問題的對(duì)稱性可以知道，磁感應(yīng)強(qiáng)度僅 僅是半徑r的函數(shù)，而且只有軸向方向的分量，即B azBz(r)由于電流僅僅分布在圓柱面上，所以在柱內(nèi)或柱外B 0。B將B azBz(r)代入 B a 一 0，即磁場(chǎng)是與r無關(guān)的常量。在離面無窮遠(yuǎn)處的觀

34、察點(diǎn)，由于電流可以看成是一系列流向相反而強(qiáng)度相同 的電流元之和，所以磁場(chǎng)為零。由于 B與r無關(guān)，所以，在柱外的任一點(diǎn)處，磁 場(chǎng)恒為0。為了計(jì)算柱內(nèi)的磁場(chǎng)，選取安培回路為圖 4.2所示的矩形回路。圖4.2有汩dl hBz h oJso因而柱內(nèi)任一點(diǎn)處，B az °Jso。c 當(dāng)面電流沿軸線方向時(shí)候，由對(duì)稱性可知，空間的磁場(chǎng)僅僅有圓分量，且只 是半徑的函數(shù)。在柱內(nèi)，選取安培回路為圓心在軸線并且為于圓周方向的圓。可以得出，柱內(nèi)任一點(diǎn)的磁場(chǎng)為零。在柱外，選取圓形回路，白B dl 。1，與該Ca 回路交鏈的電流為2 aJso，- B dl 2 rB，所以B a oJs。-cr例4.4如圖4.3

35、所示，一對(duì)無限長(zhǎng)平行導(dǎo)線，相距2a，線上載有大小相等，方 向相反的電流I，求磁矢位A，并求B。解：將兩根導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位看作是單個(gè)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位的疊加。 對(duì)單個(gè) 導(dǎo)線，先計(jì)算有限長(zhǎng)度產(chǎn)生的磁矢位。設(shè)導(dǎo)線的長(zhǎng)度為1，導(dǎo)線1的磁矢位為（場(chǎng) 點(diǎn)選在xoy平面）Ai當(dāng)l 時(shí)，有同理，導(dǎo)線2產(chǎn)生12dz域廠A2azln2l 2 (l 2)2 J12A2衛(wèi)ln丄2r1azln丄2ro由兩個(gè)導(dǎo)線產(chǎn)生的磁矢位為A az A A0t ln 丄IriaotlnEIriaz70tln相應(yīng)的磁場(chǎng)為Azax -yayay# x2a 2x a y2 x a y例4.5已知內(nèi)，外半徑分別為a,b的無限長(zhǎng)鐵質(zhì)圓柱殼（磁道率

36、為）沿軸向有 恒定的傳導(dǎo)電流I，求磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁化電流解：考慮到問題的對(duì)稱性，用安培環(huán)路定律可以得出各個(gè)區(qū)域的磁感應(yīng)強(qiáng)度當(dāng)r a時(shí)， B 0當(dāng)a r b時(shí),I(r22 r b2a2)當(dāng)r b時(shí)，B汙當(dāng)a r b時(shí)，M ( r 1)H1(r 1)-B2 2、I(r a )2 r(b2 a2)1 rM( r 1)1Jm Maz-az打廠r r(ba)當(dāng)r b時(shí)，J m 0在ra處，磁化強(qiáng)度M 0,所以Jms M n M ( aj 0在r b處，磁化強(qiáng)度M -)Ia，所以2 bJmS M n M arr -)12 baz例4.6已知在半徑為a的無限長(zhǎng)圓柱導(dǎo)體內(nèi)有恒定電流I沿軸方向。設(shè)導(dǎo)體的 磁導(dǎo)率為

37、-，其外充滿磁導(dǎo)率為 2的均勻磁介質(zhì)，求導(dǎo)體內(nèi)外的磁場(chǎng)強(qiáng)度、磁 感應(yīng)強(qiáng)度、磁化電流分布。解：考慮到問題的對(duì)稱性，在導(dǎo)體內(nèi)外分別選取與導(dǎo)體圓柱同軸的圓環(huán)作 為安培回路，并注意電流在導(dǎo)體內(nèi)是均勻分布的。可以求出磁場(chǎng)強(qiáng)度如下：r a 時(shí)，HIr；r>a時(shí)，Ha 2 r磁感應(yīng)強(qiáng)度如下：r a 時(shí)，B-Irj ； r>a時(shí)，2IBa 2 r為了計(jì)算磁化電流，要求磁化強(qiáng)度：r a 時(shí)，Ma ( 11) Ir2，o2 aJ m1IMaz( 11)0ar > a 時(shí)，M2Ia( 01)2r，J mM 0在r a的界面上計(jì)算磁化面電流時(shí)，可以理解為在兩個(gè)磁介質(zhì)之間有一個(gè)很薄的真空層。這樣，其磁

38、化面電流就是兩個(gè)磁介質(zhì)的磁化面電流之和，即J ms M1 nj M 2n2這里的ni和n2分別是從磁介質(zhì)到真空中的單位法向如果設(shè)從介質(zhì)1到介質(zhì)2的單位法向是n，則有Jms M1 n M 2 n代入界面兩側(cè)的磁化強(qiáng)度，并注意 n ar，得J msaz(1)az(1)az(1)0例4.7空氣絕緣的同軸線，內(nèi)導(dǎo)體的半徑為a，外導(dǎo)體的半徑為b，通過的電流 為I。設(shè)外導(dǎo)體殼的厚度很薄，因而其儲(chǔ)蓄的能量可以忽略不計(jì)。計(jì)算同軸線單 位長(zhǎng)度的儲(chǔ)能，并有此求單位長(zhǎng)度的自感。解：設(shè)內(nèi)導(dǎo)體的電流均勻分布，用安培環(huán)路定律可求出磁場(chǎng)。IrIr a 時(shí)， H a 2 ； a r b 時(shí)， H a 2 a2 r單位長(zhǎng)度的磁

39、場(chǎng)能量為a 1Wm= 022°h22 rdr+ a 川2 g；*故得單位長(zhǎng)度的自感為L(zhǎng)=，吒，其中的第一項(xiàng)是內(nèi)導(dǎo)體的內(nèi)自感例4.8 個(gè)長(zhǎng)直導(dǎo)線和一個(gè)圓環(huán)(半徑為a)在同一平面內(nèi),圓心與導(dǎo)線的距離是d，證明它們之間互感為 M 0(d . d2 a2)證明：設(shè)直導(dǎo)線位于z軸上，由其產(chǎn)生的磁場(chǎng)Bo12 x0 2 (d r cos )其中各量的含義如圖4.4所示。磁通量為Bds 0rdrd2 (d r cos )上式先對(duì)積分，并用公式dd a cos2d2a2所以互感為02 ra2)I (d . d2z 0的半無窮空求出H , B，Mrdr0 ,d2_例4.9 一根通有電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線埋在不

40、導(dǎo)電的均勻磁性介質(zhì)中(1) 求出H , B，M及磁化電流分布；(2) 若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動(dòng)，在 間中充滿導(dǎo)磁率為 的均勻介質(zhì)，在z 0的半無窮空間為真空, 及磁化電流分布；x 0的半無窮空(3) 若將導(dǎo)線埋在介質(zhì)分界面間，電流I沿z方向流動(dòng)，在間中充滿導(dǎo)磁率為 的均勻介質(zhì)，在x 0的半無窮空間為真空,及磁化電流分布。解：由安培環(huán)路定律，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線，有:H dl H 2 r ICH ，即 H a 2 r2 r故: B H aHr，M(r 1)IB H ( 1)H a002 r(2)如圖4.5(a)所示,以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線C，由安培環(huán)路定律有:CH

41、dlH 2 r H a2r，則有:z 0:a 丄，M12 rBi(01)H(r 1)I2 r ，z 0: B2M 0， Jms M n Maraz-0H a，M20，Jm2 rJ ms0。C，由安培環(huán)路定律有:如圖4.5(b)所示，以導(dǎo)線為中心做閉合積分曲線Hir H2 r對(duì)于分界面，x 0處a為法向，根據(jù)邊界條件BinB2n，有 B1B2 B，即:H1B，H2代入安培環(huán)路定律，有-解得B0_0 r_0 rJ，Hix 0:M,B0Hi ( r 1)已 a0 I0 rJ mM 0， Jms M n Ma 0 ；x 0:M2BH 20， J m0， Jms0。0ii zl r1h f -ft0X0

42、u圖 4.5(a)圖 4.5(b)例4.10半徑為a的無限長(zhǎng)直圓柱形導(dǎo)線沿軸向通過電流I。如圖4.6所示，取圖中 2處為參考點(diǎn)，用拉普拉斯方程求導(dǎo)線外部的標(biāo)量磁位。圖4.6解：對(duì)磁標(biāo)位來講，它是和磁力線垂直的，而通電長(zhǎng)直導(dǎo)線的磁力線是以電 流為圓心的同心圓，因此磁標(biāo)位就應(yīng)該是 r方向的射線，所以 m應(yīng)該與r和z無關(guān)，拉普拉斯方程應(yīng)該是:解出來m C D代入已知條件2為參考點(diǎn)，有 m 2 C D再以導(dǎo)線為軸心在導(dǎo)線外做一個(gè)近似閉合的回路I，起點(diǎn)A和終點(diǎn)B在2的兩側(cè)，由于Hm,比照靜電場(chǎng)中電場(chǎng)強(qiáng)度和電位之間的關(guān)系，B有 mA mB AH dl I， mA 0， mB 2 C D，則 2 C D I

43、這樣始終有兩個(gè)未知量不能確定。于是又考慮2和0是同一點(diǎn)，那么參考點(diǎn)也可以看作是2 ，代入m C D中， 2時(shí)m D 0，故m C ，這就只有一個(gè)未知量了。B再做參考積分回路，則 mA mB 02 C AH dl I解得C 丄，故m C 2 2例4.11 一橫截面為正方形的環(huán)形鐵心上開有一空氣隙，長(zhǎng)度1mm，鐵心內(nèi)半徑a 8cm，橫截面邊長(zhǎng)b 2cm，相對(duì)磁導(dǎo)率r 500。鐵心上均有緊密繞有 線圈1000匝，如圖4.6所示。忽略氣隙附近的漏磁通，求此線圈的自感。解：由于0，忽略氣隙附近的漏磁通，根據(jù)磁通連續(xù)性方程，可視將磁感應(yīng)線只在磁環(huán)內(nèi)流動(dòng)，且垂直磁環(huán)截面，磁感應(yīng)線穿過空氣隙時(shí)仍均勻分布在截面

44、上。設(shè)磁環(huán)上磁感應(yīng)強(qiáng)度為B ，磁場(chǎng)強(qiáng)度為H;氣隙中磁感應(yīng)強(qiáng)度為Bo，磁場(chǎng)強(qiáng)度為H °，由安培環(huán)路定律有:cH dl H (2 r )H。NI，其中r a b 9cm對(duì)于空氣與鐵心的分界面,為法向，根據(jù)邊界條件Bm B2n，有NI，解得BNI2 rBiB2B，可得 H ，H0BB故有 (2 r )0通過鐵心截面的磁通量SB dSb2線圈的自感LNb2代入數(shù)據(jù)310 m，b 0.02m， r 0.09m500 0，N 1000，得Nb22r200 o 0.251(mH)第5章時(shí)變電磁場(chǎng)例5.1證明均勻?qū)щ娒劫|(zhì)內(nèi)部，不會(huì)有永久的自由電荷分布。 解：將JE代入電流連續(xù)性方程，考慮到媒質(zhì)均勻，

45、有(E) ( E) 0由于： D ,( E) , E所以t0，(t)°e例5.2設(shè)z=0的平面為空氣與理想導(dǎo)體的分界面，z<0 一側(cè)為理想導(dǎo)體，分界面處的磁場(chǎng)強(qiáng)度為 H(x,y,0,t) axH 0 si naxcos( t ay)，試求理想導(dǎo)體表面上 的電流分布、電荷分布以及分界面處的電場(chǎng)強(qiáng)度。解:Js n H az axH0 sin axcos( t ay)ayH 0sinaxcos( t ay)一S一 H 0 sin ax cos( t ay) aH 0sin axsin( t ay)t yaH。Ssin ax cos( t ay) c(x, y)假設(shè)t=0時(shí)，s 0,由邊界條件n Ds以及n的方向可得例5.3試求一段半徑為b，電導(dǎo)率為，載有直流電流I的長(zhǎng)直導(dǎo)線表面的坡印aH0D(x, y,0,t)az -sin ax cos( tay)aH。E(x,y,0,t)az-sin axcos( tay)廷矢量，并驗(yàn)證坡印廷定理圖5.1解：如圖5.1，一段長(zhǎng)度為I的長(zhǎng)直導(dǎo)線，其軸線與圓柱坐標(biāo)系的 z軸重合,直流電流將均勻分布在導(dǎo)線的橫截面上，于是有:1az 虧，EJIaz 2b2在導(dǎo)線表面H a真因此，導(dǎo)線表面的坡印廷矢量