相似三角形的判定講義

1、相似三角形的判定一、知識點(diǎn)講解判定定理1:如果一個(gè)三角形的兩個(gè)角與另外一個(gè)三角形的兩個(gè)角對應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形相似。判定定理2:兩邊對應(yīng)相等且夾角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似。判定定理3:三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似。理解：（1）當(dāng)給出的條件上角為主時(shí)，應(yīng)考慮“兩角對應(yīng)相等”；當(dāng)給出的條件有邊 有角時(shí)，應(yīng)考慮“兩邊對應(yīng)成比例，夾角相等”；當(dāng)給出的條件全是邊時(shí)應(yīng)考慮“三 邊對應(yīng)成比例”。III */- X- |（2）在利用判定定理2時(shí)，一是兩邊的夾角相等，如果不是夾角則不成立。二、典例分析（一）運(yùn)用判定定理判定三角形相似I I例1在矩形ABCD中，E為BC上一點(diǎn)，DF丄AE于點(diǎn)F。(1)求證：

2、 ABE DFA ; (2)若 AB=6 , AD=12,AE=10,求 DF 的長。變式練習(xí):1、如圖，DE/ BC, EF/ AB,則圖中相似的三角形一共有（)（第題）BC變式練習(xí)：1、如圖，在 ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC上，下列條件中不能判定厶 ABBA AED的是（）AD ACAD AEA、/ AED=Z BB、/ ADE=Z CC、 D、AE ABAB AC_i2、已知，P是正方形 ABCD的邊BC上的點(diǎn)，且 BP=3PC M是CD的中點(diǎn)，求證：ADMMCP。A、1對B、2對C、3對D、4對2、具備下列各組條件的兩個(gè)三角形中，不一定相似的是（）A、有一個(gè)角是40°兩

3、個(gè)等腰三角形B、兩個(gè)等腰直角三角形C、有一個(gè)角為100。的兩個(gè)等腰三角形D、兩個(gè)等邊三角形1例2已知：如圖，在四邊形 ABCD中，/ B=Z ACD, AB=6,BC=4,AC=5,CD=7 ,求AD的長。2（第2題）例3如圖，小正方形的邊長為1,貝S下列選項(xiàng)中的三角形（陰影部分）與厶 ABC相似的是（）變式練習(xí):1、在厶ABC 和厶A/ B/ C/中，AB=3cm, BC=6cm, CA=5cm, A/ B/ =3cm, B/Cz=2.5cm, A/ C =1.5cm,則下列說法中，錯(cuò)誤的是（） ABC < A / B / C相似 B、AB與A / B，是對應(yīng)邊C、相似比為2:2、D、

4、AB與A / C，是對應(yīng)邊網(wǎng)格圖中每個(gè)方格都是邊長為1的小正方形，若A、B、C、D、E、F都是格點(diǎn),試證明： ABC DEF。（二）判定定理的運(yùn)用E作直線EF交AB例4如圖，在矩形ABCD中，E為AD的中點(diǎn)，連接EC,過點(diǎn)于點(diǎn)F。當(dāng)EF與CE滿足什么條件時(shí)， AEF與厶DCE相似？并說明理由。變式練習(xí):1、如圖，在ABC中，/ ADE二/ C,則下列等式成立的是（AD ABAE ADAB ACBC BDC、DE AEDE ADBC ABBC ABDBF<22、 如圖，/ ABD二 / C, AB=5 , AD=3.5，貝卩 AC二。3、如圖，D 是 AC 上一點(diǎn)，BE / AC , BE

5、=AD , AE 分別交 BD、BC 于點(diǎn) F、G,Z J1 = / 2。求證：FD2=FG FE.反饋練習(xí)基礎(chǔ)夯實(shí)1、如圖，AD丄BC于點(diǎn)D, CE丄AB于點(diǎn)E交AD于點(diǎn)F,則圖中與厶AEF相似的三角形的個(gè)數(shù)是（）A、1個(gè)B、2個(gè)C、3個(gè)2、如圖，在 RtAABC 中，/ ACB=90 ° ,BC=3, AC=4 , AB 的垂直平分線 DE 交 BC的延長線于點(diǎn)E,則CE的長為（） A、-B、7C、竺D、22 6 63、如圖， ABC中，AB=AC，/ A=36 ° ,BD平分/ ABC，則下列結(jié)論： ABCBCD :AB : BC=BC : CD:BC2=AC CD:

6、 AD : DC二AB : BC,其中正確的結(jié)論有（）A、1個(gè)B、2個(gè) C、3個(gè) D、4個(gè)4、如下圖，下列條件不能判定 ADBABC的是（）/ ABD= / ACB B、/ ADB= / ABC C、AB2=AD ACAD ABABBC5、無相似三如圖，在 ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且 AC2=AD AB，貝卩（ ADC- ACB B、 BDC- BCA ADC- CDB 角形6、滿足下列條件的各對三角形中是相似三角形的是（）A、/ A=60 ° , AB=5cm, AC=10cm;/ A/ =60° ,A/ B/ =3cm, A/ C =10cmB、/ A=45 

7、6; , AB=4cm, BC=6cm;Z D=45 ° ,DE=2cm, DF=3cmC、/ C= / E=30°, AB=8 cm, BC=4cm; DF=6cm, FE=3cmD、/ A= / A且 AB A / C =AC A / B /7、如圖，已知AB丄BD , ED丄BD ,C是線段BD的中點(diǎn)，且AC丄CE, ED=1,BD=4 ,那么AB=。&如圖，在ABCD中，F(xiàn)是BC上的一點(diǎn)，直線DF與AB的延長線相交于點(diǎn)E,BP / DF,且與AD相交于點(diǎn)P,請從圖中找出一組相似的三角形 第11題9、如圖，在邊長為9的正三角形ABC中，BD=3，/ ADE=6

8、0 °，則AE的長為10、如圖，在 ABC中，D是ABA邊上一點(diǎn)，連接CD ,要使 ADC與厶ACB相似, 應(yīng)添加的條件C I |"/.” J' II 嚴(yán)是。（寫出一個(gè)即可）11、如圖，在 ABC中，CD丄AB，垂足為D，下列條件中，能證明厶ABC是直角 三角形的有。/A+ Z B=90°AB2=AC2+BC2;詈嚅；CD2=AD BD12、如圖，已知，Z ACB=Z ABD=90°, BC=6 AC=8，當(dāng) BD=中的兩個(gè)直角三角形相似。13、如圖，Z 1 = Z 2,Z B=Z D, AB=DE=5, BC=4(1)求證： AB3A ADE;

9、 (2)求 AD 的長。DE14如圖,ABC中，CD是邊AB上的高且筍CD(1)求證： ACDCBD ; (2)求/ ACB 的大小。R15、如圖，矩形ABCD為臺球桌面，AD=260cm, AB=130cm。球目前在點(diǎn)E的位置，.” J ' I I 嚴(yán)AE=60cm，如果小丁瞄準(zhǔn)BC邊上的點(diǎn)F將球打過去，經(jīng)過反彈后，球剛好彈到點(diǎn)D I的位置。/, r- ；j | I/I si.|i n"(1)求證： BEFsCDF;(2)求 CF 的長。乂 D J-B F'.C16、已知，如圖，正方形ABCD的邊長為2,AE=EB , MN=1 ,線段MN的兩端在BC、CD上滑動(dòng)，

10、在滑動(dòng)過程中，以 M、N、C為頂點(diǎn)的三角形與 AED可能相似嗎？若 能，求出相似時(shí)CM的長。I）E ftM能力提升I,.Jr*-"1" I V-I”II17、女口圖，在直角梯形 ABCD 中，AB / CD, / C=90°，/BDA=90 ° , AB=a, BD=b,CD=c, BC=d, AD=c,則下列等式成立的是（）A、 b2=ac B、 b2=ce C、 be=ac D、 bd=ae第17題第18題第19題18、如圖，在鈍角三角形 ABC中，AB=6cm, AC=12cm，動(dòng)點(diǎn)D從點(diǎn)A出發(fā)到點(diǎn)B為止，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)C出發(fā)到點(diǎn)A止，點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)的速度為

11、1cm/s，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的速度為 2cm/s。如果兩點(diǎn)同時(shí)運(yùn)動(dòng)，那么當(dāng)以點(diǎn)A、D、E為頂點(diǎn)的三角形與 ABC相似時(shí)， 運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A、3秒或4.8秒 B、3秒C、4.5秒 D、4.5秒或4.8秒19、如圖，D是等邊 ABC邊AB上的一點(diǎn)，且 AD : DB=1 : 2,現(xiàn)將 ABC折疊，使點(diǎn)C與D重合，折痕為EF,點(diǎn)E、F分別在AC和BC上，則CE: CF=（）A、3B、4C、5D、64567120、如圖， AOB是直角三角形，/ AOB=90 ° ,OB=2OA，點(diǎn)A在反比例函數(shù)yx的圖像上，若點(diǎn)B在反比例函數(shù)y/的圖像上，則k的值為（） A、-4 B、x4 C、-2 D、2

12、76; ；4(4.0)第20題第21題第22題III"II21、如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，有兩點(diǎn)A（4，0），B（0, 2），如果點(diǎn)C在x軸上（點(diǎn)C與點(diǎn)A不重合），當(dāng)點(diǎn)C的坐標(biāo)為時(shí)，使得以點(diǎn)B、0、C為頂點(diǎn)的三角形與 AOB相似。22、已知，如圖，口ABCD的對角線相交于點(diǎn) O,點(diǎn)E在邊BC上延長線上，且OE=OB， 連接DE。求證：（1） DE丄BE; （2）如果 OE丄CD,求證： CEDDEB23、如圖，在口ABCD中，過點(diǎn)A作AE丄BC,垂足為E,連接DE, F為線段DE上一點(diǎn)，且/ AFE= / B。(1)求證： ADFDEC; (2)若 AB=8 , AD= 6.3 ,

13、AF=4、3，求 AE 的長。24、學(xué)習(xí)圖形的相似后，我們可以根據(jù)探索兩個(gè)直角三角形全等的條件所獲得 的經(jīng)驗(yàn)，繼續(xù)探索兩個(gè)直角三角形相似的條件。(1) “充分于兩個(gè)直角三角形，滿足一邊一銳角對應(yīng)相等，或兩直角邊對應(yīng)相等，I i兩個(gè)直角三角形全等”，類似在，你可以得到“滿足，或 兩個(gè)直角三角形相似”；(2) “滿足斜邊和一條直角邊對應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形全等”，類似地，你可以得 到“滿足的兩個(gè)直角三角形相似”。請結(jié)合下列所給圖形，寫出 已知，并完成證明過程。已知：如圖，。25、如圖，E是矩形ABCD的邊BC上一點(diǎn)，EF丄AE , EF分別交AC、CD于點(diǎn)M、F, BG丄AC,垂足為G, BG交A

14、E于點(diǎn)H。（1） 求證： ABEECF;II.” ： ' I I 嚴(yán)（2）找出與 ABH相似的三角形，并證明；_J I II.XI II *（3）若 E 是 BC 中點(diǎn)，BC=2AB，AB=2，求 EM 的長。A D思維拓展26、如圖1,直線AB分別與兩坐標(biāo)軸將于點(diǎn) A(4 ,0), B (0,8),點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,0)。(1) 求直線AB的解析式；(2) 在線段AB上有一動(dòng)點(diǎn)P。|< i I 、" '/' 如圖2,過點(diǎn)P分別作x、y軸的垂線，垂足分別為點(diǎn)E、F，若矩形OEPF的面積為6,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；/嚴(yán)、 r-|II 連接CP,是否存在點(diǎn)卩，使厶A

15、CP與厶AOB相似，若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若- - I不存在，請說明理由。27、如圖，矩形ABCD中，AD=3cm, AB二acm(a>3)。動(dòng)點(diǎn)M、N同時(shí)從點(diǎn)B出發(fā)，分別沿送一兀運(yùn)動(dòng)，速度是1cm/s。過點(diǎn)M作直線垂直于AB，分別交AN、CD 于點(diǎn)P、Q,當(dāng)點(diǎn)N到達(dá)終點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)M也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(1) 若 a=4cm, t=1s,則 PM=cm;(2) 連接PD、PB,若a=5cm,求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t,命名 PNB PAD，并求出它們的相 似比；(3) 若在運(yùn)動(dòng)過程中，存在某時(shí)刻使梯形 PMBN與梯形PQDA的面積相等，求a 的取值范圍。參考答案反饋練習(xí)基礎(chǔ)夯實(shí)1、C 2、B1 j3、D4、 D5、 A6、D9、710、ADAC11、12、1540或一ACAB2313、(1) 略(2)25414、 （1）略(2)90°15、(1)略(2)16916、空或2,57、458、A DCFEBF17、A18、能力提咼試題分析：由折養(yǎng)的性質(zhì)可得，ZEDFZC=60°, CE=DE, CFDF.再由ZBDF+/ADE=ZBDF+ZBFD=120o ,可WZade