時間最優(yōu)控制

1、1性性能能指指標(biāo)標(biāo)。為為積積分分型型控控制制問問題題的的性性能能指指標(biāo)標(biāo)取取為為統(tǒng)統(tǒng)一一起起見見，時時間間最最優(yōu)優(yōu)目目標(biāo)標(biāo)集集相相遇遇的的時時刻刻。是是狀狀態(tài)態(tài)軌軌線線首首次次與與連連續(xù)續(xù)可可微微，和和，其其各各元元對對連連續(xù)續(xù)可可微微，和和的的各各元元對對和和，其其中中問問題題最最優(yōu)優(yōu)控控制制一一類類非非線線性性系系統(tǒng)統(tǒng)的的時時間間速速控控制制或或最最速速控控制制時時間間最最優(yōu)優(yōu)控控制制也也稱稱為為快快時時間間最最優(yōu)優(yōu)控控制制fffpmnfftttutttxrgttxbfrturtxttxgxtxtuttxbttxftxtsmjdtjfj)()()()()()()(0),()2()(),()

2、,(),()()1(., 2 , 1,min1 . 4 . 41 . 4 . 44 . 4001)(0 2 ffftfffftffftffftffftttttttxgtuttxbtttxfttxttxgtttxgxtxttxtuttxbttxttxfxhttuttxbttxfhtxtuttxbtttxfttttutxh ),()(),()(),()(1 )3)(),()(0),()()2)()()(),()()(),()()(),(),()()1)(),()(),()(1),(),(),(00 邊界條件邊界條件正則方程正則方程3mjtutqtutqtuttxbtjbttxbmjtttxbtqt

3、ttxbtqtuttxbttuttxbttuttxbttttutxhtuttxbtttxfttttutxhjmjjtujmjjtjtjjtttuttttjj, 2 , 1)()(min)()()(),()() 1 (),(, 2 , 1),(),()()(),()() 1 ()(),()(min)(),()()4)(),()(),(),(),()(),()(),()(1),(),(),(11)(*1*1)(*式可寫為個列向量，于是的第是矩陣其中或設(shè)極值條件為：令4)()(min)(),()(11)(*tutqtuttxbtjmjjtutj相互獨(dú)立的，于是有因各控制分量的約束是5 ftjjjjj

4、jjjjjtttmjtttxbtqtutqtutqtqtutqtu,;, 2 , 1)(),(sgn)(sgn)(0)(, 1)(0)(, 10)(1)()()(0* 或或當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，的關(guān)系：的關(guān)系：與與從而得到從而得到6 奇異情況奇異情況當(dāng)當(dāng)正常情況正常情況當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)，0)(, 1)(0)(, 10)(1)(*tqtutqtqtujjjjj7 為為奇奇異異區(qū)區(qū)間間。稱稱題題是是奇奇異異的的，并并把把區(qū)區(qū)間間對對應(yīng)應(yīng)的的時時間間最最優(yōu)優(yōu)控控制制問問上上取取零零值值，則則間間函函數(shù)數(shù)，在在某某一一段段時時間間區(qū)區(qū)至至少少存存在在一一個個若若對對所所有有的的定定義義控控制制問問題題是是正正常常的的

5、。則則對對應(yīng)應(yīng)的的時時間間最最優(yōu)優(yōu)上上只只存存在在有有限限個個零零點(diǎn)點(diǎn)，區(qū)區(qū)間間在在時時間間，若若所所有有的的函函數(shù)數(shù)定定義義210210,)(, 2 , 12.3.3, 2 , 1)(1.3.3tttttttqmjttmjtqfjfj 8 換到另一個邊界值。換到另一個邊界值。由一個邊界值切由一個邊界值切的諸點(diǎn)上，的諸點(diǎn)上，常值函數(shù)，在常值函數(shù)，在的分段的分段都是時間都是時間個分量個分量因此時間最優(yōu)控制的各因此時間最優(yōu)控制的各或或則最優(yōu)控制則最優(yōu)控制是正常的，是正常的，題題的時間最優(yōu)控制，且問的時間最優(yōu)控制，且問是問題是問題設(shè)設(shè)控制原理控制原理定理定理)(0)()(,;, 2 , 1)(),(

6、sgn)(sgn)()(),(sgn)(sgn)(1.4.41.4.4)(1 . 4 . 4*0*tutqttutttmjtttxbtqtutttxbtqtutubangbangjjjftjjjt 9的的時時間間最最短短。轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)移移到到狀狀態(tài)態(tài)空空間間原原點(diǎn)點(diǎn)并并使使系系統(tǒng)統(tǒng)從從已已知知初初態(tài)態(tài)，約約束束是是完完全全能能控控的的，求求滿滿足足已已知知線線性性定定常常系系統(tǒng)統(tǒng)問問題題優(yōu)優(yōu)控控制制線線性性定定常常系系統(tǒng)統(tǒng)的的時時間間最最0)0(, 2 , 11)()()()(2.4.42.4.4xxmjtutbutaxtxj 10 0)()()(1)()()(1)4,;, 2 , 1)(sgn)(s

7、gn)()30)()0()2)()()()()()1)()()(1),(),(),(0*0 fffttftjjjftttbutaxttbutaxttttmjtbtqtutxxxtaxhttbutaxhtxtbutaxttttutxh 邊界條件邊界條件正則方程正則方程11ftatttett, 00)()4)0()(，對可知再由條件從協(xié)態(tài)方程可解得120)0() 1 () 1 (1, 1 , 00)0() 1()(,0)0()(,0)0()()()(, 0,2 . 4 . 4121)(2121tatjnjjjjtjnatkkjatattatjjtatjtjjjftjttegbabaabbgnkba

8、etqaeaeebtqtttebtbtqtqttt式可寫成矩陣形式：，則令，有性質(zhì)求導(dǎo)數(shù)，根據(jù)矩陣指數(shù)對，對滿足使得某一，某一時間區(qū)間是奇異的，則至少存在假設(shè)問題13 為奇異矩陣。為奇異矩陣。奇異的充要條件是奇異的充要條件是為奇異矩陣。因此問題為奇異矩陣。因此問題式成立的充要條件是式成立的充要條件是，即，即非奇異，所以非奇異，所以因?yàn)橐驗(yàn)榧醇雌娈?，奇異，矩陣矩陣有非零解的充要條件是有非零解的充要條件是由矩陣?yán)碚摽芍删仃嚴(yán)碚摽芍?，也即也即jjjjjjjgggegegegegeatatatatatt2 . 4 . 4)2(0det0detdetdet)0()2(0)0( 14 是奇異的。是奇異

9、的。陣時，則問題陣時，則問題中至少有一個是奇異矩中至少有一個是奇異矩個矩陣個矩陣當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)為奇異的充分必要條件為奇異的充分必要條件問題問題定理定理2.4.4, 2 , 1,2.4.42.4.412mjbabaabbgmjnjjjj 15下定理給出。下定理給出。是正常的充要條件由如是正常的充要條件由如次數(shù)有限，因此問題次數(shù)有限，因此問題所決定的開關(guān)所決定的開關(guān)由由的元連續(xù)可微的元連續(xù)可微問題是正常的。問題是正常的。數(shù)有限，則該數(shù)有限，則該不是奇異的，且開關(guān)次不是奇異的，且開關(guān)次若問題若問題2 . 4 . 40)0()()(2 . 4 . 4 tatjtjjattebtbtqe16是正常的。

10、，則問題全部都是非奇異矩陣時個矩陣當(dāng)且僅當(dāng)）為正常的充分必要條件（問題定理2.4.4, 2 , 1,2.4.43.4.412mjbabaabbgmjnjjjj17制是正常的。正常系統(tǒng)的時間最優(yōu)控統(tǒng)。的受控系統(tǒng)稱為正常系正常系統(tǒng)：滿足定理是正常的。制問題定常系統(tǒng)的時間最優(yōu)控單輸入完全能控的線性，都是完全能控的。正常問題要求3.4.4, 2 , 1,mjbaj18則最優(yōu)控制必定唯一。則最優(yōu)控制必定唯一?？刂拼嬖?，控制存在，是正常的，且時間最優(yōu)是正常的，且時間最優(yōu)若問題若問題（唯一性定理）（唯一性定理）定理定理2.4.44.4.419是是系系統(tǒng)統(tǒng)的的維維數(shù)數(shù)。次次。其其中中關(guān)關(guān)次次數(shù)數(shù)最最多多不不超超過過的的開開控控制制的的每每個個分分量量最最優(yōu)優(yōu)控控制制存存在在，則則最最優(yōu)優(yōu)時時間間的的特特征征值值均均為為實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)，且且是是正正常常的的，若若矩矩陣陣中中的的受受控控系系統(tǒng)統(tǒng)設(shè)設(shè)問問題題（開開關(guān)關(guān)次次數(shù)數(shù)定定理理）定定理理nntuatbutaxtxj1)()()()(