直線和圓錐曲線的位置關(guān)系練習試題整理

1、完美WORD格式編輯學習指導參考資料直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習題、選擇題2x1雙曲線CI與雙曲線2y孑一2= 1( a>0, b> 0)的右焦點為C的左、右兩支都相交的充要條件是b亠C. k >_或 kv abA k>一二 B . kva2 .若直線mx ny=4與O O的交點個數(shù)是(A.至多為13.斜率為1的直線F，直線x2 + y2= 4沒有交點，則過點過焦點F,且斜率為k,則直線P(m n)的直線與橢圓2 2x y+ = 194A. 2)B.2x 2與橢圓二+ y = 1相交于A4B舞C. 1D.B兩點，則|AB的最大值為(2 24.設(shè)雙曲線右一y2= 曲線的離

2、心率為()5a41(a> 0,B. 55.已知A B為拋物線C：b > 0)的一條漸近線與拋物線y = x2+ 1只有一個公共點，則雙D. 54X上的兩個不同的點,F為拋物線C的焦點，若FA=-4FB,則直線AB的斜率為A ± 2A±36.過點(0,2)與拋物線B.)33±c.± 248x只有一個公共點的直線有C)A.1條 B. 2條 C. 3條 D.無數(shù)條2 2x yy = kx k + 1與橢圓t= 1的位置關(guān)系為(94相交 B.相切 C.相離 D.不確定2 2x y7.直線A.8. 已知雙曲線-2= 1(a>0,b>0)的右

3、焦點為F,若過點a b的右支有兩個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是A. (1,2)9. 過拋物線的面積為A腔A 2F且傾斜角為60°的直線與雙曲線10.已知對B. y2= 4x (C )B.2k R,A. (0, 1)(1,2C. 2 ,+s) D.的焦點F的直線交拋物線于D.2 2(A )(2 , +m)A B兩點，點O是原點，若|AF| = 3,則厶AOB2直線y kx 1 = 0與橢圓* + m= 1恒有公共點，則實數(shù) m的取值范圍是B . (0,5) C . 1,5) U (5 ,+s) D .1,5)x I x|4=1交點的個數(shù)為211. 直線I : y= x+ 3與曲線

4、y9 A. 0B. 1C. 2D. 312.已知雙曲線x ya2 b2=1(a>0, b>0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是()A. (1,2) B . ( 1,2) C . (2 ,+) D . 2 ,+口2x 213. 斜率為1的直線I與橢圓-+ y = 1交于不同兩點 A、B,則| AB|的最大值為()A. 2 B孚c學D.啤5552 214. 設(shè)離心率為 e的雙曲線C：移一蒼=1( a> 0, b> 0)的右焦點為F,直線l過焦點F,且 斜率為k,則直線l與雙曲線C的左、右兩支都

5、相交的充要條件是()A. k2 e2> 1 B . k2 e2v 1 C . e2 k2> 1 D . e2 k2v 1二、填空題2 21. 直線y= kx + 1與橢圓-5 +魯=1恒有公共點，貝U m的取值范圍是 .2 2x y2. 已知(4 , 2)是直線I被橢圓36+ 9 = 1所截得的線段的中點，貝UI的方程是 .3. (2013 汕頭模擬)已知點P在直線x+ y + 5= 0上，點Q在拋物線y2= 2x上，則| PQ的最小值等于.2 2x y4. 若橢圓+ m= 1與直線x+ 2y 2= 0有兩個不同的交點，則m的取值范圍是3 III5. 已知兩定點 M( 2,0)，N

6、(2,0)，若直線上存在點 P，使得|PM| |PN| = 2，則稱該直線為 “A型直線”，給出下列直線：y= x + 1;y= . 3x + 2:y= x + 3:y= 2x.其中是“ A型直線”的序號是.三、解答題21. 設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E x2+古=1(0< b<1)的左，右焦點，過 F1的直線I與E相交于A，B兩點，且|A冋，|AB，|B冋成等差數(shù)列.(1) 求 IAB ;(2) 若直線|的斜率為1,求b的值.2. 已知拋物線C的頂點在坐標原點，焦點在 x軸上， ABC勺三個頂點都在拋物線上，且 ABC勺重心為拋物線的焦點，若BC所在直線l的方程為4x + y 20=

7、 0.(1) 求拋物線C的方程；(2) 若O是坐標原點，P, Q是拋物線 C上的兩動點，且滿足 PCLOQ證明：直線 PQ過 定點.2 2x y3. 設(shè)橢圓孑+合=1(a>b>0)的左、右頂點分別為A, B,點P在橢圓上且異于 A, B兩點，C為坐標原點.1(1) 若直線AP與BP的斜率之積為2，求橢圓的離心率;(2) 若|AP =|OA，證明直線 OP的斜率k滿足|k|>3.4. 已知i , j是x, y軸正方向的單位向量，設(shè)a= xi + (y 1)j , b= xi + (y+ 1)j ,且滿足 | a| + | b| = 2 2.(1) 求點P(x，y)的軌跡C的方程

8、；(2) 設(shè)點F(0,1)，點A, B, C, D在曲線C上，若AF與FB共線，CF與 FD共線，f f且AF- CF= 0.求四邊形ACBD勺面積的最小值和最大值.直線與圓錐曲線的位置關(guān)系練習題解析及答案一、選擇題1.解析】bb由雙曲線的幾何意義，一kv-.答案】aaD2.解析】4由題意知：_2 > 2,即./ m + n v 2,寸m+ n甲22點P(mn)在橢圓著+魯=1的內(nèi)部，因此直線與橢圓有2個交點.答案】-2 ,2 ,x + 4y = 4, 由消去y=x+1.y，得 5x* 2 * 4 + 8tx + 4(t2 - 1) = 0,則有8xi + x2 一 5t，X1X2 =3

9、.【解析】設(shè)橢圓與直線相交于 A(xi, yi) , 0X2, y2)兩點,2-4X 4(I 1)的一條漸近線為戸bx,設(shè) A(X1, yd ,8、解析：雙曲線漸近線斜率小于直線的斜率，即ba<tan 60°= 3所以雙曲線的離心率e=a=9、解析：設(shè)/ AFx=0 (0< 0<2<2,1 + an )及 |BF| = m即1 v ev 2，故選A得 3 = 2+ 3 cos 0 ? cos 0 =13.又 n= 2+ mcos( n 0) ? m=3則點A到準線I : x = 1的距離為3,一232，1 + cos 0 AOB的面積為 S= 1 - |OF|

10、 - |AB| sin 0=卜 1X (3 + |) x 晉=學，故選 C.2 2一一"一 x y = 1外部即可.m10.解析：直線y = kx + 1過定點(0,1)，只要(0,1)不在橢圓-+2 2x y 從而m> 1,又因為橢圓= 15 m中m5,所以m的取值范圍是1,5) U (5 ,+).答案：C211.解析：當x>0時，曲線為y9曲線為222y+4=1，如圖所示,直線I : y = x+ 3過(0,3)，又由于雙曲線的漸近線y=|x的斜率| > 1,故直2 2y x線I與曲線2丁= 1(x>0)有兩個交點，顯然94l與半橢圓2 2y x，卄人亠一

11、+ = 1( xw 0)有兩個父點,94(0,3)記了兩次，所以共 3個交點.答案：D12. 解析：過F的直線l與雙曲線的右支有且只有一個交點，則其斜率為正的漸近線的 傾斜角應不小于I的傾斜角，已知I的傾斜角是60°,從而-> 3，故- >2.答案：Da 、 a13. 答案：C-14. 解析：由雙曲線的圖象和漸近線的幾何意義，可知直線的斜率k只需滿足一-< kv-,aa2 2 2即 k2v = C 2a = e2 1.答案：Ca a二、填空題m> 0,1【解析】直線y = kx +1過定點(0 , 1)，由題意知*仆5,m> 1，且m5.,m 1,【答案

12、】m> 1, 且 m52 2-X1 y1 + = 136+ 9,22X2 y2.36 + 9,屮一y2，又 X1 + X2= 8, y1 + y2= 4,二X1 X2,“ y1 y2X1 + X2兩式相減得=一X1 X24 (y1+ y2)1故直線I的方程為y 2= 2(x4)，即x+ 2y 8 = 0.12,【答案】x + 2y 8 = 03. 【解析】 設(shè)直線l '平行于直線x+ y+ 5= 0，且與拋物線相切，設(shè)l '： y = x +y= x + m 21由 2得 y + 2y 2n= 0,由 A = 4+ 8m= 0，得 m=石.y = 2x21|5 2則兩直線

13、距離 d=-2 2x.+y_=13 + m= 14解析：由$.x+ 2y 2= 0m3根據(jù)條件得im>02 = 64m 4m字，即|PQmin = 學.【答案】字4442消去x并整理得(3 + 4m)y 8my+ m= 0,1，解得-<m<3或 m>3.飾+3 >025解析：由條件知考慮給出直線與雙曲線x2 y3 = 1右支的交點情況，作圖易知直線與雙曲線右支有交點，故填.三、解答題1 解:(1)由橢圓定義知 | AF2| + |AB + | BF2| = 4,又 2| AB = | AF2| + |BF2|，得 |AB = 3.I的方程為y= x+ c,其中c=

14、 . 1 b2.設(shè)A(xi, yi) , B(X2, y2)，貝U A, B兩點坐標滿足方程組fy=x+c,2紅1b22 22一 2c化簡得(1 + b)x+ 2cx + 1-2b = 0.則 Z X2=1 2b22, X1X2=.因為直線AB的斜率為1,所以| AEB = 2| x2 X1|，即彳=,2| % X1|.4 1 b 2 4 1 2b28 2則9=(X1+X2) 4X1X2=ub2 2一1 + b22【解析】 設(shè)直線I與橢圓相交于 A B兩點，且A(X1, yd , B(X2, y",則2解： 設(shè)拋物線C的方程為y2= 2mx由+20 °，|y = 2 m：得

15、 2y2+ my- 20m= 0.A >0,二 n>0 或 nr 160.設(shè) B(xi, yi) , C(x2, y2),小m則 yi+ y2= 2,再設(shè)A(x3, y3)，由于 ABC的重心為iim廠 xi + X2 + x3m3= 2,X3= i0,yi + y2 + y33解得=o,m點A在拋物線上, m= 8,拋物線C的方程為y2 = i6x. 證明：當PQ的斜率存在時，設(shè) PQ的方程為y= kx + b,顯然k豐0,0,v POLOQ kpckoG= 1,設(shè) P(xp, yp) , Qxq, y® , xpxq+ ypy(= 0.將直線y = kx + b代入拋

16、物線方程，得ky2 i6y+ i6b= 0, ypyQ=學.從而2 2 . 2ypyQ bXpXQ=2 = 2i6 ki6bk=0. &0, 0.直線PQ的方程為y= kx i6k, PQ過點(i6,0);當PQ的斜率不存在時，顯然 PGL x軸，又PCL OQPOG為等腰三角形由y= |x|, y2= i6x,得P(i6,i6) , Qi6 , i6)，此時直線 PQ過點(i6,0)，直線 PQ恒過定點(i6,0)2 23.解： 設(shè)點P的坐標為(X。，y0).由題意，有x2 +書=i.a b由 AA a, 0) , Qa, 0)得 kAp= xa, kBP= X0ai由 kAP- k

17、BP= 2,可得 x0= a 2y0，代入并整理得(a? 2b)y0= 0.由于yoM0,故 a2= 2b2.于是 e2=2 2a b2 a2,所以橢圓的離心率(2)證明：依題意，直線OP的方程為y = kx,設(shè)點P的坐標為(x°, y°).y。= kx0,由條件得x0 y0a+b2 =.、2a2b2消去y°并整理得X0 | 2 22.k a + b2 . 2 2 2 2 2 2由 | Ap = | OA , A a, 0)及 y°= kx°,得(x°+ a) + k x°= a .整理得(i + k )X0+ 2ax

18、76;= 0.而xoM 0,于是xo= 占?代入，整理得(1 + k1 故四邊形 ABC兩積S= 2|AB| cd = 2X) 2= 4k2專)+ 4.由 a>b>0,故(1 + k2) 2>4k2 + 4，即 k2 + 1>4,因此k2>3,所以| k|>3.4. 解析： T|a| + | b| = 2 2 , x2+ y12+x2+y+12= 22.由橢圓的定義可知，動點F(x, y)的軌跡是以點Fi(0， 1) , F2(0,1)為焦點，以2 2為22 y長軸的橢圓.點Rx, y)的軌跡C的方程為：x + 2 = 1.(2)由條件知AB和CD是橢圓的兩

19、條弦，相交于焦點 F(0,1)，且ABL CD直線AB CD 中至少有一條存在斜率，不妨設(shè) AB的斜率為k，又AB過點F(0,1)，故AB的方程為y= kx + 1,將此式代入橢圓方程得(2 + k2)x2 + 2kx 1 = 0,設(shè)A B兩點的坐標分別為(燈，y" ,(X2,y2),X1 =k .'2k + 22 + k2X2 =k+ :'2k + 22+ k2從而 | AB = (x1 X2) + (y1 y2)2=耳+匸，亦即|AB = 2述 Z F+ k2 + k21當k0時，CD的斜率為一憶,+同上可推得|CD =2 +(1"k12 , .kJ2+

20、 k21+k21 2 2 2+k25+2k + k2令 u=k + k2，得 s= j+u1 、5 + 2u .- u= k2 + 卜2,當 k=±1 時ku= 2, S=普，且S是以u為自變量的增函數(shù),16 &三 S< 2.當k= 0時，CD為橢圓長軸,|CD = 2 .2, |AB = 2, S= *|AB| CD = 2.故四邊形ABC爾積的最小值和最大值分別為,2.5. 【解】(1)設(shè)直線I的方程為y= kx + t(k> 0).由題意知t > 0.y= kx+1,由方程組 x22得(3 k2 + 1)x2+ 6ktx + 3t2 3 = 0.由題意

21、知 A >0，所以 3k2 + 1 >J+y=1,t2.6 kt設(shè) A(X1, y” , B(X2, y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系，得X1 + X2 = 3+,2t3ktt所以yi+y2=錄肓.所以XE=- 3k，yE=錄R，y 1此時山礦-示所以ob所在直線的方程為y 一 3kx.i由題意知D( 3, m)在直線OE上，所以m-,即mk= 1,K所以m2+ K2> 2mK= 2,當且僅當m K = 1時等號成立.此時由 A >0,得0 vt v 2. _ 2 2因此當mi= K = 1且0v t v 2時，m + k取最小值2.1 證明 由(1)知OD所在直線的方程為y = 3x，將其代入橢圓C的方程，并由K> 0,3k1解得G U3K+T，而韋).又旦3Kt3K2 + 1,由距離公式及f 23K 2t > 0，得問=(時)+(t13K+) , D 3, K)212= 9k”+ 13K2+ 1)= 3疋 + 1,IOD = 寸(3) 2 +(亦 2 =79：+ 1,/3Kt 2 t 2 U/9K2 +1|