【精品】高中數(shù)學(xué)必修一對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算講義_知識(shí)講解+鞏固練習(xí)(含答案)_基礎(chǔ)

1、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解對(duì)數(shù)的概念，能夠進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化；2. 了解常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的意義；3能夠熟練地運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算；4了解換底公式及其推論，能夠運(yùn)用換底公式及其推論進(jìn)行對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡(jiǎn)與證明5能將一般對(duì)數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對(duì)數(shù)或常用對(duì)數(shù)、體會(huì)換底公式在解題中的作用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、對(duì)數(shù)概念1. 對(duì)數(shù)的概念如果ab N a 0,且a 1 ,那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作:log aN=b.其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N 叫做真數(shù).要點(diǎn)詮釋：對(duì)數(shù)式log aN=b中各字母的取值范圍是：a>0且al, N>0, b R.2. 對(duì)數(shù)loga N a 0，且a

2、1 具有下列性質(zhì)：(1)0 和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，即N 0；(2)1 的對(duì)數(shù)為0，即loga1 0；3. ) 底的對(duì)數(shù)等于1，即 loga a 1.3兩種特殊的對(duì)數(shù)通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，logio N簡(jiǎn)記作lg N .以e (e是一個(gè)無理數(shù)，e 2.7182 )為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，logeN簡(jiǎn)記作lnN.4對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的關(guān)系由定義可知: 對(duì)數(shù)就是指數(shù)變換而來的，因此對(duì)數(shù)式與指數(shù)式聯(lián)系密切，且可以互相轉(zhuǎn)化.它們的關(guān)系可由下圖表示.對(duì)數(shù)式對(duì)數(shù)指數(shù)式 指數(shù)產(chǎn)真數(shù)lo&N=bII底數(shù)由此可見a, b, N三個(gè)字母在不同的式子中名稱可能發(fā)生變化 要點(diǎn)二、對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則已知 loga

3、M,logaN a 0且a 1, M、N 0(1)正因數(shù)的積的對(duì)數(shù)等于同一底數(shù)各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和;loga MN loga M loga N推廣：logaN1N2LNklogaN1loga N2 L loga Nk N1、N2、L、Nk0(2)兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)等于被乘數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)；,M .lOga lOga M lOga N(3)正數(shù)的幕的對(duì)數(shù)等于幕的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以幕指數(shù)；loga M loga M要點(diǎn)詮釋：(1)利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則時(shí)，要注意各個(gè)字母的取值范圍，即等式左右兩邊的對(duì)數(shù)都存 在時(shí)等式才能成立.如：10g 2(-3)(-5)=log 2(-3)+log 2(-5)是不成立

4、的，因?yàn)殡m然10g 2(-3)(-5) 是存在的，但10g 2(-3)與log 2(-5)是不存在的.(2)不能將和、差、積、商、幕的對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)的和、差、積、商、幕混淆起來，即下面 的等式是錯(cuò)誤的：log a(M N) = log aM log aN,log a(M - N) = log aM- log aN, M log a M log a N loga N要點(diǎn)三、對(duì)數(shù)公式1 .對(duì)數(shù)恒等式：abNloga N baioga N2 .換底公式同底對(duì)數(shù)才能運(yùn)算，底數(shù)不同時(shí)可考慮進(jìn)行換底，在 a>0, a*1, M>0的前提下有：(1) logaM log n M n (n R) a令

5、logaM=b,則 有 ab=M,(ab)n=M ,即(an)b M n , 即 b log an Mn ,即:loga M log n M n. a(2) loga M logcM (c Qc 1), 令 logaM=b, 則 有ab=M , 則 有l(wèi)ogcalogc ablog c M (c 0,c 1)log c Mlog c M即 b log c a log c M , 即 b ,即 logaM (c 0, c 1)log c alogca當(dāng)然，細(xì)心一些的同學(xué)會(huì)發(fā)現(xiàn)(1)可由(2)推出，但在解決某些問題(1)又有它的靈活性.而 且由(2)還可以得到一個(gè)重要的結(jié)論：logablog ba

6、(a 0, a 1,b 0, b 1).(1) 10g 2(x【答案】(1)【解析】(1)由題意x 5(2)由題意0,0,且x1 1,2,1,且xx2,1,且 x 2.【典型例題】類型一、對(duì)數(shù)的概念例1.求下列各式中x的取值范圍:25) ; (2) 10g(x 1)(x 2) ； (3) 10g儀 1)(x 1).x 5; (2) x 1,且x 2； (3) x 1 且x 0,x 121 1,(3)由題意(x ),x 1 0,且 x解彳x x1且x 0,x 1 .【總結(jié)升華】在解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，一定要注意：對(duì)數(shù)真數(shù)大于零，對(duì)數(shù)的底數(shù)大 于零且不等于1.舉一反三：【變式1】函數(shù)y log2

7、x 1(x 2)的定義域?yàn)?1 一【答案】x | x 一且x 12類型二、指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化及其應(yīng)用例2.將下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化：3,L、C 11 小、12c 10g216 4; 10g1273;(3)logpx 3; (4) 5125; (5) 2- ; (6) -9.323【解析】運(yùn)用對(duì)數(shù)的定義進(jìn)行互化.3-413,、，、,1,(1) 2 16;(2) -27;(3) V3x;(4)1og5125 3;(5)1og2二 1;(6)1og192.323【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)的定義是對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式互化的依據(jù)，而對(duì)數(shù)形式和指數(shù)形式的互 化又是解決問題的重要手段.舉一反三：【變式11求下列各式中x

8、的值：1 2(1) 10gl6x- (2) 1og x8 6 (3)1g1000=x (4)-21n e x【答案】(1) 1 ； (2)艮(3) 3; (4) -4 .4【解析】將對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式，再利用指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)求出x.1 112 ()(1) x (16) 2(4 2) 2 4 24 1 1 ;411J )(2) x6 8,所以 x (x6)6 (8)6 (23)6 22、5;10x=1000=1d,于是 x=3;x(4)由 21n e2 x,得-1n e；即 e 2 e2 所以 x4 .2高清課程：對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算例1【變式2】計(jì)算：log24;log 28;log 232并比較.【

9、解析】log 2 4 log 2 22 2;34log 2 8 log2 23;一一 , 二5 一log 2 32 log2 25 .類型三、利用對(duì)數(shù)恒等式化簡(jiǎn)求值例3.求化7110g75【答案】35【解析】7110g75 7 710g75 7 5 35.【總結(jié)升華】對(duì)數(shù)恒等式alogaN N中要注意格式：它們是同底的；指數(shù)中含有對(duì)數(shù) 形式；其值為真數(shù).舉一反三：【變式 11 求 alogab10gbclogcN 的值（a, b, cCR+,且不等于 1, N>0）【答案】N【解析】將幕指數(shù)中的乘積關(guān)系轉(zhuǎn)化為幕的幕，再進(jìn)行運(yùn)算loga b 10gbe logcN.ogab)logb cl

10、ogc N(b10gbeloglogc N c類型四、積、商、幕的對(duì)數(shù)高清課程：對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)運(yùn)算例3x2. y3z例4.用l0ga x,l0g a y,l0g a z表示下列各式logaX；(2)log a(x3y5);(3)log a 色;(4)log zyz【解析】(1) loga 過 logaX loga y l0ga Z ； z35、，3.5(2) loga(x y ) loga X loga y 3log a x 5log a y ；l0ga l0ga Vx l0ga(yz) 1 loga x l0gaY loga z ； yz2(4)x . y2、，31.1.loga=loga(x

11、y)logaVz2l0g a x- log ay二loga z.3z23【總結(jié)升華】利用對(duì)數(shù)恒等式、對(duì)數(shù)性質(zhì)及其運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡(jiǎn)是化簡(jiǎn)對(duì)數(shù)式的重要途徑， 因此我們必須準(zhǔn)確地把握它們.在運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，一要注意真數(shù)必須大于零；二要注 意積、商、幕的對(duì)數(shù)運(yùn)算對(duì)應(yīng)著對(duì)數(shù)的和、差、積得運(yùn)算.舉一反三：【變式11求值2(1) 210g 5 25 310g 2 64 810g1。1(2)lg2 lg50+(lg5)(3)lg25+lg2lg50+(lg2)【答案】(1) 22; (2) 1; (3) 2.【解析】(1) 210g 5 25 310g 2 64 810g /2 10g 5 52 310

12、g 2 26 8 0 4 18 0 22. 原式=1g2(1+1g5)+(1g5)2=1g2+1g21g5+(1g5) 2=1g2+1g5(1g2+1g5)=1g2+1g5=1(3)原式=21g5+1g2(1+1g5)+(1g2)2=21g5+1g2+1g21g5+(1g2)2=1+1g5+1g2(1g5+1g2)=1+1g5+1g2=2.類型五、換底公式的運(yùn)用例 5.已知 10g18 9 a,18b 5 ,求 10g3645.答案圣2 a【解析】解法一：Q 10g18 9 a,18b 5,10g第5 b,a b a b一 18 2 a 1 10g18G9于是 10g36 45 10g遂10g

13、18(9 5)10g189 10g18510g1836 10g18(18 2)1 10g182解法二：Q 10g18 9 a,18b 5 ,10gl85 b ,于是 10g 36 4510g18 4510g 18(9 5)_ 210g18 361810g18 910g18 9 10g18 5a b210g 18 18 10g18 92 a解法三：Q 10g18 9 a,18b5,1g9a1g18,1g5b1g18 ,10g 36 45lg 45 1g361g(9 5)1g1821g9 1g5a1g18 b1g18a b21g18 1g921g18 a1g182 a解法四：Qlog189 a,1

14、8a 9.又Q18b 5, 45 5 9 18bgi8a 18ab.令 log 36 45 x,則 36x 45 18a b ,2即 36x (yg18)x 18a b,(!)x 18ab182 xlog18 a b.9a b a bx 2.log18 18 log18 92 a【總結(jié)升華】(1)利用換底公式可以把題目中不同底的對(duì)數(shù)化成同底的對(duì)數(shù)，進(jìn)一步應(yīng)用 對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì).(2)題目中有指數(shù)式和對(duì)數(shù)式時(shí)，要注意指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化，將它們統(tǒng)一成一種形 式.(3)解決這類問題要注意隱含條件" logaa 1”的靈活運(yùn)用.舉一反三：1【變式 1】求值:(1) (log 4 3 log8

15、3)(log32 log 9 2) ； (2) log 8 9 log 27 32 ; (3) 910g3 5o2(2log35) O1log3 25eg3五 3【答案】(1) 5; (2) ; (3)4925【解析】(1) (log 4 3 log8 3)(log3 2 皿2)25535- log2 3 -log3 2 "log23 log2 3log32()(log3223221g 3 51g 2103lg2 3lg39法lg 9 lg 32 log8 9 log 27 32Xlg8 lg 271一110g352 1og9 259 2# 929299910g925325類型六、對(duì)

16、數(shù)運(yùn)算法則的應(yīng)用例6.求值,1 ,1 ,1log64 32 log2 log3- log5- 2589lg14 2lg 7 lg7 lg18 3,，.3log 2(log2 32 log 1 - log4 36)42log2125 log4 25 logg5 (log3g 嘮254logs2)【答案】(1) -10; (2) 0; (3) 3; (4) 13【解析】(1)原式= log26 2510g2 5 210g3 2 310g5 3 210(2)原式= lg(2 7) 2(lg7 lg 3) lg7 lg(32 2)=lg 2 lg7 2lg7 2lg3 lg7 2lg3 lg 2 0原

17、式= log2(5 log - 1 - 10go2 62) log 2(5 10g 2 32 424113原式 (3log25 10g2 5 log2 5)(310g5 2) 一 33log 2 6) log2 8 3310g 5210g 2 5 13舉一反三:【變式U計(jì)算下列各式的值“、2 2 _(1) lg52 21g8 lg5glg20 lg2 3【答案】(1) 3; (2) 1.23；(2) (lg 2)一 一, 一 ，一、 3 3lg 2gg5 (lg5).【解析】（1）原式=2lg5 2lg2lg5(2lg 2 lg5).八2 八一 2lg2 =2lg10 (lg 5 lg 2)

18、=2+1=3;(2)原式=lg22lg5 lg2一 一一 _ 2lg 2gg 5 (lg 5) +3lg 2gg5 = lg 22 2lg 2gg5 (lg5)2lg2【變式2】求信:71g2 J、*7(2)【答案】271og7 2【解析】71g2（廣7E71 1g 1g（-） 10 1g m ,22=m,即 71g21 1g-7（2）102（1）1g7 1（7% 2）1og710（ 1）1og710 （1）1（2 1）1og710 22222222.另解：設(shè) 71g 2 （1a=m （m>0）. . . 1g 71g 227.1,lg2lg7 1g而" lgm，' l

19、g2lg7 （lg7 1）（ lg2） lgm，【鞏固練習(xí)】1 .下列說法中錯(cuò)誤的是（）A.零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)B.任何一個(gè)指數(shù)式都可化為對(duì)數(shù)式C.以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)D.以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)2 .有以下四個(gè)結(jié)論： 1g（1g10）=0 ； 1n（1ne）=0 ；若 10=1gx ,貝U x=10；若 e=1nx , 則x=e2,其中正確的是（）A.B.C.D.3 .下列等式成立的有（） 1g，2;10g33石 3; 210g25 5 ;e1ne 1; 31g3 3;1002A. B.C.D.4 .對(duì)數(shù)式1oga2（5 a） b中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. ,5 B. 2,5 C.

20、 2,3 U 3,5 D. 2,5 .若a 0,a 1,則下列說法正確的是（）若 M N,貝 U1ogaM 1ogaN;1ogaM 1ogaN,貝 UM N;小.2222 loga M log a N ，貝u M N ;右 M N ,貝U log a M log a N oA. B. C. D. 6.已知3a2,那么10g38 210g 3 6用a表示是（）A. a 2B. 5a 2 C. 3a (1 a)2D. 3a a27.已知x2A. m n2y i,xB.0, y 0,且 loga(1 x) m,loga-1 xm n C. 1 m n D.2n,貝lloga y等于(1 m n28

21、.若 y log5 6 10g6 7 10g 7 8 logs 9 log 910 ,則(A. y (0,1) B. y (1,2) C. y (2,3) D. y (3,4)9.3的 次幕等于8._ 41 2x 一10 .右 log3 1,貝U x= 。911 .若 loga2 m,log a 3 n, a2mn ；1 112. 若 2a5b 10,則1 1 oa b13. (1)設(shè) 10g 3 4 log 4 8 log8 m log 416 ,求 m；(2)已知10gl4 2 a ,用a表示log萬7。214.計(jì)臂 21g 2 lg3 111 31g0.36 -1g8【答案與解析】|1.【答案】B【解析】由對(duì)數(shù)的概念知，指數(shù)式ax中，只有a 0,且a1的指數(shù)式才可以化為對(duì)數(shù)【解析】由1ogaa 1,1oga 1 0知正確3.【答案】B【解析】1g1001g10 22；以原式= lg2 lg5 1。4 .【答案】C5 a 0,【解析】 由對(duì)數(shù)的定義可知 a 2 0,所以2 a 5且a 3,故選Ca 2 1,5 .【答案】C【解析】 注意使logaM log a N成立的條件是 M N必須為正數(shù)，所以不正確，而是正確的，故選Co6 .【答