線性代數(shù)行列式的性質(zhì)與計算

1、 將行列式將行列式d的行與列互換后得到的行列式稱為的行與列互換后得到的行列式稱為d的轉(zhuǎn)置行列式，記為的轉(zhuǎn)置行列式，記為dt (transpose)或或d . .即如果即如果2.1 2.1 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann d =，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann dt =則.第第2 2節(jié)節(jié) 行列式的性質(zhì)與計算行列式的性質(zhì)與計算顯然，顯然，( dt )t=d . .下頁行列式的轉(zhuǎn)置行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì)性質(zhì)3 用數(shù)用數(shù)k乘以行列式的某一行乘以行列式的某一行(列列)，等于用數(shù)，等于用數(shù)k乘以此行列式乘以此行列式. .a11kai

2、1an1 a12kai2an2 a1nkainann =k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即d = =dt. .推論推論1 如果行列式的某一行如果行列式的某一行(列列)的元素全為零，則的元素全為零，則d0. .性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行互換行列式的兩行(列列)，行列式的值變號，行列式的值變號.推論推論 如果行列式如果行列式d中有兩行中有兩行(列列)的元素相同，則的元素相同，則d=0. . 推論推論2 如果如果d中有兩行中有兩行(列列)對應(yīng)元素成比例，則對應(yīng)元素成比例，則d=0.下頁 性質(zhì)性質(zhì)4

3、 若行列式中的某一行若行列式中的某一行(列列)的元素都是兩數(shù)之和，則的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個行列式之和此行列式可以寫成兩個行列式之和. .即即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann = 性質(zhì)性質(zhì)5 將行列式的某一行將行列式的某一行(列列)的所有元素同乘以數(shù)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行后加到另一行(列列)對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變. .即即a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1+kaj1an1a12ai2+

4、kaj2an2a1nain+kajnann=.+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .下頁行列式的計算行列式的計算要點：要點：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計算利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計算. .下頁為表述方便，引入下列記號為表述方便，引入下列記號 (行用行用r，列用，列用c) ：以數(shù)以數(shù)k0乘以行列式的第乘以行列式的第i行，用行，用kri表示；表示；以數(shù)以數(shù)k乘以行列式的第乘以行列式的第i行加到第行加到第j行，用行，用rj+kri表示表示. .交換行列式的第交換行列式的第i行與第行與第j行，用行，用jirr 表示表示；（換法變換）（換法變換）（倍法變換

5、）（倍法變換）（消法變換）（消法變換）思考：這三種變換的結(jié)果分別是什么？思考：這三種變換的結(jié)果分別是什么？例例1. 計算行列式計算行列式5101242170131312=d131224217013510141=rrd3400193008310510124232=rrrr850002210083105101344=+ rr1111033208310510114131223=+rrrrrr3400221008310510143=rr解：解：= 85.下頁例2. 計算行列式解:下頁103100204199200395301300600d =10031002004200 12004005300 130

6、0600d+=+10010020042002004005300300600+=31002004120040051300600+ 310020012004001300600=310041200513000+ 314100125130=2000=xaaaxaaaxd=xaaaxaanxd111) 1(+=axaaxaanx+=00001) 1(1(1) ()nxna xa=+例例3. 計算行列式計算行列式解：解： 將各行都加到第一行，從第一行提取將各行都加到第一行，從第一行提取 x+(n-1)a 得得下頁nnnacacacbbbad0000002211210=100010001)(22112102

7、1nnnnacacacbbbaaaad =100010001000)(22111021nnniiiinacacacacbaaaa=)(1021=niiiinacbaaaa12(0)na aa 解：例例4. 計算行列式計算行列式下頁一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式 定義定義5 5 在在n階行列式階行列式d= =|aij|中去掉元素中去掉元素a i j 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后, ,余下的余下的n 1階行列式，稱為階行列式，稱為d中元素中元素aij 的的余子式余子式，記作，記作mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a

8、24a34a44 例如，求例如，求4階行列式中階行列式中a32的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 m32= a32= = ( 1)3+ +2m32= = m32令令aij= =( 1)i+ +jmij， aij稱為元素稱為元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式. .2.2 2.2 行列式按行行列式按行( (列列) )展開展開下頁 一、余子式與代數(shù)余子式一、余子式與代數(shù)余子式 定義定義5 5 在在n行列式行列式d= =|aij|中去掉元素中去掉元素a i j 所在的第所在的第i行和第行和第j列后列后, ,余下的余下的n 1階行列式，稱為階行列式，稱為d

9、中元素中元素aij 的的余子式余子式，記作，記作mij. .令令aij= =( 1)i+ +jmij， aij稱為元素稱為元素aij的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式. .a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求再如，求4階行列式中階行列式中a13的代數(shù)余子式的代數(shù)余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 m13= a13= = ( 1)1+ +3m13= = m13下頁2.2 2.2 行列式按行行列式按行( (列列) )展開展開 定理定理4 4 n階行列式階行列式d= =|aij|等于它的任意一行等于它的任

10、意一行(列列)的各元素與其對應(yīng)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和的代數(shù)余子式乘積的和. .即即 定理定理5 5 n階行列式階行列式d= =|aij|的某一行的某一行(列列)的元素與另一行的元素與另一行(列列)的對應(yīng)元素的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零的代數(shù)余子式乘積的和等于零. .即即d=ai1ai1+ ai2ai2+ + ainain (i=1, 2, , n)，d=a1ja1j+ a2ja2j+ + anj anj (j=1, 2, , n).ai1aj1+ ai2aj2+ + ainajn =0 (i j)，a1ia1j+a2ia2j+ + ani anj =0 (i j).二、展

11、開定理二、展開定理下頁 例例1分別按第一行與第二列展開行列式分別按第一行與第二列展開行列式112013231d = 解：解：按第一行展開按第一行展開133112311213=a11a11+a12a12+a13a13 d=1(1)1+1+0(1)1+2(1)1+3+(2)=1(8)+0+(2)5 =18.三、利用展開定理計算行列式三、利用展開定理計算行列式下頁按第二列展開按第二列展開123112211123 =0+1(3)+3(1)5 =315 =18 . 例例1分別按第一行與第二列展開行列式分別按第一行與第二列展開行列式112013231d = 解：解：按第一行展開按第一行展開=a11a11+

12、a12a12+a1na1n d=1(8)+0+(2)5 =18.(1)3+2+3(1)2+2+1(1)1+2=0=a12a12+a22a22+a32a32 d下頁解：解：將某行將某行(列列)化為一個非零元后展開化為一個非零元后展開例例2計算行列式計算行列式 1 2 3 4 1 2 0 5 3 1 1 0 1 0 1 2d =(1)(1)3+2 7 1 4 7 2 5 1 1 2 6 0 2 9 0 1 1 1 2=1(1)2+2 6921=618=24. 7 0 1 4 7 0 2 5 3 1 1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 5 3 1 1 0 1 0 1 2d =312r

13、r +342rr +21rr 232rr +下頁0000abaaabdbaaaba=0202022ababaaabbaababaabd+=0 0010(2)1010babbaaaba=+01101)1()2(31baabbab+=例例3 3. . 計算行列式計算行列式bbbaabbab+=0001)2()2()2()2(2ababbbbbaabab+=+=0101011)2(abaabaabaab +=解：解：下頁2111121111211112=nd11111111121102111121012111120112 nd=+3000230022301111=2221333dnn+=2) 333

14、3(221+=nn213221331+=+=nn, ( d2=5 )解：解：例例4. 計算行列式計算行列式113+=nnd1+nd下頁=nijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaadjinnnnnnnnnnnnnnnnnn1)(11111231323331222321121312232221321證明：證明：從最后一行起每一行加上前一行的從最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得倍，得2113122311333123221123212212312321221131200001111=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa

15、aad例例5. 證明范得蒙（證明范得蒙（vandermonde）行列式）行列式下頁2113122311333123221123212212312321221131200001111=nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaad下頁21311222212313123232321231311212122123131nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa a=22322223223211312111)()(=nnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaa213

16、11222212313123232321231311212122123131nnnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa adaa aaa aaa aaa aaa aaa a=下頁21311212313133321231312222123131() 1() 1() 1()()()()()()()()()nnnnnnnnnnnnnaaaaaaaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa aaa a=213111()()()nnaaaaaa d=)11(112=nnnnaaaad=nijjaiadn1)(即111312)()(=nnndaaaaaad22

17、24231)()(=nnndaaaaaad)()(22423.aaaaaan)(221.nnnnaaaa由此推得由此推得 ，=nd)()(11312aaaaaan 1nd2nd2d)(1.nnaa即即 22213)(daaaadnnnn= 下頁例如例如 n = 4 時時=41)(111134333231242322214321ijjaiaaaaaaaaaaaaad4 =)()(141312aaaaaa=3242()()aaaa43()aa下頁=nijaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaadjinnnnnnnnnnnnnnnnnn1)(111112313233312223211213122

18、32221321范得蒙（范得蒙（vandermonde）行列式）行列式下頁注意：注意：項連乘號，共2) 1() 1nn個數(shù)中至少有兩個相等這naaadnn,0)221=利用范德蒙行列式計算)31232222123333312322223121111123123nnnnnnnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaadaaaaaaaaaaaa=12()1nija aaaajin= ，ddxjj=j=1,2,n有且僅有一個解有且僅有一個解第第3 3節(jié)節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則定理定理6 含有含有n個未知量個未知量n個方程的線性方程組個方程的線性方程組=+=+=+nnnnnnnnnnbxaxax

19、abxaxaxabxaxaxa22112222212111212111當(dāng)其系數(shù)行列式當(dāng)其系數(shù)行列式0212222111211=nnnnnnaaaaaaaaad時 其中，其中，dj是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式d的第的第j列換為方程組的常數(shù)列列換為方程組的常數(shù)列 b1,b2,bn所得到的所得到的n階行列式（階行列式（j=1,2,n）. 下頁例例1. 解線性方程組解線性方程組 124123412341325322643020 xxxxxxxxxxxxx+= +=+=下頁解解: 方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式 110232125043112010d=故方程組有唯一解故方程組有唯一解. . 適用條

20、件適用條件 未知數(shù)的個數(shù)未知數(shù)的個數(shù) = = 方程的個數(shù)；方程的個數(shù)； 系數(shù)行列式系數(shù)行列式d0.d0.解解: 方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式 110232125043112010d=故方程組有唯一解故方程組有唯一解. .03110010d=2150236121540112010d= 31152326220,43012000d=4110532162543102010d= 312412342,3,4,5.ddddxxxxdddd= = 而故方程組的解為故方程組的解為 下頁推論推論（定理（定理6之逆否命題）之逆否命題） 含有含有n個未知量個未知量n個方程的線性方程組

21、個方程的線性方程組=+=+=+nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111 如果無解或非唯一解如果無解或非唯一解, 則系數(shù)行列式則系數(shù)行列式d=0. 例例2 2. 解線性方程組解線性方程組 下頁=+=+=+10021321321xxxxxxxx顯然，此方程組無解顯然，此方程組無解. . 其系數(shù)行列式為其系數(shù)行列式為011111111=d. 0=定理定理7 （齊次線性方程組）（齊次線性方程組） 含有含有n個未知量個未知量n個方程的線性方程組個方程的線性方程組=+=+=+000221122221211212111nnnnnnnnnxaxax

22、axaxaxaxaxaxa當(dāng)其系數(shù)行列式當(dāng)其系數(shù)行列式0212222111211=nnnnnnaaaaaaaaad時 方程組只有零解方程組只有零解, 而沒有非零解而沒有非零解. 下頁 推論推論 若齊次線性方程有非零解，則必有系數(shù)行列式若齊次線性方程有非零解，則必有系數(shù)行列式 . .0d =例例3.3. 取何值時，下列方程組只有零解取何值時，下列方程組只有零解? =+=+=+0)4(20)6(2022)5(zxyxzyx解：解：因為因為=402062225d(2)(5)(8)= 所以，所以，當(dāng)當(dāng)d0，即，即 5， 2 且且 8 時，方程組只有零解時，方程組只有零解. .下頁由對角線記憶法得由對角

23、線記憶法得 + +2 0 0 + +2 3 6 +5+5 3 4 3= = ( + +2) 1 0 0 1 3 6 +5+5 3 4 3= =( +2+2)2( 44 -133353664d= +32211+176=22132=2273+作業(yè)： 21頁頁 4 (3)(4) 22頁頁 5(4) 6 (2)(4) 23頁頁 9,10(1) 結(jié)束 1 212(.)12( 1).nnj jjjjj na aa=1 212(.)12( 1).nnj jjtijjjn jdbb bb=d=a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann 1 212(.)12( 1).ninj jjjjij

24、n ja akaa=1 212(.)12( 1).ninj jjjjijn jka aaa=k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 11121121121234njjjniiinnnnnaaaaaadaaaaaaa=11121121212niiinjjjnnnnnaaaaaaaaaaaa 1 212(.)12( 1).jinjink kkkkkkjkiknka aaaa= 1 212(.)12( 1).ijnijnk kkkkkkikjknka aaaa= = d= a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binann1 212(.)12( 1

25、).()niinj jjjjijijn ja aaba=+1 212(.)12( 1).ninj jjjjijn ja aaa=1 212(.)12( 1).ninj jjjjijn ja aba+a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann =+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .a11ai1+kaj1an1a12ai2+kaj2an2a1nain+kajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11kaj1an1a12kaj2an2a1nkajnann=+=0+a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 1

26、1212221200nnnnnaaaaaaa 223(1.)1123( 1).nnjjjjn ja aaa=223(.)1123( 1).nnjjjjn jaaaa=1111a m=1111a a=111211120000jnijnnnjnnaaaaaaaaa 111121222122212000( 1)ijjnijjnnjnnnnaaaaaaaaaaaaa+ = 2( 1)( 1)ijijijijijija mam+ += =ijija a=111211212000000niiinnnnnaaaaaaaaa+1112111200ninnnnaaaaaaa=111211200ninnnnnaa

27、aaaaa+1112112121234niiiniiinnnnnaaaaaaaaaaaaa0 =ai1aj1+ ai2aj2+ + ainajn =例例2. . 計算行列式計算行列式解解：baaaabaadaabaaaab=baaaabaaaabaababababd3333+=baaaabaaaabaab1111)3(+=abababab+=0000000001111)3(+=3)(3(abab下頁1,(1,2, )nijjija xbin=1njijjdad=11nijjja dd=111nnijssjjsab ad=111nnijssjjsa b ad=111nnsijsjsjba ad=

28、 1,0,nijsjjdisa ais=1njijjdad=111nnsijsjsjba ad= 1iib dbd=(1,2, )in=jjxc設(shè)= 為方程組的一個解,則1,(1,2, )nittita cbin=11111,nttjjta c ab a=22221,nttjjta c ab a=1.nnttnjnnjta c ab a=11111()()()nnnssjsjsjjsnsjnsssa a ca a ca a c=+djn用系數(shù)行列式 中第 列元素的代數(shù)余子式依次乘以上述 個等式1nssjsb a=n此 個等式相加得jjdcd=即2 2 矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的概念與運(yùn)算下頁1 1

29、 向量的概念與運(yùn)算向量的概念與運(yùn)算3 3 逆矩陣逆矩陣4 4 分塊矩陣分塊矩陣5 5 矩陣的矩陣的初等變換初等變換與初等矩陣與初等矩陣6 6 矩陣的秩矩陣的秩7 7 向量組的線性相關(guān)性向量組的線性相關(guān)性8 8 向量組的正交化向量組的正交化第第1 1節(jié)節(jié) 向量的概念與運(yùn)算向量的概念與運(yùn)算 定義定義1 n個數(shù)個數(shù)a1，a2， ，an組成的有序數(shù)組組成的有序數(shù)組 (a1, a2, , an)，稱為稱為n維向量，記為維向量，記為a a，其中其中a i (i=1,2,n)叫做向量的第叫做向量的第i個分量個分量. . a a=(a1, a2, , an)，a1a2an. a a=寫成列的形式，稱為寫成列的

30、形式，稱為列向量列向量，記為記為n維向量寫成行的形式，稱為維向量寫成行的形式，稱為行向量行向量，記為記為下頁1.1 1.1 向量的概念向量的概念下頁 (-a1, -a2, , -an)t，為向量為向量a a的的負(fù)向量負(fù)向量，記作，記作 - a .a .稱向量稱向量 0, 0, , 0)t為為零向量零向量，記作，記作o . .稱向量稱向量如果向量如果向量a a=(a1, a2, , an)t與向量與向量b b=(b1, b2, , bn)t都是都是n維向量，且對應(yīng)的分量都相等，則稱它們維向量，且對應(yīng)的分量都相等，則稱它們相等相等，記作，記作a ab. b.a1a2an a a=本教材約定向量的形

31、式為本教材約定向量的形式為列向量列向量，即即或記做或記做 a a =(a1, a2, , an)t向量滿足以下向量滿足以下8條運(yùn)算規(guī)律條運(yùn)算規(guī)律(設(shè)設(shè)a a、b b、g g都是都是n維向量，維向量，k、l為實數(shù)為實數(shù)): (1)a a +b b =b b +a a (2)a a +(b b +g g )=(a a +b b ) +g g (3)a a +o = =a a (4)a a +(a a) =o(5)(k+l)a a=ka a +la a(6)k(a a +b b)=ka a + kb b(7)(kl)a a= k(la a)(8)1a a=a a 1.2 1.2 向量的運(yùn)算向量的運(yùn)算

32、定義定義2 2 設(shè)設(shè) , ,則則12,tna aa=12,tnb bb=（1 1） 1122,tnnab abab=+ 12,tnkka kaka=（2 2） （k為常數(shù)為常數(shù)）下頁向量的加法向量的加法向量的數(shù)乘向量的數(shù)乘下頁向量的減法向量的減法設(shè)設(shè)a a、b b都是都是n維向量，維向量， 利用負(fù)向量可定義向量的利用負(fù)向量可定義向量的減法減法為為: : a a b b , ,即對應(yīng)分量相減即對應(yīng)分量相減. .= a = a + ( b b )1202 ,1 ,1031= = =abgabg例例1設(shè)設(shè),23+求abg .abg .解：解：23+abgabg12022311031=+2604310

33、91= +40.10=解：解：a a+ +2g g+(-a a)= =b b+(-a a) ；兩邊加；兩邊加a a 的負(fù)向量的負(fù)向量a a+(-a a) + +2g g = =b b+(-a a) ；交換律；交換律o+ +2g g = =b b-a a ；性質(zhì)；性質(zhì)4a a+(-a a) + +2g g = =b b-a a ；約定（減法）；約定（減法）2g g = =b b-a a ；性質(zhì)；性質(zhì)3*2g g = = * * b b-a a) ；數(shù)乘運(yùn)算；數(shù)乘運(yùn)算1g g = = * * b b-a a) ；恒等變換；恒等變換g g = = * * b b-a a) ；性質(zhì)；性質(zhì)8下頁例例2設(shè)

34、設(shè)2,bg+且求ag.ag.122 ,1 ,03= = abab說明：說明：實際運(yùn)算時，一般給出主要步驟即可，但應(yīng)注意與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別實際運(yùn)算時，一般給出主要步驟即可，但應(yīng)注意與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別. .(計算結(jié)果，略計算結(jié)果，略.)定義定義3 設(shè)設(shè)a a= =(a1, a2, , an )t與與b b= =(b1, b2, , bn )t是兩個是兩個n維向量，則實數(shù)維向量，則實數(shù)稱為向量稱為向量a a和和b b的內(nèi)積，記為的內(nèi)積，記為(a , b a , b )，或，或a at t b b. .向量的內(nèi)積向量的內(nèi)積 例如，設(shè)例如，設(shè)a a= =( 1, 1, 0, 2)t，b b= =(2, 0,

35、 1, 3)t , 則則a a與與b b 的內(nèi)積為的內(nèi)積為(a , b a , b ) =(1)2+10+0(1)+23=4 .nnniiibabababa+=.2211111221(,).niinnia ba ba ba bab=+下頁內(nèi)積的性質(zhì)內(nèi)積的性質(zhì) 設(shè)設(shè)a a，b b，g g為為rn中的任意向量，中的任意向量，k為常數(shù)為常數(shù). (1) ( a,ba,b ) =b,ab,a ) ； (2) (ka,ba,b ) = = k ( a,ba,b ) ； (3) (a+b,ga+b,g ) = = ( a,ga,g ) + + ( b,b, g g ) ； (4) ( a,aa,a ) 0，

36、當(dāng)且僅當(dāng)，當(dāng)且僅當(dāng)a a= =o時，有時，有( a,aa,a ) = =0 .下頁向量的長度向量的長度定義定義4 對于向量對于向量a a= =(a1, a2, , an )t，其長度，其長度(或或模模)為為22212|( , )naaaaa a=+ 例如，向量例如，向量a a= =( 1, 2, 0, 2)t的長度為的長度為2222|( , )( 1)2023aa a=+=向量長度的性質(zhì)（了解）向量長度的性質(zhì)（了解）下頁(1): 00;aaa=非負(fù)性0，當(dāng)且僅當(dāng)時，有 (2): |()kkkaa=齊次性為實數(shù) ；(3):,;aba bab柯西不等式 對任意向量 ， 有(4)+ .a bab三角

37、不等式： 長度為長度為1的向量稱為的向量稱為單位向量單位向量. 向量的單位化（標(biāo)準(zhǔn)化）向量的單位化（標(biāo)準(zhǔn)化）|aaaaaaa=000若非零向量 的長度不等于1，令，則為單位向量，稱為 的單位向量。0aaa從 得到的運(yùn)算稱為向量 的單位化。下頁 例例4n維單位向量組維單位向量組e e1，e e2， ，e en，是兩兩，是兩兩正交的：正交的：(e ei ,e ej ) = =0 (i j) . . 例例3零向量與任意向量的內(nèi)積為零，因此零向量零向量與任意向量的內(nèi)積為零，因此零向量與任意向量正交與任意向量正交. .定義定義5 如果向量如果向量a a與與b b為非為非零向量，它們的夾角零向量，它們的夾

38、角 定義為：定義為： 若若(a a ,b b =0，則稱向量，則稱向量a a與與b b互相正交互相正交(垂直垂直), . .( ,)arccos|.|a bab=ab記作下頁 定義定義6 如果如果m個非零向量組個非零向量組 a a1，a a2， ，a am兩兩正交，兩兩正交，即即 (a ai ,a aj )= =0(i j)，則稱該向量組為，則稱該向量組為正交向量組正交向量組. . 如果正交向量組如果正交向量組a a1，a a2， ，a am的每一個向量都是單的每一個向量都是單位向量，則稱該向量組為位向量，則稱該向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組. .下頁 顯然顯然,例例4中中n維單位向量組

39、維單位向量組e e1，e e2， ，e en1100 = e e201 0 = e e00, 1n = e e為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.標(biāo)準(zhǔn)正交向量組標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組. .比如線性比如線性方程組的每個方程對應(yīng)一個有序數(shù)組：方程組的每個方程對應(yīng)一個有序數(shù)組：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm (a11 a12 a1n b1) (a21 a22 a2n b2)(am1 am2

40、 amn bm)這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個表這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個表a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm這個表就稱為矩陣這個表就稱為矩陣. .2.1 2.1 矩陣的概念矩陣的概念下頁第第2 2節(jié)節(jié) 矩陣的概念與運(yùn)算矩陣的概念與運(yùn)算其中其中 aij 稱為矩陣的第稱為矩陣的第 i 行第行第 j 列的元素列的元素. . 一般情況下，我們用大寫字母一般情況下，我們用大寫字母 a，b，c 等表示矩陣等表示矩陣. .m n矩陣矩陣a簡記為簡記為 a= =(aij)m n 或記作或記作 am n . .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1

41、am2 amn定義定義1 由由 m n 個個數(shù)數(shù) aij(i= =1, 2, , m；j= =1, 2, , n)排成一個排成一個 m 行行 n 列的矩形表稱為一個列的矩形表稱為一個 m n 矩陣，記作矩陣，記作下頁 如果矩陣如果矩陣a與與b的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱a與與b是是 同型矩陣或同階矩陣同型矩陣或同階矩陣。 零矩陣零矩陣 所有元素均為所有元素均為0 0的矩陣稱為零矩陣，記為的矩陣稱為零矩陣，記為o. .行矩陣與列矩陣行矩陣與列矩陣 只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣. .常用小常用小寫黑

42、體字母寫黑體字母 a，b，x，y 等表示等表示. .例如例如a=(a1 a 2 an)， b1b2bm b =.負(fù)矩陣負(fù)矩陣-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn稱矩陣稱矩陣為為a的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣, ,記作記作 a. .下頁b11b21 bn10b22bn2 00bnnb=.a=.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的如下形式的 n 階矩陣稱為階矩陣稱為上三角形矩陣上三角形矩陣. .三角形矩陣三角形矩陣 如下形式的如下形式的 n 階矩陣稱為階矩陣稱為下三角形矩陣下三角形矩陣. .方陣方陣 若矩陣若矩陣 a 的行數(shù)

43、與列數(shù)都等于的行數(shù)與列數(shù)都等于 n，則稱，則稱 a 為為 n 階矩陣，階矩陣，或稱為或稱為 n 階方陣階方陣. .下頁注意：注意： 區(qū)別區(qū)別方陣方陣與與行列式行列式數(shù)表數(shù)表數(shù)值數(shù)值a110 00a220 00anna= .對角矩陣對角矩陣 如下形式的如下形式的 n 階矩陣稱為對角矩陣階矩陣稱為對角矩陣. . 對角矩陣可簡單地記為對角矩陣可簡單地記為a= =diag(a11, a22, , ann) . . 單位矩陣單位矩陣 如下形式的如下形式的 n 階矩陣稱為單位矩陣，記為階矩陣稱為單位矩陣，記為 en 或或 e. .10 0010 001e = . 定義定義2 矩陣相等：設(shè)矩陣相等：設(shè)a=

44、=(aij)，b= =(bij)為同階矩陣，如果為同階矩陣，如果aij= =bij(i= =1, 2, , m；j= =1, 2, , n)，則稱矩陣，則稱矩陣a與矩陣與矩陣b 相等，記作相等，記作a= =b . .下頁2.2 2.2 矩陣的運(yùn)算矩陣的運(yùn)算 定義定義1 設(shè)設(shè)a與與b為兩個為兩個m n矩陣矩陣a+ba11+b11 a12+b12 a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn=. .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amna=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm

45、2 bmnb=， a與與b對應(yīng)位置元素相加得到的對應(yīng)位置元素相加得到的m n矩陣稱為矩陣矩陣稱為矩陣a與與b的和，的和，記為記為a+ +b. .即即c=a+b . .下頁2.2.12.2.1矩陣的加法矩陣的加法 例例1設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，則3 5 7 22 0 4 30 1 2 3a+b=1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+8=4 8 9 24 1 9 100 7 6 11.=矩陣的加法矩陣的加法：設(shè)設(shè)a= =(ai

46、j)m n與與b= =(bij)m n，則，則a+ +b= = (aij+ +bij)m n。下頁 設(shè)設(shè)a,b,c都是都是m n矩陣矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足容易證明，矩陣的加法滿足如下運(yùn)算規(guī)律如下運(yùn)算規(guī)律： （1）交換律：）交換律： a+b=b+a;（2）結(jié)合律：）結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c); （3）a+o=a，其中，其中o是與是與a同型的零矩陣同型的零矩陣; 矩陣的矩陣的減法減法可定義為可定義為: : nmijijba=+=)()( baba顯然：若顯然：若a=b，則，則a+c=b+c，a-c=b-c； 若若a+c=b+c，則，則a=b.（4）a+(-a)=o，其中，其中o

47、是與是與a同型的零矩陣同型的零矩陣. 下頁a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amna=， 定義定義2 設(shè)設(shè)a= =(aij)為為m n矩陣矩陣則以數(shù)則以數(shù)k乘矩陣乘矩陣a的的每一個每一個元素所得到的元素所得到的m n矩陣稱為數(shù)矩陣稱為數(shù)k與與矩陣矩陣a的數(shù)量乘積，記為的數(shù)量乘積，記為ka. .即即ka11 ka12 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnka=. .2.2.2 2.2.2 數(shù)與矩陣的數(shù)法數(shù)與矩陣的數(shù)法下頁矩陣的數(shù)乘矩陣的數(shù)乘： 設(shè)設(shè)a= =(aij)m n ，則，則ka=(kaij)m n . . 例例2設(shè)3 5 7

48、22 0 4 30 1 2 3a= ，則3a3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 = 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 = 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = . .下頁(5) k(a+b)=ka+kb；(6) (k+l)a=ka+la ；(7) (kl)a=k(la)；(8) 1a=a . . 設(shè)設(shè)a，b，c，o都是都是m n矩陣，矩陣，k，l為常數(shù)，則為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)(1)-(8)，稱為矩陣線性運(yùn)算的，稱為矩陣線性運(yùn)算的8條性質(zhì)條性質(zhì)，須熟記，須熟記. .下頁 例例3設(shè)3 5 7 22 0 4 30

49、1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，求3a2b . . 解：解：3a2b 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 822 6 4 04 2 10 140 12 8 169 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = . .7 9 17 62 2 2 50 9 2 7=92 156 214 6064 02 1210 91400 312 68 916 = 下頁 例例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，且且a+ +2x= =b，求求x . 解

50、：解：a+ +2x+(-a)= =b+(-a) ；兩邊加；兩邊加a 的負(fù)矩陣的負(fù)矩陣a+(-a) + +2x = =b+(-a) ；交換律；交換律o+ +2x = =b-a ；性質(zhì)；性質(zhì)4a+(-a) + +2x = =b-a ；約定（減法）；約定（減法）2x = =b-a ；性質(zhì)；性質(zhì)3*2x = = * * b-a) ；數(shù)乘運(yùn)算；數(shù)乘運(yùn)算1x = = * * b-a) ；恒等變換；恒等變換x = = * * b-a) ；性質(zhì)；性質(zhì)8下頁=52504110252221=2/512/5022/12/1012/511。 從而得從而得 x = = * *(b-a) 例例4已知3 5 7 22 0

51、4 30 1 2 3a= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8b = ，且且a+ +2x= =b，求求x . 說明：說明：實際運(yùn)算時，一般給出主要步驟即可，但應(yīng)注意與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別實際運(yùn)算時，一般給出主要步驟即可，但應(yīng)注意與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別.解：解：下頁 定義定義3 設(shè)設(shè)a是一個是一個m s矩陣，矩陣，b是一個是一個s n矩陣：矩陣：構(gòu)成的構(gòu)成的m n矩陣矩陣c 稱為矩陣稱為矩陣 a 與矩陣與矩陣 b 的積，記為的積，記為c= =ab . . 則由元素則由元素 cij= =ai1b1j+ +ai2b2j+ + + +aisbsj (i= =1, 2, , m；j= =1, 2, , n)

52、 a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsa=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnb=，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnab=. .即即2.2.3 2.2.3 矩陣的乘法矩陣的乘法 下頁 cij=ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj (i=1, 2, , m；j=1, 2, , n) . . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1

53、 cm2 cmn= ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注：注： a的列數(shù)等于的列數(shù)等于b的行數(shù)，的行數(shù)，ab才有意義才有意義; c的行數(shù)等于的行數(shù)等于a的行數(shù)，列數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于b的列數(shù)的列數(shù). 因此，因此， cij 可表示為可表示為 a 的第的第 i 行與行與 b 的第的第 j 列的乘積列的乘積. .矩陣的乘法矩陣的乘法cij=下頁下頁= ai1b1j+ai2b2j+ +aisbsj . .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注：注： a的列數(shù)等于的列數(shù)等于b的行數(shù)，的行數(shù)，ab才有意義才有意義; c的行數(shù)等

54、于的行數(shù)等于a的行數(shù)，列數(shù)等于的行數(shù)，列數(shù)等于b的列數(shù)的列數(shù). 因此，因此， cij 可表示為可表示為 a 的第的第 i 行與行與 b 的第的第 j 列的乘積列的乘積. .cij=反例反例設(shè)設(shè)b = . . 1 2 32 1 0a= ，0 10 11 21 51 2 32 1 0則則 ab= 0 10 11 21 5= 無意義無意義. .b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678（1）先行后列法）先行后列法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11

55、2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678303（1）先行后列法）先行后列法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678309735（1）先行后列法）先行后列法下頁b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =538（2）先列后行法）先列后行法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：

56、2 31 23 11 2 32 1 0ab= =538 707（2）先列后行法）先列后行法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =538 707693（2）先列后行法）先列后行法b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 02 31 23 11 2 32 1 0ba= =4983 解：解：2 31 23 11 2 32 1 0ab= =678309735；通常采用：先行后列法通常采用：先行后列法下頁 例例6設(shè)設(shè)a= ，4221b= ，求求a

57、b及ba . . 4 263ab=42214 263 解：解：32 16168=ba=42214 2630 000=b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： ab =678309735, ba= =4983. .下頁 例例6設(shè)設(shè)a= ，4221b= ，求求ab及ba . . 4 263ab= 解：解：32 16168，ba=0 000b = ，求求ab及ba . . a= ， 例例5設(shè)設(shè)2 31 23 11 2 32 1 0 解：解： ab =678309735, ba= =4983. .顯然，顯然，1)1)矩陣乘法一般不滿足交換律

58、，即矩陣乘法一般不滿足交換律，即ab ba ; ; 2) 2)兩個非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣，兩個非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣， 從而不能從從而不能從ab=o，推出，推出a=o或或b=o . .下頁1110 例例7設(shè)設(shè)a= ，b= ，求求ab及ba . . 2110 解：解：11102110ab=3110=21101110ba=3110= 顯然顯然ab=ba . . 如果兩矩陣如果兩矩陣a與與b相乘，有相乘，有ab=ba，則稱矩陣，則稱矩陣a與矩陣與矩陣b可交換可交換. .下頁顯然顯然ac=bc，但，但a b .矩陣乘法不滿足消去律矩陣乘法不滿足消去律.下頁 121011,030400a

59、bc=則例例8設(shè)設(shè)101 10400bc=11.00=12110300ac=11,00=例例10. .1 0 00 0 00 0 1設(shè)設(shè)a =則則aa =1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1= a .顯然顯然aa=a，但但a e，a o . . 下頁例例9 對于任意矩陣對于任意矩陣a, ,b及相應(yīng)的單位矩陣及相應(yīng)的單位矩陣e,有有ea=a,be=b. 對于任意矩陣對于任意矩陣a, ,b b及相應(yīng)的零矩陣及相應(yīng)的零矩陣o，有，有ao=o， ob=o.a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2a

60、m1x1+am2x2+ +amnxn=bm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm =例例11. . 線性方程組的矩陣表示（線性方程組的矩陣表示（矩陣方程矩陣方程）簡記為：簡記為： ax=b . .x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，其中，a=，x=，b=下頁應(yīng)注意的問題應(yīng)注意的問題 (1) ab ba ； (3) ab= =oa= =o或或b= =o ； / (2) ac= =bca= =b； / 矩陣乘法的性質(zhì)矩陣乘法的性質(zhì)方陣的冪方陣的冪 對于方陣對于方陣a及自然數(shù)及