線性代數(shù)與空間解析幾何：4-3 初等矩陣

1、4.3 4.3 初等矩陣初等矩陣1112132122230 11 0aaaaaa 131211232221aaaaaa1112132122230 1 01 0 00 0 1aaaaaa 232122131112aaaaaa 232221131211001aaaaaak 232221131211kakakaaaa:觀觀察察下下面面的的矩矩【例例1 1】陣陣運(yùn)運(yùn)算算特特 232221131211101aaaaaak111213212223100 1 00 0 1kaaaaaa 112112221323212223akaakaakaaaa 1112111321222123aakaaaakaa 111

2、2132122231 0 0000 0 1aaakaaa 232221131211akaaakaa 101101),(.1jiPn行行第第 i行行第第 j:3 3 種種初初等等變變換換對對應(yīng)應(yīng)著著 3 3 種種初初等等矩矩陣陣 111)(. 2kkiPn行行第第i 1111),(. 3kikjPn行行第第i行行第第 j1( ( ), )( (), ).P j kiP jki 初初等等矩矩陣陣的的逆逆陣陣還還是是初初【命命題題7 7】等等矩矩陣陣. .【證證明明】( , )( , ):nnnP i jP i jE1( ( )( ():nnnP i kP i kE ( ( ), )( (), ):

3、nnnPj kiPjkiE1( , )( , );P i jP i j 11( ( )( ();P i kP i k ;.:行行初初等等變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于在在左左邊邊乘乘一一個個初初等等矩矩陣陣 列列初初等等變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于在在右右邊邊乘乘【初初等等矩矩一一個個初初等等陣陣矩矩和和初初等等變變換換的的關(guān)關(guān)陣陣系系具具體體為為】 rr ( , ) ,ijmAPi j A r ( ( ) ,imkAPi kA rr ( ( ), ) ,jimkAPj ki A cc ( , ),ijnAAP i j c ( ( ),inkAAP i k cc ( ( ), ).ijnkAAPj ki【證證明

4、明】Akl假假設(shè)設(shè)矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)過過次次行行初初等等變變換換和和 次次列列,B初初等等變變換換變變?yōu)闉閯t則存存在在兩兩組組初初等等矩矩陣陣1,()kPPm階階的的1 ,()lQQ n階階的的和和使使得得11,klPP AQQB 111111,.klPPPQQQ 這這里里,APBQ 【證證明明】rr( ),0 ;00ArAE 由由于于當(dāng)當(dāng)時時等等價價于于.再再由由上上述述定定理理知知結(jié)結(jié)論論成成了了【證證明明】.AAE只只需需注注意意可可逆逆等等同同于于等等價價于于單單位位陣陣, ,r()r()r().AmnPmQnPAAQA 若若為為矩矩陣陣為為階階可可逆逆陣陣為為階階可可逆逆陣陣 則則【推推論論】【證證明明】,PmP為為階階可可逆逆陣陣 由由上上述述定定理理知知為為若若干干初初;等等陣陣的的乘乘積積從從而而 ,APA行行初初等等變變換換這這等等同同于于r()r( ).PAA 同同理理r()r( ).AQA 【證證明明】若我們記若我們記11111111000,0 000srrsssssrppeeEPppee 則則111111110000srsssssrppeeBQppee 從而從而111111110000srmmsssraakkABQaakk 于是于是1111r()r()r().rmmrddABrBdd 111100,00rssrkkQkk 11110000rmmrddQ.dd