線性代數-同濟大學第七版

1、線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1 1線 性 代 數副教授：黃振耀 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2 2課程簡介 線性代數是理工類和經管類高等院校學生必修的一門重要基礎理論課程，它的基本概念、理論和方法具有較強的邏輯性、抽象性和廣泛的實用性。通過該課程的學習，使學生掌握該課程的基本理論和基本方法，且對學生的邏輯推理能力、抽象思維能力的培養(yǎng)以及數學素養(yǎng)的提高也具有重要的作用。這些理論、方法和能力為一些后續(xù)課程的學習及在各個學科領域中進行理論研究和實踐工作提供了必要的保證，因此該課程歷來受到各高等院校的高度重視。 根據成人的特點，在總結多年成人教育經驗的基礎下，對線性

2、代數的教學內容作了認真精選，敘述間明扼要，由潛入深、通俗易懂，力求體現學科的系統(tǒng)性、科學性和實用性的要求。在本課程中主要講解行列式、矩陣和線性方程組這三個線性代數的基本內容。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3 3主要內容 第一章第一章 行行 列列 式式 第二章第二章 矩矩 陣陣 第三章第三章 線性方程組線性方程組 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4 4第一章行列式 行列式是學習線性代數的重要基礎知識。初等數學中曾講解二階、三階行列式的計算，以及用這工具來解二元、三元線性方程組。式，為此首先引入行列式的概念。 在本書研究多元線性方程組的解，以及研究矩陣性質時也要用到

3、行列 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5 5第一章行列式 第一節(jié)第一節(jié) 行列式的概念行列式的概念 第二節(jié)第二節(jié) 行列式的性質行列式的性質 第三節(jié)第三節(jié) 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開 第四節(jié)第四節(jié) 行列式的計算舉例行列式的計算舉例 第五節(jié)第五節(jié) 克萊姆法則克萊姆法則 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6 6第一節(jié)行列式的概念一、行列式的概念 為了更好掌握行列式的定義，我們采用數學歸納法的方法講解行列【定義 1.1】【例 1.1】 2121,11 要指出在本課程中如遇絕對值我們將會作出特別的說明。 式的定義。1111aa一階行列式由一個數組成，記為 線性代數線

4、性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7 7第一節(jié)行列式的概念1112111112122122aaa Aa Aaa表示，且規(guī)定： 其中，元素 稱為行列式的第 行第 列的元素 ； iijajij ，1，2 稱為元素 的代數余子式；代數余子式；而 是行列1ijijijAM ijaij ，1，2ijM 【定義 1.2】二階行列式是由 個元素排成2行2列，用11122122aaaa22素 的余子式。余子式。ijaij ，1，2式中劃去第 行和第 列元素，后所剩下的元素組成的行列式，稱為元ji 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8 8第一節(jié)行列式的概念 則二階行列式 顯然在定義中， ，而 ；

5、1 11111111AMM 112222Maa1 212121221211AMMaa 1112112212212122aaa aa aaa這與中學里所學的對角交叉相乘之差所得結果一致。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版9 9第一節(jié)行列式的概念 【例 1.2】 求二階行列式 的值。 5632解解111112125632a Aa A 1 11 2512613 10 1828或或565 26332 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1010第一節(jié)行列式的概念 【定義 1.3】 三階行列式是由 個元素排成的3行3列，用 23表示，且規(guī)定： 111213212223313233

6、aaaDaaaaaa111112121313Da Aa Aa A其中： 1 11 122231111323311aaAMaa 1 21 221231212313311aaAMaa 1 31 321221313313211aaAMaa 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1111第一節(jié)行列式的概念 稱 為 的余子式余子式，它是在三階行列式中劃去 所在的行及列后11M11a11a按原次序所成的二階行列式，稱 為 的代數余子式代數余子式； 為 的代代數數 11A12a11a12A余子式。余子式。 一般地， 就是三階行列式中劃去 所在的第 行和第 列剩下ijMijaij的元素按原次序構成的二

7、階行列式，稱為元素 的余子式。余子式。 ija稱為元素 的代數余子式。代數余子式。 1ijijijAM ijaij ，1，2，3 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1212第一節(jié)行列式的概念 【例 1.3】解解 由上面定義，因為 計算三階行列式 的值。 156207834D 1 1110712134A 1 2122714884A 1 313201683A 所以 111112121313Da Aa Aa A1 21 5 4866225 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1313第一節(jié)行列式的概念 從上面三階行列式的定義可以看到：我們在計算三階行列式時，是用其第一行的元素乘

8、它的代數余子式之和，而代數余子式又是由二階行列式構成的。用這一思想，我們可以計算四階、五階等更高階的矩陣。下面給出行列式的一般定義?！径x 1.4】 當 時， ，假設已定義了 階1n 1111aa1n行列式， 階行列式是由 個元素排成行和列組成，記為：n2n11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1414第一節(jié)行列式的概念 且規(guī)定其值為： 111112121n1nDa Aa Aa A 其中， 表示元素 的余子式余子式，它是 中劃1jM112jajnn， ， ，D1ja去 所在的第1行和第 列后剩下的元素按原來的次序構成的 階j1n

9、行列式。 稱為 的代數余子式代數余子式。 1111,2,ijjjAMjn 1ja 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1515第一節(jié)行列式的概念 【例 1.4】解解計算四階行列式2131310712421015DD 1 110721242015 1 2307111421151 3317311221051 431011124101833 573 85 從以上定義及例子可以看到， 階行列式由 個元素構成，每n2n個行列式都表示一個數值，且它等于第一行的元素分別乘以它的代數余子代數余子式再求和。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1616第一節(jié)行列式的概念 我們也可以給出每個元

10、素的余子式和代數余子式的一般定義。 【定義 1.5】 對于 階行列式 ， n(1)n 11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa列元素后，按原次序排列構成的 階行列式。1n 稱為元素 的余子式余子式， 稱為元素 的代數 ijMija1ijijijAM ija余子式 。其中， 是 中劃去元素 所在的行和ijn，1，2， ,DijMija 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1717第一節(jié)行列式的概念 【例 1.5】解解求行列式 的元素 和 的代數余子式。156227834D 23a31a所以 因為 的余子式 237a23M15221 ( 2)2 5 12 的余子式 318

11、a31M56275 7( 2) 6 47 的代數余子式 237a23A 2 323( 1)M23M12 的余子式 318a31A 3 131( 1)M31M47 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1818第二節(jié)行列式的性質 在上一節(jié)行列式定義 中我們看到行列式的計算是由高階向低階逐階遞減過程，因此行列式的階數越高，計算越繁。下面的行列式性質可以簡化行列式的計算。11121n21222nn1n2nnaaaaaaDaaa1111121211111nnnkkka Aa Aa Aa A 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版1919第二節(jié)行列式的性質 【定義 1.6】 交換行列式D

12、的行與列所得的行列式，稱為D的轉置行轉置行列式列式，記為 或 。TDD 設111212122212nnnnnnaaaaaaDaaa112111222212nnTnnnnaaaaaaDaaa則 【例 1.6】 若則143035762D107436252TD 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2020第二節(jié)行列式的性質 性質性質1 143035762D107436252TD 轉置行列式的值等于原行列式的值，即 。 TDD在例1.6中的二個行列式 的值相等，即,TDD 根據這一性質， 階行列式的定義按第一行展開等于按第一列展開n即：1111121211nnDa Aa Aa A111121

13、2111nna Aa Aa A這一性質也說明行列式的對于每行具有的性質對每列也成立。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2121第二節(jié)行列式的性質 性質性質2 交換行列式的任意兩行（列）元素，行列式的值變號。 【例例 1.7】交換以下行列式D的第一行和第三行，有 762035142D142035762素（仍為D），即得 ，移項得 ，于是 。 DD 20D 0D 為零。 特別地，當行列式中有兩行（列）對應元素都相同時，行列式的值 因假設D中的第 行和第 行對應元素相同，交換第 行和第 行元ijij 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2222 【例例 1.8】 第二節(jié)行列式

14、的性質 以上性質1和性質2可以用數學歸納法證得，在這我們省略。 行列式142035142（因為第一行與第三行相同） 0 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2323第二節(jié)行列式的性質 性質性質3 【例例 1.9】行列式符號的外面。這一性質可以由行列式的定義和性質2得到。 這相當于行列式中某一行（列）所有元素的公因子可以提到行列式行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一個數 ，行k142235762kkk142235762k列式的值擴大 倍。k 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2424第二節(jié)行列式的性質 性質性質4 行列式中兩行（列）對應元素都成比例，行列式值為零。 與第

15、 行相同，于是行列式的值為零。 j 設第 行為第 行的 倍，由性質3，將 行提出公因子 ，即得第 行jikjik 性質性質5 若行列式的某一行（列）的元素都是兩數之和，例如第 列i的元素都是兩數之和： 1112111212222212()()()iiniinnnnininnaaaaaaaaaaDaaaaa 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2525第二節(jié)行列式的性質利用這一性質：則 等于下列兩列行列式之和：D1112111112112122222122221212ininininnnninnnnninnaaaaaaaaaaaaaaaaDaaaaaaaa111112122121222

16、2abababab111212111212212222212222aabbabaabbab11121112111211122122212221222122aaabbabbaaabbabb 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2626第二節(jié)行列式的性質 性質性質6 應元素上去，行列式值不變。即 把行列式某行（列）各元素的 倍加到另一行（列）的對k 這一性質由性質3和性質4直接得到。 11121121222212ininnnninnaaaaaaaaDaaaa1112111212222212ijnijnnnninjnnaaakaaaaakaaaaakaa 利用這些性質可以簡化行列式的計算。

17、 另外我們用 表示第 行， 表示第 列。 表示交換第 行與第iriicijrrjij行， 表示第 行乘 倍； 表示把第 行乘 倍加到第 行上去。 irkkjirkrikij 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2727 【例例 1.10】 第二節(jié)行列式的性質解解 利用行列式性質計算行列式 2341121221233117DD12rr1212234121233117212rr1212076521233117312rr1212076505473117313rr1212076505470747下頁繼續(xù) 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2828第二節(jié)行列式的性質然后按行列式定義

18、，得： 熟練以后，這幾步也可以合并為： 1212234121233117213141223rrrrrr12120765054707477655477413D 31rr765547028 1257rr35302513528493502821rr3530251022435028 -2-241（-35）-2-83532（這里也可用 ）32cc4 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版2929第三節(jié)行列式按行（列）展開 根據行列式定義，行列式的值等于第一行或第一列的元素乘以它的代數余子式之和。在本節(jié)中我們將這一結果加以推廣。 【定理1.1】 若 階行列式 中除 外，第 行（或 列）的其余nDi

19、jaij元素都為零，那么 可按第 行（或 列）展開為 。 ijijDa ADij 證明證明 設第 行除 ，其余元素都為零。 i0ija 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3030第三節(jié)行列式按行（列）展開 現將第 行和第 行對換，再與第 行對換，經過 次1i2ii1i對換，含 的原第 行就換到第一行，行列式的值應乘 ，類似經 ija11i（）i過 次列對換，可將含 的列變到第一列，即 1j ija1111111111221212121110000( 1)( 1)ijjjjnijjjjnnjnnjnjnnaaaaaaaaaaaDaaaaa ( 1)ijijijijija Ma A 因

20、為新行列式中劃去第1行劃去第1列所成的余子式就是 中的DijM（劃去原第 行和原第 列）。ji 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3131第三節(jié)行列式按行（列）展開 【定理1.2】（拉普拉斯展開拉普拉斯展開） 的各元素與其對應的代數余子式乘積之和，即 階行列式等于它的任意一行（列）n11221(1,2,)niiiiininikikkDa Aa Aa Aa Ain11221(1,2,)njjjjnjnjkjkjkDa Aa Aa Aa Ajn 或 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3232 證明證明 n階行列式等于它的任意一行（列）第三節(jié)行列式按行（列）展開1112112

21、120000000niiinnnnnaaaDaaaaaa11121111211112112121212000000nnniiinnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa1122(1,2, )iiiiinina Aa Aa Ain 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3333第三節(jié)行列式按行（列）展開 【定理1.3】應元素的代數余子式乘積之和等于零，即行列式 的任意一行（列）各元素與另一行（列）的對D 或11220iiiiinina Aa Aa A11220(, ,1,2, )ijijninja Aa Aa Aij i jn11220()ijijinjna A

22、a Aa Aij 證明證明將 的第 行元素 換成 所成的新j12,jjjnaaa12,iiinaaaD行列式的第 行與第 行相同；于是新的行列式值為零，另一方面，新行ij列式可按第 行展開，得：j 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3434第三節(jié)行列式按行（列）展開 綜合定理1.2和定理1.3，得： 也就是行列式 的任意一行（列）各元素與這一行（列）的對應元D1,()( ,1,2,)0,()nikjkkD ija Ai jnij1,()( ,1,2,)0,()nkikjkD ija Ai jnij素的代數余子式乘積之和等于行列式的值；行列式 的任意一行（列）D各元素與另一行（列）的

23、對應元素的代數余子式乘積之和等于零。 利用行列式性質將某行（列）的元素盡可能化為零，然后展開，可簡化行列式的計算。 或 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3535第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例例 1.11】 解解1從第三列著手，再變出一個零元素。計算行列式 1204101231101205D 首先尋找含零個數最多的行或列。本題第3列含兩個零，于是D32rr12041012311012052 31241 ( 1)412125D 31rr1244120093 312( 9)( 1)41 81 （按第3列展開得） （再按第3列展開得） 下頁繼續(xù) 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學

24、第七版3636第三節(jié)行列式按行（列）展開 解解2是用第4行減第1行也可同時出現3個零，然后按第4行展開，既得： 本題也可以這樣解：第4行與第1行有三個對應元素相同，于D41rr12041012311000094 4120( 9)( 1)10131131cc1219 1003112 1219 1( 1)14 81 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3737第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例例 1.12】 解解的系數。行列式 是關于 的一次多項式，求一次項12332455xxx由于行列式中 在其第二行，按第二行展開，可得： x12332455x3452313123 ( 1)( 1)2 (

25、 1)524245x 42213( 1)1042A 可以看到，一次項 的系數就是 的代數余子式 22axx 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3838第三節(jié)行列式按行（列）展開 【例例 1.13】計算行列式的值1111111111111111xxDyy解解 4311111111111100rrxxDyyy3411011101111000ccxxyy11011011xyxy （按第4行展開得）11()11xy yx （按第3列展開得）2(1)(1) 1yxx 2222(11)yxx y 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版3939第四節(jié)行列式的計算舉例 本節(jié)主要對有某些特殊

26、的行列式的計算進行介紹。 我們把 階行列式 的從左上角到右下角含 的連線稱為nD1122,nnaaa主對角線主對角線。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4040第四節(jié)行列式的計算舉例一、對角行列式1122nnaaDa 其中，除主對角線上的元素 外，其余省略的元1122,nnaaa素皆為零。1122nnDa aa 顯然：即對角行列式的值等于主對角線上元素之積。 對角行列式等于零的充要條件為對角線上至少有一個元素為零。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4141第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.14】計算行列式 (沒寫出的元素皆為零)12Dn解解 經過 次列交換，可將最

27、后一列換到第1列。 1n110000002( 1)0030000nDn 1210000200( 1)( 1)0003000nnn (1) (2)2 112( 1)nnn (1)2( 1)!n nn 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4242二、三角行列式 上三角行列式 第四節(jié)行列式的計算舉例 下三角行列式 112122313233123000000nnnnnaaaDaaaaaaa111213122232333000000nnnnnaaaaaaaDaaa 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4343 很容易得出三角行列式的值仍等于主對角線元素的積。第四節(jié)行列式的計算舉例 如

28、行列式 就是一個上三角行列式，234056007D 其值等于 。2 5 770D 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4444 一般行列式計算都可采用化為上（下）三角行列式來計算。 第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.15】計算行列式3111131111311113D 解解 因為每行各元素之和相等（為6），我們可以“統(tǒng)加”，即多次用 的性質。本例可采用第2列加到第1列，第3列加到第1列，第4列jirkr加到第1列，得6111631161316113D 1111131161131111321314111110200600200002rrrrrr36 248 線性代數線性代數 同濟大學第

29、七版同濟大學第七版4545第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.16】解解 從第2列起，每列加到第1列上，得解 階行列式xaaaxaDaax n(1)(1)(1)naxaanaxxaDnaxax 1000(1) 000000aaaxaxnaxaxa1(1) ()nxna xa（從第2行起每行減去第1行得） 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4646第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.17】解解 從第2行起，每行減去第1行，得 解 階行列式方程n1111111111112110111(2)11111(1)xxnxnx111110000001000000(3)00000(2)xxnxnx

30、(1)(2)(3)(2)0 xxxnxnx123210,1,2,3,2nnxxxxnxn于是：解得： 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4747第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.18】解解 將各列加到第一列,得計算 階行列式121212nnnabaaaabaDaaabn122122122()()()nnnnnnaaabaaaaababaDaaabaab 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版4848第四節(jié)行列式的計算舉例212100()00nnaabDaaabb112()()nnaaabb 第1列提取公因子。從第2行起，每行減去第1行，得 線性代數線性代數 同濟大學第七版

31、同濟大學第七版4949三、按行或列展開解解 按第1列展開，得第四節(jié)行列式的計算舉例 有些行列式不易變成某行（列）只有一個非零元素，例如變成兩個非零元素，則行列式值等于這兩個元素與對應代數余子式積的和。 【例例 1.19】 計算 階行列式n000000000000ababDabba 10000000000( 1)0000000000nabbaabDababbaab 1( 1)nnnab 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5050四、采用遞推方式來解行列式 解解 按最后一列展開，得 第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.20】 計算下列 階行列式1n11210100001000001nn

32、nnxxDxaaaaa 10100010000010000nxaxDaxx1221100001000001nnnxxxaaaaa 0nna xD同樣推理可得: 于是 111nnnDa xD10nnnDa xD1011nnna xa xD1011nnnna xa xaxa 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5151第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.21】 計算下列 階行列式2n2nabababDcdcdcd(沒寫出的元素皆為零)下頁繼續(xù) 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5252第四節(jié)行列式的計算舉例解解 按第1行展開，得 20000nababDacdcdd210( 1

33、)000nababbcdcdc兩個行列式分別再按最后一行展開，得 222222(1)()nnnnDadDbcDadbc D2(1)2(2)()nnDadbc D222(1)2(2)()()nnnDadbc Dadbc D()nadbc同樣推理可得于是 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5353第四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.22】解解 從第一列提取公因子 ，然后把第1列加到第2列，得a2123100010()0()nnnxxaDa xx xaaxxxaxaa 計算 階行列式21234100010010nnnnaaxaDaxaxaaxaxaxaxa n下頁繼續(xù) 線性代數線性代數

34、同濟大學第七版同濟大學第七版5454第四節(jié)行列式的計算舉例第二列提取公因子 后，按第1行展開，得()xa2234110010()0nnnxaa xaxaxaxaxaxa 212234100010()()0()ccnnnxxaa xaxx xaaxxxaaxa 1()na xa 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5555五、范德蒙行列式 第四節(jié)行列式的計算舉例 行列式 稱為 階的11112122222121111112111111nnnnnnnnnnnxxxxxxxVxxxxxxxx n范德蒙行列式范德蒙行列式 下面我們來計算此行列式的值 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七

35、版5656第四節(jié)行列式的計算舉例解解此題自下而上，即從第 行開始，后行減去前行的 倍。即得 n1x21311221331133322133112222213311111100()()()0()()()0()()()nnnnnnnnnnnnnnxxxxxxx xxx xxxxxVxxxxxxxxxxxxxxxxxx分別按各列提取公因子，得： 232131122223111()()()nnnnnnnxxxVxxxxxxxxx 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5757同理可推得第四節(jié)行列式的計算舉例342131132233334111()()()()()nnnnnnnnxxxVxxxx

36、xxxxxxxxx2131411324221()()()()()()()()nnnnxxxxxxxxxxxxxxxx1()jiijnxx其中， 符號表示統(tǒng)乘，即各 之間用乘號鏈接。()jixx 可以看到：范德蒙行列式為零的充分必要條件為 中至少有12,nx xx 兩個相等。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5858 【例例 1.23】第四節(jié)行列式的計算舉例計算行列式1111134519162512764125D 解解222233331111134513451345D (3 1)(41)(5 1)(43)(53)(54)48 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版5959第

37、四節(jié)行列式的計算舉例 【例例 1.24】求證：22322322322311111111xxyzuxxxyyzuxyyyzzuxyzzzuuxyzuuu 證明證明等式左邊各行分別乘 ：, , ,x y z u232323231xxxxyzuyyyxyzuxyzu zzzxyzuuuuxyzu左邊232323231111xxxyyyzzzuuu（提 因子）xyzu232323231111xxxyyyzzzuuu （三次列對換） 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6060綜合以上例題，行列式的計算可以按以下步驟來進行： 首先盡量尋找行與列的公因子, 將其提到行列式外面.如果發(fā)現行列第四節(jié)

38、行列式的計算舉例 然后利用性質總能將行列式變換成上三角或者下三角行列式, 再計 或者利用性質將行列式的某行(某列)變換成只有一個元素不為0, 其式有兩行或者兩列成比例, 則行列式的值為0。算其對角線上的乘積。 其余元素均為0, 然后再按那行(列)展開, 降階成低階的行列式。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6161第五節(jié)克萊姆法則一、用行列式表示二元及三元線性方程組的解 二元線性方程組 11 1122121 12222a xa xba xa xb用二階行列式可表示為 ， 112222111122122babaxaaaa111212211122122ababxaaaa若 ，可用消元

39、法解得 112212210a aa a122212111221221211121111221221bab axa aa ab abaxa aa a 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6262其中： 為二元線性方程組中未知數 的系數構成111221220aaDaa12,x x第五節(jié)克萊姆法則 的行列式； 為用常數項代替 中的第一列； D1121222baDba1112212abDab 為用常數項代替 中的第二列。 D 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6363 【例 1.4】解二元線性方程組 第五節(jié)克萊姆法則解解 可用二階行列式得 121223425xxxx 143527

40、123712x2241514223712x 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6464第五節(jié)克萊姆法則對于三元線性方程組 同樣可以由消元法得到; 11 1122133121 1222233231 13223333a xa xa xba xa xa xba xa xa xb當 時， 1122331223311321321123321221321322310Da a aa a aa a aa a aa a aa a a123123,DDDxxxDDD其中： 1122332 13323 1223123322 12333 1322Dba ab a ab a aba ab a ab a a2

41、123312 11 333 1321121 332 13313 1123Dba ab a ab a aba ab a ab a a3121 322 12313 1122122312 11 323 1221Dba ab a ab a aba ab a ab a a 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6565第五節(jié)克萊姆法則用三階行列式表示以上的 ，可以得到： 123,D D D D當 時，有 0D 312123DDDxxxDDD，其中：111213212223313233aaaDaaaaaa1121312222333233baaDbaabaa1111322122331333abaDa

42、baaba1112132122231323aabDaabaab 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6666 【例 1.5】第五節(jié)克萊姆法則解線性方程組 123123123223734xxxxxxxxx 解解11121316131D 121171316431D212127332141D 311221716134D 故 3121231DDDxxxDDD 1，2， 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6767 【定理 1.4】 （克萊姆法則） 第五節(jié)克萊姆法則如果 元并非齊次線性方程組 n11 11221121 1222221 122nnnnnnnnnna xa xa xba

43、xa xa xba xa xa xb（1） 的系數行列式 ，則方程組有唯一解，且 0D 1212,jnjnDDDDxxxxDDDD其中， 是將 中的第 列用常數列替換而成的行列式。 (1,2, )jDjnDj二、克萊姆法則 以上用行列式解線性方程組可以推廣為n元線性方程組情形。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6868 【例 1.25】第五節(jié)克萊姆法則解解 解線性方程組 12341234123412345242235232110 xxxxxxxxxxxxxxxx 11111214231531211D142 151112214231501211D142 21511121422153

44、0211D284 311511224232531011D42641115121223123120D142故 312412341,2,3,1DDDDxxxxDDDD 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版6969第五節(jié)克萊姆法則 線性方程組（1）中等式右端常數均為零時，稱為n n元齊次線性方程元齊次線性方程組，也稱為組，也稱為n n元非齊次線性方程組元非齊次線性方程組（1）導出組導出組。即n元齊次線性方程組 11 1122121 122221 122000nnnnnnnnna xa xa xa xa xa xa xa xa x（2） 由克萊姆法則，若系數行列式 ，則n元齊次線性方程組（2

45、）0D 只有零解：120,0,0nxxx要方程組有非零解（即至少有某個 ），必須有 。 0jx 0D 關于解線性方程組的問題，我們在第三章還要祥細介紹。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7070 【例 1.26】第五節(jié)克萊姆法則解解 由于非齊次線性方程組有非零解，則其系數矩陣的行列式為零，即 設線性方程組 有非零解，求 的值。 123123123000kxxxxkxxxxkxk1111011kkk1121111211121kkkkkkkk2111(2) 010(2)(1)0001kkkkk122,1kk 111(2)1111kkk 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7

46、171第二章矩陣 矩陣是應用非常廣泛的數學工具，也是線性代數的主要研究對象之一。運用矩陣的運算法則，會用伴隨矩陣法求逆矩陣，熟練掌握矩陣的初等行變換，以及運用初等行變換法求逆矩陣。 通過本章學習，要求掌握矩陣及其各種特殊類型矩陣的定義，熟練 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7272 第三節(jié)第三節(jié) 逆矩陣逆矩陣第二章矩陣第一節(jié)第一節(jié) 矩陣的概念矩陣的概念 第二節(jié)第二節(jié) 矩陣的運算及其性質矩陣的運算及其性質 第四節(jié)第四節(jié) 分塊矩陣及其運算分塊矩陣及其運算 第五節(jié)第五節(jié) 矩陣的初等變換矩陣的初等變換 第六節(jié)第六節(jié) 初等方陣初等方陣 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7373

47、第一節(jié)矩陣的概念一、矩陣的定義 矩陣作為一種常用的數學工具，能夠簡潔地貯存信息，通過矩陣運【例 2.1】算，可以方便地處理信息，下面通過實際例子引入矩陣的概念。某超市公司的第I、II兩部門都銷售甲、乙、丙三種小包裝食品，其某一天的銷售量（單位：包）可由下表表示： 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7474第一節(jié)矩陣的概念 如果我們每一天都做這樣的統(tǒng)計，就沒必要像上表那樣繁瑣，只要把以上數字按一定的排列次序記成如下數表形式：150160170140190180 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7575第一節(jié)矩陣的概念簡潔地表示出來。無論是在數值求解還是理論推導方面，此數

48、表足以清【例 2.2】晰表示這一線性方程組。對于線性方程組 11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxaxb我們可以用下面的數表11121121222212nnmmmnmaaabaaabaaab 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7676 一般由大寫字母A,B,C表示矩陣。 由上兩例可以看到，在我們生命活動中的許多方面，都可以用數表第一節(jié)矩陣的概念 1 1矩陣定義矩陣定義來表達一些量以及量與量之間的關系。這類數表，我們統(tǒng)稱為矩陣矩陣。 【定義定義 2.1】 由 個數 排成的 行m n(1,2,;1,2, )i

49、jaim jnmn 列的矩形數組 111212122212nnmmmnaaaaaaaaa （2.1） 稱為一個m行行n列矩陣列矩陣，簡稱mn的矩陣的矩陣， 稱為此矩陣的第 行第ijaij(1,2,;1,2, )im jn列的元素 。 矩陣（2.1）也可簡化為：()m nijm nAa 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7777即即第一節(jié)矩陣的概念【例 2.3】是一個三行四列矩陣，3 45402()3697841 10ijAa位于矩陣第二行第三列位置的元素是9，23a32a34a9410而而 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7878第一節(jié)矩陣的概念 2矩陣相等矩陣相等

50、另外，行數或列數不同的矩陣也不是相等的。 若 都是 矩陣，且對應位置的元素分別相等，()()ijijAaBb，m n即 ， 則稱矩陣A A與B B相等相等，記為： (1,2, ;1, )ijijab im jnAB0000abcd0abcd 例如，當且僅當 時，矩陣 又如：01101010 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版7979第一節(jié)矩陣的概念 3 階方陣階方陣 n 當矩陣的行數 與列數 相等，即 時，矩陣 稱為mmn()ijn nAann階矩陣階矩陣或 階方陣階方陣，如矩陣 是一個二階方陣。abcdn 階方陣 與 階行列式是不能混淆的兩個概念，行列式的值是Ann 在一個階方陣

51、 中，從左上角到右下角的對角線連線，稱為主主()ijAa對角線對角線。元素 都在主對角線上，稱為主對角線元素。1112,nnaaa一個數，而矩陣僅是數表。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8080第一節(jié)矩陣的概念二、幾種特殊矩陣的介紹 1. 1.行矩陣和列矩陣行矩陣和列矩陣 只有一行元素構成的矩陣 稱為行矩陣行矩陣。 111 121()()ijnnAaa aa 只有一列元素構成的矩陣 稱為列矩陣。列矩陣。111211()ijmmbbBbb 2. 2.零矩陣零矩陣 m nO( )m nOo時，也記為 ，或 。 行列數不同的零矩陣是不相等的，如0000000000000 元素全為零的

52、矩陣稱為零矩陣零矩陣，記作 。當零矩陣的行列數是m nO 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8181第一節(jié)矩陣的概念 4 4上（下）三角陣上（下）三角陣 如一個方陣的主對角線下（上）方的所有元素均為零，則稱該方陣為上（下）三角矩陣上（下）三角矩陣。 如 ， 是上三角陣。1230240011101100520213 而 是下三角陣。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8282第一節(jié)矩陣的概念 5 5對角陣、單位矩陣對角陣、單位矩陣 如一個方陣除主對角線以外的元素均為零，則稱這個方陣為對角矩對角矩陣陣。即有時可簡單記為： 1122000000nnaaAa1122nnaaAa

53、記 為或 ，在不致混淆時，也可簡記為 或 ，如： nEnIEI 11E 21001E3100010001E 特別地，主對角線元素全為1的 階對角矩陣，稱為 階單位矩陣階單位矩陣，nn 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8383第二節(jié)矩陣的運算及其性質一、矩陣的線性運算 1 1矩陣的加法矩陣的加法【定義2.2】 設 和 都是 的矩陣 ()ijAa()ijBbm n111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb則以A與B相對應的元素之和 為元素的 (1,2,;1,2, )ijijab im jn 矩陣m n 線性代數線性

54、代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8484第二節(jié)矩陣的運算及其性質111112121121212222221122nnnnmmmmmnmnababababababCababab稱為矩陣矩陣 與與 的和的和，記作A+BA+B，或 ，用矩陣形式表示即AB()ijijm nabABC為 。 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8585【例2.4】 第二節(jié)矩陣的運算及其性質設123789,456132AB()()()ijm nijm nijijm nABabab即由 ， 對應元素之差構成的矩陣。 A B他們才能進行相加和相減；否則，他們的加法和減法將是無意義的。 類似于加法的定義，我們規(guī)定矩

55、陣矩陣 與與 的減法的減法（即差） AB 應注意的是，只有當兩個矩陣的行數對應相同、列數對應相同時，則81012328AB 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8686【定義2.3】 第二節(jié)矩陣的運算及其性質數 與矩陣 的數乘數乘記為 ，規(guī)定其為： ()ijm nAakkA111212122212()nnijm nmmmnkakakakakakakAkakakaka且當 時： 1k 111212122212( 1)()nnijm nmmmnaaaaaaAaaaa 稱為矩陣 的負矩陣負矩陣，記為AA列式的聯系將在以后介紹。 數乘矩陣與數乘行列式有著本質上的差異，而數乘方陣及與它的行即將

56、矩陣 中的每個元素擴大 倍Ak2矩陣的數乘矩陣的數乘 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8787【例2.5】 第二節(jié)矩陣的運算及其性質則2A 222444666A111222333111222333A設 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8888第二節(jié)矩陣的運算及其性質 3矩陣線性運算的性質矩陣線性運算的性質 我們不難證明矩陣的加法和數乘滿足以下運算規(guī)律（設, ,A B C D O都是 矩陣， 為實數）：m n,kABBA (1)加法交換律 (2)加法結合律 ()()ABCABC (3) AOA (4) ()AAO (5)數乘分配律 ()ABAB()k AAkA (6)

57、數乘交換律 ()()k AkA 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版8989【例2.6】 第二節(jié)矩陣的運算及其性質解解設 求111222333A3100010001E323AE323AE222300444030666003122414663 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版9090第二節(jié)矩陣的運算及其性質二、矩陣乘法 1 1定義定義【定義2.4】 111212122212nnmmmnaaaaaaAaaa111212122212nnmmmnbbbbbbBbbb設 是一個 行 列矩陣， 是一個 行 列的矩陣，即 ABmssn則由元素1 1221(1,2,;1,2, )sij

58、ijijissjikkjkCa ba ba ba bim jn構成的 矩陣 稱為矩陣矩陣 與與 的乘積的乘積，記作 。m n()ijCcCABAB 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版9191第二節(jié)矩陣的運算及其性質 定義顯示，一個 矩陣 與一個 矩陣 的乘積 是一個ABm ss n 矩陣， 的第 行 列元素 等于 的第 行元素與 的第 列元m nCijijcABij元素的對應乘積之和。 要使乘積 有意義，當且僅當左矩陣左矩陣（即乘積項中的第一個矩陣）AB 的列數等于右矩陣右矩陣（即乘積項中的第二個矩陣） 的行數才成立。AB 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版9292【例

59、2.7】 第二節(jié)矩陣的運算及其性質設 求矩陣乘積2 22 313231,84406ABAB的矩陣。由定義： 解解 因為 是二行二列的矩陣， 是二行三列的矩陣，由于左矩陣 的ABA列數等于右矩陣 的列數，故 有意義，且 是一個二行三列（23）BABABAB23 41 31 1 3 62 84 48 38 14 6 2 314319322432 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版9393【例2.8】 第二節(jié)矩陣的運算及其性質是一階的矩陣。 乘積1 33 161,2,342 1 11 62 43 2 1 1201 23 1211,23 3 2241236【例2.

60、9】 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版9494 2 2線性方程組的矩陣形式線性方程組的矩陣形式 第二節(jié)矩陣的運算及其性質 對于包含 個方程 個未知量的線性方程組 mn其 個方程左端的系數可以構成矩陣 ， 稱為方程組（2.2）m()ijm nAaA11 11221121 1222221 122nnnnmmmnnma xa xa xba xa xa xba xaxa xb（2.2） 的系數矩陣系數矩陣，未知量可構成列矩陣 ，其 個方程右端的常數項可構成XmB列矩陣 ，即 線性代數線性代數 同濟大學第七版同濟大學第七版9595第二節(jié)矩陣的運算及其性質由于于是，線性方程組（2.2）可以用