微積分授課課件：10-4第二型曲面積分

1、 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) 2000- 2000- 世界數(shù)學(xué)年世界數(shù)學(xué)年 數(shù)學(xué)是理解世界的數(shù)學(xué)是理解世界的一把主要鑰匙一把主要鑰匙. - -里約熱內(nèi)盧宣言里約熱內(nèi)盧宣言 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)第四節(jié)第四節(jié) 第二型曲面積分第二型曲面積分曲面分曲面分上上側(cè)和側(cè)和下下側(cè)側(cè)曲面分曲面分內(nèi)內(nèi)側(cè)和側(cè)和外外側(cè)側(cè)一般的曲面都有兩側(cè)一般的曲面都有兩側(cè)(如圖如圖), 那么那么, 如何來說明曲面的側(cè)呢？如何來說明曲面的側(cè)呢？(假設(shè)曲面是光滑的假設(shè)曲面是光滑的)曲面上曲面上法向量的指向法向量的指向決定了曲面的決定了曲面的側(cè)側(cè).取定了法向量亦即選定了取定了法向量亦即選定了側(cè)側(cè)的曲面稱為的曲

2、面稱為有向曲面有向曲面.nnnn一、有向曲面一、有向曲面 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)二、第二型曲面積分的概念與性質(zhì)二、第二型曲面積分的概念與性質(zhì)實例：實例：流體流過有向曲面的流量流體流過有向曲面的流量.(1)Svn S)(為為單單位位法法向向量量設(shè)設(shè)n. , 的的流流量量時時間間內(nèi)內(nèi)流流體體流流過過求求在在單單位位、有有向向平平面面區(qū)區(qū)域域為為流流速速場場為為常常向向量量SSv cos| vS流量流量Snv)( 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)xyzO nvM (2)(2) 設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體設(shè)穩(wěn)定流動的不可壓縮的流體(假定密度為假定密度為1)在在.),( ),( 的

3、的流流量量過過求求在在單單位位時時間間內(nèi)內(nèi)流流體體流流處處的的穩(wěn)穩(wěn)定定流流速速為為上上的的任任意意點點有有向向光光滑滑曲曲面面MvzyxM)( dSdS 面面積積也也為為微微元元上上任任取取一一利利用用微微元元法法，在在 . dSnv 于是流量于是流量).),( zyxdSnvd)( ,)1(流量的微元流量的微元的流量的流量流過流過的結(jié)論知的結(jié)論知又又dS.,的的三三元元函函數(shù)數(shù)為為被被積積函函數(shù)數(shù)上上的的第第一一型型曲曲面面積積分分這這是是曲曲面面zyxnv dS, nM點處的單位法向量為點處的單位法向量為設(shè)設(shè)).(MvM點處的流速為點處的流速為 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué),),

4、(),(),( kzyxRjzyxQizyxPv 若若dSRQPdSnv )coscoscos( 則則, cos cos coskjin .coscoscos dSRdSQdSPdxdyyxzyxRdxdyzzzzyxzyxRdSzyxRznzyxDyxyxzzxyxyDyxDyxxy ),(,( 111),(,( cos),( , ),( , ),),( ),( :2222 則則軸的夾角為銳角軸的夾角為銳角與與處的單位法向處的單位法向即動點即動點方向為上側(cè)方向為上側(cè)為為若若注意注意 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) .),(,( ),( ),(,( ),( ),( ),( ,cos),

5、(),( , ),(dxdyyxzyxRdxdyzyxRdxdyyxzyxRdxdyzyxRDyxyxzzzAdSzyxRdxdyzyxRyxAzyxRXYxyxyADDxy 下下上上，時時為為當當夾夾角角；軸軸正正向向的的側(cè)側(cè)動動點點處處的的單單位位法法向向與與為為曲曲面面這這里里的的曲曲面面積積分分側(cè)側(cè)對對坐坐標標的的在在曲曲面面型型第第二二型型曲曲面面積積分分： 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) ),(,( ),( ),(,( ),( ),( ),( ,cos),(),( , ),( :dzdxzxzyxQdxdyzyxQdzdxzxzyxQdzdxzyxQDxzxzyyyAdSz

6、yxQdzdxzyxQxzAzyxQZXzxzxADDzx 左左右右，時時為為當當夾夾角角；軸軸正正向向的的側(cè)側(cè)動動點點處處的的單單位位法法向向與與為為曲曲面面這這里里的的曲曲面面積積分分側(cè)側(cè)對對坐坐標標的的在在曲曲面面型型第第二二型型曲曲面面積積分分 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué) .),),( ),( ),),( ),( ),( ),( ,cos),(),( , ),( :dydzzyzyxPdydzzyxPdydzzyzyxPdydzzyxPDzyzyxxxAdSzyxQdydzzyxPzyAzyxPYZyzyzADDyz 后后前前，時時，為為當當夾夾角角；軸軸正正向向的的側(cè)側(cè)動

7、動點點處處的的單單位位法法向向與與為為曲曲面面這這里里的的曲曲面面積積分分側(cè)側(cè)對對坐坐標標的的在在曲曲面面型型第第二二型型曲曲面面積積分分 我們再將上面的定義概括如下我們再將上面的定義概括如下: 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué).dSnF 向量形式的曲面積分向量形式的曲面積分一般形式的曲面積分一般形式的曲面積分RdxdyQdzdxPdydz dSRQP )coscoscos(第一、二型曲第一、二型曲面積分的關(guān)系面積分的關(guān)系RdxdyQdzdxPdydzRdxdyQdzdxPdydz ,cosdydzPdSP ,cosdxdyRdSR ,cosdzdxQdSQ 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等

8、數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)xyz2 1 例例1 1，其，其計算曲面積分計算曲面積分dxdyxyz .0, 01222的部分的部分的外側(cè)在的外側(cè)在是球面是球面中中 yxzyx 解解兩部分兩部分和和分成分成將將21 ;1:2211yxz ,1:2222yxz )()(12下下上上 xyzdxdyxyzdxdyxyzdxdy xyxyDDdxdyyxxydxdyyxxy)1(12222 xyDdxdyyxxy2212 2010221cossin2 drrrrd.152 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)例例2 2解解3 前前后后,2zdxdyydzdxdydzx 計算計算.0,0222）的表面外側(cè)（的表面外側(cè)（

9、是圓柱體是圓柱體其中其中 aayxbz , 21 下底面為下底面為令圓柱體上底面為令圓柱體上底面為.3 側(cè)面為側(cè)面為xOyzOxyOz , , 在在設(shè)設(shè) .,321DDD面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為yxozbaa1 1D2D2 3Ddydzxdydzx 322 dzdxydzdxy 3 dxdyzdxdyzdxdyzdxdyz 321 3Dbdxdy.2 ba .222 bazdxdyydzdxdydzx .2 ba . 0 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)3 前前后后yxozbaa1 1D2D2 3D. 0 dydzxdydzx )(2)(233后后后片后片前前前片前片dydzya

10、dydzyaDD 11)()(2222dydzx 2dydzxdydzxdydzx 321222 dydzx 32 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)3 前前后后yxozbaa1 1D2D2 3Ddzdxy dzdxydzdxy )()(33左左左片左片右右右片右片dzdxxadzdxxaDD 22)(2222dzdxxaD 2222dxxadzaab 2202 2212ab .2 ba dzdxydzdxydzdxy 321 dzdxy 3 哈爾濱工程大學(xué) 高高 等等 數(shù)數(shù) 學(xué)學(xué)例例3 3,)( 2 下下計算計算zdxdydydzxz).20( )( 2221 zyxz是拋物面是拋物面其中其中 nDxyzO解解. DxOy面上的投影區(qū)域為面上的投影區(qū)域為在在設(shè)設(shè) .1 , ,11 ),()( 222221 yxyxnzyxyxz指向下側(cè)的單位法向為指向下側(cè)的單位法向為點處點處在在拋物面拋物面dSyxzxxzdSyxyxzxzzdxdydydzxz2222222