圓的一般方程

1、圓圓的的一一般般方方程程Ar xyO022FEyDxyx(x-a) 2 + (y-b) 2 = r2圓心為圓心為A(a,b),半徑長(zhǎng)為半徑長(zhǎng)為r的的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為什么圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為什么?一、回一、回 顧顧注意：這是一條關(guān)于注意：這是一條關(guān)于x,y的的二元二次方程二元二次方程，那么關(guān)，那么關(guān)于于x,y的的二元二次方程二元二次方程是否都表示是否都表示圓圓呢？呢？222)()(),(rbyaxrba為為半徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為圓心，以02222222rbabyaxyx將方程展開(kāi)得式程都可以寫(xiě)成下面的形可見(jiàn)，任何一個(gè)圓的方022FEyDxyx) 1 ()2(44)2()2112222FEDEyDx）的左邊

2、配方，得（將（圓？）的方程的曲線是不是反過(guò)來(lái)，形如（)2,2() 1 (042220EDFED表示一個(gè)點(diǎn)時(shí)，方程當(dāng)為半徑的圓為圓心，表示以時(shí)，方程當(dāng)24)2,2() 1 (04122220FEDEDFED不表示任何圖形時(shí)，方程當(dāng)) 1 (043220FED的一般方程）叫做圓）表示一個(gè)圓，方程（時(shí)，方程（因此，當(dāng)110422FED問(wèn)題問(wèn)題:圓的一般方程有什么特征圓的一般方程有什么特征?（2 2）兩個(gè)變量最高次數(shù)的系數(shù)相同，一般都是）兩個(gè)變量最高次數(shù)的系數(shù)相同，一般都是1 1 ；（1）有兩個(gè)變量）有兩個(gè)變量x,y，它們的最高次數(shù)都為，它們的最高次數(shù)都為2； 230yDxEyF2若方程x表示一個(gè)圓，

3、那么它的圓心坐標(biāo)為多少？半徑呢？22DE（，）2242DEFr圓的一般方程的定義：圓的一般方程的定義：圓的一般方程的特點(diǎn)，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異圓的一般方程的特點(diǎn)，與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的異同同 【問(wèn)題】【問(wèn)題】圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋：圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程各有千秋： （1）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和）圓的標(biāo)準(zhǔn)方程帶有明顯的幾何的影子，圓心和 半徑一目了然半徑一目了然 （2）圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，）圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)的形式與結(jié)構(gòu)，更適合方程理論的運(yùn)用更適合方程理論的運(yùn)用 圓的一般方程的特點(diǎn)圓的一般方程的特點(diǎn) ：（1 1） 和和 的系數(shù)相同，都不為

4、的系數(shù)相同，都不為0 （2 2）沒(méi)有形如）沒(méi)有形如 的二次項(xiàng)的二次項(xiàng) 2x2yxy1、A C 0 圓的一般方程：圓的一般方程：二元二次方程：二元二次方程：A x2 +BxyCy 2DxEyF0的關(guān)系的關(guān)系:x2 y 2DxEyF0（D D2 2+E+E2 2-4F0-4F0）2、B=03、 D2E24AF0 二元二次方程二元二次方程表示圓的一般方程表示圓的一般方程(1)若圓心在若圓心在x軸上軸上,則則D,E,F滿足什么條件滿足什么條件?(2)若圓心在若圓心在y軸上軸上,則則D,E,F滿足什么條件滿足什么條件?(3)若圓過(guò)原點(diǎn)若圓過(guò)原點(diǎn),則則D,E,F滿足什么條件滿足什么條件?C Cx xo o

5、y yC Cx xo oy yC Cx xo oy yD=0D=0E=0E=0F=0F=0220 xyDxEyF0332230642201. 12222222aayaxyxyxyxyx）（）（）（形？下列各圖各表示什么圖11)2() 1(22yx2222)(bayax033223022061. 22222222ayaxyxbyyxxyx）（）（）（心坐標(biāo)：求下列各圓的半徑和圓9)3(22yx222)(bbyx222)3()(aayax(1)圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系:一般方程配方展開(kāi)標(biāo)準(zhǔn)方程小結(jié)一:FEDED421),2,2(22半徑圓心 例例1 1 求過(guò)點(diǎn) 的圓的方程，并求出這個(gè)圓的半

6、徑和圓心坐標(biāo).)2 , 4(),1 , 1 (),0 , 0(NMO解解 設(shè)所求圓的方程為022FEyDxyx其中 待定.FED,由題意得,02024020FEDFEDF解得.068FED于是所求圓的方程為. 06822yxyx將這個(gè)方程配方，得.25)3()4(22yx所以所求圓的圓心坐標(biāo)是 半徑為 ),3, 4( . 5練習(xí)練習(xí)：求經(jīng)過(guò)三點(diǎn) 的圓的方程.)0 , 4(),2, 2(),0 , 0(, 0, 6, 8FED. 534, 5421, 32, 4222），半徑為，即圓心坐標(biāo)（ FEDED 若已知三點(diǎn)求圓的方程若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常采用圓的我們常采用圓的 一般方程用待定系數(shù)法

7、求解一般方程用待定系數(shù)法求解. 若已知條件涉及圓心和半徑若已知條件涉及圓心和半徑, 我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡(jiǎn)單我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡(jiǎn)單.1.步驟步驟：(1)依題意設(shè)出待定系數(shù)方程依題意設(shè)出待定系數(shù)方程 (2)列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組）列出關(guān)于待定系數(shù)的方程（組） （3）解方程（組）得出系數(shù)，寫(xiě)出所求方程解方程（組）得出系數(shù)，寫(xiě)出所求方程小結(jié)二:注意:求圓的方程時(shí),要學(xué)會(huì)根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓的方程形式:若知道或涉及圓心和半徑若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用我們一般采用 圓的標(biāo)準(zhǔn)方程圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡(jiǎn)單較簡(jiǎn)單.若已知三點(diǎn)求圓的方程若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常常采用我們常常采用 圓

8、的一般方程圓的一般方程用待定系數(shù)法求解用待定系數(shù)法求解. ( (特殊情況時(shí)特殊情況時(shí), ,可借助圖象求解更簡(jiǎn)單可借助圖象求解更簡(jiǎn)單) )如果軌跡動(dòng)點(diǎn)如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于依賴于另一動(dòng)點(diǎn)另一動(dòng)點(diǎn)Q(a,b),而而Q(a,b)又又在某已知曲線上在某已知曲線上,則可先列出則可先列出關(guān)于關(guān)于x,y,a,b的方程組的方程組,利用利用x,y表示出表示出a,b,把把a(bǔ),b代入已知代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡的軌跡方程方程.022FEyDxyx 課堂小結(jié)若知道或涉及圓心和半徑若知道或涉及圓心和半徑,我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡(jiǎn)單我們一般采用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程較簡(jiǎn)單.(1)本節(jié)課的主要內(nèi)容

9、是圓的一般方程,其表達(dá)式為(用配方法求解)(3)給出圓的一般方程,如何求圓心和半徑?0422022FEDFEyDxyx 配方展開(kāi)(2)圓的一般方程與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的聯(lián)系一般方程標(biāo)準(zhǔn)方程(圓心,半徑)(4)要學(xué)會(huì)根據(jù)題目條件,恰當(dāng)選擇圓方程形式:若已知三點(diǎn)求圓的方程若已知三點(diǎn)求圓的方程,我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)我們常常采用圓的一般方程用待定系數(shù)法求解法求解. 例例2 2 已知一曲線是與兩個(gè)定點(diǎn) 距離的比為 的點(diǎn)的軌跡，求這個(gè)曲線的方程，并畫(huà)出曲線.)0 , 3(),0 , 0(AO21.21AMOM由兩點(diǎn)間距離公式，上式可用坐標(biāo)表示為.21)3(2222yxyx兩邊平方并化簡(jiǎn)，得曲線方程

10、為03222xyx將方程配方，得 4) 1(22yx所以所求曲線是以 為圓心，半徑為 的圓.)0 , 1(C2 解解 在給定的坐標(biāo)系中，設(shè) 是曲線上的任意一點(diǎn)，點(diǎn) 在曲線上當(dāng)且僅當(dāng)),(yxMM212212)()(yyxxABCMA3yxO問(wèn)題1：等腰三角形的頂點(diǎn)A的坐標(biāo)是（4，2），底邊一個(gè)端點(diǎn)B的坐標(biāo)是（3，5），求另一個(gè)端點(diǎn)C的軌跡方程，并說(shuō)明它是什么圖形。求軌跡方程的一般步驟求軌跡方程的一般步驟:1.建系建系,設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn);2.列式列式,代入代入;3.簡(jiǎn)化簡(jiǎn)化,檢驗(yàn)檢驗(yàn).CBAxyO問(wèn)題問(wèn)題2:長(zhǎng)為長(zhǎng)為2a的線段的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的兩條直線上滑動(dòng)，則

11、線段的兩條直線上滑動(dòng)，則線段AB的中點(diǎn)軌跡為的中點(diǎn)軌跡為BAM222xya2.定義法定義法;軌跡的常用求法軌跡的常用求法:1.直接法直接法;xy問(wèn)題3:已知?jiǎng)狱c(diǎn)M到點(diǎn)A（2，0）的距離是它到點(diǎn)B（8，0）的距離的一半，求：（1）動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；軌跡的常用求法軌跡的常用求法:2216xy(2)若四邊形AMPB是平行四邊形,試求點(diǎn)P的軌跡方程.3.相關(guān)點(diǎn)法相關(guān)點(diǎn)法;22616(xy去掉(2,0),(10,0)兩點(diǎn)。如果軌跡動(dòng)點(diǎn)如果軌跡動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)Q(a,b),而而Q(a,b)又在某已知曲線又在某已知曲線上上,則可先列出關(guān)于則可先列出關(guān)于x,y,a,b的方程組的方程

12、組,利用利用x,y表示出表示出a,b,把把a(bǔ),b代入已知曲代入已知曲線方程便得動(dòng)點(diǎn)線方程便得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程的軌跡方程.PxMBAOy問(wèn)題4:點(diǎn)A(0,2)是圓x2+y2=16內(nèi)的定點(diǎn)，點(diǎn)B,C是這個(gè)圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若BACA,求BC中點(diǎn)M的軌跡方程，并說(shuō)明它的軌跡是什么曲線。Byx A C OM例4 求經(jīng)過(guò)P(-2,4),Q(3,-1)兩點(diǎn),且在x軸上截得的弦長(zhǎng)等于6的圓的方程.解:設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0令y=0得x2+Dx+F=0,由韋達(dá)定理得x1+x2=-D,x1.x2=F,又D2-4F=36(1)圓過(guò)P(-2,4),Q(3,-1)(-2)2+42+(-2)D+4

13、E+F=0,即:2D-4E-F=0(2)32+(-1)2+3D-E+F=0,即:3D-E+F=-10(3)由(1),(2),(3)聯(lián)立求得:D=-2,E=-4,F=-8或D=-6,E=-8,F=0所求圓的方程為x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y=064)(2122121xxxxxx例例5. 自點(diǎn)自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求反射光線所在直線的方程求反射光線所在直線的方程. B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) 例題

14、選講例題選講 1. 自點(diǎn)自點(diǎn)A(-3，3)發(fā)射的光線發(fā)射的光線l 射到射到x軸上，被軸上，被x軸反射，軸反射， 其反射光線所在的直線與圓其反射光線所在的直線與圓x2+y2-4x-4y+7=0相切，相切， 求光線求光線l 所在直線的方程所在直線的方程.題意分析題意分析 B(-3，-3)A(-3，3) C(2, 2) (1)入射光線及反射光線與入射光線及反射光線與 x軸軸夾角夾角相等相等.(2)點(diǎn)點(diǎn)P關(guān)于關(guān)于x軸的軸的對(duì)稱點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)Q在在 反射光線所在的直線反射光線所在的直線l 上上.(3)圓心圓心C到到l 的距離等于的距離等于 圓的半徑圓的半徑.答案：答案： l : 4x+3y+3=0或或3x+4

15、y-3=0【思考題】【思考題】過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)M（-6，0）作圓作圓 C： 的的割線，交圓割線，交圓C于于A，B兩點(diǎn)兩點(diǎn).求線段求線段AB的中點(diǎn)的中點(diǎn)P的軌跡的軌跡.094622yxyx解：圓的方程可化為解：圓的方程可化為(x-3) +(y-2) =422其圓心為其圓心為C（3，2）半徑為半徑為2設(shè)設(shè)P（x，y）是軌跡上任意一點(diǎn)是軌跡上任意一點(diǎn)MPCP 16321xyxykkMPCP即：化簡(jiǎn)得：化簡(jiǎn)得：0182322yxyx所以所求軌跡為圓所以所求軌跡為圓 0182322yxyx-6o3y yx xcA AB B。P P在已知圓內(nèi)的一段?。ú缓它c(diǎn)）在已知圓內(nèi)的一段?。ú缓它c(diǎn)）.2(補(bǔ)充補(bǔ)充). 已

16、知一圓與已知一圓與y 相切，在直線相切，在直線y=x上截得的弦長(zhǎng)為上截得的弦長(zhǎng)為 2 ，圓心在直線圓心在直線x-3y=0上，求此圓的方程上，求此圓的方程.分析分析 (1)本題選用圓的方程標(biāo)本題選用圓的方程標(biāo) 準(zhǔn)形式較好準(zhǔn)形式較好 7AB 3. 圓圓C過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)A(1，2)，B(3，4)，且在且在x軸上截得的弦長(zhǎng)為軸上截得的弦長(zhǎng)為6 ， 求圓求圓C的方程的方程.(2)圓的圓的半徑半徑、半弦長(zhǎng)半弦長(zhǎng)、邊心距邊心距 組成直角三角形組成直角三角形本題選用圓的方程一般形式較好本題選用圓的方程一般形式較好 分析：分析：rd lC 思考題：22010,C xymxyP QOOPOQm已知圓 :與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若求 的值。解：方法一201 0 xymxy 2OPQ121212112122 12112122(1)mmxxmmyy和OPOQ12120 (2)x xy y1122(,) , (,)P xyQ xy設(shè) 將（1）代入（2）式可得:m=122010,C xymxyP QOOPOQm已知圓 :與直線相交于兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若求 的值。解：方法二201 0 xymxy 2OPQ1122(,) , (,)P xyQ xy設(shè) 思考題：OPOQ12120 (2)x xy y222(1) 0 xxm 1212mxx12