線性代數(shù)與空間解析幾何：4-3 初等矩陣

1、4.3 4.3 初等矩陣初等矩陣1112132122230 11 0aaaaaa 131211232221aaaaaa1112132122230 1 01 0 00 0 1aaaaaa 232122131112aaaaaa 232221131211001aaaaaak 232221131211kakakaaaa:觀觀察察下下面面的的矩矩【例例1 1】陣陣運(yùn)運(yùn)算算特特 232221131211101aaaaaak111213212223100 1 00 0 1kaaaaaa 112112221323212223akaakaakaaaa 1112111321222123aakaaaakaa 111

2、2132122231 0 0000 0 1aaakaaa 232221131211akaaakaa 101101),(.1jiPn行行第第 i行行第第 j:3 3 種種初初等等變變換換對(duì)對(duì)應(yīng)應(yīng)著著 3 3 種種初初等等矩矩陣陣 111)(. 2kkiPn行行第第i 1111),(. 3kikjPn行行第第i行行第第 j1( ( ), )( (), ).P j kiP jki 初初等等矩矩陣陣的的逆逆陣陣還還是是初初【命命題題7 7】等等矩矩陣陣. .【證證明明】( , )( , ):nnnP i jP i jE1( ( )( ():nnnP i kP i kE ( ( ), )( (), ):

3、nnnPj kiPjkiE1( , )( , );P i jP i j 11( ( )( ();P i kP i k ;.:行行初初等等變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于在在左左邊邊乘乘一一個(gè)個(gè)初初等等矩矩陣陣 列列初初等等變變換換相相當(dāng)當(dāng)于于在在右右邊邊乘乘【初初等等矩矩一一個(gè)個(gè)初初等等陣陣矩矩和和初初等等變變換換的的關(guān)關(guān)陣陣系系具具體體為為】 rr ( , ) ,ijmAPi j A r ( ( ) ,imkAPi kA rr ( ( ), ) ,jimkAPj ki A cc ( , ),ijnAAP i j c ( ( ),inkAAP i k cc ( ( ), ).ijnkAAPj ki【證證明

4、明】Akl假假設(shè)設(shè)矩矩陣陣經(jīng)經(jīng)過(guò)過(guò)次次行行初初等等變變換換和和 次次列列,B初初等等變變換換變變?yōu)闉閯t則存存在在兩兩組組初初等等矩矩陣陣1,()kPPm階階的的1 ,()lQQ n階階的的和和使使得得11,klPP AQQB 111111,.klPPPQQQ 這這里里,APBQ 【證證明明】rr( ),0 ;00ArAE 由由于于當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)等等價(jià)價(jià)于于.再再由由上上述述定定理理知知結(jié)結(jié)論論成成了了【證證明明】.AAE只只需需注注意意可可逆逆等等同同于于等等價(jià)價(jià)于于單單位位陣陣, ,r()r()r().AmnPmQnPAAQA 若若為為矩矩陣陣為為階階可可逆逆陣陣為為階階可可逆逆陣陣 則則【推推論論】【證證明明】,PmP為為階階可可逆逆陣陣 由由上上述述定定理理知知為為若若干干初初;等等陣陣的的乘乘積積從從而而 ,APA行行初初等等變變換換這這等等同同于于r()r( ).PAA 同同理理r()r( ).AQA 【證證明明】若我們記若我們記11111111000,0 000srrsssssrppeeEPppee 則則111111110000srsssssrppeeBQppee 從而從而111111110000srmmsssraakkABQaakk 于是于是1111r()r()r().rmmrddABrBdd 111100,00rssrkkQkk 11110000rmmrddQ.dd