高中數(shù)學(xué)必修五1.1.1正弦定理共3個(gè)課時(shí)

1、20171.1.1正弦定理正弦定理12018.9_)sin( ba_)cos( ba_2cosa_2sina_)sin( a_)sin( a_)cos( a_)cos( a_)2sin( a_)23cos( a課前回顧課前回顧如圖，要測(cè)量小河兩岸如圖，要測(cè)量小河兩岸a，b兩個(gè)碼頭的距離?？稍谛蓚€(gè)碼頭的距離?？稍谛『右粋?cè)，如在河一側(cè)，如在b點(diǎn)所在一側(cè)，選擇點(diǎn)點(diǎn)所在一側(cè)，選擇點(diǎn)c，先測(cè)，先測(cè)bc的長(zhǎng)的長(zhǎng)a，再用再用經(jīng)緯儀經(jīng)緯儀分別測(cè)出分別測(cè)出b，c的值，那么，根據(jù)的值，那么，根據(jù)a, b，c的值，能否算的值，能否算出出ab的長(zhǎng)的長(zhǎng)。經(jīng)緯儀：測(cè)量水平角經(jīng)緯儀：測(cè)量水平角/ /豎直角的儀器豎直角的儀

2、器q:三角形中三角形中知知兩個(gè)角和兩個(gè)角和所夾所夾邊邊長(zhǎng)，如何求其它邊？長(zhǎng)，如何求其它邊？4基礎(chǔ)概念基礎(chǔ)概念角角a的對(duì)邊：的對(duì)邊：a角角b的對(duì)邊：的對(duì)邊：b角角c的對(duì)邊：的對(duì)邊：cbc一般地，把三角形的三個(gè)角一般地，把三角形的三個(gè)角a,b,c和它們的對(duì)和它們的對(duì)邊邊a,b,c叫做叫做三角形的元素三角形的元素。已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫已知三角形的幾個(gè)元素求其他元素的過(guò)程叫做做解三角形解三角形。q:直角直角三角形中三角形中存在什么存在什么邊和角邊和角的數(shù)量關(guān)系？的數(shù)量關(guān)系？cbb sincaa sin1sincccccbbaaacbrtsinsinsin中，有在q:銳角銳角或或鈍角鈍

3、角三角形中三角形中是否也存在這種關(guān)系？是否也存在這種關(guān)系？q:如何證明你的猜想？如何證明你的猜想？作高，轉(zhuǎn)化為在直角三角形中證明（化歸）作高，轉(zhuǎn)化為在直角三角形中證明（化歸）證明：證明：在在銳角銳角三角形三角形中中都有各邊邊長(zhǎng)與所對(duì)角的正弦都有各邊邊長(zhǎng)與所對(duì)角的正弦值之比相等。值之比相等。bcada作過(guò)badccadbsin,sincbbcadsinsinccbbsinsinacbeb作過(guò),sin,sinabeccbeacaacbesinsinccaasinsinccbbaasinsinsin銳角三角形中有證明：證明：在在鈍角三角形鈍角三角形中中都有各邊邊長(zhǎng)與所對(duì)角的正弦都有各邊邊長(zhǎng)與所對(duì)角的

4、正弦值之比相等。值之比相等。bcadabc作并過(guò)延長(zhǎng);sin,badcadcrt中,sinsincbbcadccbbsinsinacbeb作過(guò)aadccbeasin,sincaacbesinsinccaasinsinbcadbadbrtsinsin,中在在任意任意三角形三角形中中都有各邊都有各邊邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)與與所對(duì)角的正弦所對(duì)角的正弦值值之比相等。之比相等。正弦定理正弦定理ccbbaasinsinsin任意三角形中有cacacbcbbabasinsin,sinsin,sinsin變形：變形：cbacbasin:sin:sin:cbacbaaasinsinsinsincacasinsinbabasi

5、nsincbcbsinsinbccbaccaabbasinsin,sinsin,sinsin練習(xí)練習(xí)1 1：求解下列各題：求解下列各題)(,cossin,) 1 (的值為則若中bbbaaabc90.60.45.30.dcba_:, 1:1:4:,)3(cbacbaabc則中1:1:3.1:1:2.1:1:2 .1:1:4 .dcba)(,sinsin,)2(的大小關(guān)系為與則若中babaabc不能確定.dbacbabbaa45,cossinbbb.,sinsinbababa大邊對(duì)大角1:1:3sin:sin:sin:,30,120cbacbacba題、組第思考并嘗試解答課本21-10 bp201

6、71.1.1正弦定理正弦定理22021-11-32018.9在在任意任意三角形三角形中中都有各邊都有各邊邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)與與所對(duì)角的正弦所對(duì)角的正弦值值之比相等。之比相等。正弦定理正弦定理ccbbaasinsinsin任意三角形中有作用：實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化作用：實(shí)現(xiàn)邊角關(guān)系的轉(zhuǎn)化注意：多結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角注意：多結(jié)合三角形內(nèi)角和定理、大邊對(duì)大角bababaabcsinsin,中變形：變形：常用結(jié)論：常用結(jié)論：例題例題1 1：解三角形：解三角形.75,60, 8,) 1 (cbaabc已知中.457560180:a解,由正弦定理得. 6445sin60sin8sinsinabab45sin

7、75sin8sinsinacac426)3045sin(75sin知知兩角一邊兩角一邊，求其他邊和角，求其他邊和角求第三個(gè)角求第三個(gè)角由正弦定理由正弦定理求其它邊求其它邊434例題例題2 2：解三角形：解三角形. .60, 2, 32)2(aba. 4sinsin,90,30bcbccb時(shí)舍去時(shí),180,150bab,21sinsin:aabb由正弦定理得解15030 或b知知兩邊及其中一邊的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)角，求其他邊和角，求其他邊和角驗(yàn)證驗(yàn)證,21sinsin:aabb由正弦定理得解15030 或b.30,bbaba. 4sinsin,90,30bcbccb時(shí)大邊對(duì)大角大邊對(duì)大角內(nèi)角

8、和定理內(nèi)角和定理例題例題2 2：解三角形：解三角形. .60, 2, 32)2(aba. 4sinsin,90,30bcbccb時(shí)舍去時(shí),180,150bab,21sinsin:aabb由正弦定理得解15030 或b.30, 32, 2aba.60, 2, 3aba.30, 34, 2aba知知兩邊及其中一邊的兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)角，求其他邊和角，求其他邊和角驗(yàn)證驗(yàn)證例題例題2 2：知：知兩邊和其中一邊的對(duì)角兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形解三角形. .30, 32, 2aba.60, 2, 32aba4,90,60ccb時(shí)2,30,120ccb時(shí)4,90,30ccb時(shí)舍去不符合時(shí),180,15

9、0bab.60, 2, 3aba901sinbb不存在bb13sin12060123sin或bb15030121sin或bb.30, 34, 2aba此三角形無(wú)解1,30,90ccb時(shí)知知兩邊及其中一邊的對(duì)角兩邊及其中一邊的對(duì)角解三角形的結(jié)果：解三角形的結(jié)果：abaabc,知中在aabbsinsinbcc .90,1sinsinbbaabb只有一解時(shí).,1sinsin無(wú)解時(shí)若baabb)(,1sinsin一銳一鈍有一解或兩解時(shí)baabb符合條件的三角形個(gè)數(shù)為符合條件的三角形個(gè)數(shù)為0 0符合條件的三角形個(gè)數(shù)為符合條件的三角形個(gè)數(shù)為1 1符合條件的三角形個(gè)數(shù)為符合條件的三角形個(gè)數(shù)為1 1或或2 2

10、例題例題2 2：知：知兩邊和其中一邊的對(duì)角兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形解三角形. .30, 32, 2aba.60, 2, 32aba4,90,60ccb時(shí)2,30,120ccb時(shí)4,90,30ccb時(shí)舍去不符合時(shí),180,150bab12060123sin或bb15030121sin或bb._25, 4, 2個(gè)有的滿足abcaba知知兩邊和其中一邊的對(duì)角兩邊和其中一邊的對(duì)角，判斷三角形個(gè)數(shù)，判斷三角形個(gè)數(shù). .,判斷三角形解的個(gè)數(shù)知aba一解時(shí):sin aba 無(wú)解時(shí):sin aba 兩解時(shí):sinbaab一解時(shí):ba ,/直角為鈍若a一解無(wú)解則:baba,為銳角若a一解時(shí):ba 知知兩邊和

11、其中一邊的對(duì)角兩邊和其中一邊的對(duì)角，判斷三角形個(gè)數(shù)，判斷三角形個(gè)數(shù). .,判斷三角形解的個(gè)數(shù)知aba一解時(shí):sin aba 無(wú)解時(shí):sin aba 兩解時(shí):sinbaab一解時(shí):ba ,/直角為鈍若a一解無(wú)解則:baba,為銳角若a(大邊對(duì)大角大邊對(duì)大角)._25, 4, 2個(gè)有的滿足abcbcb在在任意任意三角形三角形中中都有各邊都有各邊邊長(zhǎng)邊長(zhǎng)與與所對(duì)角的正弦所對(duì)角的正弦值值之比相等。之比相等。正弦定理正弦定理ccbbaasinsinsin任意三角形中有運(yùn)用：運(yùn)用：知知兩邊及其中一邊的對(duì)角兩邊及其中一邊的對(duì)角，求其他邊和角，求其他邊和角知知兩角一邊兩角一邊，求其他邊和角，求其他邊和角注意：

12、結(jié)合注意：結(jié)合三角形內(nèi)角和為三角形內(nèi)角和為180、驗(yàn)證、驗(yàn)證.,.45,2, 3,) 1 (ccabbaabc和邊求角中1課內(nèi)作業(yè).,1312cos,322cos,26,的值求中bbaaabc.,135cos,54cos, 1,)2(的值求中bcaaabc.,coscos) 3(的形狀判斷若abccbcaba20171.1.1正弦定理正弦定理32018.9正弦定理的推廣正弦定理的推廣的幾何意義是什么？則比值中若kkccbbaaabc,sinsinsin.的外接圓直徑是比值abck直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于其外接圓直徑。直角三角形的斜邊長(zhǎng)等于其外接圓直徑。.2sinsinsinrccbbaaabcr

13、t中有在raaaa2sinsinrcccc2sinsinrbbbb2sinsin.2sinsinsinrccbbaaabc中有在銳角等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等。cc圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)raaaa2sinsinrbbbb2sinsinrcccccc2sin) sin(sin.2sinsinsinrccbbaaabc中有在鈍角正弦定理的推廣正弦定理的推廣)(2sinsinsin即外接圓直徑中有任意rccbbaaabc變形：變形：crcbrbarasin2,sin2,sin2)(邊化角rccrbbraa2sin,2sin,2sin)(角化邊例例3 3：利用

14、邊角互化解題：利用邊角互化解題_,3sin2,) 1 (abbaabc則角若中在銳角邊化角邊化角.60,aa是銳角又,23sin,sin3sinsin2abba即由題意得.,sinsinsin)2(222的形狀判斷若abccba,sin:sin:sin:cbacba,222cba.為直角三角形abc例例3 3：利用邊角互化解題：利用邊角互化解題.,coscos. 210) 3(的形狀判斷若abcbbaabp.,22為等腰三角形時(shí)當(dāng)abcbaba,cossincossinbbaa由題意得,2sin2sinba即.,2,2222為直角三角形時(shí)即當(dāng)abcbaba),2 , 0(2 ,2ba.,23,

15、23222三角形不存在時(shí)即當(dāng)baba例例3 3：利用邊角互化解題：利用邊角互化解題.,cos)2(cos)4(的形狀判斷若abcababac,cossincossin2cossinsinabaabac由題意得,cossin2)sin()sin(aababa即.,90,0cos為直角三角形時(shí)abcaa.角形為等腰三角形或直角三abc,cossin2cossin2aaab即.,sinsin,0cosbabaa 時(shí)bababaabcsinsin,中常用結(jié)論：常用結(jié)論：babaabcsinsin,中.,.45,2, 3,) 1 (ccabbaabc和邊求角中1課內(nèi)作業(yè).,135cos,54cos, 1,)2(的值求中bcaaabc.,coscos) 3(的形狀判斷若abccbcaba周四上午第三節(jié)前上交，要求過(guò)程規(guī)范詳細(xì)周四上午第三節(jié)前上交，要求過(guò)程規(guī)范詳細(xì).,135cos,54